目前 x³＋y³＋z³＝42（x、y、z 均为整数）是怎么求解的？
最早，人们发现了一些看起来很自然的整数解。比如：
1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 （不是42）
1³ + 1³ + 1³ = 3 （不是42）
(1)³ + (2)³ + (3)³ = 1 8 27 = 36 （也不是42）
看上去，好像正数和负数可以相互抵消，但要精确地凑出42，就不是那么容易了。
问题设置的“魔鬼”之处：
这道题之所以难，在于三个立方数的和为42。我们知道，任何整数的立方除以9的余数只能是0、1或1（即8）。让我们来看看：
如果一个数是3的倍数，比如3k，那么 (3k)³ = 27k³，除以9余0。
如果一个数是3k+1，那么 (3k+1)³ = 27k³ + 27k² + 9k + 1，除以9余1。
如果一个数是3k+2（或者等价于3k1），那么 (3k1)³ = 27k³ 27k² + 9k 1，除以9余1（或者说8）。
所以，x³，y³，z³ 除以9的余数只能是0, 1, 8中的一种。那么，x³＋y³＋z³ 除以9的余数可能的组合有哪些呢？
0+0+0 = 0
0+0+1 = 1
0+0+8 = 8
0+1+1 = 2
0+1+8 = 9 ≡ 0 (mod 9)
0+8+8 = 16 ≡ 7 (mod 9)
1+1+1 = 3
1+1+8 = 10 ≡ 1 (mod 9)
1+8+8 = 17 ≡ 8 (mod 9)
8+8+8 = 24 ≡ 6 (mod 9)
可以看到，x³＋y³＋z³ 除以9的余数 不可能是 2, 4, 5。
现在来看看目标数42。42 除以9等于4余6，即 42 ≡ 6 (mod 9)。
根据上面的分析，当 x³＋y³＋z³ 除以9的余数为6时，唯一可能的组合是 x³≡8 (mod 9), y³≡8 (mod 9), z³≡8 (mod 9)。这意味着x, y, z 本身都必须是形如 3k1 的数，也就是说，它们都不能被3整除，而且余数都是2（或者说1）。
这个关于模9的性质并没有完全排除解的存在，只是给出了一些线索。然而，要找到具体的整数解，这只是一个微小的开端。
搜索的困难：
如果你尝试随机代入一些整数，你会发现情况变得越来越复杂。随着数字的增大，立方数的增长速度非常快。如果x, y, z都比较大的话，它们的立方和也很快会超过42。
例如：
4³ = 64 (已经大于42了)
3³ = 27
2³ = 8
1³ = 1
所以，如果x, y, z 都是正整数，那么它们的大小都不能太大。最大的数不能超过3（因为4³就太大了）。
如果考虑正负整数，情况就复杂得多。你可能需要尝试：
一个大正数，两个负数
两个大正数，一个负数
一个正数，一个负数，一个零（或者其他小正负数）
想象一下，要穷举所有的可能组合，即使限定在一个范围内，也是一个巨大的计算量。
历史上的攻坚：
对于“k = x³+y³+z³”这个问题，数学家们很早就知道，对于模9余数不是2, 4, 5的k，原则上存在整数解。而对于42这个数字，尽管它通过了模9的检验（余数为6），但找到具体的解却异常困难，困扰了数学界很多年。
直到最近，大约是2019年的时候，这个问题才真正被攻克。这是通过大规模的计算机搜索实现的，而且需要非常精妙的算法和强大的计算资源。
求解的实质：
这里的“求解”并不是一个可以手算出来、像解二次方程那样有明确公式的步骤。它本质上是一个 计算搜索 的过程。
1. 理论基础： 首先，数学家们需要证明，在理论上，确实可能存在整数解。模9的性质在这方面提供了重要的信息，虽然它不能直接给出解，但排除了大量不可能的k值。
2. 算法设计： 关键在于设计一个能够高效搜索解的算法。直接暴力搜索是不可行的。通常会结合以下思想：
有理数解的引申： 虽然题目要求整数解，但相关的研究也会涉及到有理数解，有时可以通过有理数解的方法找到一些线索。
特定形式的搜索： 可能会专注于搜索形如 (a, b, c) 的解，其中a, b, c具有某种特殊关系，或者在一定的计算范围内。
“三数和”问题的变种： “三数和”问题有许多变种，如Arthur Benjamin等人在1990年提出的一个重要猜想，认为除了模9余数为2, 4, 5的k值，其他k值都能表示成三个整数的立方和。42是最后一个被证明有解的小于100的数。
3. 大规模计算： 找到42的解，需要利用超级计算机进行长时间的计算。搜索的范围可能非常广阔，需要考虑的整数对的数量是天文数字。
最终的解：
经过多年的努力，在2019年，由Andrew Booker和Andrew Sutherland领导的团队，最终通过利用庞大的计算网络（包括普通人的电脑资源），找到了42的解。
他们发现的解是：
x = 80538738812075974
y = 80435758145817515
z = 12602123297335631
你可以尝试将这些数字的立方相加。你会发现它们精确地等于42。
为什么这需要如此巨大的计算？
解的分布： 尽管理论上存在解，但这些解可能“稀疏”地分布在巨大的整数空间中。这意味着你需要搜索很广的范围才能找到它们。
数值爆炸： 即使是相对较小的数字，它们的立方也会非常大。要计算 (80538738812075974)³ 这类数字的立方，然后进行加法，需要高精度的计算能力。
搜索策略的优化： 如何有效地缩小搜索范围，或者设计一种更聪明的搜索策略，是计算机科学和数论结合的挑战。
总结一下，求解 x³＋y³＋z³＝42 的过程，与其说是我们平常理解的“解方程”得到一个简单公式，不如说是一个通过精妙算法设计和强大计算能力验证的“搜索成功”的过程。这个过程本身就展示了数学研究的深度和现代计算科学的力量。
所以，没有一个简单的代数步骤可以直接得出这些巨大的数字。它的求解是计算数学在数论领域一个里程碑式的突破。
网友意见
这是宇宙终极数字“42”被破解！
在道格拉斯·亚当斯(Douglas Adams)撰写的《银河系漫游指南》中，虚构了一个生命、宇宙和一切终极问题的答案——42。一种拥有超级智慧的跨维度生物为了能找到解决宇宙终极问题最简单的答案，制造一台名字为“深思”的超级计算机，用了750万年的时间来处理这个问题，结果发现42是一个神秘的无解数值。后来这本书被拍成电影于2005年上映。
这个数字是怎么来的呢？
首先我们看一个问题，解方程：x^3 + y^3 + z^3 = k。
这个问题看似简单，但它是一个在数论领域长期存在的难题，它至少可追溯至 1825 年。
它是丢番图方程的一个例子，约1800年前古希腊的大数学家丢番图提出有一个或者几个变量的整系数方程，它们的求解仅仅在整数范围内进行。
说到丢番图，不得不说他的墓志铭 ，他把他的一生用一道代数题刻在了墓碑上，曾连续多年出现在各地中小学生的寒假作业上。
”坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。
上帝给予的童年占六分之一，
又过了十二分之一，两颊长胡，
再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。
终于告别数学，离开了人世。“
自上世纪80年代以来，数学家们一直在努力尝试k数值，并寻找适合的x、y、z数值，解开这个方程式。但是他们发现一些数字永远不会奏效，例如：k数值除以9余数为4或者5的数都不会有丢番图方程解，这是由于立方数模 9 同余 0、1 或 - 1，三立方数和模 9 不可能同余 4 或 5，因而这是整数解存在的一个必要条件。这排除了100之内的22个数，但其它78个数应当有相应的方程解，却有两个数一直困扰着科学家：33和42。
随着计算机技术的飞速发展,，运算能力越来越强大，使得一些不可能也变为了可能。
2019年2月，布里斯托大学数学教授安德鲁·布克(Andrew Booker)创建了一个算法，来寻找x^3 + y^3 + z^3 = k的解，该算法运行时涉及到10^16次数值，在算法运行几周后获得了33的答案：(8,866,128,975,287,528)^3 + (–8,778,405,442,862,239)^3 + (–2,736,111,468,807,040)^3 = 33。
2019年9月，来自麻省理工学院研究人员Andrew Sutherland和英国布里斯托尔大学的Andrew Booker合作进行了一项超长时间计算，他们使用了超100万小时的慈善引擎计算后，终于破解了42，（-80538738812075974）^3+80435758145817515^3+12602123297335631^3=42。
公益慈善机构的引擎是一个全球范围的超级计算机平台，利用了50多万台家用电脑闲置、未使用的计算能力，创建了一个众包、超级环保的平台，它完全由原本被浪费的产能打造而成。
于是下面这句话成为定理：
除了9n±4型自然数外，所有100以内的自然数都能写成三个整数的立方和。
这些计算有沈现实意义呢？丢番图方程被用于在各种算法的计算过程中，算出几个未知数组合成一个已知的值，比如椭圆曲线加密算法，在密码学中的应用可以加密保护比特币。有些数学问题看没意义， 但是随着科技发展，不定哪天就用到了，我们现在用的有意义的东西可能就是几百年前没意义的东西。
更新一下，我还在琢磨算法，有兴趣的同学可以从维基百科三立方数之和开始看起。
这是33的算法：https://people.maths.bris.ac.uk/~maarb/papers/cubesv1.pdf
看到好多同学对暴力法感兴趣，要不试试看？
33的结果告诉我们在 的范围内找不到42的解，那么我们枚举的范围最起码要在 的数量级上找，而且从已知的结果来看刚好在这个范围内。
x^3 + y^3 + z^3 = 42，等价于 z^3 =42-x^3 - y^3。
这样我们只需枚举 x 和 y，然后判断42-x^3 - y^3是不是完全立方数，可以少枚举一个数，降低运算次数。
难么我们的枚举范围就是[-10^17, 10^17] ，总共要枚举10^34次，每次枚举需要做的运算有五次：两次立方、两次减法、一次开立方根。
那么总共需要做5×10^34次运算。
这时候就需要用到我们的国之重器——神威·太湖之光，它的持续性能为9.3亿亿次/秒。
一年365天，一天24×60×60=86400秒。
需用时（5×10^34）/（9.3×10^16）秒。
即（5×10^34）/（9.3×10^16）/86400/365=1.7048×10^10年=170.48亿年。
地球多少岁来着？45.5亿年。
附上100以内三立方和的非零解（多种解法选取其中一个）
1 = (-1)³ + 1³ + 1³
2 = 7³ + (-5)³ + (-6)³
3 = 1³ + 1³ + 1³
4不可能
5不可能
6 = (-1)³ + (-1)³ + 2³
7 = 104³ + 32³ + (-105)³
8 = (-1)³ + 1³ + 2³
9 = 217³ + (-52)³ + (-216)³
10 = 1³ + 1³ + 2³
11 = (-2)³ + (-2)³ + 3³
12 = 7³ + 10³ + (-11)³
13不可能
14不可能
15 = (-1)³ + 2³ + 2³
16 = (-511)³ + (-1609)³ + 1626³
17 = 1³ + 2³ + 2³
18 = (-1)³ + (-2)³ + 3³
19 = 19³ + (-14)³ + (-16)³
20 = 1³ + (-2)³ + 3³
21 = (-11)³ + (-14)³ + 16³
22不可能
23不可能
24 = (-2901096694)³ + (-15550555555)³ + 15584139827³
25 = (-1)³ + (-1)³ + 3³
26 = 297³ + 161³ + (-312)³
27 = (-1)³ + 1³ + 3³
28 = 14³ + 13³ + (-17)³
29 = 1³ + 1³ + 3³
30 = (-283059965)³ + (-2218888517)³ + 2220422932³
31不可能
32不可能
33 = 8866128975287528³ + (-8778405442862239)³ + (-2736111468807040)³
34 = (-1)³ + 2³ + 3³
35 = 14³ + (-8)³ + (-13)³
36 = 1³ + 2³ + 3³
37 = 50³ + 37³ + (-56)³
38 = 1³ + (-3)³ + 4³
39 = 117367³ + 134476³ + (-159380)³
40不可能
41不可能
42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³
43 = 2³ + 2³ + 3³
44 = (-5)³ + (-7)³ + 8³
45 = 2³ + (-3)³ + 4³
46 = (-2)³ + 3³ + 3³
47 = 6³ + 7³ + (-8)³
48 = (-23)³ + (-26)³ + 31³
49不可能
50不可能
51 = 602³ + 659³ + (-796)³
52 = 23961292454³ + 60702901317³ + (-61922712865)³
53 = (-1)³ + 3³ + 3³
54 = (-7)³ + (-11)³ + 12³
55 = 1³ + 3³ + 3³
56 = (-11)³ + (-21)³ + 22³
57 = 1³ + (-2)³ + 4³
58不可能
59不可能
60 = (-1)³ + (-4)³ + 5³
61 = 845³ + 668³ + (-966)³
62 = 3³ + 3³ + 2³
63 = 7³ + (-4)³ + (-6)³
64 = (-1)³ + 1³ + 4³
65 = 91³ + 85³ + (-111)³
66 = 1³ + 1³ + 4³
67不可能
68不可能
69 = 2³ + (-4)³ + 5³
70 = 11³ + 20³ + (-21)³
71 = (-1)³ + 2³ + 4³
72 = 7³ + 9³ + (-10)³
73 = 1³ + 2³ + 4³
74 = (-284650292555885)³ + (66229832190556)³ + (283450105697727)³
75 = 4381159³ + 435203083³ + (-435203231)³
76不可能
77不可能
78 = 26³ + 53³ + (-55)³
79 = (-19)³ + (-33)³ + 35³
80 = 69241³ + 103532³ + (-112969)³
81 = 10³ + 17³ + (-18)³
82 = (-11)³ + (-11)³ + 14³
83 = (-2)³ + 3³ + 4³
84 = (-8241191)³ + (-41531726)³ + 41639611³
85不可能
86不可能
87 = (-1972)³ + (-4126)³ + 4271³
88 = 3³ + (-4)³ + 5³
89 = 6³ + 6³ + (-7)³
90 = (-1)³ + 3³ + 4³
91 = 364³ + 192³ + (-381)³
92 = 1³ + 3³ + 4³
93 = (-5)³ + (-5)³ + 7³
94不可能
95不可能
96 = 10853³ + 13139³ + (-15250)³
97 = (-1)³ + (-3)³ + 5³
98 = 14³ + 9³ + (-15)³
99 = 2³ + 3³ + 4³
100 = 7³ + (-3)³ + (-6)³
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