百科问答小站 logo   百科问答小站
问题

为何可以用不动点法求数列通项公式，可不可以解释一下？

回答
您好！关于您提出的“为何可以用不动点法求数列通项公式”，这是一个非常有趣且有深度的问题。我会尽力用一种易于理解且不显得生硬的方式来解释，希望能帮您拨开云雾。

首先，我们得明白什么是“数列的通项公式”。简单来说，它就像是数列的一张“身份证”，能够通过数列的项数（比如第一项、第二项）直接算出这一项的值，而不需要从头往后算。例如，数列 $1, 4, 9, 16, dots$ 的通项公式是 $a_n = n^2$，知道了项数 $n$，就能直接算出 $a_n$。

那么，“不动点法”又是什么呢？“不动点”这个词听起来有点哲学，但在数学里，它有一个非常明确的定义：对于一个函数 $f(x)$，如果存在一个值 $x_0$，使得 $f(x_0) = x_0$，那么这个 $x_0$ 就被称为函数 $f(x)$ 的一个不动点。换句话说，经过这个函数 $f$ 的变换后，这个值 $x_0$ 保持不变，纹丝不动。

现在，我们来把这两个概念联系起来。很多时候，数列的递推关系（就是用前一项或前几项来表示后一项的规则）可以被看作是一种函数变换。比如，一个常见的递推关系是 $a_{n+1} = f(a_n)$，意思是下一项 $a_{n+1}$ 的值是由当前项 $a_n$ 通过函数 $f$ 计算出来的。

不动点法的核心思想就是：如果一个数列的递推关系是 $a_{n+1} = f(a_n)$，并且这个数列最终会收敛到一个固定的值，那么这个收敛的值很可能就是函数 $f$ 的一个不动点。

为什么会这样呢？想象一下，数列的各项 $a_1, a_2, a_3, dots$ 就像是一群人，他们按照 $a_{n+1} = f(a_n)$ 的规则，一个接一个地进行“活动”（也就是函数 $f$ 的计算）。如果这群人最终都聚集到了一个地方，而且他们在这个地方不动了，这意味着什么？意味着无论他们现在在这个地方（我们称之为 $L$），再怎么按照规则进行活动，他们都会留在原地。换句话说，当 $a_n$ 足够接近 $L$ 时，$f(a_n)$ 也不会让 $a_n$ 远离 $L$。最极端的情况就是，当 $a_n$ 变成 $L$ 的时候，$f(L)$ 也等于 $L$。这就是不动点的概念。

所以，不动点法的步骤大致是这样的：

1. 找到递推关系对应的函数 $f(x)$： 将递推关系 $a_{n+1} = f(a_n)$ 中的 $a_n$ 和 $a_{n+1}$ 看作是变量 $x$ 和 $f(x)$，从而得到函数 $f(x)$。
2. 求解函数的$$x$$不动点： 令 $f(x) = x$，然后解出这个方程，找到函数 $f$ 的不动点。
3. 假设数列收敛于不动点，构造新数列： 如果我们找到了一个不动点 $p$，并且我们有理由相信数列 $a_n$ 会收敛到 $p$，那么我们可以尝试构造一个新的数列 $b_n = a_n p$（或者其他形式，比如 $b_n = a_n p$ 的变形）。
4. 推导新数列的递推关系： 将 $a_n = b_n + p$ 代入原递推关系 $a_{n+1} = f(a_n)$，看看能否得到一个关于 $b_n$ 的更简单的递推关系。
5. 求解新数列的通项公式： 如果新数列 $b_n$ 的递推关系非常简单（比如是等比数列），那么我们就可以直接求出 $b_n$ 的通项公式。
6. 恢复原数列的通项公式： 最后，根据 $a_n = b_n + p$，将 $b_n$ 的通项公式代入，就能得到 $a_n$ 的通项公式。

我们来看一个具体的例子，以加深理解。

假设有一个数列，它的递推关系是 $a_{n+1} = frac{1}{2}a_n + 1$，且 $a_1 = 2$。

1. 找到函数 $f(x)$： 这里的递推关系就是 $a_{n+1} = (frac{1}{2}x + 1)|_{x=a_n}$，所以 $f(x) = frac{1}{2}x + 1$。

2. 求解不动点： 令 $f(x) = x$，即 $frac{1}{2}x + 1 = x$。
解这个方程：
$1 = x frac{1}{2}x$
$1 = frac{1}{2}x$
$x = 2$
所以，函数 $f(x) = frac{1}{2}x + 1$ 的不动点是 $p = 2$。

3. 假设数列收敛于不动点，构造新数列： 我们猜想数列 $a_n$ 会收敛到 $2$。让我们构造一个新数列 $b_n = a_n 2$。

4. 推导新数列的递推关系：
我们知道 $a_n = b_n + 2$。将这个代入原递推关系 $a_{n+1} = frac{1}{2}a_n + 1$：
$b_{n+1} + 2 = frac{1}{2}(b_n + 2) + 1$
$b_{n+1} + 2 = frac{1}{2}b_n + 1 + 1$
$b_{n+1} + 2 = frac{1}{2}b_n + 2$
$b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$

看！我们得到了一个非常简单的递推关系：$b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$。这是一个等比数列的递推关系，公比是 $frac{1}{2}$。

5. 求解新数列的通项公式：
为了求 $b_n$ 的通项公式，我们还需要知道 $b_1$。
$b_1 = a_1 2 = 2 2 = 0$。
因为 $b_1 = 0$，并且 $b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$，所以 $b_2 = frac{1}{2} cdot 0 = 0$，$b_3 = frac{1}{2} cdot 0 = 0$，以此类推，所有的 $b_n$ 都等于 $0$。
所以，$b_n = 0$（对于所有 $n ge 1$）。

6. 恢复原数列的通项公式：
因为 $a_n = b_n + 2$，所以 $a_n = 0 + 2 = 2$。
也就是说，这个数列的通项公式是 $a_n = 2$。

等一下！ 这个结果有点意外，因为我们一开始给的 $a_1 = 2$，而算出来的通项公式是 $a_n = 2$。这意味着无论 $n$ 是几，数列的每一项都是 $2$。这当然是符合递推关系 $a_{n+1} = frac{1}{2}a_n + 1$ 的，因为如果 $a_n=2$，那么 $a_{n+1} = frac{1}{2}(2) + 1 = 1+1 = 2$。

让我们换一个例子，让结果更有意思一点。

假设数列是 $a_{n+1} = frac{1}{2}a_n + 1$，但这次 $a_1 = 4$。

1. 函数 $f(x)$ 仍然是 $f(x) = frac{1}{2}x + 1$。
2. 不动点仍然是 $p = 2$。

3. 构造新数列： $b_n = a_n 2$。

4. 新数列递推关系： 同样的推导，我们仍然得到 $b_{n+1} = frac{1}{2}b_n$。

5. 求解新数列通项公式：
这次 $a_1 = 4$，所以 $b_1 = a_1 2 = 4 2 = 2$。
因为 $b_n$ 是一个等比数列，首项是 $b_1 = 2$，公比是 $frac{1}{2}$，所以它的通项公式是：
$b_n = b_1 cdot (frac{1}{2})^{n1} = 2 cdot (frac{1}{2})^{n1} = (frac{1}{2})^{1} cdot (frac{1}{2})^{n1} = (frac{1}{2})^{n2}$。

6. 恢复原数列通项公式：
$a_n = b_n + 2$
$a_n = (frac{1}{2})^{n2} + 2$

这就是这个数列的通项公式。我们可以验证一下：
$a_1 = (frac{1}{2})^{12} + 2 = (frac{1}{2})^{1} + 2 = 2 + 2 = 4$ (正确)
$a_2 = (frac{1}{2})^{22} + 2 = (frac{1}{2})^0 + 2 = 1 + 2 = 3$
根据递推关系，$a_2 = frac{1}{2}a_1 + 1 = frac{1}{2}(4) + 1 = 2 + 1 = 3$ (正确)
$a_3 = (frac{1}{2})^{32} + 2 = frac{1}{2} + 2 = 2.5$
根据递推关系，$a_3 = frac{1}{2}a_2 + 1 = frac{1}{2}(3) + 1 = 1.5 + 1 = 2.5$ (正确)

总结一下不动点法之所以有效的几个关键点：

转化问题： 它将一个可能难以直接处理的数列递推问题，转化为了求解一个不动点，然后构造新数列，使其递推关系简化。
利用收敛性： 这种方法特别适用于那些会收敛到某个稳定值的数列。不动点恰好就是那个潜在的稳定值。通过“减去”不动点，我们实际上是在“消除”这种收敛性带来的复杂性，使得数列趋于以 $0$ 为中心的简单形式（如等比数列）。
结构性： 很多递推关系，特别是形如 $a_{n+1} = c cdot a_n + d$ 的线性递推关系，都具有一定的结构，使得不动点法的应用非常有效。

当然，不动点法也不是万能的，它有它的适用范围和注意事项：

不是所有数列都有不动点： 只有当数列的递推关系 $a_{n+1} = f(a_n)$ 能够通过令 $a_n=a_{n+1}=p$ 来求解出 $p$ 时，不动点才存在。
数列不一定收敛： 即使存在不动点，数列也不一定收敛到它。例如，如果 $f'(p)$ 的绝对值大于 1，那么不动点可能是“不稳定”的，数列可能会发散。在我们上面的例子 $f(x) = frac{1}{2}x + 1$，它的导数 $f'(x) = frac{1}{2}$，在不动点 $x=2$ 处，$f'(2) = frac{1}{2}$，其绝对值小于 1，所以不动点是稳定的，数列会收敛到它。
需要构造合适的新数列： 有时候，简单地减去不动点可能不够，需要对新数列的构造进行一些调整，使其递推关系足够简单。
需要证明收敛性（有时）： 在严格的数学证明中，如果数列的收敛性不是显而易见的，可能需要先证明数列确实收敛到一个值，然后才能断定那个值就是不动点。

总而言之，不动点法是一种非常巧妙的工具，它利用了函数不动点的“稳定性”特性，将复杂的数列问题通过“降维”和“化繁为简”的方式来解决，从而找到数列的通项公式。它之所以有效，是因为它抓住了数列在趋于稳定状态时的本质——那个稳定状态就是函数作用下的“不动”点。

希望这样的解释能够清晰明了，并且避免了生硬的AI痕迹。如果您还有任何疑问，欢迎随时提出！

网友意见

user avatar

以下内容来自我的文章：

由数列的递推公式求解通项公式是一类常见的数列问题。这篇文章将简单介绍一种求解某些一阶递推数列的通用方法：不动点法。



一个例子

我们先来看一个例题。

已知数列 满足 ，其中 ，且 ，求 的通项公式。

解：注意到 ，故 为以 为公比的等比数列，又 ，所以 ，即 。

看完这个解答有什么感受？是不是第一步的“注意到”让人一头雾水？

其实，这个“注意到”并不是乱凑出来的，发现这一步的原理就是本文要讲的不动点法。



递推数列与函数迭代

最开始，不动点法是作为求解函数迭代的方法而被研究的。所以在开始之前，我们先介绍一下递推数列与函数迭代的关系。

对于一阶递推数列，我们可以把递推公式看成函数关系 。在我们知道了 的值之后，就可以依次求出数列每一项的值：

写到这里，就能发现，求解递推数列和求解函数迭代在本质上是一样的。

我们记 n 次迭代函数 ，并补充定义 ，那么对于递推数列 ，我们可以通过求解函数迭代来求解数列的通项公式 。

于是，求解递推数列的问题就转化为了求解函数迭代。



函数的不动点

对于函数 ，我们把满足 的 称为 的不动点。

为什么叫“不动点”呢？如果我们把函数看作从 到 的一个映射，那么不动点经过这一映射之后，还是它本身，就像固定在数轴上“不动”，所以叫做“不动点”。

不动点有很多奇妙的应用。比如巴拿赫不动点定理，又称压缩映射定理，这个定理指出，如果一张地图的内容包含地图本身所处的位置，那么地图上一定有一个点和它的实际位置重合，也就是“从现实位置到地图位置”这一映射的不动点。再比如数值分析中的不动点迭代法，可以快速求解一个函数的不动点的近似值，进而也就能求解方程的根的近似值。本文主要介绍不动点在求解递推数列及函数迭代中的应用，所以对不动点的其他性质不多加赘述。

不动点和函数迭代有很大的关系。可以发现，一个函数的不动点也是它的任意次迭代函数的不动点，也就是 。

当然，反过来并不一定成立。迭代函数的不动点不一定是原始函数的不动点。例子很好找，比如 ，它的二次迭代函数 ，处处都是不动点，但是 的不动点只有 而已。



换元法与函数相似

换元法可以说是最常用的简化问题的方法了。文章开头的例题也可以看作是换元法的一种应用，也就是令 ，从而得出 是等比数列，极大地简化了问题。

既然我们刚才已经找到了数列迭代在函数观点下的写法，那么能不能找到换元法在函数观点下的形式呢？

对于一个函数 ，我们作换元 。为了问题简便，我们不妨只考虑 是一一映射的情形，这时候就能用反函数来表达 ，于是 就有了自变量为 的形式 。

现在我们来看一个问题： 的迭代在换元之后的形式下如何表达？

先从二次迭代开始，我们的目标是在 中凑出 这样的形式。

如果我们把二次迭代 看成一个复合函数，它的外层函数的自变量 ，我们对这个 也做一次换元： 。

有没有感觉这个形式和 很像？左边都是下一次迭代的自变量，右边都是上一次迭代的自变量。

于是我们令 ，接着计算 的迭代：

也就是说， 。同理，可以由数学归纳法证明， 。这就是迭代在换元法下的表达。

接下来，我们总结一下上面的内容，提出函数相似的概念。

对于两个函数 和 ，如果存在一个函数 及其反函数 ，使得 ，则称 与 通过 相似，记作 ，其中 称为桥函数。

刚才我们已经证明了函数相似的一个性质：如果 ，那么 。

函数相似还有一个与不动点相关的性质。

对于 的不动点 ，有 ，于是 ，故 是 的不动点。这表明， 与 的不动点一一对应。



不动点法

讲了这么多，终于到我们的重头戏了——缝合（误）。

把我们刚才的一系列概念综合起来，就得到了求解函数迭代的不动点法。

当我们要求解一个比较复杂的函数 的迭代时，可以去寻找一个与之相似但形式更简单的函数 ，通过计算 ，再根据 ，得出 。

那么，为什么这种方法要叫做不动点法呢？因为我们可以通过不动点来构造一些简单的 。

什么样的 算简单呢？当然是迭代容易计算的函数就是简单函数。最常见的就是两类： 和 （其中 k, b 为常数）。不难发现，这两类函数对应的是等差数列和等比数列的递推公式。

接下来我们分析一下这两类函数的不动点。（这里需要允许一些不太严谨的描述，比如未加定义地引入无穷大及其直观的运算规律。）前者 的不动点是 ，而后者 的不动点是 0 和 。

按照前文所说的函数相似的性质， 的不动点要和 一一对应，也就是对于 的不动点 ，有 是 的不动点。如果只考虑不动点之间的对应关系，我们可以这样简单地构造一个 ：

  1. 如果 有唯一不动点 ，令 。这样 是 的不动点。
  2. 如果 有两个不动点 和 ，令 。这样两个不动点分别被映射到 0 和 ，是 的不动点。

神奇的是，即使是仅考虑了不动点的情形，这样构造的 还是能简化一大类 （主要是分式函数）。



不动点法在数列中的应用

让我们隐藏掉中间的过程，来看看不动点法应用到数列上是怎样的。

  1. 找不动点。只需要简单地把递推公式里的 和 都换成 ，再求解这个方程，得到的结果就是不动点。
  2. 换元。按照上文的方法构造 或者 ，代入原递推公式，化简得到 的递推关系，从而解出其通项公式。
  3. 求解。利用 和 之间的关系，解出 的通项公式。

现在在看看开头的例题，是不是明白了许多呢？



不动点法的局限性

不动点法虽然有时候很好用，但是也经常会遇到失灵的情况，包括但不限于：

  • 求解不动点时无解。
  • 代换之后的数列并没有一个相对简单的形式。

这时候，就说明这个问题并不适合用不动点法解决。

而且，因为不动点法看起来太过于投机取巧，很多问题都会刻意地限制不动点法的套用。这个时候一定要及时更换思路，不能钻牛角尖。

类似的话题

本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等

© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有

服务条款
联系我们
关于我们
隐私政策
友情链接
知乎
百度问答
搜狐
新浪