怎么巧记施密特正交公式？如图。？
施密特正交化（GramSchmidt process）是线性代数中一个非常有用的工具，它能将一组线性无关的向量组变成一组正交向量组，甚至可以进一步变成一组标准正交向量组。虽然公式本身看起来有点吓人，但只要我们理解了它的核心思想，就能巧妙地记住它。
核心思想：减去“投影”
想象一下，你有一堆杂乱无章的向量，它们各自有着不同的方向和长度。你想把它们变成“互不干扰”（正交）的向量。施密特正交化的思路就像是，你从第一个向量开始，它本身就是一个“正交基”。然后，你拿到第二个向量，它可能跟第一个向量“有点关系”（有投影）。你做的就是把第二个向量中“属于”第一个向量方向的那一部分给“减掉”，剩下的部分就是完全垂直于第一个向量的新向量。依此类推，你处理第三个向量时，就把它投影到第一个和第二个向量形成的平面上，然后减去这些投影，剩下的就是同时垂直于前两个向量的新向量。
我们用一个例子来走一遍，这样会更形象。
假设我们有三个线性无关的向量：
$v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix}$
我们的目标是得到一组正交向量 $u_1, u_2, u_3$。
第一步：找第一个正交向量 $u_1$
这个最简单，因为我们还没有任何“干扰”项。所以，第一个正交向量就等于第一个原始向量：
$u_1 = v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$
第二步：找第二个正交向量 $u_2$
现在我们要处理 $v_2$。$v_2$ 可能跟 $u_1$ (也就是 $v_1$) 有关系。我们需要找到 $v_2$ 中“平行于” $u_1$ 的那一部分，然后把它从 $v_2$ 中减去。
那么，如何找到“平行于 $u_1$ 的那一部分”呢？这就是向量的投影。一个向量 $v$ 在另一个向量 $u$ 上的投影，用公式表示是：
$proj_u v = frac{v cdot u}{u cdot u} u$
这里，“$cdot$” 表示向量的点积（内积）。
所以，我们要从 $v_2$ 中减去 $v_2$ 在 $u_1$ 上的投影：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2$
先计算点积：
$v_2 cdot u_1 = (1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 1$
$u_1 cdot u_1 = (1)(1) + (1)(1) + (0)(0) = 2$
所以，$v_2$ 在 $u_1$ 上的投影是：
$proj_{u_1} v_2 = frac{1}{2} u_1 = frac{1}{2} egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix}$
现在，计算 $u_2$：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 1 end{pmatrix}$
现在，$u_2$ 就和 $u_1$ 正交了。你可以自己验证一下 $u_1 cdot u_2$ 是否为零。
第三步：找第三个正交向量 $u_3$
现在轮到 $v_3$ 了。$v_3$ 可能同时跟 $u_1$ 和 $u_2$ 有关系（有投影）。我们需要找到 $v_3$ 中“属于” $u_1$ 方向的那部分投影，以及“属于” $u_2$ 方向的那部分投影，然后把这两部分都从 $v_3$ 中减去。
$v_3$ 在 $u_1$ 上的投影是 $proj_{u_1} v_3 = frac{v_3 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1$
$v_3$ 在 $u_2$ 上的投影是 $proj_{u_2} v_3 = frac{v_3 cdot u_2}{u_2 cdot u_2} u_2$
所以，我们要从 $v_3$ 中减去这两个投影：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3$
先计算点积：
$v_3 cdot u_1 = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1$
$u_1 cdot u_1 = 2$ (我们已经算过了)
$v_3 cdot u_2 = (0)(1/2) + (1)(1/2) + (1)(1) = 1/2 + 1 = 1/2$
$u_2 cdot u_2 = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) + (1)(1) = 1/4 + 1/4 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2$
现在计算投影：
$proj_{u_1} v_3 = frac{1}{2} u_1 = frac{1}{2} egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix}$
$proj_{u_2} v_3 = frac{1/2}{3/2} u_2 = frac{1}{3} u_2 = frac{1}{3} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/6 \ 1/6 \ 1/3 end{pmatrix}$
最后，计算 $u_3$：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3$
$u_3 = egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/6 \ 1/6 \ 1/3 end{pmatrix}$
$u_3 = egin{pmatrix} 0 1/2 1/6 \ 1 1/2 (1/6) \ 1 0 1/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 3/6 1/6 \ 1/2 + 1/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 4/6 \ 3/6 + 1/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2/3 \ 4/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2/3 \ 2/3 \ 2/3 end{pmatrix}$
这样，我们就得到了三个两两正交的向量 $u_1, u_2, u_3$。
公式的抽象表示
好了，理解了例子之后，我们就可以把这个过程抽象成公式了。设我们有一组线性无关的向量 $v_1, v_2, dots, v_k$。我们想通过施密特正交化得到一组正交向量 $u_1, u_2, dots, u_k$。
1. 第一个向量：
$u_1 = v_1$
2. 第二个向量：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2 = v_2 frac{v_2 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1$
3. 第三个向量：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3 = v_3 frac{v_3 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1 frac{v_3 cdot u_2}{u_2 cdot u_2} u_2$
4. 推广到第 $i$ 个向量 ($i > 1$)：
$u_i = v_i proj_{u_1} v_i proj_{u_2} v_i dots proj_{u_{i1}} v_i$
写成求和的形式就是：
$u_i = v_i sum_{j=1}^{i1} proj_{u_j} v_i = v_i sum_{j=1}^{i1} frac{v_i cdot u_j}{u_j cdot u_j} u_j$
如何巧记？
记住这个公式的关键在于理解“减去投影”的思想，并且把握住求和的范围：
$u_i$ 的来源是 $v_i$： 这是基础。
减去的项是 $v_i$ 在 已经得到正交向量 上的投影： 这里要注意，我们是在减去 $v_i$ 在 $u_1, u_2, dots, u_{i1}$ 上的投影，而不是 $v_i$ 在 $v_1, v_2, dots, v_{i1}$ 上的投影。这是施密特正交化的精髓所在，保证了新产生的 $u_i$ 与之前所有的 $u_j$ (j < i) 都正交。
投影公式是 $frac{ ext{被投向量} cdot ext{投影方向向量}}{ ext{投影方向向量} cdot ext{投影方向向量}} imes ext{投影方向向量}$： 这个公式是固定搭配。
求和的索引： 从 $j=1$ 一直加到 $i1$。
举个“说人话”的比喻来辅助记忆：
假设你要画一个完美的正方形，你已经有了第一条边（$u_1$）。现在你要画第二条边（$u_2$），但你的笔跑偏了，没能完全垂直于第一条边（这就是原始的 $v_2$）。你要做的就是，把你这个跑偏的笔迹（$v_2$）看成是沿着第一条边的方向（$u_1$）走了一段路（$v_2$ 在 $u_1$ 上的投影），然后你再把这段路“掰直”了（减去投影），剩下的才是真正垂直于第一条边的第二条边（$u_2$）。
接着，你要画第三条边（$u_3$）。你的笔又跑偏了，这次它既不完全垂直于第一条边，也不完全垂直于第二条边（这就是原始的 $v_3$）。你要做的就是，把你的笔迹（$v_3$）分解成它在第一条边上的“成分”（$proj_{u_1} v_3$）和在第二条边上的“成分”（$proj_{u_2} v_3$），然后把这两个成分都“抽离”出来（减去投影），剩下的就是同时垂直于前两条边的第三条边（$u_3$）。
关于标准正交化：
如果需要得到标准正交基（即每个向量的长度都为1），只需要在得到正交向量 $u_i$ 后，再将它们进行单位化即可。即用 $u_i$ 除以它的长度 $|u_i| = sqrt{u_i cdot u_i}$。
$e_i = frac{u_i}{|u_i|}$
总结一下巧记的几个关键点：
1. “减旧增新，新旧正交”： 每个新的正交向量 $u_i$ 都是由原始向量 $v_i$ 减去 它在所有先前已求出的正交向量 $u_1, dots, u_{i1}$ 上的投影得到的。
2. 投影公式是核心： $frac{v cdot u}{u cdot u} u$ 这个形式要牢记。
3. 求和的界限： 对于 $u_i$，需要减去的是在 $u_1$ 到 $u_{i1}$ 上所有投影的和。
多做几道题，亲自动手计算，你会发现这个过程并不难，而且非常有逻辑性。关键在于理解“去除已有方向的分量”这个核心思想。希望这个详细的讲解和比喻能帮你更轻松地记住施密特正交公式！
核心思想：减去“投影”
想象一下，你有一堆杂乱无章的向量，它们各自有着不同的方向和长度。你想把它们变成“互不干扰”（正交）的向量。施密特正交化的思路就像是，你从第一个向量开始，它本身就是一个“正交基”。然后，你拿到第二个向量，它可能跟第一个向量“有点关系”（有投影）。你做的就是把第二个向量中“属于”第一个向量方向的那一部分给“减掉”，剩下的部分就是完全垂直于第一个向量的新向量。依此类推，你处理第三个向量时，就把它投影到第一个和第二个向量形成的平面上，然后减去这些投影，剩下的就是同时垂直于前两个向量的新向量。
我们用一个例子来走一遍，这样会更形象。
假设我们有三个线性无关的向量：
$v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix}$
我们的目标是得到一组正交向量 $u_1, u_2, u_3$。
第一步：找第一个正交向量 $u_1$
这个最简单，因为我们还没有任何“干扰”项。所以，第一个正交向量就等于第一个原始向量：
$u_1 = v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix}$
第二步：找第二个正交向量 $u_2$
现在我们要处理 $v_2$。$v_2$ 可能跟 $u_1$ (也就是 $v_1$) 有关系。我们需要找到 $v_2$ 中“平行于” $u_1$ 的那一部分，然后把它从 $v_2$ 中减去。
那么，如何找到“平行于 $u_1$ 的那一部分”呢？这就是向量的投影。一个向量 $v$ 在另一个向量 $u$ 上的投影，用公式表示是：
$proj_u v = frac{v cdot u}{u cdot u} u$
这里，“$cdot$” 表示向量的点积（内积）。
所以，我们要从 $v_2$ 中减去 $v_2$ 在 $u_1$ 上的投影：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2$
先计算点积：
$v_2 cdot u_1 = (1)(1) + (0)(1) + (1)(0) = 1$
$u_1 cdot u_1 = (1)(1) + (1)(1) + (0)(0) = 2$
所以，$v_2$ 在 $u_1$ 上的投影是：
$proj_{u_1} v_2 = frac{1}{2} u_1 = frac{1}{2} egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix}$
现在，计算 $u_2$：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 1 end{pmatrix}$
现在，$u_2$ 就和 $u_1$ 正交了。你可以自己验证一下 $u_1 cdot u_2$ 是否为零。
第三步：找第三个正交向量 $u_3$
现在轮到 $v_3$ 了。$v_3$ 可能同时跟 $u_1$ 和 $u_2$ 有关系（有投影）。我们需要找到 $v_3$ 中“属于” $u_1$ 方向的那部分投影，以及“属于” $u_2$ 方向的那部分投影，然后把这两部分都从 $v_3$ 中减去。
$v_3$ 在 $u_1$ 上的投影是 $proj_{u_1} v_3 = frac{v_3 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1$
$v_3$ 在 $u_2$ 上的投影是 $proj_{u_2} v_3 = frac{v_3 cdot u_2}{u_2 cdot u_2} u_2$
所以，我们要从 $v_3$ 中减去这两个投影：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3$
先计算点积：
$v_3 cdot u_1 = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) = 1$
$u_1 cdot u_1 = 2$ (我们已经算过了)
$v_3 cdot u_2 = (0)(1/2) + (1)(1/2) + (1)(1) = 1/2 + 1 = 1/2$
$u_2 cdot u_2 = (1/2)(1/2) + (1/2)(1/2) + (1)(1) = 1/4 + 1/4 + 1 = 1/2 + 1 = 3/2$
现在计算投影：
$proj_{u_1} v_3 = frac{1}{2} u_1 = frac{1}{2} egin{pmatrix} 1 \ 1 \ 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix}$
$proj_{u_2} v_3 = frac{1/2}{3/2} u_2 = frac{1}{3} u_2 = frac{1}{3} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 1 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1/6 \ 1/6 \ 1/3 end{pmatrix}$
最后，计算 $u_3$：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3$
$u_3 = egin{pmatrix} 0 \ 1 \ 1 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/2 \ 1/2 \ 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 1/6 \ 1/6 \ 1/3 end{pmatrix}$
$u_3 = egin{pmatrix} 0 1/2 1/6 \ 1 1/2 (1/6) \ 1 0 1/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 3/6 1/6 \ 1/2 + 1/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 4/6 \ 3/6 + 1/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2/3 \ 4/6 \ 2/3 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2/3 \ 2/3 \ 2/3 end{pmatrix}$
这样，我们就得到了三个两两正交的向量 $u_1, u_2, u_3$。
公式的抽象表示
好了，理解了例子之后，我们就可以把这个过程抽象成公式了。设我们有一组线性无关的向量 $v_1, v_2, dots, v_k$。我们想通过施密特正交化得到一组正交向量 $u_1, u_2, dots, u_k$。
1. 第一个向量：
$u_1 = v_1$
2. 第二个向量：
$u_2 = v_2 proj_{u_1} v_2 = v_2 frac{v_2 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1$
3. 第三个向量：
$u_3 = v_3 proj_{u_1} v_3 proj_{u_2} v_3 = v_3 frac{v_3 cdot u_1}{u_1 cdot u_1} u_1 frac{v_3 cdot u_2}{u_2 cdot u_2} u_2$
4. 推广到第 $i$ 个向量 ($i > 1$)：
$u_i = v_i proj_{u_1} v_i proj_{u_2} v_i dots proj_{u_{i1}} v_i$
写成求和的形式就是：
$u_i = v_i sum_{j=1}^{i1} proj_{u_j} v_i = v_i sum_{j=1}^{i1} frac{v_i cdot u_j}{u_j cdot u_j} u_j$
如何巧记？
记住这个公式的关键在于理解“减去投影”的思想，并且把握住求和的范围：
$u_i$ 的来源是 $v_i$： 这是基础。
减去的项是 $v_i$ 在 已经得到正交向量 上的投影： 这里要注意，我们是在减去 $v_i$ 在 $u_1, u_2, dots, u_{i1}$ 上的投影，而不是 $v_i$ 在 $v_1, v_2, dots, v_{i1}$ 上的投影。这是施密特正交化的精髓所在，保证了新产生的 $u_i$ 与之前所有的 $u_j$ (j < i) 都正交。
投影公式是 $frac{ ext{被投向量} cdot ext{投影方向向量}}{ ext{投影方向向量} cdot ext{投影方向向量}} imes ext{投影方向向量}$： 这个公式是固定搭配。
求和的索引： 从 $j=1$ 一直加到 $i1$。
举个“说人话”的比喻来辅助记忆：
假设你要画一个完美的正方形，你已经有了第一条边（$u_1$）。现在你要画第二条边（$u_2$），但你的笔跑偏了，没能完全垂直于第一条边（这就是原始的 $v_2$）。你要做的就是，把你这个跑偏的笔迹（$v_2$）看成是沿着第一条边的方向（$u_1$）走了一段路（$v_2$ 在 $u_1$ 上的投影），然后你再把这段路“掰直”了（减去投影），剩下的才是真正垂直于第一条边的第二条边（$u_2$）。
接着，你要画第三条边（$u_3$）。你的笔又跑偏了，这次它既不完全垂直于第一条边，也不完全垂直于第二条边（这就是原始的 $v_3$）。你要做的就是，把你的笔迹（$v_3$）分解成它在第一条边上的“成分”（$proj_{u_1} v_3$）和在第二条边上的“成分”（$proj_{u_2} v_3$），然后把这两个成分都“抽离”出来（减去投影），剩下的就是同时垂直于前两条边的第三条边（$u_3$）。
关于标准正交化：
如果需要得到标准正交基（即每个向量的长度都为1），只需要在得到正交向量 $u_i$ 后，再将它们进行单位化即可。即用 $u_i$ 除以它的长度 $|u_i| = sqrt{u_i cdot u_i}$。
$e_i = frac{u_i}{|u_i|}$
总结一下巧记的几个关键点：
1. “减旧增新，新旧正交”： 每个新的正交向量 $u_i$ 都是由原始向量 $v_i$ 减去 它在所有先前已求出的正交向量 $u_1, dots, u_{i1}$ 上的投影得到的。
2. 投影公式是核心： $frac{v cdot u}{u cdot u} u$ 这个形式要牢记。
3. 求和的界限： 对于 $u_i$，需要减去的是在 $u_1$ 到 $u_{i1}$ 上所有投影的和。
多做几道题，亲自动手计算，你会发现这个过程并不难，而且非常有逻辑性。关键在于理解“去除已有方向的分量”这个核心思想。希望这个详细的讲解和比喻能帮你更轻松地记住施密特正交公式！
网友意见
当然是理解后去记忆。
如果 是某向量空间的基，那么可通过下列做法找到该向量空间中的 个两两正交的向量 ：
该方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。
1 二维平面
下面以在 中寻找两个正交的向量为例，来解释下施密特正交化是如何推导出来的。
1.1 思路
让我们从思路说起，比如想寻找 中的两个正交向量，需要先知道 的一个基，也就是下图中的两个向量：
只要将其中一个向量对另外一个向量进行投影，就可以完成正交化：
2 代数
下面来进行代数推导，假设基为 ：
任选其一作为 ，比如选 ：
将 向 进行投影，其垂线就是要求的 ：
如果知道了 的投影：
那么根据向量减法的几何意义可知：
其中的投影向量可以如下计算()：
所以：
上述方法就称为施密特正交化，可以总结如下：
2.1 任意的平面
之前的推导是在 中完成的，实际上该结论在任意平面上也是成立的，比如已知三维向量空间中某平面以及它的基 ，下面是示意图：
如果想在该平面中找到两个正交的向量，那么根据施密特正交化，可算出：
该 和 就是该平面中的两个正交向量：
可以分两步来验算：
可知 和 正交。
（2）验算 和 是否在 和 的张成空间中。根据施密特正交化的计算方法：
因为 ，所以 必然在 和 的张成空间中，而 是 和 线性组合，自然也在 和 的张成空间中。
3 三维立体
下面是在 中寻找三个两两正交的向量的例子，这样可以进一步理解施密特正交化的推导。
3.1 思路
思路还是很简单，比如想寻找 中的三个两两正交向量，需要先知道 的一个基，也就是下图中的三个向量：
先按照之前介绍的，将其中任意两个向量正交化：
然后向这两个正交向量的张成空间作垂线，从而得到三个正交向量：
3.2 代数
下面来进行代数推导，假设基为 、 和 ：
任选两个向量，按照之前介绍的将其中任意两个向量正交化，得到 和 ：
再将 作 张成平面的垂线就得到 ：
要求出 只需要知道 的投影：
然后根据向量减法的几何意义可知：
从几何上可以看出，该投影向量是由 在 上的投影向量和 在 上的投影向量线性组合而成：
即：
所以：
上述过程可以总结如下：
这样得到的 就是 中三个两两正交的向量：
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