N个人通过石头剪刀布决出一个胜者所需要的轮数的数学期望是多少？
N 个人石头剪刀布决出胜者所需的轮数，咱们来掰扯掰扯！
这可不是一道简单的算术题，里面牵扯着概率和一点点数学思维。咱们就一步一步来，把这“谁是赢家”的游戏背后的数学期望给拆解开。
首先，我们得明确一下，这“石头剪刀布”的游戏规则是什么。简单来说，就是三选一，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头。要是所有人都出了一样的，或者两两相克，那就是平局，得再来一轮。只有当出现唯一的一个“赢家”时，游戏才算结束。
那么，什么叫做“数学期望”呢？你可以把它想象成一个平均值。如果我们把这个游戏玩无数次，记录下每一局需要多少轮才能决出胜负，然后把这些轮数加起来，再除以游戏的次数，这个平均下来的数字，就是数学期望。它告诉我们，平均来看，我们得玩多少轮才能看到一个胜利者。
咱们先从最简单的情况说起，就是 N=2 的时候。
两个人玩石头剪刀布。总共有 3 x 3 = 9 种可能的结果。
情况 1：决出胜负
一个人出石头，另一个人出剪刀 (石头胜剪刀)。
一个人出剪刀，另一个人出布 (剪刀胜布)。
一个人出布，另一个人出石头 (布胜石头)。
这三种情况都会产生一个赢家，游戏在第一轮就结束了。每种情况发生的概率是 1/9。所以，出现胜负的概率是 3/9 = 1/3。
情况 2：平局
两人都出石头。
两人都出剪刀。
两人都出布。
这三种情况是平局，需要重新开始。每种情况发生的概率也是 1/9。所以，平局的概率是 3/9 = 1/3。
还有一种特殊情况：一个人出石头，另一个人出布 (布胜石头)。哎，等等，这不也是决出胜负了吗？
让咱们换个思路来分析，更清晰：
在两个人玩石头剪刀布时，一共有 9 种组合（石头石头、石头剪刀、石头布、剪刀石头、剪刀剪刀、剪刀布、布石头、布剪刀、布布）。
决出胜负的情况有 6 种：
玩家 A 出石头，玩家 B 出剪刀。
玩家 A 出剪刀，玩家 B 出布。
玩家 A 出布，玩家 B 出石头。
玩家 B 出石头，玩家 A 出剪刀。
玩家 B 出剪刀，玩家 A 出布。
玩家 B 出布，玩家 A 出石头。
所以，第一轮就决出胜负的概率是 6/9 = 2/3。
平局的情况有 3 种：
玩家 A 出石头，玩家 B 出石头。
玩家 A 出剪刀，玩家 B 出剪刀。
玩家 A 出布，玩家 B 出布。
所以，平局的概率是 3/9 = 1/3。
所以，对于两个人来说，第一轮就结束游戏的概率是 2/3。那么，需要的轮数的数学期望呢？
设 X 是所需的轮数。
P(X=1) = 2/3 （第一轮就分出胜负）
P(X=2) = (1/3) (2/3) （第一轮平局，第二轮分出胜负）
P(X=3) = (1/3)^2 (2/3) （前两轮平局，第三轮分出胜负）
以此类推，P(X=k) = (1/3)^(k1) (2/3)
数学期望 E[X] = Σ (k P(X=k)) 从 k=1 到无穷大
E[X] = 1 (2/3) + 2 (1/3 2/3) + 3 (1/3^2 2/3) + ...
这是一个等比数列求和的变形。我们可以这样想：
E[X] = (2/3) [1 + 2(1/3) + 3(1/3)^2 + 4(1/3)^3 + ...]
括号里的部分是一个著名的级数 1/(1x)^2，当 x = 1/3 时。
所以，括号里的值是 1 / (1 1/3)^2 = 1 / (2/3)^2 = 1 / (4/9) = 9/4。
因此，E[X] = (2/3) (9/4) = 18/12 = 3/2。
也就是说，两个人玩石头剪刀布，平均需要 1.5 轮才能决出胜负。
现在，把战线拉到 N 个人。这就有意思了，因为“决出胜者”的条件变得复杂起来。
一个胜者出现，意味着：
1. 有一个人出某种招数，而所有其他 N1 个人都出另一种克制这种招数的招数。 (例如：一个人出石头，剩下 N1 个人都出剪刀。)
2. 有一个人出某种招数，而所有其他 N1 个人都出第三种招数。 (例如：一个人出石头，剩下 N1 个人都出布。)
听起来有点绕？咱们换个方式来理解“决出胜者”。
在 N 个人玩时，一共有 3^N 种可能的出招组合。
胜者出现，可以看作是：所有 N 个人出的招数，要么是同一种，要么是两两相克的组合，但必须是只有一个“赢家”出现。
比如：
全是石头： 平局，无人胜出。
全是剪刀： 平局，无人胜出。
全是布： 平局，无人胜出。
N1 人出石头，1 人出剪刀： 剪刀胜石头，出剪刀的人是赢家。
N1 人出剪刀，1 人出布： 布胜剪刀，出布的人是赢家。
N1 人出布，1 人出石头： 石头胜布，出石头的人是赢家。
其他混合情况： 例如 2 人出石头，N2 人出剪刀。这时候，出剪刀的两个人一起胜出，但这不是一个胜者，所以游戏不结束。又比如 1 人石头，1 人剪刀，N2 人布。石头胜剪刀，但布并没有被克制，所以这也不是一个明确的胜者。
所以，唯一一个胜者出现的条件非常苛刻：不是所有人出一样的招数，也不是所有出招数都是相互克制（那样会出现多个赢家），而是所有人都出一种招数，并且有且只有一个人出克制这种招数的招数。
让我们来计算一轮游戏中，出现一个明确胜者的概率 (P_win)。
一轮游戏，每个人有 3 种选择，总共有 3^N 种结果。
为了有一个唯一的胜者，必须满足以下两种情况之一：
1. N1 个人出某种招数 (比如石头)，而一个人出克制这种招数的招数 (剪刀)。
假设有 k 个人出石头，m 个人出剪刀，p 个人出布，且 k+m+p = N。
要出现一个胜者，要么是出剪刀的人胜出 (m=1, k=N1, p=0)，要么是出布的人胜出 (p=1, m=N1, k=0)，要么是出石头的人胜出 (k=1, p=N1, m=0)。
咱们换个思路来计算：
第一种情况：所有人都出一样。 N 个人都出石头，N 个人都出剪刀，N 个人都出布。这有 3 种结果。这是平局，无人胜出。
第二种情况：所有人的选择并非完全相同，但最终只有一个胜者。 这意味着，所有人出的招数只有两种。并且，其中一种招数只有一个人出，而剩下所有人都出能克制这种招数的另一种招数。
比如，有 1 个人出剪刀 (胜者)，其余 N1 个人都出石头 (被克制)。剪刀克石头。
还有 1 个人出布 (胜者)，其余 N1 个人都出剪刀 (被克制)。布克剪刀。
还有 1 个人出石头 (胜者)，其余 N1 个人都出布 (被克制)。石头克布。
这三种情况里，我们都需要选择哪一种招数是被克制的（石头/剪刀/布，3种选择），然后选择哪一个人是赢家（N种选择）。
所以，这总共有 3 N 种结果可以产生一个唯一的胜者。
第三种情况：所有人的选择并非完全相同，但有多于一个的胜者。
例如：一个人出石头，一个人出剪刀，其余 N2 人出布。石头胜剪刀，但是布并没有被完全克制。石头和剪刀是“赢家”，但不是“唯一赢家”。
或者：2 个人出石头，N2 个人出剪刀。剪刀胜石头，这时出现了 2 个赢家。
让我们重新审视“决出胜者”的定义：只有一个人赢，其他人输。
这意味着：
1. 存在一种招数，只有一个人出（比如石头）。
2. 所有其他人（N1 个人）都出克制这种招数的招数（比如剪刀）。
让我们来计算一轮中决出胜者的概率：
总共有 3^N 种可能的结果。
要出现唯一的胜者，必须满足以下条件：
谁是赢家？ （N 种选择：第 1 个人，第 2 个人... 第 N 个人）
赢家出了什么招数？ （3 种选择：石头，剪刀，布）
其他人出了什么招数？ 剩下的 N1 个人必须出克制赢家招数的招数。 （1 种选择）
举个例子：
假设第 i 个人是赢家，他出了石头。那么剩下的 N1 个人都必须出剪刀。
假设第 i 个人是赢家，他出了剪刀。那么剩下的 N1 个人都必须出布。
假设第 i 个人是赢家，他出了布。那么剩下的 N1 个人都必须出石头。
所以，产生一个唯一胜者的组合数是 N (选择谁是赢家) 3 (选择赢家的招数) = 3N。
那么，在一轮游戏中，决出胜者的概率 (P_win) 是 3N / 3^N。
相反，平局的概率 (P_draw) 就是 1 P_win = 1 (3N / 3^N)。
平局包括了所有人出一样的情况 (3 种情况) 和出现多个胜者的情况。
现在，我们来看数学期望。设 E 是所需的轮数。
第一轮就决出胜者的概率是 P_win。
第一轮平局的概率是 P_draw。如果平局，游戏就回到了起点，需要重新开始。
这是一个典型的几何分布问题。所需的轮数的期望值是 1 / P_win。
所以，N 个人玩石头剪刀布，决出胜者所需的轮数的数学期望是：
E = 1 / P_win = 1 / (3N / 3^N) = 3^N / (3N)
让我们来验证一下这个公式：
N=2 时： E = 3^2 / (3 2) = 9 / 6 = 3/2。 这个结果和我们之前两个人计算的结果是一样的，太棒了！
N=3 时： E = 3^3 / (3 3) = 27 / 9 = 3。 平均需要 3 轮。
N=1 时： 理论上，一个人玩石头剪刀布，他自己就是胜者，需要 1 轮。用公式算：E = 3^1 / (3 1) = 3 / 3 = 1。 也吻合。
为什么是这样呢？
你可以这样理解：每一轮，都有一个“机会”让游戏结束，这个机会的概率是 P_win。数学期望就是这个“机会”的倒数。就好比抛硬币，正面朝上的概率是 1/2，那么平均需要抛多少次才能看到正面呢？答案是 1 / (1/2) = 2 次。
更详细的解释一下“概率 P_win = 3N / 3^N”的由来：
1. 总的可能性： N 个人，每个人有石头、剪刀、布 3 种选择，所以总共有 3 x 3 x ... x 3 (N 次) = 3^N 种可能的结果。
2. 产生唯一胜者的情况：
要产生一个唯一的胜者，必须满足一个非常特定的条件：所有人出的招数只有两种，而且其中一种招数只有一个人出，剩下的人都出克制这种招数的招数。
我们一步步来分解：
选定“赢家”是谁： N 个玩家中，任意选一个人作为潜在的赢家。有 N 种选择。
赢家出了什么招数： 这个潜在的赢家可以出石头、剪刀或布。有 3 种选择。
其他人的招数： 剩下的 N1 个人，为了让这位潜在的赢家获胜，他们必须出克制赢家招数的那个招数。例如，如果赢家出了石头，那么其他 N1 个人就都必须出剪刀。只有这 1 种出招方式才能确保这位赢家是“唯一”的。
所以，所有可能产生唯一胜者的结果组合数量是：
N (选赢家) 3 (赢家出什么) 1 (其他人出什么) = 3N。
3. 计算概率：
在一轮游戏中，决出唯一胜者的概率 P_win 就是“产生唯一胜者的情况数”除以“总的可能性数”。
P_win = (3N) / (3^N)
举个例子，N=3：
总结果数是 3^3 = 27 种。
产生唯一胜者的情况有多少？3N = 3 3 = 9 种。
让我们列举一下：
玩家 1 出石头，玩家 2 和 3 都出剪刀 (玩家 1 胜)。
玩家 1 出剪刀，玩家 2 和 3 都出布 (玩家 1 胜)。
玩家 1 出布，玩家 2 和 3 都出石头 (玩家 1 胜)。
玩家 2 出石头，玩家 1 和 3 都出剪刀 (玩家 2 胜)。
玩家 2 出剪刀，玩家 1 和 3 都出布 (玩家 2 胜)。
玩家 2 出布，玩家 1 和 3 都出石头 (玩家 2 胜)。
玩家 3 出石头，玩家 1 和 2 都出剪刀 (玩家 3 胜)。
玩家 3 出剪刀，玩家 1 和 2 都出布 (玩家 3 胜)。
玩家 3 出布，玩家 1 和 2 都出石头 (玩家 3 胜)。
一共是 9 种情况。
所以 P_win = 9 / 27 = 1/3。
数学期望 E = 1 / P_win = 1 / (1/3) = 3。
这个结果非常符合我们的直觉。当人数增加时，出现平局的可能性也大大增加，因此需要更多的轮数来找到那个唯一的胜者。
总结一下：
N 个人玩石头剪刀布，决出唯一胜者所需的轮数的数学期望是 3^N / (3N)。
这个公式告诉我们，随着参与人数 N 的增加，决出胜负所需的平均轮数会急剧增长。这主要是因为当人数增多时，各种平局的可能性（包括所有人都出一样，或者出现多个赢家）会大大增加，使得出现“唯一胜者”的概率变得越来越小。为了找到这个少数情况，游戏不得不一轮又一轮地进行下去。
所以，下次玩石头剪刀布，尤其是有很多人一起玩的时候，要有耐心哦！数学告诉你，胜利往往需要一点时间的等待。
这可不是一道简单的算术题，里面牵扯着概率和一点点数学思维。咱们就一步一步来，把这“谁是赢家”的游戏背后的数学期望给拆解开。
首先，我们得明确一下，这“石头剪刀布”的游戏规则是什么。简单来说，就是三选一，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头。要是所有人都出了一样的，或者两两相克，那就是平局，得再来一轮。只有当出现唯一的一个“赢家”时，游戏才算结束。
那么，什么叫做“数学期望”呢？你可以把它想象成一个平均值。如果我们把这个游戏玩无数次，记录下每一局需要多少轮才能决出胜负，然后把这些轮数加起来，再除以游戏的次数，这个平均下来的数字，就是数学期望。它告诉我们，平均来看，我们得玩多少轮才能看到一个胜利者。
咱们先从最简单的情况说起，就是 N=2 的时候。
两个人玩石头剪刀布。总共有 3 x 3 = 9 种可能的结果。
情况 1：决出胜负
一个人出石头，另一个人出剪刀 (石头胜剪刀)。
一个人出剪刀，另一个人出布 (剪刀胜布)。
一个人出布，另一个人出石头 (布胜石头)。
这三种情况都会产生一个赢家，游戏在第一轮就结束了。每种情况发生的概率是 1/9。所以，出现胜负的概率是 3/9 = 1/3。
情况 2：平局
两人都出石头。
两人都出剪刀。
两人都出布。
这三种情况是平局，需要重新开始。每种情况发生的概率也是 1/9。所以，平局的概率是 3/9 = 1/3。
还有一种特殊情况：一个人出石头，另一个人出布 (布胜石头)。哎，等等，这不也是决出胜负了吗？
让咱们换个思路来分析，更清晰：
在两个人玩石头剪刀布时，一共有 9 种组合（石头石头、石头剪刀、石头布、剪刀石头、剪刀剪刀、剪刀布、布石头、布剪刀、布布）。
决出胜负的情况有 6 种：
玩家 A 出石头，玩家 B 出剪刀。
玩家 A 出剪刀，玩家 B 出布。
玩家 A 出布，玩家 B 出石头。
玩家 B 出石头，玩家 A 出剪刀。
玩家 B 出剪刀，玩家 A 出布。
玩家 B 出布，玩家 A 出石头。
所以，第一轮就决出胜负的概率是 6/9 = 2/3。
平局的情况有 3 种：
玩家 A 出石头，玩家 B 出石头。
玩家 A 出剪刀，玩家 B 出剪刀。
玩家 A 出布，玩家 B 出布。
所以，平局的概率是 3/9 = 1/3。
所以，对于两个人来说，第一轮就结束游戏的概率是 2/3。那么，需要的轮数的数学期望呢？
设 X 是所需的轮数。
P(X=1) = 2/3 （第一轮就分出胜负）
P(X=2) = (1/3) (2/3) （第一轮平局，第二轮分出胜负）
P(X=3) = (1/3)^2 (2/3) （前两轮平局，第三轮分出胜负）
以此类推，P(X=k) = (1/3)^(k1) (2/3)
数学期望 E[X] = Σ (k P(X=k)) 从 k=1 到无穷大
E[X] = 1 (2/3) + 2 (1/3 2/3) + 3 (1/3^2 2/3) + ...
这是一个等比数列求和的变形。我们可以这样想：
E[X] = (2/3) [1 + 2(1/3) + 3(1/3)^2 + 4(1/3)^3 + ...]
括号里的部分是一个著名的级数 1/(1x)^2，当 x = 1/3 时。
所以，括号里的值是 1 / (1 1/3)^2 = 1 / (2/3)^2 = 1 / (4/9) = 9/4。
因此，E[X] = (2/3) (9/4) = 18/12 = 3/2。
也就是说，两个人玩石头剪刀布，平均需要 1.5 轮才能决出胜负。
现在，把战线拉到 N 个人。这就有意思了，因为“决出胜者”的条件变得复杂起来。
一个胜者出现，意味着：
1. 有一个人出某种招数，而所有其他 N1 个人都出另一种克制这种招数的招数。 (例如：一个人出石头，剩下 N1 个人都出剪刀。)
2. 有一个人出某种招数，而所有其他 N1 个人都出第三种招数。 (例如：一个人出石头，剩下 N1 个人都出布。)
听起来有点绕？咱们换个方式来理解“决出胜者”。
在 N 个人玩时，一共有 3^N 种可能的出招组合。
胜者出现，可以看作是：所有 N 个人出的招数，要么是同一种，要么是两两相克的组合，但必须是只有一个“赢家”出现。
比如：
全是石头： 平局，无人胜出。
全是剪刀： 平局，无人胜出。
全是布： 平局，无人胜出。
N1 人出石头，1 人出剪刀： 剪刀胜石头，出剪刀的人是赢家。
N1 人出剪刀，1 人出布： 布胜剪刀，出布的人是赢家。
N1 人出布，1 人出石头： 石头胜布，出石头的人是赢家。
其他混合情况： 例如 2 人出石头，N2 人出剪刀。这时候，出剪刀的两个人一起胜出，但这不是一个胜者，所以游戏不结束。又比如 1 人石头，1 人剪刀，N2 人布。石头胜剪刀，但布并没有被克制，所以这也不是一个明确的胜者。
所以，唯一一个胜者出现的条件非常苛刻：不是所有人出一样的招数，也不是所有出招数都是相互克制（那样会出现多个赢家），而是所有人都出一种招数，并且有且只有一个人出克制这种招数的招数。
让我们来计算一轮游戏中，出现一个明确胜者的概率 (P_win)。
一轮游戏，每个人有 3 种选择，总共有 3^N 种结果。
为了有一个唯一的胜者，必须满足以下两种情况之一：
1. N1 个人出某种招数 (比如石头)，而一个人出克制这种招数的招数 (剪刀)。
假设有 k 个人出石头，m 个人出剪刀，p 个人出布，且 k+m+p = N。
要出现一个胜者，要么是出剪刀的人胜出 (m=1, k=N1, p=0)，要么是出布的人胜出 (p=1, m=N1, k=0)，要么是出石头的人胜出 (k=1, p=N1, m=0)。
咱们换个思路来计算：
第一种情况：所有人都出一样。 N 个人都出石头，N 个人都出剪刀，N 个人都出布。这有 3 种结果。这是平局，无人胜出。
第二种情况：所有人的选择并非完全相同，但最终只有一个胜者。 这意味着，所有人出的招数只有两种。并且，其中一种招数只有一个人出，而剩下所有人都出能克制这种招数的另一种招数。
比如，有 1 个人出剪刀 (胜者)，其余 N1 个人都出石头 (被克制)。剪刀克石头。
还有 1 个人出布 (胜者)，其余 N1 个人都出剪刀 (被克制)。布克剪刀。
还有 1 个人出石头 (胜者)，其余 N1 个人都出布 (被克制)。石头克布。
这三种情况里，我们都需要选择哪一种招数是被克制的（石头/剪刀/布，3种选择），然后选择哪一个人是赢家（N种选择）。
所以，这总共有 3 N 种结果可以产生一个唯一的胜者。
第三种情况：所有人的选择并非完全相同，但有多于一个的胜者。
例如：一个人出石头，一个人出剪刀，其余 N2 人出布。石头胜剪刀，但是布并没有被完全克制。石头和剪刀是“赢家”，但不是“唯一赢家”。
或者：2 个人出石头，N2 个人出剪刀。剪刀胜石头，这时出现了 2 个赢家。
让我们重新审视“决出胜者”的定义：只有一个人赢，其他人输。
这意味着：
1. 存在一种招数，只有一个人出（比如石头）。
2. 所有其他人（N1 个人）都出克制这种招数的招数（比如剪刀）。
让我们来计算一轮中决出胜者的概率：
总共有 3^N 种可能的结果。
要出现唯一的胜者，必须满足以下条件：
谁是赢家？ （N 种选择：第 1 个人，第 2 个人... 第 N 个人）
赢家出了什么招数？ （3 种选择：石头，剪刀，布）
其他人出了什么招数？ 剩下的 N1 个人必须出克制赢家招数的招数。 （1 种选择）
举个例子：
假设第 i 个人是赢家，他出了石头。那么剩下的 N1 个人都必须出剪刀。
假设第 i 个人是赢家，他出了剪刀。那么剩下的 N1 个人都必须出布。
假设第 i 个人是赢家，他出了布。那么剩下的 N1 个人都必须出石头。
所以，产生一个唯一胜者的组合数是 N (选择谁是赢家) 3 (选择赢家的招数) = 3N。
那么，在一轮游戏中，决出胜者的概率 (P_win) 是 3N / 3^N。
相反，平局的概率 (P_draw) 就是 1 P_win = 1 (3N / 3^N)。
平局包括了所有人出一样的情况 (3 种情况) 和出现多个胜者的情况。
现在，我们来看数学期望。设 E 是所需的轮数。
第一轮就决出胜者的概率是 P_win。
第一轮平局的概率是 P_draw。如果平局，游戏就回到了起点，需要重新开始。
这是一个典型的几何分布问题。所需的轮数的期望值是 1 / P_win。
所以，N 个人玩石头剪刀布，决出胜者所需的轮数的数学期望是：
E = 1 / P_win = 1 / (3N / 3^N) = 3^N / (3N)
让我们来验证一下这个公式：
N=2 时： E = 3^2 / (3 2) = 9 / 6 = 3/2。 这个结果和我们之前两个人计算的结果是一样的，太棒了！
N=3 时： E = 3^3 / (3 3) = 27 / 9 = 3。 平均需要 3 轮。
N=1 时： 理论上，一个人玩石头剪刀布，他自己就是胜者，需要 1 轮。用公式算：E = 3^1 / (3 1) = 3 / 3 = 1。 也吻合。
为什么是这样呢？
你可以这样理解：每一轮，都有一个“机会”让游戏结束，这个机会的概率是 P_win。数学期望就是这个“机会”的倒数。就好比抛硬币，正面朝上的概率是 1/2，那么平均需要抛多少次才能看到正面呢？答案是 1 / (1/2) = 2 次。
更详细的解释一下“概率 P_win = 3N / 3^N”的由来：
1. 总的可能性： N 个人，每个人有石头、剪刀、布 3 种选择，所以总共有 3 x 3 x ... x 3 (N 次) = 3^N 种可能的结果。
2. 产生唯一胜者的情况：
要产生一个唯一的胜者，必须满足一个非常特定的条件：所有人出的招数只有两种，而且其中一种招数只有一个人出，剩下的人都出克制这种招数的招数。
我们一步步来分解：
选定“赢家”是谁： N 个玩家中，任意选一个人作为潜在的赢家。有 N 种选择。
赢家出了什么招数： 这个潜在的赢家可以出石头、剪刀或布。有 3 种选择。
其他人的招数： 剩下的 N1 个人，为了让这位潜在的赢家获胜，他们必须出克制赢家招数的那个招数。例如，如果赢家出了石头，那么其他 N1 个人就都必须出剪刀。只有这 1 种出招方式才能确保这位赢家是“唯一”的。
所以，所有可能产生唯一胜者的结果组合数量是：
N (选赢家) 3 (赢家出什么) 1 (其他人出什么) = 3N。
3. 计算概率：
在一轮游戏中，决出唯一胜者的概率 P_win 就是“产生唯一胜者的情况数”除以“总的可能性数”。
P_win = (3N) / (3^N)
举个例子，N=3：
总结果数是 3^3 = 27 种。
产生唯一胜者的情况有多少？3N = 3 3 = 9 种。
让我们列举一下：
玩家 1 出石头，玩家 2 和 3 都出剪刀 (玩家 1 胜)。
玩家 1 出剪刀，玩家 2 和 3 都出布 (玩家 1 胜)。
玩家 1 出布，玩家 2 和 3 都出石头 (玩家 1 胜)。
玩家 2 出石头，玩家 1 和 3 都出剪刀 (玩家 2 胜)。
玩家 2 出剪刀，玩家 1 和 3 都出布 (玩家 2 胜)。
玩家 2 出布，玩家 1 和 3 都出石头 (玩家 2 胜)。
玩家 3 出石头，玩家 1 和 2 都出剪刀 (玩家 3 胜)。
玩家 3 出剪刀，玩家 1 和 2 都出布 (玩家 3 胜)。
玩家 3 出布，玩家 1 和 2 都出石头 (玩家 3 胜)。
一共是 9 种情况。
所以 P_win = 9 / 27 = 1/3。
数学期望 E = 1 / P_win = 1 / (1/3) = 3。
这个结果非常符合我们的直觉。当人数增加时，出现平局的可能性也大大增加，因此需要更多的轮数来找到那个唯一的胜者。
总结一下：
N 个人玩石头剪刀布，决出唯一胜者所需的轮数的数学期望是 3^N / (3N)。
这个公式告诉我们，随着参与人数 N 的增加，决出胜负所需的平均轮数会急剧增长。这主要是因为当人数增多时，各种平局的可能性（包括所有人都出一样，或者出现多个赢家）会大大增加，使得出现“唯一胜者”的概率变得越来越小。为了找到这个少数情况，游戏不得不一轮又一轮地进行下去。
所以，下次玩石头剪刀布，尤其是有很多人一起玩的时候，要有耐心哦！数学告诉你，胜利往往需要一点时间的等待。
网友意见
前几天我和我们工作室4位小伙伴吃饭，点了一只乳鸽，服务员将它分成了5份：两条腿、两个翅膀、一个头。类似这样。
这就出现了困境：腿最肥美，翅膀凑合，头压根没肉！
如果你先夹腿，就会承受其他人的道德谴责；如果先夹头，看着别人大口吃腿又心有不甘。
我们5个人都要脸，所以最后决定以世界上最公平的方式决出大家挑乳鸽的顺序：石头剪子布！没想到这一玩，硬是玩了半天才决出胜负！从一开始的兴致勃勃，杀到后来都杀红了眼。
嚼着已经凉了的乳鸽头时，我不禁发出了和题主一样的疑问：N个人通过石头剪刀布决出一个胜者所需要的轮数的数学期望是多少呢？
算了一半在网站Mathematics Stack Exchange上搜到了算法== Rock, Paper, Scissors Probability For Multiple Players。在此直接给大家介绍一下吧……
一、n个人玩一局石头剪子布，平局和非平局的概率分别是多少？
n个人玩一局，一共就三种结果：
- 出啥的都有，平局，n个人继续下一轮。
- 出的都一样，平局，n个人继续下一轮。
- 大家恰好只出了石头、剪子、布中的2种，此时有人被淘汰，这一轮是有效的！
我们先来计算情况3的概率。考虑n个人只出了石头+剪子的概率，之后再乘以3即可。
n个人只出了石头+剪子，包括：1个人石头和(n-1)个人剪刀，2个人石头和(n-2)个人剪刀……(n-1)个人石头1个人剪刀。其概率为
再乘以3倍，得到n个人一轮非平局的概率是 ，平局的概率是 。
二、n个人玩一局石头剪子布，恰好剩下m个人的概率P(n,m)是多少？
在m<n时，相当于这n个人只出了石头、剪子、布中的其中两种，而且m个人出了赢的那个，(n-m)人出了输的那个。易得概率是
在m=n时，就是平局的概率，上面已经算过了。
因此，n个人玩一局石头剪子布后，恰好剩下m个人的概率是
三、所以n个人决出一个胜者要打多少轮呢？
记Q(n,k)代表n个人玩石头剪子布，恰好打了k轮后决出最终一个获胜者的概率。
比方Q(5,3)代表5个人打3轮决出胜负，可分为以下情况：
- 第一轮平局剩下5个人，接下来5个人2轮决出胜负。P(5,5)*Q(5,2)
- 第一轮剩下4个人，接下来4个人2轮决出胜负。P(5,4)*Q(4,2)
- 第一轮剩下3个人，接下来3个人2轮决出胜负。P(5,3)*Q(3,2)
- 第一轮剩下2个人，接下来2个人2轮决出胜负。P(5,2)*Q(2,2)
- 第一轮剩下1个人，其实已经结束了，不可能打到3轮了。但我们可以依然形式地表示为P(5,1)*Q(1,2)。
看出递推关系是
初值Q(1,1)=1，Q(1,k)=0，Q(n,0)=0。然后可以用matlab求解出不同人玩的局数的概率分布。
那么数学期望就是对应乘一下。
这个函数上升是非常快的。6个人平均要6局决出胜者，10个人大概24局。但15个人就要159局了，25个人往上就要几万局以上才能决出那个胜者了。
所以我建议，在人数大于10时，应慎用石头剪子布作为解决问题的方式，否则你们可能得连玩10分钟石头剪子布，很烦的。
上述结论很好解释。因为当人很多的时候，每局肯定都是出啥的都有，把把平局，有人输反而变成了非常罕见的情况。玩半天根本人就不会减少，局数也就奇多无比。
你想啊，如果100个人为了一只乳鸽玩石头剪子布，结果有99个人出布，偏偏你出石头而被淘汰了！这尼玛是什么运气！我劝你也别玩了，去买基金赢的可能都比这口乳鸽多。
但如果非要追求趣味性的话，也可以就这么硬玩，甚至还可以参考 @GOUKI 的回答「剪刀石头布」游戏还有其它变种吗？
采用石头剪子布的进化版，让场面更加欢乐。
四、故事的结局
当时为了分乳鸽，我们约定的不只是用石头剪子布决出一个胜者，而是决出一名胜者后，由她先挑，其余4人继续石头剪子布决出胜者。
而且咱们玩石头剪子布也并不是瞬间出手的，而是有一个施法咏唱：“石~头~剪~子~布！！！”这个咏唱过程算5秒不过分吧（我国部分地区的咏唱是“cei~丁~壳！”，我不知道这说的是什么，但可以节约2到3秒的时间）。
出完之后，大家还得盯着看一会，判断一下本局谁赢谁输，又5秒过去了。
然后还要针对本轮战况哈哈哈哈笑一波，再讨论一波，又花了5秒。
我们还有个同事讲玄学，出手前还要加上自己独特的施法前摇动作，祈求好运同时干扰对手，很浪费时间。
还有个同事自己一输就举报别人出早了，要求重来……
总之为了一个乳鸽无所不用其极，诸多因素叠加，导致战局十分漫长。
当比赛进行到我与另一个人的究极对决时，已经过去10分钟了。我们望向对方，打算赌上自己的荣誉决斗，势必要把鸽头送给对方。
此时第一个吃腿的人已经吃完等着我们，另外俩人也正在旁边啃得十分香甜，笑容嚣张无比，我俩心态当场就崩了。最终我俩连和5局，我灵机一动，提议再点一只，咱俩平分。她欣然同意，双方最终握手言和。
并将N个人通过石头剪刀布决出一个胜者所需要的轮数的概率分布命名为“公平鸽头分布”，因为真TM公平个头啊！
%一小截matlab clear warning('off') N = 50;K = 1e5; Q = zeros(N,K+1);Q(1,1)=1; P = zeros(N,K); for i=1:N for j=1:K P(i,j)=Pnm(i,j); %先求出P矩阵 end end for i=2:N tic for j=2:K Q(i,j)= P(i,1:i)*Q(1:i,j-1); end toc end prob = Q(2:N,2:K); %N个人K局的概率表格 v = 1:1:(K-1); E_n = (prob*v')'; %求出期望 function P = Pnm(n,m) % 就是上面的P(n,m) if n < m P = 0; elseif n == m P = 1- (2^n-2)/(3^(n-1)); else P = nchoosek(n,m)/3^(n-1); end end 类似的话题
-
N 个人石头剪刀布决出胜者所需的轮数，咱们来掰扯掰扯！这可不是一道简单的算术题，里面牵扯着概率和一点点数学思维。咱们就一步一步来，把这“谁是赢家”的游戏背后的数学期望给拆解开。首先，我们得明确一下，这“石头剪刀布”的游戏规则是什么。简单来说，就是三选一，石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头。要是所有人都出............. -
这确实是一个非常深刻的问题，它触及了线性微分方程和线性代数最核心的联系。我们不妨从线性代数出发，一步步来理解这个联系是如何形成的。线性代数中的基本原理：向量空间的基和线性组合在学习线性代数时，我们接触到一个核心概念叫做“向量空间”。一个向量空间就像是一个容器，里面装着很多“向量”，这些向量遵循一些特.............
-
这件事挺有意思的，咱们就掰开了揉碎了聊聊。你说的这个情况，乍一听，劝退党好像是费了老鼻子劲，但最终结果又是“老样子”，这确实让人琢磨：劝退到底有没有用？咱们得这么看：首先，劝退党的目标是什么？ 劝退党存在的意义，通常是基于一些考量。比如，是不是觉得某个专业生源过剩，就业压力大？是不是觉得有些学生对该.............
-
这个问题是一个经典的称重问题，通常被称为“称球问题”或“分组称重问题”。目标是用最少的称重次数找到一个与其他乒乓球质量不同的球，并且知道它是偏轻还是偏重。核心思想：分组与排除天平的每一次称重有三种可能的结果：1. 左边重： 说明所有在左边的球都不是标准球，或者某个在左边的球是偏重的，或者某个在右边.............
-
这个问题问的是，当我们将 $N$ 个互异的数（也就是不重复的数）随机排列成一个数组时，这个数组的“逆序数”的分布是怎样的。 什么是逆序数？首先，我们得明确“逆序数”是什么意思。在一个数组（或者说一个排列）中，如果一对元素的顺序跟它们的数值大小顺序相反，那么这对元素就被称为一个“逆序对”。数组的逆序数.............
-
这个问题很有意思，它涉及到了一个有趣的排列组合以及对“段”的理解。我们来仔细掰扯掰扯。首先，我们要明确“段”是什么意思。既然是排成一圈，那么“段”通常指的是连续相同数字的序列。比如，如果是一圈 001101，那么我们可以看到： 两个 0 构成一段 两个 1 构成一段 一个 0 构成一段 .............
-
咱们来聊聊n维空间里，n个向量的最小夹角能有多大这档子事儿。这听起来有点绕，但其实它背后藏着一些挺有意思的数学道理。别被“n维空间”、“n个向量”这些词儿吓到，咱们一点点掰开了揉碎了说。想象一下，在一个平面（也就是二维空间）里，你画了两个向量。这两个向量之间有个夹角，对吧？夹角可以是从0度（两个向量.............
-
这个问题很有意思，但答案是：不一定，甚至通常情况下不是。让我们来详细解释一下原因。核心概念回顾：线性无关和线性相关 线性无关 (Linearly Independent): 一组向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 被称为线性无关，如果存在唯一一组标量 $c_1, c_2, ...............
-
前 N 个整数的最小公倍数：一个有趣的数学问题数学中，最小公倍数（LCM）是一个基本概念，指的是能被两个或多个整数同时整除的最小正整数。当谈论前 N 个整数的最小公倍数时，我们实际上是在寻找一个数，它可以被 1, 2, 3, ..., N 这 N 个整数中的每一个整除。例如，前 3 个整数 (1, .............
-
好的，我们来聊聊给 $n$ 个数加法加括号的问题。这个问题看似简单，但背后却隐藏着一种非常有趣的数学规律，它与一个鼎鼎大名的数列息息相关。问题拆解：加括号是为了什么？首先，我们要明白，加括号的目的其实是为了明确运算的顺序。在没有括号的情况下，我们通常按照从左到右的顺序进行加法运算。但如果我们要改变这.............
-
好的，咱们来一步步拆解这个问题。题目说得挺明确的：我们有一个集合 $H$，里面有 $n$ 个非零复数，并且这些数通过复数乘法可以组成一个 $n$ 阶群。我们要证明这个集合 $H$ 其实就是那 $n$ 个 $n$ 次单位根的集合。要证明这个，核心思想就是利用群的性质，尤其是拉格朗日定理和循环群的性质。.............
-
这是一个关于概率和期望的问题，我们来一步一步地分析：初始状态： 袋子里有 n 个球，所有球都是红球。 红球数量 = n 蓝球数量 = 0 球的总数 = n过程描述：我们重复进行以下操作 n 次：1. 从袋子里拿出一个球。2. 将一个蓝球放入袋子里。关键点分析：每次操作后，袋子里的球的总数会发生变.............
-
在圆上选取 $n$ 个点，两两连线，最多可以在圆内形成多少个交点？这是一个经典的组合学问题。要详细解释这个问题，我们需要从几个关键点入手：1. 问题描述的精确化首先，明确“最多”这个词的含义。要形成最多的交点，我们需要确保所有连线都不会出现以下特殊情况： 三线共点： 任意三条不同的连线不会交于圆.............
-
好的，我们来聊聊这个黑箱里小球的问题。想象一下，你面前有一个不透明的箱子，里面装着一堆小球，每个小球上都刻着一个数字，从1开始，一直到最后一个小球上的号码“n”。这个“n”是多少，我们并不知道，它是个未知数，是我们想了解的东西。现在，你伸手进去，凭感觉摸了一个球，然后把它拿出来一看，发现上面写着数字.............
-
这真是一个非常有趣的问题！我们手里有连续的N个整数，然后我们想看看能不能从中挑出一些数，把它们加起来，结果正好是N乘以N加1除以2这个数的整数倍。这个 N(N+1)/2 可是个特别的数字，它就是从1加到N的和，也就是一个等差数列的求和公式。咱们来仔细琢磨琢磨这个问题。首先，我们手里有N个连续的整数。.............
-
这真是个很有趣的问题，涉及到数论中的一些深刻概念。你说“前 N 个自然数的最小公倍数约等于 e^N”，这其实是一个非常精妙的数学猜想，背后隐藏着“詹森猜想”（Jensen's inequality）的影子，但更直接的关联是与数论中的“梅林常数”（Mertens' theorem）紧密相连。让我试着把.............
-
在数学和物理的世界里，我们经常会遇到描述一个点或一个向量的概念。为了在脑海中清晰地勾勒出这些抽象事物的位置和方向，我们通常会依赖于一组数字，也就是“坐标”。但问题来了，如果我们说的是一个在 n 维空间里的点，是不是就必须得用 n 个坐标才能完整地描述它呢？简单直接的回答是：通常情况下，是的。 但理解.............
-
将1拆分为n个互不相同的单位分数之和：究竟有多少种拆法？这个问题，听起来似乎颇具学术气息，实则是一个充满趣味的数学谜题。它关乎我们如何理解“拆分”这个概念，以及如何用不同方式组合最基本的“单位分数”——也就是分母为1的分数。简单来说，就是问我们，有多少种方法，可以用n个 不同 的、形式为 1/k 的.............
-
这个问题很有意思，我们来一步一步把它拆解开，看看怎么求出从自然数 1 到 n 中随机抽取 m 个数，其中最大数的数学期望。理解问题首先，我们要明确几个概念： 自然数 1 ~ n： 就是集合 {1, 2, 3, ..., n}。 随机抽取 m 个： 这意味着我们从这 n 个数中选出 m 个，并.............
-
好的，我们来一步一步地梳理一下这个问题的证明过程。这个问题涉及到几何、代数以及优化等多个方面，理解起来需要耐心。问题陈述：设单位圆周上有 $n$ 个点 $P_1, P_2, dots, P_n$。我们将这些点的位置用它们到圆周上某个固定参考点（比如 $(1,0)$）的夹角 $ heta_1, he.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有