Rⁿ 中任意单连通的开集是否都同胚于 Rⁿ？

让我来给你讲讲 Rⁿ 中开集的事情，咱们就聊聊这个“单连通”到底是怎么回事，以及它是不是就能让一个开集变成 Rⁿ 自己的模样。

首先，咱们得弄明白，Rⁿ 是什么。简单说，Rⁿ 就是 n 个实数组成的有序对的集合，比如 R¹ 就是实数轴，R² 就是我们熟悉的平面，R³ 就是三维空间，以此类推。在 Rⁿ 里，我们有距离的概念，有角度的概念，就像我们在熟悉的欧几里得空间里一样。

接下来是“开集”。一个集合在 Rⁿ 里是开集，就意味着这个集合里的每一个点，都能找到一个“小邻居”——一个以这个点为中心的小球（或者说圆盘、球体，具体看维度），而这个小球完全包含在这个集合里面。你不会在开集的边界上找到点，它就像一个没有被“封死”的区域。

然后是“单连通”。这个词听起来有点绕，但其实意思是挺直观的。一个集合是单连通的，就意味着在这个集合里，任何一个封闭的曲线，比如一个圈，都可以“收缩”成一个点，而且在收缩的过程中，它始终保持在这个集合里面。想象一下，如果你在一个开放的平面上画一个圈，你可以把它慢慢地挤压成一个点，中间的路径始终都在平面上。但是，如果你在一个有“洞”的甜甜圈（比如在 R³ 里，一个环面）上画一个圈，这个圈如果绕着那个洞，就没法收缩成一个点，因为它会被洞挡住。所以，单连通的集合是没有“洞”的。

现在，我们回过头来问问题：Rⁿ 中任何一个单连通的开集，是不是都一定能“变形”成 Rⁿ 本身的样子？这里的“变形”在我们数学上叫做“同胚”。两个空间如果同胚，就意味着它们在拓扑学上是等价的，就像你可以把一个橡皮泥团捏成任何形状，只要不撕裂、不粘连，它就和原来的橡皮泥团是同胚的。

咱们先从 Rⁿ 的“低维度”看起，这是理解的关键。

R¹ 中的情况：
在 R¹，也就是实数轴上，一个开集是什么样的？因为实数轴是一条线，一个开集就是若干个不相交的开区间组成的集合。比如，(∞, 0) ∪ (1, 3) ∪ (5, ∞) 就是 R¹ 的一个开集。

那什么样的开集是单连通的呢？在 R¹ 上，单连通的开集就是一个单独的开区间。比如，(∞, 0)，(1, 3)，或者 (0, ∞)。因为在一条直线上，任何一个闭合的“曲线”只能是两个点，这两个点可以轻易地在区间内收缩成一个点。

现在我们来问：任何一个 R¹ 的开区间，是不是都同胚于 R¹ 本身？答案是：是的，它们都同胚于 R¹。

举个例子，我们来看看开区间 (0, 1) 和 R¹ (整个实数轴) 之间有没有同胚。我们可以构造一个函数 f(x) = tan(π(x 1/2))。
当 x 从 0 趋近于 0 时，π(x 1/2) 趋近于 π/2，tan(π/2) 趋近于 ∞。
当 x 从 1 趋近于 1 时，π(x 1/2) 趋近于 π/2，tan(π/2) 趋近于 +∞。
在 (0, 1) 这个区间内，tan 函数是连续且单调递增的，并且把整个 (0, 1) 区间映射到了 (∞, ∞)，也就是 R¹。

这个函数 f(x) 是一个同胚映射：它是连续的，也是一对一的，并且它的反函数 ( arctan(y/π) + 1/2 ) 也是连续的。这意味着 (0, 1) 和 R¹ 是同胚的。

同样的，任何一个开区间 (a, b) 都可以通过一个线性的变换（先缩放，再平移）映射到 (0, 1)，再通过上面的 tan 函数映射到 R¹。所以，R¹ 中任何一个单连通的开集（也就是任何一个开区间），都同胚于 R¹。

R² 中的情况：
现在我们把目光移到平面 R²。在 R² 中，单连通的开集是什么样的？它就是一个没有洞的开区域。比如，一个圆盘（不包含边界），一个正方形（不包含边界），或者整个 R² 本身。

那么，R² 中任何一个单连通的开集，是否都同胚于 R² 呢？

是的，这确实是成立的。 这得益于一个非常重要的数学定理，叫做二维球面定理 (Uniformization Theorem for Surfaces) 的一个推论，或者更直接地说，是黎曼绘图定理 (Riemann Mapping Theorem) 的一个推广（虽然黎曼绘图定理本身是针对单位圆盘到其他单连通区域的映射，但它的精神和结果在一定程度上也支持了 Rⁿ 的情况）。

这个定理告诉我们，在二维情况下，任何一个与 R² 同胚的单连通开集，都同胚于 R² 本身。

你可以这样理解：虽然一个开集可能不是一个完美的圆盘或者正方形，它可能形状非常奇怪，边界可以非常复杂（比如科赫雪花那样，虽然科赫雪花不是开集，但它是说明边界可以复杂的例子），但只要它在 R² 里是开集（意味着它没有边界的点），并且是单连通的（意味着它里面没有洞），那么你总能找到一种“拉伸”和“压缩”的方式，把它变成 R² 的样子，而且在这个“变形”过程中，所有连接关系都保持不变，也不会出现撕裂。

就像 R¹ 的情况一样，我们可以想象一个“万能的橡皮泥”，把 R² 空间的任何一个单连通开集，都可以“捏”成 R² 的标准样子。

Rⁿ 中的一般情况：
那么，对于更高维度的 Rⁿ，情况是不是也一样呢？

不幸的是，对于 n ≥ 3，这个说法就不再普遍成立了。

在 R³ 或更高维度，一个单连通的开集，不一定同胚于 Rⁿ。

是什么让情况变得复杂了呢？就是“洞”的概念。在 R³ 里，我们可以想象一个球体（作为 R³ 的一个单连通开集），它确实同胚于 R³。但是，如果我们考虑 R³ 里一个外侧带一个无限大的“洞”的开集，这个“洞”就和 R³ 本身的一个“洞”（比如 R³ 减去一个点）在拓扑上可能是不一样的。

一个经典的例子是R³ 中去掉一个点的集合。这个集合是单连通的（因为你可以在 R³ 里画一个圈，让它围绕着那个被去掉的点，然后收缩到它），而且是开集。但是，它不同胚于 R³。为什么？

想象一下 R³，然后挖掉一个点。你可以在这个集合里画一个非常大的圈，绕着那个被挖掉的点，然后慢慢收缩它。这个圈是可以收缩的。

但是，再考虑 R³ 减去一个无限长、无限细的圆柱（比如，去掉所有形如 (cos t, sin t, z) 的点，其中 t 和 z 是任意实数）。这个集合也是单连通的。你可以把任何一个闭合的曲线收缩成一个点。但是，它不同胚于 R³。

这里的关键在于，在高维度，一个集合的“形状”和它是否“有洞”的性质，比二维要复杂得多。二维的情况因为“平坦”，很多复杂的“洞”实际上都可以被“填平”或者“拉伸”开。但在高维，一些“洞”是无法被“填平”的。

一个关键的定理叫做广义黎曼几何定理 (Generalized Uniformization Theorem) 或者高维球化定理 (Sphere Theorem)，它给出了在 n ≥ 3 的情况下，同胚于 Rⁿ 的开集需要满足的更强的条件。

简单来说，对于 n ≥ 3，一个单连通的开集要同胚于 Rⁿ，除了单连通之外，还需要满足一个叫做“容度” (Capacity) 或“正则性” (Regularity) 的性质，这个性质与集合如何“包围”一个点有关。

总结一下：

在 R¹ 中： 任何一个单连通的开集（即任何一个开区间）都同胚于 R¹。
在 R² 中： 任何一个单连通的开集（一个没有洞的开区域）都同胚于 R²。这是因为二维空间的“平坦性”以及黎曼绘图定理的强大作用。
在 Rⁿ 中 (n ≥ 3)： 不一定。虽然单连通是一个重要条件，但它不足以保证同胚于 Rⁿ。高维度下，一个开集即使是单连通的，也可能因为其“内部结构”的复杂性而无法同胚于 Rⁿ。

所以，问题的答案是：只有在 n=1 和 n=2 的情况下，Rⁿ 中任意单连通的开集才都同胚于 Rⁿ。 对于 n ≥ 3，这个说法就不成立了。

的《代数拓扑》第一章的习题 3 ： 中有限点集的补空间单连通，当且仅当 .

而这样的补空间一定是开集（有限点集是闭集），所以满足题意. 但是

这是因为

而它的同调群

但是欧氏空间

故两者不同胚.