问题

考完第十三届全国大学生数学竞赛后你有什么想说的吗?

回答
第十三届全国大学生数学竞赛,终于告一段落了。一想到这,心里百感交集,有种如释重负,又有种意犹未尽。

说实话,备考那阵子,真的是“闭关修炼”的感觉。每天的生活被数学题填得满满当当,有时候为了一个证明题,能卡上半天,甚至通宵。寝室里,大家桌上都堆着厚厚的资料,笔记本上写满了各种公式、定理和解题思路。空气中弥漫着咖啡和偶尔的叹息声。那种感觉挺奇妙的,就像一群人在同一条船上,朝着同一个目标奋力划桨,彼此间既有竞争,也少不了互相鼓励和讨论。

比赛当天,走进考场那一刻,还是有点紧张的。看着周围一张张年轻而认真的脸,大家都是来迎接挑战的。拿到试卷的时候,心跳确实会漏掉一拍。题目一如既往地有深度,有些更是出乎意料,需要你跳出固有的思维模式去思考。

我记得有一道关于微分几何的题目,刚开始看到的时候,脑子里一片空白。它不像教材里那种直接套公式就能解决的问题,而是需要你对几何直觉、代数技巧以及一些抽象概念有非常深入的理解。那一刻,我真的有点懵。我深吸一口气,强迫自己冷静下来,把题目一点点拆解,回忆相关的定理和性质,试图找到一个突破口。大概花了近一个小时,才勉强理出一点思路,然后小心翼翼地写下每一步推导。那过程就像在黑暗中摸索,每往前一步都带着试探。

还有一道概率统计的题目,描述的场景很生活化,但背后的模型却很复杂。它涉及到条件概率、马尔可夫链等知识点,需要你对模型有一个清晰的认识,并且能熟练运用相关的工具。当时我脑子里闪过很多种可能的解法,经过权衡,选择了一个相对稳妥的思路,但过程中还是会担心自己有没有考虑到所有的情况,有没有遗漏什么细节。

时间过得飞快,眼看交卷时间越来越近,还有几道题没有完全做出来,或者做出来的过程中有些地方自己也不是特别确定。那种感觉,就是知道自己已经尽力了,但还是留有遗憾,总觉得如果再给我点时间,或者再多一点思考,或许能做得更好。

现在比赛结束了,回过头来看,最大的感受是:“学习数学,永远在路上。” 这次比赛不仅仅是对我们知识储备的检验,更是对我们解决问题能力、逻辑思维能力以及抗压能力的一次全面考核。它让我明白,数学的魅力在于它的严谨和深刻,在于它能够帮助我们理解和描述这个复杂的世界。

我感谢这次竞赛带给我的挑战和成长。虽然结果如何暂时还不知道,但这段经历本身已经非常宝贵。它让我更清晰地认识到了自己的不足,也激励我继续深入学习。那些熬过的夜,那些解出的难题,那些和同学们讨论到凌晨的时光,都将成为我大学生活中难忘的回忆。

如果问我有什么想说的,那就是:感谢数学,感谢这段充满挑战的备赛和比赛经历。无论是名次如何,我已经收获了比成绩本身更重要的东西——对数学更深的敬畏,以及对未来学习更坚定的信心。也希望所有参赛的同学们,都能从这次经历中汲取力量,继续在数学的海洋里探索前行。

网友意见

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我看没啥人说数学类,就说一下吧。题目可以看这边。我写几道我有兴趣的问题。

如何看待2021年全国大学生数学竞赛(数学A类)试题? - 知乎 (zhihu.com)

第二题:令 。条件可以化为

注意

我们得到

而且 。因为 是紧集,所以 在 取到最大值。设最大值点为 。

如果 ,则 。这样

得到 。

如果 ,则 ,显然成立。

第四题:令 , 为实矩阵。 对称意味着 也对称。因为 是酉矩阵,所以

所以 。

[引理]若 为可以对角化的矩阵,且 ,则 可以同时对角化。

用得很多的引理,这里不证明了。因为实对称矩阵可以对角化,所以存在可逆的实矩阵 使得对角化

且 。令 ,则 。实际上,

令 ,则

令 ,则 。所以 。

第六题:(1)如果对任意 都有 。

取 ,令 。则

得到 ,矛盾。

(2)反设 对某个 成立。根据(1),存在 使得 。根据微分中值定理,存在 使得

得到 。

我们证明,不存在这样的 ,使得在区间 内恒成立 。假设存在,设 表示所有这样的 的下确界。之前的结果说明 ;并且 。如果 ,根据 的连续性,存在 使得在 内都有 ,这与 的定义矛盾。所以 。现在用中值定理:存在 使得

得到 。这依然与 的定义矛盾。所以以上定义的数并不存在。

现在可以设 如下定义: ,且 。则 。根据连续性, ,矛盾。

(3)反设存在 使得对任何 有 。不妨设 。我们有

令 ,则 。所以

当 充分小时,右边小于零,得到 ,矛盾。

(4)与(2)同样做法。

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