如果想大体地了解凸优化和非凸优化中比较重要的概念、理论知识和算法应该看哪些书籍或者论文？
好的，这绝对是一个值得深入探讨的问题。学习凸优化和非凸优化，就像是深入理解数学建模和求解世界难题的两把金钥匙，它们的应用领域极其广泛，从机器学习、信号处理到金融工程、最优控制，无处不在。
要大体了解这两个领域，我们需要从基础概念入手，然后逐步深入到核心理论和实际算法。这需要一个循序渐进的学习路径。
凸优化：基石与优雅
凸优化之所以重要，在于它的结构性。一旦问题被证明是凸的，我们就拥有了一套强大的理论保证和高效的求解算法。这就像是找到了一座金矿，我们知道目标就在那里，并且有可靠的工具去挖掘。
1. 入门与核心概念：理解“凸”的本质
要理解凸优化，首先要理解“凸集”和“凸函数”这两个基本概念。
凸集 (Convex Set): 想象一下，任何连接集合内任意两点的直线段都完全包含在集合内。这就是凸集。例如，球体、多面体、半空间、超平面都是凸集。理解凸集很重要，因为它构成了许多优化问题的可行域。
凸函数 (Convex Function): 函数的图像像一个“碗”一样向上凸起。更严格地说，对于函数定义域内的任意两点 $x, y$，以及 $0 le lambda le 1$，都有 $f(lambda x + (1lambda)y) le lambda f(x) + (1lambda)f(y)$。这意味着，函数在区间上的值小于或等于连接两点值的线段。对于可微函数，凸性可以通过其Hessian矩阵半正定来判断。
书籍推荐：
《Convex Optimization》 by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe: 这本书是公认的圣经。它以一种非常清晰、直观的方式介绍了凸优化的基础知识。从凸集、凸函数定义，到凸优化问题分类（线性规划、二次规划、半定规划等），再到对偶理论、KKT条件，最后讲解了多种求解算法，如内点法、梯度下降法等。这本书的数学推导严谨但不过于晦涩，并且有很多实例和应用说明，非常适合作为学习的起点。这本书还有免费的电子版，非常良心。
《Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares》 by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe: 虽然书名是关于线性代数的，但其中关于矩阵、向量运算的介绍，以及最小二乘问题等，都为理解凸优化中的矩阵运算打下了坚实基础。很多凸优化算法都涉及大量的矩阵操作。
理论知识核心：
凸优化问题的标准形式: 最小化一个凸函数，约束于一个凸集。
对偶理论 (Duality Theory): 这是凸优化中最迷人的部分之一。通过引入拉格朗日乘子，我们可以构造拉格朗日函数，进而得到对偶问题。对于凸优化问题，强对偶性（Strong Duality）通常成立，这意味着最优对偶值等于最优原始值，并且可以用对偶问题的解来恢复原始问题的解。对偶理论不仅提供了理解问题结构的新视角，也是很多算法（如对偶上升法）的理论基础。
KKT条件 (KarushKuhnTucker Conditions): 这是无约束优化和带约束优化问题的最优性条件。对于凸优化问题，KKT条件是必要且充分的，这意味着满足KKT条件的点就是最优解。理解KKT条件对于分析和求解优化问题至关重要。
投影 (Projection): 在凸优化中，将一个点投影到凸集上的操作是一个非常基础且重要的工具，尤其是在许多迭代算法的更新步中会用到。
算法介绍：
梯度下降法 (Gradient Descent): 最基本也是最常用的优化算法之一。通过沿着函数梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛。其变种如随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 在机器学习领域极其流行。
牛顿法 (Newton's Method): 利用Hessian矩阵（二阶导数）来加速收敛。虽然收敛速度快，但计算Hessian矩阵的成本较高。
内点法 (InteriorPoint Methods): 对于许多凸优化问题（特别是线性规划和二次规划），内点法是目前最有效的方法之一。它们通过构造一系列“障碍函数”，然后在障碍函数的极小值点附近迭代，最终逼近原始问题的解。
共轭梯度法 (Conjugate Gradient Method): 主要用于求解大型稀疏线性方程组或二次规划问题，它基于共轭方向的概念，可以在不计算Hessian矩阵的逆的情况下，高效地找到最优解。
进阶论文或资料：
Stephen Boyd的在线讲义和视频: 除了书本，Boyd教授在斯坦福大学的课程录像和讲义也是绝佳的学习资源，可以更生动地理解书本内容。
关于内点法的经典论文: 了解内点法的具体实现和理论分析，可以查阅一些经典文献，例如关于Projected Newton methods、Selfconcordant functions等。
非凸优化：挑战与机遇
非凸优化是更普遍但更难处理的优化问题。因为问题的“非凸性”，我们可能会遇到局部最优解的问题，即算法找到的点可能是局部最优，但并非全局最优。这使得求解非凸优化问题成为一个巨大的挑战，但也充满了研究的机遇。
1. 理解非凸性的挑战：为什么难？
局部最优解陷阱: 非凸函数有多个局部最小值，优化算法很容易被困在局部最优解。
全局最优性保证缺失: 除非问题结构特殊（如某些领域），否则很难保证找到全局最优解。
算法多样性: 针对非凸优化，没有一种放之四海而皆准的算法，通常需要根据具体问题的结构来设计算法。
书籍推荐：
《Nonconvex Optimization: Continuous and Discrete》 by Jonatan G.V. Arias, Miguel A. F. SanJuán: 这本书提供了非凸优化问题的全面概述，涵盖了理论基础、算法设计以及在各种应用中的使用。它会涉及更广泛的非凸问题类别，如二次约束二次规划 (QCQP)、多项式规划等。
《Numerical Optimization》 by Jorge Nocedal and Stephen Wright: 这本书是数值优化领域的另一本经典著作。虽然也涵盖了凸优化，但其后半部分深入探讨了非凸优化问题，包括无约束优化和约束优化中的各种方法，如拟牛顿法、增广拉格朗日法、序列二次规划 (SQP) 等。这本书的数学推导和算法描述非常详细，适合有一定数学基础的读者。
理论知识核心：
局部最优性条件: 对于非凸问题，即使是局部最优解也需要满足一定的条件，例如一阶最优性条件（梯度为零）和二阶最优性条件（Hessian矩阵半正定）。
全局优化技术: 为了克服局部最优解的问题，人们发展了许多全局优化技术，例如：
随机重启爬山法 (Random Restart Hill Climbing): 从多个随机点开始搜索，取最好的结果。
模拟退火 (Simulated Annealing): 借鉴物理退火过程，允许算法在一定概率下接受更差的解，从而跳出局部最优。
遗传算法 (Genetic Algorithms): 受生物进化论启发，通过种群、选择、交叉、变异等操作来搜索最优解。
分支定界法 (Branch and Bound): 主要用于离散优化，但也有应用于连续非凸优化的方法。
分析非凸性结构的方法:
二次约束二次规划 (QCQP): 目标函数和约束函数都是二次的，但可能非凸。
多项式规划 (Polynomial Programming): 目标函数和约束函数都是多项式。
混合整数规划 (MixedInteger Programming): 优化变量中包含整数变量，这使得问题本质上是非凸的。
算法介绍：
局部搜索算法 (Local Search Algorithms):
梯度下降的变种: 如Adam, RMSprop等，这些自适应学习率方法在处理非凸问题时表现通常比标准梯度下降更好，但仍然可能陷入局部最优。
拟牛顿法 (QuasiNewton Methods): 如BFGS, LBFGS，通过近似Hessian矩阵来加速收敛，也常用于非凸问题。
序列二次规划 (Sequential Quadratic Programming, SQP): 通过在每一步近似原问题为一个二次规划问题来求解非凸约束优化问题。
全局优化算法:
全局随机搜索: 如全局随机梯度下降、随机搜索等。
基于分割的全局优化: 将问题域分割成小块，在每块上使用局部优化器，或者分析块的全局界。
进阶论文或资料：
特定非凸问题领域的论文:
机器学习中的非凸优化: 查找与深度学习、矩阵分解、信号恢复等领域相关的论文。例如，GAN (Generative Adversarial Networks) 的训练就是一个典型的非凸博弈优化问题。
组合优化中的非凸问题: 许多组合优化问题，如旅行商问题，本质上是非凸的。
关于全局优化算法的 survey 论文: 这些论文会综述当前各种全局优化方法的进展、优缺点和应用。
学习建议：
1. 打好基础： 确保对线性代数、微积分、概率论和基础的数值分析有扎实的理解。
2. 理论与实践结合： 在学习理论的同时，尝试用编程语言（如Python的NumPy, SciPy, PyTorch, TensorFlow等库）实现一些基本的优化算法，并用它们解决一些简单的问题。
3. 从具体问题出发： 很多时候，学习优化是为了解决某个具体领域的问题。如果你对某个领域（如机器学习）感兴趣，可以先了解该领域中的优化问题，然后回过头来学习相关的优化理论和算法。
4. 循序渐进： 先集中精力学好凸优化，因为它是非凸优化的重要基础和比较对象。理解凸优化中的理论保证和算法，能让你更好地认识到非凸优化的困难之处以及处理这些困难的方法。
5. 多看例子： 书籍和论文中的例子非常重要，它们能帮助你理解抽象的数学概念和算法。
总而言之，凸优化提供了一个清晰的框架和强大的理论保证，而非凸优化则充满了挑战和无限的探索空间。掌握这两个领域，将为你解决现实世界中的复杂问题提供强大的工具。祝你学习愉快！
要大体了解这两个领域，我们需要从基础概念入手，然后逐步深入到核心理论和实际算法。这需要一个循序渐进的学习路径。
凸优化：基石与优雅
凸优化之所以重要，在于它的结构性。一旦问题被证明是凸的，我们就拥有了一套强大的理论保证和高效的求解算法。这就像是找到了一座金矿，我们知道目标就在那里，并且有可靠的工具去挖掘。
1. 入门与核心概念：理解“凸”的本质
要理解凸优化，首先要理解“凸集”和“凸函数”这两个基本概念。
凸集 (Convex Set): 想象一下，任何连接集合内任意两点的直线段都完全包含在集合内。这就是凸集。例如，球体、多面体、半空间、超平面都是凸集。理解凸集很重要，因为它构成了许多优化问题的可行域。
凸函数 (Convex Function): 函数的图像像一个“碗”一样向上凸起。更严格地说，对于函数定义域内的任意两点 $x, y$，以及 $0 le lambda le 1$，都有 $f(lambda x + (1lambda)y) le lambda f(x) + (1lambda)f(y)$。这意味着，函数在区间上的值小于或等于连接两点值的线段。对于可微函数，凸性可以通过其Hessian矩阵半正定来判断。
书籍推荐：
《Convex Optimization》 by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe: 这本书是公认的圣经。它以一种非常清晰、直观的方式介绍了凸优化的基础知识。从凸集、凸函数定义，到凸优化问题分类（线性规划、二次规划、半定规划等），再到对偶理论、KKT条件，最后讲解了多种求解算法，如内点法、梯度下降法等。这本书的数学推导严谨但不过于晦涩，并且有很多实例和应用说明，非常适合作为学习的起点。这本书还有免费的电子版，非常良心。
《Introduction to Applied Linear Algebra: Vectors, Matrices, and Least Squares》 by Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe: 虽然书名是关于线性代数的，但其中关于矩阵、向量运算的介绍，以及最小二乘问题等，都为理解凸优化中的矩阵运算打下了坚实基础。很多凸优化算法都涉及大量的矩阵操作。
理论知识核心：
凸优化问题的标准形式: 最小化一个凸函数，约束于一个凸集。
对偶理论 (Duality Theory): 这是凸优化中最迷人的部分之一。通过引入拉格朗日乘子，我们可以构造拉格朗日函数，进而得到对偶问题。对于凸优化问题，强对偶性（Strong Duality）通常成立，这意味着最优对偶值等于最优原始值，并且可以用对偶问题的解来恢复原始问题的解。对偶理论不仅提供了理解问题结构的新视角，也是很多算法（如对偶上升法）的理论基础。
KKT条件 (KarushKuhnTucker Conditions): 这是无约束优化和带约束优化问题的最优性条件。对于凸优化问题，KKT条件是必要且充分的，这意味着满足KKT条件的点就是最优解。理解KKT条件对于分析和求解优化问题至关重要。
投影 (Projection): 在凸优化中，将一个点投影到凸集上的操作是一个非常基础且重要的工具，尤其是在许多迭代算法的更新步中会用到。
算法介绍：
梯度下降法 (Gradient Descent): 最基本也是最常用的优化算法之一。通过沿着函数梯度的反方向迭代更新参数，直到收敛。其变种如随机梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 在机器学习领域极其流行。
牛顿法 (Newton's Method): 利用Hessian矩阵（二阶导数）来加速收敛。虽然收敛速度快，但计算Hessian矩阵的成本较高。
内点法 (InteriorPoint Methods): 对于许多凸优化问题（特别是线性规划和二次规划），内点法是目前最有效的方法之一。它们通过构造一系列“障碍函数”，然后在障碍函数的极小值点附近迭代，最终逼近原始问题的解。
共轭梯度法 (Conjugate Gradient Method): 主要用于求解大型稀疏线性方程组或二次规划问题，它基于共轭方向的概念，可以在不计算Hessian矩阵的逆的情况下，高效地找到最优解。
进阶论文或资料：
Stephen Boyd的在线讲义和视频: 除了书本，Boyd教授在斯坦福大学的课程录像和讲义也是绝佳的学习资源，可以更生动地理解书本内容。
关于内点法的经典论文: 了解内点法的具体实现和理论分析，可以查阅一些经典文献，例如关于Projected Newton methods、Selfconcordant functions等。
非凸优化：挑战与机遇
非凸优化是更普遍但更难处理的优化问题。因为问题的“非凸性”，我们可能会遇到局部最优解的问题，即算法找到的点可能是局部最优，但并非全局最优。这使得求解非凸优化问题成为一个巨大的挑战，但也充满了研究的机遇。
1. 理解非凸性的挑战：为什么难？
局部最优解陷阱: 非凸函数有多个局部最小值，优化算法很容易被困在局部最优解。
全局最优性保证缺失: 除非问题结构特殊（如某些领域），否则很难保证找到全局最优解。
算法多样性: 针对非凸优化，没有一种放之四海而皆准的算法，通常需要根据具体问题的结构来设计算法。
书籍推荐：
《Nonconvex Optimization: Continuous and Discrete》 by Jonatan G.V. Arias, Miguel A. F. SanJuán: 这本书提供了非凸优化问题的全面概述，涵盖了理论基础、算法设计以及在各种应用中的使用。它会涉及更广泛的非凸问题类别，如二次约束二次规划 (QCQP)、多项式规划等。
《Numerical Optimization》 by Jorge Nocedal and Stephen Wright: 这本书是数值优化领域的另一本经典著作。虽然也涵盖了凸优化，但其后半部分深入探讨了非凸优化问题，包括无约束优化和约束优化中的各种方法，如拟牛顿法、增广拉格朗日法、序列二次规划 (SQP) 等。这本书的数学推导和算法描述非常详细，适合有一定数学基础的读者。
理论知识核心：
局部最优性条件: 对于非凸问题，即使是局部最优解也需要满足一定的条件，例如一阶最优性条件（梯度为零）和二阶最优性条件（Hessian矩阵半正定）。
全局优化技术: 为了克服局部最优解的问题，人们发展了许多全局优化技术，例如：
随机重启爬山法 (Random Restart Hill Climbing): 从多个随机点开始搜索，取最好的结果。
模拟退火 (Simulated Annealing): 借鉴物理退火过程，允许算法在一定概率下接受更差的解，从而跳出局部最优。
遗传算法 (Genetic Algorithms): 受生物进化论启发，通过种群、选择、交叉、变异等操作来搜索最优解。
分支定界法 (Branch and Bound): 主要用于离散优化，但也有应用于连续非凸优化的方法。
分析非凸性结构的方法:
二次约束二次规划 (QCQP): 目标函数和约束函数都是二次的，但可能非凸。
多项式规划 (Polynomial Programming): 目标函数和约束函数都是多项式。
混合整数规划 (MixedInteger Programming): 优化变量中包含整数变量，这使得问题本质上是非凸的。
算法介绍：
局部搜索算法 (Local Search Algorithms):
梯度下降的变种: 如Adam, RMSprop等，这些自适应学习率方法在处理非凸问题时表现通常比标准梯度下降更好，但仍然可能陷入局部最优。
拟牛顿法 (QuasiNewton Methods): 如BFGS, LBFGS，通过近似Hessian矩阵来加速收敛，也常用于非凸问题。
序列二次规划 (Sequential Quadratic Programming, SQP): 通过在每一步近似原问题为一个二次规划问题来求解非凸约束优化问题。
全局优化算法:
全局随机搜索: 如全局随机梯度下降、随机搜索等。
基于分割的全局优化: 将问题域分割成小块，在每块上使用局部优化器，或者分析块的全局界。
进阶论文或资料：
特定非凸问题领域的论文:
机器学习中的非凸优化: 查找与深度学习、矩阵分解、信号恢复等领域相关的论文。例如，GAN (Generative Adversarial Networks) 的训练就是一个典型的非凸博弈优化问题。
组合优化中的非凸问题: 许多组合优化问题，如旅行商问题，本质上是非凸的。
关于全局优化算法的 survey 论文: 这些论文会综述当前各种全局优化方法的进展、优缺点和应用。
学习建议：
1. 打好基础： 确保对线性代数、微积分、概率论和基础的数值分析有扎实的理解。
2. 理论与实践结合： 在学习理论的同时，尝试用编程语言（如Python的NumPy, SciPy, PyTorch, TensorFlow等库）实现一些基本的优化算法，并用它们解决一些简单的问题。
3. 从具体问题出发： 很多时候，学习优化是为了解决某个具体领域的问题。如果你对某个领域（如机器学习）感兴趣，可以先了解该领域中的优化问题，然后回过头来学习相关的优化理论和算法。
4. 循序渐进： 先集中精力学好凸优化，因为它是非凸优化的重要基础和比较对象。理解凸优化中的理论保证和算法，能让你更好地认识到非凸优化的困难之处以及处理这些困难的方法。
5. 多看例子： 书籍和论文中的例子非常重要，它们能帮助你理解抽象的数学概念和算法。
总而言之，凸优化提供了一个清晰的框架和强大的理论保证，而非凸优化则充满了挑战和无限的探索空间。掌握这两个领域，将为你解决现实世界中的复杂问题提供强大的工具。祝你学习愉快！
网友意见
其实，关于optimization的东西，要不要试试在知乎先搜索一下呢？其实有许多回答了嘿嘿。
大佬们其实非常认真的写了很多很好的东西，我先随手列几个，以后有空慢慢补充。。。
I: 知乎回答
(1) Nonconvex Optimization
为什么 Non-Convex Optimization 受到了越来越大的关注？
非凸优化（Non-convex optimization）领域有什么起到基石作用，极其重要的论文呢？
大家帮忙推荐一些非凸优化（Nonconvex optimization）的最新研究进展文献？
(2) Convex Optimization
Numerical Optimization和Convex optimization 两本书的选择?
附：当然啦，无论看那个回答，下面两本书一定是绕不开的。
II: 知乎专栏
写这个专栏的大佬，主要写一些convex的概念和算法，比如：
覃含章：Fenchel-Legendre Duality观点下的优化算法们(I):前言
覃含章：Mirror descent: 统一框架下的first order methods
（2）： 还有个叫Wing的大佬总结了许多convex/nonconvex的文章，值得一看啊，比如有：
Wing：A Survey on Non/Non-Smooth Convex optimization
（3） 数学优化与算法笔记 大佬每篇文章后面都给了参考文献，如果感兴趣，可以回溯着看，比如有：
-------------------------------------------------------------------------
最后欢迎关注我 @Zeap 和我的专栏 非凸优化学习之路 哇，偶尔会写写关于nonconvex optimization的一些基本概念的介绍和自己的理解， 希望对新手会有些帮助吧， 里面的文章有：
Zeap：非凸优化基石：Lipschitz Condition
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