如何证明能量守恒定律？
要证明能量守恒定律，这可不是一件简单的事。它不是某个实验一蹴而就的产物，而是人类几百年来对自然现象观察、思考、总结的集大成者。我们无法像证明数学定理那样，通过几条公理推导出能量守恒，但我们可以通过理解和分析一系列相互关联的物理现象，来建立起对其的深刻认知和高度信任。
不妨从一个大家都能理解的场景入手：一个落下的苹果。
当我们看到苹果从树上掉下来，它在运动过程中发生了什么？
1. 最初的状态： 苹果在树枝上，相对于地面静止。它虽然没动，但因为它在地球引力场中，所以拥有重力势能。你可以想象成它被“储藏”了一定的能力。
2. 下落过程： 苹果开始下落，速度越来越快。这时，它在运动，所以拥有了动能。同时，随着高度降低，它的重力势能也在减小。
3. 落地瞬间（理想情况）： 假设苹果落在柔软的草地上，没有发生剧烈的形变或碎裂。它落地后停止运动，动能为零。这时，它的重力势能也达到了最低点（如果我们将地面设为零势能点）。
问题来了： 那么，苹果下落过程中消失的势能去哪儿了？它转化成了动能。落地后，动能又似乎“消失”了。但我们知道，能量是不会凭空消失的。
这里的“消失”是因为我们初步的观察还不够细致。实际上：
地面与苹果的相互作用： 当苹果撞击地面时，地面和苹果都会发生微小的形变。这种形变储存了弹性势能。
声波的产生： 撞击时还会发出声音，这是声能。
热量的产生： 摩擦（空气阻力）和撞击都会产生热量，即内能的增加。
如果我们将所有这些形式的能量都考虑进去，你会发现：苹果在树枝上的初始势能，在下落过程中，一部分转化为动能，另一部分因为空气阻力转化为了热能。落地时，动能又转化为了弹性势能、声能和更多的热能。最终，如果仔细测量，你会发现所有这些能量加起来，总和与苹果最初拥有的势能是相等的。
这就是能量守恒的初步体现：能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量保持不变。
更广泛的视角：功与能的转化
我们用更严谨的物理概念来审视这个问题。能量守恒定律，或者说热力学第一定律，其核心思想是：
在一个孤立系统中，能量的总量是恒定的。它既不会凭空产生，也不会凭空消失，只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体传递到另一个物体。
这里的“孤立系统”是关键。一个孤立系统是指不与外界发生能量交换的系统。在现实世界中，完全孤立的系统很难找到，但我们可以通过巧妙的实验设计来近似地模拟孤立系统。
让我们回到“功”这个概念。在物理学中，“功”是力和物体在力的方向上移动的距离的乘积。当我们对一个物体做功，我们就向它传递了能量。
例如，用手推箱子： 你施加一个力，箱子向前移动。你对箱子做了功，你的能量（化学能转化而来）传递给了箱子，使得箱子获得了动能。
能量守恒定律告诉我们，这个传递出去的能量，并没有消失，而是以动能的形式存在于箱子中。如果箱子最终停下来，这个动能又会转化为热能（摩擦）或声能等。
历史的印证：从几个“消失”的能量形式到统一的定律
能量守恒定律并非一日建成，它经历了漫长的发展过程，是无数科学家智慧的结晶。在能量守恒定律被普遍接受之前，许多现象似乎都在挑战着“能量”的概念：
18世纪：热力学早期。 人们普遍认为热是一种流质，叫做“热素”。但这个理论无法解释为什么摩擦生热，也无法解释有些物体吸热而不升温，有些则升温很快。
詹姆斯·焦耳的贡献（19世纪中期）： 这是能量守恒定律发展中的一个里程碑。焦耳通过一系列精巧的实验，证明了机械能和热能是可以相互转化的。
焦耳的实验之一： 他设计了一个装置，让一个重物下落，驱动一个搅拌器在水中旋转。重物下落消耗了重力势能，转化成了动能，最终通过摩擦和搅拌，将能量传递给了水，使水的温度升高。他精确地测量了重物下落的高度、水的质量和温度升高值，并得出了一个焦耳当量——将一定量的水升高1摄氏度所需的机械功。这明确地建立了机械功和热量之间的定量关系，表明它们都属于“能量”的不同表现形式。
焦耳还通过电阻实验： 当电流通过电阻时，电阻会发热。这种电能转化为热能的现象，同样可以用能量守恒来解释。
迈尔和亥姆霍兹的贡献： 在焦耳工作的同时或稍早，德国的迈尔和亥姆霍兹也独立地提出了能量守恒的思想，并从生物学和化学的角度进行了论证。例如，生物体的活动（如肌肉收缩）消耗食物中的化学能，转化为机械能和热能。
这些工作共同指向一个结论：无论是机械能、热能、化学能、电能、光能、声能，它们都是能量的不同形式，并且它们之间可以相互转化，但总量是恒定的。
动能定理与势能概念的完善
为了更清晰地表述能量守恒定律，我们引入了“动能定理”和“势能”的概念。
动能定理： 物体动能的变化等于合外力对物体所做的净功。
$ Delta E_k = W_{net} $
其中 $E_k = frac{1}{2}mv^2$ 是动能，$W_{net}$ 是合外力做的净功。
势能： 势能是物体在特定力的作用下，由于其位置或状态而具有的能量。例如，重力势能 $E_p = mgh$ 是由于物体在重力场中的高度而储存的能量。当物体下降时，重力做正功，势能减小，这部分减少的势能转化成了动能。
更重要的是，对于保守力（如重力、弹簧的弹力），我们可以定义一个与它们相关的势能。当物体在保守力作用下运动时，保守力做的功等于势能的减少量：
$ W_{conservative} = Delta E_p $
能量守恒的数学表达（只考虑保守力和动能）：
在一个只受保守力作用的系统中，根据动能定理：
$ Delta E_k = W_{net} $
如果合外力中只有保守力做功，$W_{net} = W_{conservative}$
那么 $ Delta E_k = W_{conservative} = Delta E_p $
将 $ Delta E_k $ 和 $ Delta E_p $ 移项：
$ Delta E_k + Delta E_p = 0 $
这意味着 $ E_k + E_p = ext{constant} $
即 机械能（动能与势能之和）守恒。
非保守力的作用与“广义能量守恒”
然而，现实世界中，我们还会遇到非保守力，比如摩擦力、空气阻力。这些力在运动过程中会产生热量等耗散，使得机械能不守恒。但能量守恒定律并没有失效，它只是要求我们将能量的来源和去向都考虑清楚。
当存在非保守力时，动能定理可以写成：
$ Delta E_k = W_{conservative} + W_{nonconservative} $
用势能表示保守力做的功：
$ Delta E_k = Delta E_p + W_{nonconservative} $
移项后得到：
$ Delta E_k + Delta E_p = W_{nonconservative} $
这里的 $ Delta E_k + Delta E_p $ 就是机械能的变化。非保守力做的功 $W_{nonconservative}$ 最终会转化为其他形式的能量（如热能）。
所以，更完整的能量守恒定律可以这样理解：
系统内的总能量（包括动能、势能、内能、化学能、电能等等）在不与外界交换能量时是守恒的。如果系统有外部能量输入或输出，那么这些能量的交换也遵循守恒。
更普遍的表述是：
$ Delta E_{total} = Delta E_k + Delta E_p + Delta U + Delta E_{chem} + dots = 0 $ （对于孤立系统）
为什么我们如此确信能量守恒定律？
证明一个定律，最终依赖于它的普适性和解释力。
1. 无数次的实验验证： 从焦耳的实验到现代高能物理实验，能量守恒定律经过了无数次严苛的检验，从未被违背过。从微观粒子的碰撞，到宏观天体的运动，能量守恒都得到了体现。
2. 解释力强： 这个定律能够解释从最简单的机械运动到复杂的化学反应、核反应，乃至宇宙的演化等各种自然现象。它提供了一个统一的框架来理解能量的转化和传递。
3. 理论的基石： 能量守恒定律是现代物理学（包括经典力学、热力学、电动力学、量子力学和相对论）的基石之一。没有它，许多理论将无法建立。例如，量子力学中的薛定谔方程就蕴含了能量守恒的思想。
4. 诺特定理的联系： 在更抽象的数学物理框架下，能量守恒定律与时间平移对称性密切相关。诺特定理指出，任何物理定律中的对称性都对应着一个守恒量。时间是均匀流逝的（时间平移对称），对应着能量的守恒。
所以，与其说“证明”能量守恒定律，不如说我们通过持续的观察、实验和理论构建，对其的真实性建立了极高的确定性。它就像是描述宇宙运行规则的一条最基本、最可靠的原则。我们无法“证明”它之所以成立，就像我们无法“证明”为什么会有时间和空间一样。我们只能认识到，所有我们遇到的现象都遵循着这条规律，并且这条规律能够完美地解释和预测这些现象。这本身就是最强有力的“证明”。
从一个落下的苹果，到宇宙的星辰大海，能量守恒定律无处不在，它如同宇宙的呼吸，稳定而恒久。它不是某个单一的公式，而是对自然界最深刻的洞察之一。
不妨从一个大家都能理解的场景入手：一个落下的苹果。
当我们看到苹果从树上掉下来，它在运动过程中发生了什么？
1. 最初的状态： 苹果在树枝上，相对于地面静止。它虽然没动，但因为它在地球引力场中，所以拥有重力势能。你可以想象成它被“储藏”了一定的能力。
2. 下落过程： 苹果开始下落，速度越来越快。这时，它在运动，所以拥有了动能。同时，随着高度降低，它的重力势能也在减小。
3. 落地瞬间（理想情况）： 假设苹果落在柔软的草地上，没有发生剧烈的形变或碎裂。它落地后停止运动，动能为零。这时，它的重力势能也达到了最低点（如果我们将地面设为零势能点）。
问题来了： 那么，苹果下落过程中消失的势能去哪儿了？它转化成了动能。落地后，动能又似乎“消失”了。但我们知道，能量是不会凭空消失的。
这里的“消失”是因为我们初步的观察还不够细致。实际上：
地面与苹果的相互作用： 当苹果撞击地面时，地面和苹果都会发生微小的形变。这种形变储存了弹性势能。
声波的产生： 撞击时还会发出声音，这是声能。
热量的产生： 摩擦（空气阻力）和撞击都会产生热量，即内能的增加。
如果我们将所有这些形式的能量都考虑进去，你会发现：苹果在树枝上的初始势能，在下落过程中，一部分转化为动能，另一部分因为空气阻力转化为了热能。落地时，动能又转化为了弹性势能、声能和更多的热能。最终，如果仔细测量，你会发现所有这些能量加起来，总和与苹果最初拥有的势能是相等的。
这就是能量守恒的初步体现：能量可以从一种形式转化为另一种形式，但总能量保持不变。
更广泛的视角：功与能的转化
我们用更严谨的物理概念来审视这个问题。能量守恒定律，或者说热力学第一定律，其核心思想是：
在一个孤立系统中，能量的总量是恒定的。它既不会凭空产生，也不会凭空消失，只会从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体传递到另一个物体。
这里的“孤立系统”是关键。一个孤立系统是指不与外界发生能量交换的系统。在现实世界中，完全孤立的系统很难找到，但我们可以通过巧妙的实验设计来近似地模拟孤立系统。
让我们回到“功”这个概念。在物理学中，“功”是力和物体在力的方向上移动的距离的乘积。当我们对一个物体做功，我们就向它传递了能量。
例如，用手推箱子： 你施加一个力，箱子向前移动。你对箱子做了功，你的能量（化学能转化而来）传递给了箱子，使得箱子获得了动能。
能量守恒定律告诉我们，这个传递出去的能量，并没有消失，而是以动能的形式存在于箱子中。如果箱子最终停下来，这个动能又会转化为热能（摩擦）或声能等。
历史的印证：从几个“消失”的能量形式到统一的定律
能量守恒定律并非一日建成，它经历了漫长的发展过程，是无数科学家智慧的结晶。在能量守恒定律被普遍接受之前，许多现象似乎都在挑战着“能量”的概念：
18世纪：热力学早期。 人们普遍认为热是一种流质，叫做“热素”。但这个理论无法解释为什么摩擦生热，也无法解释有些物体吸热而不升温，有些则升温很快。
詹姆斯·焦耳的贡献（19世纪中期）： 这是能量守恒定律发展中的一个里程碑。焦耳通过一系列精巧的实验，证明了机械能和热能是可以相互转化的。
焦耳的实验之一： 他设计了一个装置，让一个重物下落，驱动一个搅拌器在水中旋转。重物下落消耗了重力势能，转化成了动能，最终通过摩擦和搅拌，将能量传递给了水，使水的温度升高。他精确地测量了重物下落的高度、水的质量和温度升高值，并得出了一个焦耳当量——将一定量的水升高1摄氏度所需的机械功。这明确地建立了机械功和热量之间的定量关系，表明它们都属于“能量”的不同表现形式。
焦耳还通过电阻实验： 当电流通过电阻时，电阻会发热。这种电能转化为热能的现象，同样可以用能量守恒来解释。
迈尔和亥姆霍兹的贡献： 在焦耳工作的同时或稍早，德国的迈尔和亥姆霍兹也独立地提出了能量守恒的思想，并从生物学和化学的角度进行了论证。例如，生物体的活动（如肌肉收缩）消耗食物中的化学能，转化为机械能和热能。
这些工作共同指向一个结论：无论是机械能、热能、化学能、电能、光能、声能，它们都是能量的不同形式，并且它们之间可以相互转化，但总量是恒定的。
动能定理与势能概念的完善
为了更清晰地表述能量守恒定律，我们引入了“动能定理”和“势能”的概念。
动能定理： 物体动能的变化等于合外力对物体所做的净功。
$ Delta E_k = W_{net} $
其中 $E_k = frac{1}{2}mv^2$ 是动能，$W_{net}$ 是合外力做的净功。
势能： 势能是物体在特定力的作用下，由于其位置或状态而具有的能量。例如，重力势能 $E_p = mgh$ 是由于物体在重力场中的高度而储存的能量。当物体下降时，重力做正功，势能减小，这部分减少的势能转化成了动能。
更重要的是，对于保守力（如重力、弹簧的弹力），我们可以定义一个与它们相关的势能。当物体在保守力作用下运动时，保守力做的功等于势能的减少量：
$ W_{conservative} = Delta E_p $
能量守恒的数学表达（只考虑保守力和动能）：
在一个只受保守力作用的系统中，根据动能定理：
$ Delta E_k = W_{net} $
如果合外力中只有保守力做功，$W_{net} = W_{conservative}$
那么 $ Delta E_k = W_{conservative} = Delta E_p $
将 $ Delta E_k $ 和 $ Delta E_p $ 移项：
$ Delta E_k + Delta E_p = 0 $
这意味着 $ E_k + E_p = ext{constant} $
即 机械能（动能与势能之和）守恒。
非保守力的作用与“广义能量守恒”
然而，现实世界中，我们还会遇到非保守力，比如摩擦力、空气阻力。这些力在运动过程中会产生热量等耗散，使得机械能不守恒。但能量守恒定律并没有失效，它只是要求我们将能量的来源和去向都考虑清楚。
当存在非保守力时，动能定理可以写成：
$ Delta E_k = W_{conservative} + W_{nonconservative} $
用势能表示保守力做的功：
$ Delta E_k = Delta E_p + W_{nonconservative} $
移项后得到：
$ Delta E_k + Delta E_p = W_{nonconservative} $
这里的 $ Delta E_k + Delta E_p $ 就是机械能的变化。非保守力做的功 $W_{nonconservative}$ 最终会转化为其他形式的能量（如热能）。
所以，更完整的能量守恒定律可以这样理解：
系统内的总能量（包括动能、势能、内能、化学能、电能等等）在不与外界交换能量时是守恒的。如果系统有外部能量输入或输出，那么这些能量的交换也遵循守恒。
更普遍的表述是：
$ Delta E_{total} = Delta E_k + Delta E_p + Delta U + Delta E_{chem} + dots = 0 $ （对于孤立系统）
为什么我们如此确信能量守恒定律？
证明一个定律，最终依赖于它的普适性和解释力。
1. 无数次的实验验证： 从焦耳的实验到现代高能物理实验，能量守恒定律经过了无数次严苛的检验，从未被违背过。从微观粒子的碰撞，到宏观天体的运动，能量守恒都得到了体现。
2. 解释力强： 这个定律能够解释从最简单的机械运动到复杂的化学反应、核反应，乃至宇宙的演化等各种自然现象。它提供了一个统一的框架来理解能量的转化和传递。
3. 理论的基石： 能量守恒定律是现代物理学（包括经典力学、热力学、电动力学、量子力学和相对论）的基石之一。没有它，许多理论将无法建立。例如，量子力学中的薛定谔方程就蕴含了能量守恒的思想。
4. 诺特定理的联系： 在更抽象的数学物理框架下，能量守恒定律与时间平移对称性密切相关。诺特定理指出，任何物理定律中的对称性都对应着一个守恒量。时间是均匀流逝的（时间平移对称），对应着能量的守恒。
所以，与其说“证明”能量守恒定律，不如说我们通过持续的观察、实验和理论构建，对其的真实性建立了极高的确定性。它就像是描述宇宙运行规则的一条最基本、最可靠的原则。我们无法“证明”它之所以成立，就像我们无法“证明”为什么会有时间和空间一样。我们只能认识到，所有我们遇到的现象都遵循着这条规律，并且这条规律能够完美地解释和预测这些现象。这本身就是最强有力的“证明”。
从一个落下的苹果，到宇宙的星辰大海，能量守恒定律无处不在，它如同宇宙的呼吸，稳定而恒久。它不是某个单一的公式，而是对自然界最深刻的洞察之一。
网友意见
物理学是一门实验科学。
定律不是定理。
这些，是基本原则。是每一个物理学工作者和非物理学工作者的基本科学常识。
从任何角度来讲，能量守恒定律是不能被证明的。它只能被实验验证，被理论认做是定律。
——————————
附：其实确切来讲，经典力学里面的能量守恒已经被相对论推翻了，不是吗？这以后就叫做质能守恒了。
——————————
威望甚高的回答者 张浩 以诺特定理复能量守恒“证明”题，是非常令人惊讶和遗憾的。既然提到了，多说几句无妨。
诺特定理所代表的是一种观点，即现代物理学界认为对称性比守恒律更加基础。每一种连续对称性都对应了一个守恒量，这是诺特定理的含义。定理不是定律，这是可证的。时间平移对称性对应了能量守恒。
然而，“世界是时间平移对称的”，就和“能量是守恒的”一样的，是物理定律，是不可以被证明的。
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