如何证明方程 x³＋y³＝2020 没有整数解？
要证明方程 $x³＋y³＝2020$ 没有整数解，我们可以尝试从模运算的角度来分析。
核心思路：
如果一个方程在某个模数下无解，那么它在整数域内也无解。我们会寻找一个合适的模数，使得方程在模该数时产生矛盾。
步骤一：观察方程的结构和目标
方程是 $x³＋y³＝2020$。我们想要证明不存在整数 $x$ 和 $y$ 使得这个等式成立。
步骤二：选择一个合适的模数
在处理立方和的问题时，模数 9 是一个非常常见的并且有用的工具。这是因为任何整数的立方模 9 的值都非常有限。
让我们来计算一下所有整数的立方模 9 的值：
$0³ equiv 0 pmod{9}$
$1³ equiv 1 pmod{9}$
$2³ = 8 equiv 1 pmod{9}$
$3³ = 27 equiv 0 pmod{9}$
$4³ = 64 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $64 = 7 imes 9 + 1$)
$5³ = 125 equiv 8 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $125 = 13 imes 9 + 8$)
$6³ = 216 equiv 0 pmod{9}$ (因为 $216 = 24 imes 9$)
$7³ = 343 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $343 = 38 imes 9 + 1$)
$8³ = 512 equiv 8 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $512 = 56 imes 9 + 8$)
注意到，任何整数 $n$ 的立方模 9 的值只能是 0, 1, 或 1 (也就是 8)。
步骤三：分析方程的模 9 值
现在，我们将原方程 $x³＋y³＝2020$ 放到模 9 的环境下进行分析。
首先，计算 2020 模 9 的值：
$2020 = 2016 + 4 = 9 imes 224 + 4$
所以，$2020 equiv 4 pmod{9}$。
因此，原方程在模 9 下可以写成：
$x³ ＋ y³ equiv 4 pmod{9}$
步骤四：列出 $x³ ＋ y³$ 在模 9 下的所有可能值
根据我们在步骤二中得到的结论， $x³$ 的模 9 值只能是 0, 1, 或 1。 $y³$ 的模 9 值也只能是 0, 1, 或 1。
我们来列出 $x³ ＋ y³$ 所有可能的模 9 值：
1. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + 0 equiv 0 pmod{9}$
2. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + 1 equiv 1 pmod{9}$
3. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + (1) equiv 1 pmod{9}$
4. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 0 equiv 1 pmod{9}$
5. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 1 equiv 2 pmod{9}$
6. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + (1) equiv 0 pmod{9}$
7. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 0 equiv 1 pmod{9}$
8. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 1 equiv 0 pmod{9}$
9. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + (1) equiv 2 pmod{9}$
综合以上所有情况， $x³ ＋ y³$ 在模 9 下可能的值只有：0, 1, 1, 2, 2。
也就是说，$x³ ＋ y³ pmod{9}$ 的结果只可能属于集合 ${0, 1, 2, 7, 8}$。
步骤五：得出矛盾，证明无解
我们在步骤三中得出，如果方程 $x³＋y³＝2020$ 有整数解，那么它必须满足 $x³ ＋ y³ equiv 4 pmod{9}$。
然而，我们在步骤四中证明了，对于任何整数 $x$ 和 $y$， $x³ ＋ y³$ 的模 9 值不可能是 4。
由于方程在模 9 下没有解，这意味着原方程 $x³＋y³＝2020$ 在整数域内也绝对不可能有解。
总结：
通过将方程转化为模 9 的同余式，并分析出立方和在模 9 下的所有可能值，我们发现 $x³ + y³$ 的模 9 值永远不可能等于 2020 的模 9 值（即 4）。这个矛盾直接证明了原方程没有整数解。
核心思路：
如果一个方程在某个模数下无解，那么它在整数域内也无解。我们会寻找一个合适的模数，使得方程在模该数时产生矛盾。
步骤一：观察方程的结构和目标
方程是 $x³＋y³＝2020$。我们想要证明不存在整数 $x$ 和 $y$ 使得这个等式成立。
步骤二：选择一个合适的模数
在处理立方和的问题时，模数 9 是一个非常常见的并且有用的工具。这是因为任何整数的立方模 9 的值都非常有限。
让我们来计算一下所有整数的立方模 9 的值：
$0³ equiv 0 pmod{9}$
$1³ equiv 1 pmod{9}$
$2³ = 8 equiv 1 pmod{9}$
$3³ = 27 equiv 0 pmod{9}$
$4³ = 64 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $64 = 7 imes 9 + 1$)
$5³ = 125 equiv 8 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $125 = 13 imes 9 + 8$)
$6³ = 216 equiv 0 pmod{9}$ (因为 $216 = 24 imes 9$)
$7³ = 343 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $343 = 38 imes 9 + 1$)
$8³ = 512 equiv 8 equiv 1 pmod{9}$ (因为 $512 = 56 imes 9 + 8$)
注意到，任何整数 $n$ 的立方模 9 的值只能是 0, 1, 或 1 (也就是 8)。
步骤三：分析方程的模 9 值
现在，我们将原方程 $x³＋y³＝2020$ 放到模 9 的环境下进行分析。
首先，计算 2020 模 9 的值：
$2020 = 2016 + 4 = 9 imes 224 + 4$
所以，$2020 equiv 4 pmod{9}$。
因此，原方程在模 9 下可以写成：
$x³ ＋ y³ equiv 4 pmod{9}$
步骤四：列出 $x³ ＋ y³$ 在模 9 下的所有可能值
根据我们在步骤二中得到的结论， $x³$ 的模 9 值只能是 0, 1, 或 1。 $y³$ 的模 9 值也只能是 0, 1, 或 1。
我们来列出 $x³ ＋ y³$ 所有可能的模 9 值：
1. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + 0 equiv 0 pmod{9}$
2. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + 1 equiv 1 pmod{9}$
3. $x³ equiv 0 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 0 + (1) equiv 1 pmod{9}$
4. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 0 equiv 1 pmod{9}$
5. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 1 equiv 2 pmod{9}$
6. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + (1) equiv 0 pmod{9}$
7. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 0 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 0 equiv 1 pmod{9}$
8. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + 1 equiv 0 pmod{9}$
9. $x³ equiv 1 pmod{9}$, $y³ equiv 1 pmod{9}$ => $x³ ＋ y³ equiv 1 + (1) equiv 2 pmod{9}$
综合以上所有情况， $x³ ＋ y³$ 在模 9 下可能的值只有：0, 1, 1, 2, 2。
也就是说，$x³ ＋ y³ pmod{9}$ 的结果只可能属于集合 ${0, 1, 2, 7, 8}$。
步骤五：得出矛盾，证明无解
我们在步骤三中得出，如果方程 $x³＋y³＝2020$ 有整数解，那么它必须满足 $x³ ＋ y³ equiv 4 pmod{9}$。
然而，我们在步骤四中证明了，对于任何整数 $x$ 和 $y$， $x³ ＋ y³$ 的模 9 值不可能是 4。
由于方程在模 9 下没有解，这意味着原方程 $x³＋y³＝2020$ 在整数域内也绝对不可能有解。
总结：
通过将方程转化为模 9 的同余式，并分析出立方和在模 9 下的所有可能值，我们发现 $x³ + y³$ 的模 9 值永远不可能等于 2020 的模 9 值（即 4）。这个矛盾直接证明了原方程没有整数解。
网友意见
方法一:
假如方程有整数解.
1)显然,x,y同为奇数或者同为偶数,如果同为偶数,则 ,这不成立,故x,y同为奇数
2)有 . ,从而 都是正整数.因为x,y同为奇数,故 ,进而 1或5或101或505
3)因为x,y都是奇数且 ,故其中一个其中一个模4余1另一个模4余3,也即是模4余-1,进而 ,但1,5,101,505都模4余1,所以这不可能.
结论:假设不成立,上述方程无整数解.
2022.02.21 16:46 更新
有好几个人提到取模7和模9的办法,这两种做法对于关于整数的立方的问题确实更加有效,并且更加具有一般性.一并整理并更新如下.
方法二(模7法):
引理1. 对任意正整数n,有 .
证明. 若n能被7整除,显然 ,若n不能被7整除,由Fermat小定理,有 . 引理1得证.
对于原方程两边模7,有 ,但由引理1, 都模7余0或1或-1,易知这是不可能的,原方程无整数解.
方法三(模9法):
引理2. 对任意整数n,有 .
证明. 若n=3m,此时有 .若 ,有 ,有 .引理2得证.
对于原方程两边模9,有 ,但由引理2, 都模9余0或1或-1,易知这是不可能的,原方程无整数解.
一不做二不休,再来更新一种采用不等式估计的方法.
方法四(不等式估计):
因为
所以
因为所以
又 ,同时因为x+y是个偶数,所以x+y=4或者x+y=20.
若x+y=4,代入(1)式,有 ,继续求解一元二次方程可知x和y都不是整数
若x+y=20,代入(1)式,有 ,显然x和y都不是整数.原方程无整数解.
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