如何证明牛顿―莱布尼兹公式？
好的，我们来聊聊牛顿莱布尼兹公式，也就是微积分基本定理。这玩意儿可不是凭空冒出来的，它的背后有着深刻的直观理解和严谨的数学证明。咱们就一层一层地揭开它的神秘面纱。
公式长啥样？
首先，得把这个公式亮出来。牛顿莱布尼兹公式，或者说微积分基本定理的第一个形式，通常是这样写的：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
其中，$f(x)$ 是在一个区间 $[a, b]$ 上的连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在这个区间上的一个原函数（也叫不定积分），也就是说 $F'(x) = f(x)$。
这公式到底在说啥？直观理解
别光看符号，我们得弄明白它在说什么。
左边：$int_a^b f(x) , dx$
这玩意儿代表什么？在我们初次接触定积分时，它就被定义为曲线下面积。想象一下，你有个函数 $f(x)$，画出它的图像，然后我们关注的是从 $x=a$ 到 $x=b$ 这段区间，在 x 轴上方，以及由 $x=a$ 和 $x=b$ 这两条垂直线和函数图像围成的那个区域的“有符号”面积。如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是正的，那就是面积；如果 $f(x)$ 有负值，那么这部分贡献的就是负面积。
右边：$F(b) F(a)$
这代表的是什么？$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。你可以把 $F(x)$ 理解为累积量。假设 $f(x)$ 代表的是速度，那么 $F(x)$ 就代表在时间 $x$ 时刻所行驶的总路程。那么，$F(b)$ 就是在时间 $b$ 时刻的总路程，$F(a)$ 就是在时间 $a$ 时刻的总路程。$F(b) F(a)$ 自然就是从时间 $a$ 到时间 $b$ 这段时间内，行驶的路程的净变化量。
所以，牛顿莱布尼兹公式在说什么呢？
它巧妙地连接了两个看似不相关的东西：“累积”的概念（原函数）和“面积”的概念（定积分）。 它告诉我们，一个函数在某个区间上的累积变化量（也就是其原函数的端点差），等于这个函数在该区间上的“总和”或者“面积”。
这就像是说，你计算从家里到公司一天总共走了多少路（累积路程的变化），和你每天步行速度的累加（速度函数的积分）是完全一样的。
如何证明它？严谨的逻辑
理解了直观含义，我们就要进入证明环节了。证明的核心在于利用导数和积分之间的“互逆”关系。
证明思路一：利用积分的性质和导数的定义
我们知道，定积分有一个非常重要的性质：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么我们可以定义一个变上限积分函数：
$$ G(x) = int_a^x f(t) , dt $$
其中 $x$ 是在 $[a, b]$ 区间内的一个变量，$a$ 是固定的下限。
现在，我们想知道这个函数 $G(x)$ 的导数是多少。也就是 $G'(x)$ 是多少。
根据导数的定义：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{G(x + Delta x) G(x)}{Delta x} $$
我们代入 $G(x)$ 的定义：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{int_a^{x+Delta x} f(t) , dt int_a^x f(t) , dt}{Delta x} $$
利用定积分的性质，$int_a^c f(t) , dt = int_a^b f(t) , dt + int_b^c f(t) , dt$，我们可以简化分子：
$$ int_a^{x+Delta x} f(t) , dt int_a^x f(t) , dt = int_x^{x+Delta x} f(t) , dt $$
所以，
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{int_x^{x+Delta x} f(t) , dt}{Delta x} $$
现在看分子 $int_x^{x+Delta x} f(t) , dt$。这是一个从 $x$ 到 $x+Delta x$ 的定积分。因为 $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上是连续的，所以它在 $[x, x+Delta x]$ 这个很小的区间上也是连续的。
根据积分中值定理（这个定理本身也需要证明，但它是基于连续性和平均值的基本概念），对于任意连续函数 $f(t)$ 在闭区间 $[c, d]$ 上，存在一个点 $xi in [c, d]$，使得：
$$ int_c^d f(t) , dt = f(xi) cdot (dc) $$
把这个应用到我们的分子上，令 $c=x$，$d=x+Delta x$。那么存在一个 $xi$ 在 $x$ 和 $x+Delta x$ 之间（包括端点），使得：
$$ int_x^{x+Delta x} f(t) , dt = f(xi) cdot ((x+Delta x) x) = f(xi) cdot Delta x $$
代回 $G'(x)$ 的表达式：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{f(xi) cdot Delta x}{Delta x} = lim_{Delta x o 0} f(xi) $$
当 $Delta x o 0$ 时，区间 $[x, x+Delta x]$ 的长度趋于零，而 $xi$ 在这个区间内，所以 $xi$ 也必然趋于 $x$。因为 $f$ 是连续的，所以当 $xi o x$ 时，$f(xi) o f(x)$。
因此，我们得到了一个非常重要的结果：
$$ G'(x) = f(x) $$
这意味着什么？这意味着我们定义的变上限积分函数 $G(x) = int_a^x f(t) , dt$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数！
好，现在我们知道 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。又根据微积分基本定理的另一个形式（或者说它是这个公式的引理）：如果 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 的原函数，那么它们之间只相差一个常数，即 $G(x) = F(x) + C$。
所以，我们可以写：
$$ int_a^x f(t) , dt = F(x) + C $$
现在，我们来确定这个常数 $C$。我们知道，当 $x=a$ 时，$int_a^a f(t) , dt = 0$（积分区间长度为零）。
所以，代入 $x=a$：
$$ 0 = F(a) + C $$
这说明 $C = F(a)$。
把 $C$ 代回到前面的等式中：
$$ int_a^x f(t) , dt = F(x) F(a) $$
这个公式对于区间 $[a, b]$ 中的任何 $x$ 都成立。现在，我们只需要把 $x$ 替换成 $b$：
$$ int_a^b f(t) , dt = F(b) F(a) $$
证毕！
证明思路二：利用“黎曼和”的视角
微积分基本定理也可以通过黎曼和来理解和证明。这个方法更加贴近定积分的“面积求和”的定义。
我们知道定积分可以表示为黎曼和的极限：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
其中 $Delta x = frac{ba}{n}$，$x_i^$ 是 $[x_{i1}, x_i]$ 区间上的任意一点，$x_i = a + iDelta x$。
现在考虑 $F(b) F(a)$。由于 $F'(x) = f(x)$，我们可以将 $F(b) F(a)$ 写成一个“差的连加”形式，这有点像“裂项相消”的思想：
$$ F(b) F(a) = (F(x_1) F(x_0)) + (F(x_2) F(x_1)) + dots + (F(x_n) F(x_{n1})) $$
其中 $x_0 = a, x_n = b$。
根据拉格朗日中值定理（ এটাও需要证明，但它是导数的基本性质），对于函数 $F(x)$ 在闭区间 $[x_{i1}, x_i]$ 上，存在一点 $c_i in (x_{i1}, x_i)$，使得：
$$ F(x_i) F(x_{i1}) = F'(c_i) (x_i x_{i1}) $$
由于 $F'(x) = f(x)$，所以：
$$ F(x_i) F(x_{i1}) = f(c_i) Delta x $$
其中 $Delta x = x_i x_{i1}$ 是我们之前定义的区间长度。
将这个代入到 $F(b) F(a)$ 的连加表达式中：
$$ F(b) F(a) = sum_{i=1}^n (F(x_i) F(x_{i1})) = sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x $$
现在，我们对比一下这个结果和定积分的黎曼和定义：
定积分：$int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$
我们得到的：$F(b) F(a) = sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x$
这里，$x_i^$ 是黎曼和中任意选取的点，而 $c_i$ 是由拉格朗日中值定理确定的特定点。虽然 $x_i^$ 和 $c_i$ 不一定相同，但是当 $n o infty$ 时，$Delta x o 0$。对于连续函数 $f$，当区间的长度趋于零时，在这个小区间内任意一点取的函数值，其乘积和极限都是一样的。更严谨地说，如果 $f$ 是连续的，那么 $lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x$ 确实等于 $int_a^b f(x) , dx$。
因此，通过拉格朗日中值定理，我们将 $F(b) F(a)$ 转换成了与黎曼和形式上非常相似的东西，并且在极限下，它就等同于定积分的值。
总结
牛顿莱布尼兹公式是微积分中最核心、最强大的工具之一。它揭示了微分（导数）和积分（求面积/累积）之间深刻的内在联系，使得计算定积分变得前所未有的简单和高效。一个是用求和求极限来逼近面积，另一个是用原函数的端点差来直接计算。而微积分基本定理就像一座桥梁，将这两者完美地连接起来。
理解这个公式，不仅是记住一个公式，更是理解微积分的核心思想：变化率与累积量之间的关系。希望以上解释能帮助你更深入地理解它！
公式长啥样？
首先，得把这个公式亮出来。牛顿莱布尼兹公式，或者说微积分基本定理的第一个形式，通常是这样写的：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
其中，$f(x)$ 是在一个区间 $[a, b]$ 上的连续函数，$F(x)$ 是 $f(x)$ 在这个区间上的一个原函数（也叫不定积分），也就是说 $F'(x) = f(x)$。
这公式到底在说啥？直观理解
别光看符号，我们得弄明白它在说什么。
左边：$int_a^b f(x) , dx$
这玩意儿代表什么？在我们初次接触定积分时，它就被定义为曲线下面积。想象一下，你有个函数 $f(x)$，画出它的图像，然后我们关注的是从 $x=a$ 到 $x=b$ 这段区间，在 x 轴上方，以及由 $x=a$ 和 $x=b$ 这两条垂直线和函数图像围成的那个区域的“有符号”面积。如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上是正的，那就是面积；如果 $f(x)$ 有负值，那么这部分贡献的就是负面积。
右边：$F(b) F(a)$
这代表的是什么？$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。你可以把 $F(x)$ 理解为累积量。假设 $f(x)$ 代表的是速度，那么 $F(x)$ 就代表在时间 $x$ 时刻所行驶的总路程。那么，$F(b)$ 就是在时间 $b$ 时刻的总路程，$F(a)$ 就是在时间 $a$ 时刻的总路程。$F(b) F(a)$ 自然就是从时间 $a$ 到时间 $b$ 这段时间内，行驶的路程的净变化量。
所以，牛顿莱布尼兹公式在说什么呢？
它巧妙地连接了两个看似不相关的东西：“累积”的概念（原函数）和“面积”的概念（定积分）。 它告诉我们，一个函数在某个区间上的累积变化量（也就是其原函数的端点差），等于这个函数在该区间上的“总和”或者“面积”。
这就像是说，你计算从家里到公司一天总共走了多少路（累积路程的变化），和你每天步行速度的累加（速度函数的积分）是完全一样的。
如何证明它？严谨的逻辑
理解了直观含义，我们就要进入证明环节了。证明的核心在于利用导数和积分之间的“互逆”关系。
证明思路一：利用积分的性质和导数的定义
我们知道，定积分有一个非常重要的性质：如果 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么我们可以定义一个变上限积分函数：
$$ G(x) = int_a^x f(t) , dt $$
其中 $x$ 是在 $[a, b]$ 区间内的一个变量，$a$ 是固定的下限。
现在，我们想知道这个函数 $G(x)$ 的导数是多少。也就是 $G'(x)$ 是多少。
根据导数的定义：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{G(x + Delta x) G(x)}{Delta x} $$
我们代入 $G(x)$ 的定义：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{int_a^{x+Delta x} f(t) , dt int_a^x f(t) , dt}{Delta x} $$
利用定积分的性质，$int_a^c f(t) , dt = int_a^b f(t) , dt + int_b^c f(t) , dt$，我们可以简化分子：
$$ int_a^{x+Delta x} f(t) , dt int_a^x f(t) , dt = int_x^{x+Delta x} f(t) , dt $$
所以，
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{int_x^{x+Delta x} f(t) , dt}{Delta x} $$
现在看分子 $int_x^{x+Delta x} f(t) , dt$。这是一个从 $x$ 到 $x+Delta x$ 的定积分。因为 $f(t)$ 在 $[a, b]$ 上是连续的，所以它在 $[x, x+Delta x]$ 这个很小的区间上也是连续的。
根据积分中值定理（这个定理本身也需要证明，但它是基于连续性和平均值的基本概念），对于任意连续函数 $f(t)$ 在闭区间 $[c, d]$ 上，存在一个点 $xi in [c, d]$，使得：
$$ int_c^d f(t) , dt = f(xi) cdot (dc) $$
把这个应用到我们的分子上，令 $c=x$，$d=x+Delta x$。那么存在一个 $xi$ 在 $x$ 和 $x+Delta x$ 之间（包括端点），使得：
$$ int_x^{x+Delta x} f(t) , dt = f(xi) cdot ((x+Delta x) x) = f(xi) cdot Delta x $$
代回 $G'(x)$ 的表达式：
$$ G'(x) = lim_{Delta x o 0} frac{f(xi) cdot Delta x}{Delta x} = lim_{Delta x o 0} f(xi) $$
当 $Delta x o 0$ 时，区间 $[x, x+Delta x]$ 的长度趋于零，而 $xi$ 在这个区间内，所以 $xi$ 也必然趋于 $x$。因为 $f$ 是连续的，所以当 $xi o x$ 时，$f(xi) o f(x)$。
因此，我们得到了一个非常重要的结果：
$$ G'(x) = f(x) $$
这意味着什么？这意味着我们定义的变上限积分函数 $G(x) = int_a^x f(t) , dt$ 是函数 $f(x)$ 的一个原函数！
好，现在我们知道 $G(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。又根据微积分基本定理的另一个形式（或者说它是这个公式的引理）：如果 $F(x)$ 和 $G(x)$ 都是 $f(x)$ 的原函数，那么它们之间只相差一个常数，即 $G(x) = F(x) + C$。
所以，我们可以写：
$$ int_a^x f(t) , dt = F(x) + C $$
现在，我们来确定这个常数 $C$。我们知道，当 $x=a$ 时，$int_a^a f(t) , dt = 0$（积分区间长度为零）。
所以，代入 $x=a$：
$$ 0 = F(a) + C $$
这说明 $C = F(a)$。
把 $C$ 代回到前面的等式中：
$$ int_a^x f(t) , dt = F(x) F(a) $$
这个公式对于区间 $[a, b]$ 中的任何 $x$ 都成立。现在，我们只需要把 $x$ 替换成 $b$：
$$ int_a^b f(t) , dt = F(b) F(a) $$
证毕！
证明思路二：利用“黎曼和”的视角
微积分基本定理也可以通过黎曼和来理解和证明。这个方法更加贴近定积分的“面积求和”的定义。
我们知道定积分可以表示为黎曼和的极限：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
其中 $Delta x = frac{ba}{n}$，$x_i^$ 是 $[x_{i1}, x_i]$ 区间上的任意一点，$x_i = a + iDelta x$。
现在考虑 $F(b) F(a)$。由于 $F'(x) = f(x)$，我们可以将 $F(b) F(a)$ 写成一个“差的连加”形式，这有点像“裂项相消”的思想：
$$ F(b) F(a) = (F(x_1) F(x_0)) + (F(x_2) F(x_1)) + dots + (F(x_n) F(x_{n1})) $$
其中 $x_0 = a, x_n = b$。
根据拉格朗日中值定理（ এটাও需要证明，但它是导数的基本性质），对于函数 $F(x)$ 在闭区间 $[x_{i1}, x_i]$ 上，存在一点 $c_i in (x_{i1}, x_i)$，使得：
$$ F(x_i) F(x_{i1}) = F'(c_i) (x_i x_{i1}) $$
由于 $F'(x) = f(x)$，所以：
$$ F(x_i) F(x_{i1}) = f(c_i) Delta x $$
其中 $Delta x = x_i x_{i1}$ 是我们之前定义的区间长度。
将这个代入到 $F(b) F(a)$ 的连加表达式中：
$$ F(b) F(a) = sum_{i=1}^n (F(x_i) F(x_{i1})) = sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x $$
现在，我们对比一下这个结果和定积分的黎曼和定义：
定积分：$int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x$
我们得到的：$F(b) F(a) = sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x$
这里，$x_i^$ 是黎曼和中任意选取的点，而 $c_i$ 是由拉格朗日中值定理确定的特定点。虽然 $x_i^$ 和 $c_i$ 不一定相同，但是当 $n o infty$ 时，$Delta x o 0$。对于连续函数 $f$，当区间的长度趋于零时，在这个小区间内任意一点取的函数值，其乘积和极限都是一样的。更严谨地说，如果 $f$ 是连续的，那么 $lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x$ 确实等于 $int_a^b f(x) , dx$。
因此，通过拉格朗日中值定理，我们将 $F(b) F(a)$ 转换成了与黎曼和形式上非常相似的东西，并且在极限下，它就等同于定积分的值。
总结
牛顿莱布尼兹公式是微积分中最核心、最强大的工具之一。它揭示了微分（导数）和积分（求面积/累积）之间深刻的内在联系，使得计算定积分变得前所未有的简单和高效。一个是用求和求极限来逼近面积，另一个是用原函数的端点差来直接计算。而微积分基本定理就像一座桥梁，将这两者完美地连接起来。
理解这个公式，不仅是记住一个公式，更是理解微积分的核心思想：变化率与累积量之间的关系。希望以上解释能帮助你更深入地理解它！
网友意见
既然已经有用积分上限函数的证明了我就贴个别的吧
注:F(x)的存在性可以从f(x)连续得到，但这涉及可积性的知识，为了不节外生枝，这里直接把其存在性作为条件了
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