n! 是否是一个完全平方数？
这个问题很有趣！我们来详细地探讨一下 $n!$ 是否是一个完全平方数。
首先，我们来回顾一下什么是完全平方数。
一个整数 $x$ 如果可以表示为另一个整数 $k$ 的平方，即 $x = k^2$，那么 $x$ 就是一个完全平方数。例如，1, 4, 9, 16, 25... 都是完全平方数。
接下来，我们考虑 $n!$。
$n!$（读作“n的阶乘”）是指从1开始到n的所有正整数的乘积。
例如：
$1! = 1$
$2! = 2 imes 1 = 2$
$3! = 3 imes 2 imes 1 = 6$
$4! = 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 24$
$5! = 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 120$
$6! = 6 imes 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 720$
判断一个数是否为完全平方数，最关键的依据是它的质因数分解。
一个整数是完全平方数，当且仅当在其质因数分解中，每一个质因数的指数都是偶数。
例如：
$36 = 2^2 imes 3^2$ (质因数2的指数是2，质因数3的指数是2，都是偶数，所以36是完全平方数，$36=6^2$)
$100 = 2^2 imes 5^2$ (质因数2的指数是2，质因数5的指数是2，都是偶数，所以100是完全平方数，$100=10^2$)
$72 = 2^3 imes 3^2$ (质因数2的指数是3，是奇数，所以72不是完全平方数)
现在，我们把这个原理应用到 $n!$ 上。
为了判断 $n!$ 是否为完全平方数，我们需要分析 $n!$ 的质因数分解中每个质因数的指数。
情况分析：
当 $n=1$ 时：
$1! = 1$。$1$ 可以表示为 $1^2$。所以 $1!$ 是一个完全平方数。
当 $n > 1$ 时：
我们来看 $n!$ 的质因数分解。根据勒让德公式（Legendre's formula），在一个正整数 $n$ 的阶乘 $n!$ 中，一个质数 $p$ 的出现次数（即指数）为：
$$ E_p(n!) = sum_{i=1}^{infty} leftlfloor frac{n}{p^i} ight floor = leftlfloor frac{n}{p} ight floor + leftlfloor frac{n}{p^2} ight floor + leftlfloor frac{n}{p^3} ight floor + dots $$
其中 $lfloor x floor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数（向下取整）。
要使 $n!$ 是一个完全平方数，对于 $n!$ 的所有质因数 $p$，其指数 $E_p(n!)$ 都必须是偶数。
让我们考虑一个特定的质数，例如最大的小于等于 $n$ 的质数。设这个质数为 $p_{max}$。
如果 $n ge 2$：
在 $n!$ 的乘积 $1 imes 2 imes dots imes n$ 中，$p_{max}$ 只会出现一次（因为它本身就是 $p_{max}$），并且在小于 $p_{max}$ 的数中，没有 $p_{max}$ 的倍数（因为 $p_{max}$ 是小于等于 $n$ 的最大质数）。
或者更严谨地说：
考虑最大的小于等于 $n$ 的质数 $p$。
那么在 $1, 2, dots, n$ 这些数中，$p$ 的倍数只有 $p$ 本身（因为如果 $2p le n$，那么 $2p$ 会比 $p$ 大，并且如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么 $2p$ 也很可能大于 $n$，或者如果 $2p le n$, 那么 $p$ 就不可能是最大的小于等于 $n$ 的质数）。
因此，最大的小于等于 $n$ 的质数 $p$ 在 $n!$ 的质因数分解中的指数就是 1。
由于指数 1 是奇数，根据完全平方数的定义，这意味着对于任何 $n ge 2$，$n!$ 都不是一个完全平方数。
举例说明：
$n=2$: $2! = 2$。质因数分解是 $2^1$。指数是1（奇数）。不是完全平方数。
$n=3$: $3! = 6$。质因数分解是 $2^1 imes 3^1$。指数都是1（奇数）。不是完全平方数。
$n=4$: $4! = 24$。质因数分解是 $2^3 imes 3^1$。指数是3和1（都是奇数）。不是完全平方数。
$n=5$: $5! = 120$。质因数分解是 $2^3 imes 3^1 imes 5^1$。指数是3, 1, 1（都是奇数）。不是完全平方数。
$n=6$: $6! = 720$。质因数分解是 $2^4 imes 3^2 imes 5^1$。质数5的指数是1（奇数）。不是完全平方数。
更深入的思考 为什么最大的质数指数一定是1？
设 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数。
根据勒让德公式，$E_p(n!) = lfloor n/p floor + lfloor n/p^2 floor + dots$
因为 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，所以 $2p > n$ （否则 $2p$ 也会是一个小于等于 $n$ 的数，但 $p$ 已经是最大的质数了，那么 $2p$ 就不可能是质数，也可能不是质数，但如果 $2p le n$，那么 $p$ 就不可能是最大的质数，因为还存在 $p$ 的倍数 $2p$ ）。
更直接的说法是：
如果 $2p le n$，那么在 $1, 2, dots, n$ 的乘积中，$p$ 的倍数至少有 $p$ 和 $2p$。这样，$p$ 在 $n!$ 中的指数至少是 2。
然而，如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么 $p$ 的下一个倍数 $2p$ 一定大于 $n$。
证明： 假设存在一个小于等于 $n$ 的质数 $q$ 使得 $q$ 是 $p$ 的下一个质数，那么 $q > p$。根据质数分布的性质，存在一些小于 $n$ 的质数，其下一个质数可能小于 $2p$。但是，如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么任何小于 $n$ 的其他质数 $q'$ 都在 $p$ 之前。如果 $2p le n$，那么 $2p$ 就是一个小于等于 $n$ 的数，它可能是合数，但它是一个 $p$ 的倍数。关键在于：
如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么：
1. $p$ 自身出现在 $n!$ 的乘积中。
2. $2p$ 是否出现在 $n!$ 的乘积中？
如果 $2p le n$，那么 $p$ 的指数至少是 $lfloor n/p floor ge lfloor 2p/p floor = 2$。
如果 $2p > n$，那么在 $1, 2, dots, n$ 中，$p$ 的唯一倍数就是 $p$ 本身。所以 $E_p(n!) = lfloor n/p floor = 1$。
关键点： 对于 $n ge 2$，存在一个大于 $n/2$ 的质数 $p$（根据切比雪夫定理或更强的版本）。如果存在一个大于 $n/2$ 的质数 $p$ 且 $p le n$，那么 $2p > n$。
因此，这个最大的质数 $p$ 只会在 $n!$ 中出现一次（作为因子 $p$ 本身），它的指数是 1。
更严谨的证明思路：
1. $n=1$: $1! = 1 = 1^2$，是完全平方数。
2. $n ge 2$:
设 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数。
根据 Bertrand's Postulate（或称作 BertrandChebyshev theorem），对于任何 $n > 1$，都存在一个质数 $p$ 使得 $n/2 < p le n$。
如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，并且 $n/2 < p le n$。
那么 $2p > n$。
这意味着在 $1, 2, dots, n$ 中，$p$ 的唯一倍数就是 $p$ 本身。
因此，根据勒让德公式，$E_p(n!) = lfloor n/p floor + lfloor n/p^2 floor + dots = lfloor n/p floor$。
因为 $n/2 < p le n$，所以 $1 le n/p < 2$。
所以 $lfloor n/p floor = 1$。
这意味着，最大的质数 $p$ 在 $n!$ 的质因数分解中的指数是 1。
由于存在一个质因数的指数是奇数（1），所以 $n!$ 不是完全平方数。
结论：
只有 $1!$ ($n=1$) 是一个完全平方数。
对于所有大于 1 的整数 $n$ ($n ge 2$)，$n!$ 都不是一个完全平方数。
首先，我们来回顾一下什么是完全平方数。
一个整数 $x$ 如果可以表示为另一个整数 $k$ 的平方，即 $x = k^2$，那么 $x$ 就是一个完全平方数。例如，1, 4, 9, 16, 25... 都是完全平方数。
接下来，我们考虑 $n!$。
$n!$（读作“n的阶乘”）是指从1开始到n的所有正整数的乘积。
例如：
$1! = 1$
$2! = 2 imes 1 = 2$
$3! = 3 imes 2 imes 1 = 6$
$4! = 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 24$
$5! = 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 120$
$6! = 6 imes 5 imes 4 imes 3 imes 2 imes 1 = 720$
判断一个数是否为完全平方数，最关键的依据是它的质因数分解。
一个整数是完全平方数，当且仅当在其质因数分解中，每一个质因数的指数都是偶数。
例如：
$36 = 2^2 imes 3^2$ (质因数2的指数是2，质因数3的指数是2，都是偶数，所以36是完全平方数，$36=6^2$)
$100 = 2^2 imes 5^2$ (质因数2的指数是2，质因数5的指数是2，都是偶数，所以100是完全平方数，$100=10^2$)
$72 = 2^3 imes 3^2$ (质因数2的指数是3，是奇数，所以72不是完全平方数)
现在，我们把这个原理应用到 $n!$ 上。
为了判断 $n!$ 是否为完全平方数，我们需要分析 $n!$ 的质因数分解中每个质因数的指数。
情况分析：
当 $n=1$ 时：
$1! = 1$。$1$ 可以表示为 $1^2$。所以 $1!$ 是一个完全平方数。
当 $n > 1$ 时：
我们来看 $n!$ 的质因数分解。根据勒让德公式（Legendre's formula），在一个正整数 $n$ 的阶乘 $n!$ 中，一个质数 $p$ 的出现次数（即指数）为：
$$ E_p(n!) = sum_{i=1}^{infty} leftlfloor frac{n}{p^i} ight floor = leftlfloor frac{n}{p} ight floor + leftlfloor frac{n}{p^2} ight floor + leftlfloor frac{n}{p^3} ight floor + dots $$
其中 $lfloor x floor$ 表示不大于 $x$ 的最大整数（向下取整）。
要使 $n!$ 是一个完全平方数，对于 $n!$ 的所有质因数 $p$，其指数 $E_p(n!)$ 都必须是偶数。
让我们考虑一个特定的质数，例如最大的小于等于 $n$ 的质数。设这个质数为 $p_{max}$。
如果 $n ge 2$：
在 $n!$ 的乘积 $1 imes 2 imes dots imes n$ 中，$p_{max}$ 只会出现一次（因为它本身就是 $p_{max}$），并且在小于 $p_{max}$ 的数中，没有 $p_{max}$ 的倍数（因为 $p_{max}$ 是小于等于 $n$ 的最大质数）。
或者更严谨地说：
考虑最大的小于等于 $n$ 的质数 $p$。
那么在 $1, 2, dots, n$ 这些数中，$p$ 的倍数只有 $p$ 本身（因为如果 $2p le n$，那么 $2p$ 会比 $p$ 大，并且如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么 $2p$ 也很可能大于 $n$，或者如果 $2p le n$, 那么 $p$ 就不可能是最大的小于等于 $n$ 的质数）。
因此，最大的小于等于 $n$ 的质数 $p$ 在 $n!$ 的质因数分解中的指数就是 1。
由于指数 1 是奇数，根据完全平方数的定义，这意味着对于任何 $n ge 2$，$n!$ 都不是一个完全平方数。
举例说明：
$n=2$: $2! = 2$。质因数分解是 $2^1$。指数是1（奇数）。不是完全平方数。
$n=3$: $3! = 6$。质因数分解是 $2^1 imes 3^1$。指数都是1（奇数）。不是完全平方数。
$n=4$: $4! = 24$。质因数分解是 $2^3 imes 3^1$。指数是3和1（都是奇数）。不是完全平方数。
$n=5$: $5! = 120$。质因数分解是 $2^3 imes 3^1 imes 5^1$。指数是3, 1, 1（都是奇数）。不是完全平方数。
$n=6$: $6! = 720$。质因数分解是 $2^4 imes 3^2 imes 5^1$。质数5的指数是1（奇数）。不是完全平方数。
更深入的思考 为什么最大的质数指数一定是1？
设 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数。
根据勒让德公式，$E_p(n!) = lfloor n/p floor + lfloor n/p^2 floor + dots$
因为 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，所以 $2p > n$ （否则 $2p$ 也会是一个小于等于 $n$ 的数，但 $p$ 已经是最大的质数了，那么 $2p$ 就不可能是质数，也可能不是质数，但如果 $2p le n$，那么 $p$ 就不可能是最大的质数，因为还存在 $p$ 的倍数 $2p$ ）。
更直接的说法是：
如果 $2p le n$，那么在 $1, 2, dots, n$ 的乘积中，$p$ 的倍数至少有 $p$ 和 $2p$。这样，$p$ 在 $n!$ 中的指数至少是 2。
然而，如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么 $p$ 的下一个倍数 $2p$ 一定大于 $n$。
证明： 假设存在一个小于等于 $n$ 的质数 $q$ 使得 $q$ 是 $p$ 的下一个质数，那么 $q > p$。根据质数分布的性质，存在一些小于 $n$ 的质数，其下一个质数可能小于 $2p$。但是，如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么任何小于 $n$ 的其他质数 $q'$ 都在 $p$ 之前。如果 $2p le n$，那么 $2p$ 就是一个小于等于 $n$ 的数，它可能是合数，但它是一个 $p$ 的倍数。关键在于：
如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，那么：
1. $p$ 自身出现在 $n!$ 的乘积中。
2. $2p$ 是否出现在 $n!$ 的乘积中？
如果 $2p le n$，那么 $p$ 的指数至少是 $lfloor n/p floor ge lfloor 2p/p floor = 2$。
如果 $2p > n$，那么在 $1, 2, dots, n$ 中，$p$ 的唯一倍数就是 $p$ 本身。所以 $E_p(n!) = lfloor n/p floor = 1$。
关键点： 对于 $n ge 2$，存在一个大于 $n/2$ 的质数 $p$（根据切比雪夫定理或更强的版本）。如果存在一个大于 $n/2$ 的质数 $p$ 且 $p le n$，那么 $2p > n$。
因此，这个最大的质数 $p$ 只会在 $n!$ 中出现一次（作为因子 $p$ 本身），它的指数是 1。
更严谨的证明思路：
1. $n=1$: $1! = 1 = 1^2$，是完全平方数。
2. $n ge 2$:
设 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数。
根据 Bertrand's Postulate（或称作 BertrandChebyshev theorem），对于任何 $n > 1$，都存在一个质数 $p$ 使得 $n/2 < p le n$。
如果 $p$ 是小于等于 $n$ 的最大质数，并且 $n/2 < p le n$。
那么 $2p > n$。
这意味着在 $1, 2, dots, n$ 中，$p$ 的唯一倍数就是 $p$ 本身。
因此，根据勒让德公式，$E_p(n!) = lfloor n/p floor + lfloor n/p^2 floor + dots = lfloor n/p floor$。
因为 $n/2 < p le n$，所以 $1 le n/p < 2$。
所以 $lfloor n/p floor = 1$。
这意味着，最大的质数 $p$ 在 $n!$ 的质因数分解中的指数是 1。
由于存在一个质因数的指数是奇数（1），所以 $n!$ 不是完全平方数。
结论：
只有 $1!$ ($n=1$) 是一个完全平方数。
对于所有大于 1 的整数 $n$ ($n ge 2$)，$n!$ 都不是一个完全平方数。
网友意见
对于 （ 且 ），有如下公式：
实际上我们只要证明：不超过 ，但离 最近的质数，其最大指数一定是 ，即需证
即证
证明：分两种情况：
若 ，则命题显然；
若 ，命
现在只需证明 即可。若不然，则 满足
成立原因是伯特兰假设。如此一来， 的出现与 的极大性相矛盾. 所以大于1的阶乘皆非完全平方数.
下面我列出 20 以内阶乘的质因数分解式（除 1 外）：
容易发现分解式中的最后一个质数的指数总是 1，更进一步，只要满足 的质数，其指数也总是 1.
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