莱布尼兹发明的微积分符号比牛顿的好在啥地方？

谈到微积分，人们很容易想到牛顿和莱布尼茨这两位巨匠。他们几乎同时独立地发展了微积分，但真正流传下来，并且我们今天仍在使用的符号体系，却是莱布尼茨的杰作。那么，莱布尼茨的微积分符号究竟比牛顿的“好”在哪里？这不仅仅是美观的问题，更是关于清晰度、通用性和数学思想的传递。

牛顿的符号：一种“流数”的视角

牛顿发明微积分时，他的核心概念是“流数”（fluxions）。他将变量看作是随时间流动的量，而微积分的任务就是研究这些量变化的“速度”和“积累”。因此，他的符号也反映了这种动态的观念。

表示导数：牛顿用一个在变量上方加点的符号来表示导数，例如，如果 $x$ 是一个随时间变化的量，那么它的流数（导数）就是 $dot{x}$。如果再求一次导，就是 $ddot{x}$。
表示积分：牛顿用一个字母前面加上一个“方框”的符号来表示积分，例如 $int x , dx$ 在牛顿的符号体系中可能是一个类似的表示。

牛顿的符号，尤其是在他早期著作中，非常形象地描绘了他对运动和变化的直观理解。当他谈论一个点的速度时，用一个点来表示 $dot{x}$，这就像是在描绘那个点在某个瞬间的速度矢量一样，非常生动。

莱布尼茨的符号：一种“无穷小量”的语言

莱布尼茨的视角则更为侧重于量的“积累”和“无限分割”。他将函数看作是变化的量，而导数则是两个“无穷小”量之比，积分则是“无穷小量”的“求和”。他的符号正是围绕着这些核心概念设计的：

表示导数：这是莱布尼茨符号中最具革命性也最被广泛接受的部分。他用 $frac{dy}{dx}$ 来表示函数 $y$ 关于变量 $x$ 的导数。这里，$dy$ 代表 $y$ 的一个“无穷小”变化量，$dx$ 代表 $x$ 的一个“无穷小”变化量。这个符号直观地表达了导数是两个无穷小量之比的概念，就像斜率一样，是纵坐标变化的无限小量与横坐标变化的无限小量之间的比例。
表示积分：莱布尼茨用一个长长的 S 形符号 $int$ 来表示积分。他解释说，这个 S 是拉丁文 "summa"（和）的首字母，象征着积分是将无穷多个无穷小量（每个项用 $dx$ 或 $dy$ 表示）加起来求和的过程。因此，积分 $int y , dx$ 就是将 $y$ 在一系列无穷小的 $dx$ 上进行累加。

莱布尼茨符号的优势之处：

现在，我们来详细剖析一下，为什么莱布尼茨的符号体系在数学界获得了压倒性的胜利，并成为我们今天使用的标准：

1. 直观性和概念的清晰传递：
导数 $frac{dy}{dx}$：这是最关键的一点。莱布尼茨的 $frac{dy}{dx}$ 直接传达了导数的“比率”含义。它不仅表示 $y$ 相对于 $x$ 的变化率，还允许我们像处理普通分数一样处理它。例如，链式法则在莱布尼茨的符号下变得异常直观：如果 $z = f(y)$ 且 $y = g(x)$，那么 $frac{dz}{dx} = frac{dz}{dy} cdot frac{dy}{dx}$。你可以想象 $frac{dz}{dy}$ 和 $frac{dy}{dx}$ 中的 $dy$ 就像在分数乘法中“约掉”一样，留下了 $frac{dz}{dx}$。这种“代数化”的处理方式，让微积分的运算变得极其方便和易于理解。牛顿的 $dot{y}$ 或 $ddot{y}$，虽然能表示变化率，但缺乏这种运算上的灵活性，也难以直接表达关于特定变量的变化率（除非明确指出是对哪个变量求导）。
积分 $int$：长 S 符号清晰地表达了“求和”的思想。当需要对一个函数 $f(x)$ 在某个区间 $[a, b]$ 上进行积分时，写成 $int_a^b f(x) , dx$ 就非常明确地指示了“对 $f(x)$ 乘以无穷小的 $dx$ 进行累加，从 $a$ 到 $b$”。牛顿的符号则没有这种明确的求和指示，也难以直接表示积分的区间和被积函数的形式。

2. 通用性和灵活性：
关于特定变量的导数：莱布尼茨的符号明确指出了导数是关于哪个变量的。例如，在多元函数中，偏导数 $frac{partial f}{partial x}$ 就是由莱布尼茨的符号演变而来，清晰地表明了在保持其他变量不变的情况下，函数 $f$ 相对于 $x$ 的变化。牛顿的单点符号 $dot{x}$ 就难以处理这种情况，因为它没有提供“控制变量”的机制。
积分的运算和变换：莱布尼茨的符号让积分的各种变换和技巧变得自然而然。例如，换元积分法，即用 $u = g(x)$ 替换 $x$，那么 $du = g'(x) , dx$，这使得被积表达式可以方便地用 $u$ 和 $du$ 来表示，从而简化积分。这在牛顿的体系下会更加繁琐。

3. 对后世发展的兼容性：
莱布尼茨的符号体系在概念上比牛顿的更具“代数化”的潜力。它更容易被扩展到更广泛的数学领域，比如微分方程、微分几何等。很多现代微积分的公式和运算规则，都是建立在莱布尼茨符号的直观性和代数性质之上的。

4. 数学教育的简化：
对于初学者来说，莱布尼茨的符号更容易入门。导数作为比率的直观性，积分作为求和的含义，都使得学生能够更快地理解微积分的核心思想，并进行实际的运算练习。牛顿的流数概念，虽然对理解运动很有帮助，但在将其转化为一套普适的数学工具时，其符号的局限性就暴露出来了。

一些历史上的争议和澄清：

值得注意的是，牛顿和莱布尼茨之间的符号之争也颇为激烈。牛顿的追随者们认为他的符号更符合牛顿的“科学方法”和对物理世界的直观洞察。然而，随着时间的推移，数学家们越来越发现莱布尼茨符号在操作上的便利性和概念上的普适性。尤其是在欧洲大陆，数学家如欧拉、拉格朗日等对莱布尼茨符号进行了极大的推广和发展，进一步巩固了其地位。

当然，这并不是说牛顿的贡献不重要，或者他的符号就一无是处。牛顿的流数概念是微积分的奠基石，他用微积分解决了很多物理学上的难题，例如万有引力定律。但从数学符号的语言学和工具性角度来看，莱布尼茨的符号无疑为微积分的进一步发展和普及铺平了道路。

总结来说，莱布尼茨的微积分符号之所以比牛顿的“更好”，主要在于其清晰的概念传递性（导数是比率，积分是求和）、出色的代数运算灵活性（如链式法则的直观性）、以及对未来数学发展的强大兼容性和普适性。它使得微积分不仅仅是一种描述变化率的工具，更成为一种强大的数学语言和分析手段。

网友意见

这可是你自己要爽的哈，牛B顿带你爽个够！

牛B顿大神定义的导数：

一、二阶：

还好吧，继续：

三阶： （第一个的LaTeX源码都是 dddot）

好像还好是吧，下面开始表演真正的实力：

四阶导：

就这？

五阶导：

眼睛都看痛了，继续：

六阶导：

。。。。

七阶导：

我感觉我顿悟了：(八九阶无实例参考，纯自导）

八阶导：

九阶导：

十阶导：

阶的时候估计他也觉得实在编不下去了：

Wiki百科都找了好几种专门的unicode来打出这些符号！！！

牛B顿定义的偏导

（注意：左边才是牛B顿的定义，中间是另外一位数学家Legendre定义的）

莱神定义的导数：

我们都学过了：（人狠话不多）

一阶：
阶：

由Adrien Marie Legendre定义的偏导记号

我们今天用的这种“商”的形式的偏导就是上面那种。虽然不是莱神定义的，但很明显这种定义是深受莱神的启发得到的。

积分。。。。。。

牛：
莱：

这俩定义等价！！！！！！！！！

还没完，牛B顿定义的积分符号里还有一种：字母直接放在这个方框里面！！！！！！！等我能传图了再传给你看。

大家都知道自牛莱事件之后，英国和欧陆科学断绝了来往，于是后来英国科学倒退许多年。现在你知道为啥会倒退了吧。。。。

主要参考：
牛B顿的那些屌炸天的符号来自Wiki： Notation for differentiation
一些补充的资料参考：(2020-08-26更新）
1. Earliest Uses of Symbols of Calculus
2. 普林斯顿大学一个公开的文档（可直接下载）：Florian Cajori. The History of Notations of the Calculus. Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 25, No. 1 (Sep., 1923), pp. 1-46
3. 剑桥大学公开的牛顿手稿（可直接下载，而且高清全文哟）：Newton Papers : On the Quadrature of Curves (关于曲线求积，微积分开山之作的一个部分）
PS: 我还好，我没瞎。。。。。

2020-08-27. 更.

有同学在评论区说到LaTeX源码的事，其实技巧很简单。但真写起来发现实在太长了，于是干脆整理成文，有需要的同学可以移步：牛顿微积分符号的LaTeX编码教学

2. 关于偏导定义的一篇十分详细的文献："Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century",Archive for History of Exact SciencesVol. 1, No. 3 (D. T. Whiteside, 1961), pp. 361-362,378。

(该文献中明确指出了在原稿中哪些位置出现了偏导的哪些定义。sci-hub可找到。)

3. 特别感谢 @赵雪冰同学指出之前偏导部分的标记错误。

4. 另外上述偏导的定义还有一个前提，大致是二元函数是一个和函数的形式。具体解释也在文献2中，具体页码如上。

5. 最后填一个坑。牛顿积分符号的最后一种：方框内加函数（变量）。具体玩法参考1中提到的文章。

2020-08-28. 更.

牛顿偏导定义处是有前提的。也就是上面4中提到的和函数定义。今天直接在原回答上改掉了，不然的话可能很容易误解他定义的偏导。实际上他当时主要是在考虑一个曲线的一般形式（隐函数）。相关的说明是在上面2中提到的参考文献。

======画一条更新线------2020.09.07

怪我手J，又去查了一遍，一下午过去了。。。。。

要说牛顿的符号，处处透露着随意二字：

最魔性的也就在这一张手稿上：

链接：https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/257

编号：MS-ADD-03960/257

你们要的一筒到七筒

这个调皮的七筒不仔细找真找不出来：

五筒的三种写法：

微积分最早的定义应该是出现在这里：

链接：https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03962/9

编号：MS-ADD-03962/9

也就是那篇牛关于曲线求“积”的论文：On the Quadrature of Curves

下一页还有更讨厌的记号（MS-ADD-03962/11）：

你猜他到底是要对谁求导，对谁求积分（原函数）。

再感受一下魔性方框积分：

链接：https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/MS-ADD-03960/260

编号：MS-ADD-03960/260

我想写哪就写哪系列：

编号：MS-ADD-03960/13

翻了半天终于找到了：

偏导的定义：

链接：https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/ MS-ADD-03960/17

编号：MS-ADD-03960/17

手写体+拉丁文。我也看不懂。。。。。

然后二阶偏导和除法怎么区分？联系上下文？

编号：MS-ADD-03960/11

哪里不懂点哪里？

（两点有时候表示“比”，但四点啥意思？联系了一下上下文，似乎就是除的意思。）

然后他举了几个例子（偏导定义同一页）

也终于发现一个能看得懂的例子了：

注意这和上面的回答里说的一样，函数本身是有定义的。其实它是一个隐函数。

啥叫大佬，人家简单说了几句啥叫导数（Fluxion）就直接进入隐函数了。

这里也体现出他的记号不方便：

你说左边几个点？

而且这些地方也给人一种感觉：我两点在的弯弯里面就表示偏导，在弯弯外面就是除号（“比例”）。

后面这几页应该都能看懂了：

MS-ADD-03960/18

MS-ADD-03960/19

另外，建议小朋友没事别看这些奇奇怪怪的手稿。因为我每次看这些都有一种隔着时空被吊打的感觉：

（这个貌似就是在算万有引力的地方出现的，真不想去找了）

当然了，牛神虽然写符号很随意，但人家画图是认真的：

棱镜原理：

还有那句话咋说的来着，什么劳资能一只手撬动地球？大概就是这么撬的：

MS-ADD-03975/21

裸眼3D理论力学：

大概是流体力学：

MS-ADD-03975/23

可能是杠杆：

这个也没看懂：

MS-ADD-03975/15

神画的神：

(在note里面，但找不到具体对应的原图了。)

以上图片有编号的全是从剑桥大学的图书馆里来的。

编号的使用很简单：

把　“https://cudl.lib.cam.ac.uk/view/” +　编号 直接输入浏览器就可以了。

===再分一分====

当然了，关于这个问题本身其实还是要简单小结几句：

1、下面一位哥们引用了《古今数学思想》里的一些观点，其实牛和莱记号上的区别和他们的本职工作的区别是有关系的。不过更准确的我觉得可能还是一种自我认同的区别。

从牛顿的著作拉通来看会很明显的感觉到，在他内心深处他其实觉得自己是一个物理学家。记得吴文俊先生也曾经说过：物理才是揭示世界本源的学科，数学只是工具。所以数学的这种“工具感”在牛神手里体现得淋漓尽致。既然是工具，当然是我想咋用就咋用。就好比老师傅切菜，你管从哪下刀，反正切完最终出来的东西是我想要的就OK。

而莱布尼茨，他本科学的是法学！！后来的主职是律师。准确地讲他是哲学家。也有一些书上的评论其实说得很到位：哲学家的思想是大胆地，粗糙的。所以如果去细看莱神的著作会发现许多地方十分直接了当。还有一种说法我觉得说得非常好，莱布尼茨的符号是非常具有 提！示！性！

但相反，从严密性而言，牛顿的各方面工作其实都要到位得多。

2、至于英国科学倒退。这是个链锁效应。因为当时牛和莱的争论特别大。最根本的原因还是英国拒绝欧陆的科学。这就好比有好工具不用非要去用辣鸡工具，同时别人有了新的进展却偏不用，当然会倒退。这个事件其实也经常被后世用来警戒一些无味的“抵制”。科学还是要秉持更开放的态度。

3、关于牛莱的故事太多太多。这个回答应该也是到极限了。有兴趣的话咱以后再聊吧。

4、关于这个回答本身其实也有意思。由于我大三的时候完整看过《古今数学思想》，所以一些十分重要的节点都记得。另外我也知道多年前看到的一个新闻，说剑桥大学公开了牛顿的手稿电子版。于是想着直接简单查下资料就能答了。结果没想到重新去整理细节的时候发现了这么多之前也没看到过的东西。

但这个整理的过程是真的头痛。为了找准每个细节得去顺着各种资料往回溯。比如今天这些图是结合了上面提到的论文里的引用注记，外加手动翻阅手稿找到的。

所以说做点稍严谨的研究是真不容易。。。。

看完这个回答，还是认认真真学习吧。

最后再来一张人类之光，永远保佑认真学习的同学

如果喜欢的话还是送上一个牛顿的一连、二连、三连、四连、、、吧。。。

是这样的…

Newton研究微积分是更偏物理的，是经验的、具体的，而Leibniz则建立了微积分的规范，即法则和公式的系统——这些都是牛顿不愿意费心整理的。

Leibniz花了很多精力去选择有提示性的巧妙的记号，而Newton认为这无关紧要…

和这些记号都是Leibniz发明的，而Newton基本都是用语言去描述的…

体会一下：

量在其中消失的最后比，严格说来，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限，而它与这个极限的差虽然能比任何给出的差更小，但是在这些量无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限。

——《自然哲学的数学原理》第三版第39页

对于Newton描述的这一堆东西，Leibniz是这么表示的：

——《1675年11月11日手稿》

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