如果 n 个向量线性无关，则其中 n-1 个向量线性相关吗？
这个问题很有意思，但答案是：不一定，甚至通常情况下不是。
让我们来详细解释一下原因。
核心概念回顾：线性无关和线性相关
线性无关 (Linearly Independent):
一组向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 被称为线性无关，如果存在唯一一组标量 $c_1, c_2, ..., c_n$（即只有 $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$）使得它们的线性组合为零向量：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = mathbf{0}$
通俗地说，这意味着在这组向量中，没有哪个向量可以被其他向量的线性组合表示出来。每个向量都提供了“新的方向”或信息。
线性相关 (Linearly Dependent):
如果存在一组不全为零的标量 $c_1, c_2, ..., c_n$ 使得它们的线性组合为零向量：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = mathbf{0}$
通俗地说，这意味着在这组向量中，至少有一个向量可以被其他向量的线性组合表示出来。这组向量包含“冗余”信息。
为什么“n个向量线性无关，则其中n1个向量线性相关”的说法不成立？
让我们假设我们有 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 并且它们是线性无关的。这意味着上面关于线性无关的定义是唯一成立的。
现在，我们要看其中的 $n1$ 个向量，比如 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$。要判断这 $n1$ 个向量是否线性相关，我们需要检查是否存在一组不全为零的标量 $k_1, k_2, ..., k_{n1}$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1} = mathbf{0}$
反例说明：
考虑在三维空间 $mathbb{R}^3$ 中的三个标准基向量：
$v_1 = (1, 0, 0)$
$v_2 = (0, 1, 0)$
$v_3 = (0, 0, 1)$
这三个向量是线性无关的。这是因为唯一的线性组合使得它们为零向量的方式是 $0 cdot v_1 + 0 cdot v_2 + 0 cdot v_3 = mathbf{0}$。
现在，我们取出其中的 $n1=2$ 个向量，例如 $v_1$ 和 $v_2$。
$v_1 = (1, 0, 0)$
$v_2 = (0, 1, 0)$
我们要检查 $v_1, v_2$ 是否线性相关。也就是说，是否存在不全为零的标量 $k_1, k_2$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 = mathbf{0}$
$k_1(1, 0, 0) + k_2(0, 1, 0) = (0, 0, 0)$
$(k_1, 0, 0) + (0, k_2, 0) = (0, 0, 0)$
$(k_1, k_2, 0) = (0, 0, 0)$
从这个方程，我们可以得出 $k_1 = 0$ 且 $k_2 = 0$。
这意味着，对于 $v_1$ 和 $v_2$，唯一使得它们的线性组合为零向量的方式是系数都为零。因此，$v_1$ 和 $v_2$ 是线性无关的。
在这个例子中，我们有 3 个线性无关的向量，而取出的 2 个向量（$n1$个）仍然是线性无关的。这直接反驳了原命题。
更一般的解释：
如果 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的，那么这意味着它们各自都贡献了新的“方向”。如果我们要从这 $n$ 个向量中只取出 $n1$ 个向量，比如 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$，而它们是线性相关的，那就意味着其中某个向量（比如 $v_{n1}$）可以被其他向量（$v_1, ..., v_{n2}$）的线性组合表示出来。
例如，如果 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$ 是线性相关的，那么存在不全为零的 $k_1, ..., k_{n1}$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1} = mathbf{0}$
但我们知道，原始的 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的。这意味着：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_{n1}v_{n1} + c_nv_n = mathbf{0}$
唯一的解是 $c_1 = c_2 = ... = c_{n1} = c_n = 0$。
如果 $v_1, ..., v_{n1}$ 是线性相关的，我们可以将上面的关系写成：
$(k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1}) + 0 cdot v_n = mathbf{0}$
其中，系数 $k_1, ..., k_{n1}$ 不全为零。
根据 $v_1, ..., v_n$ 线性无关的定义，这会要求所有的系数都必须为零，即 $k_1 = k_2 = ... = k_{n1} = 0$ 和 $0 = 0$。
但这与我们假设 $k_1, ..., k_{n1}$ 不全为零的条件矛盾了！
除非一种特殊情况：
上面我们排除了 $n1$ 个向量“通常情况”下是线性相关的情况。那么什么情况下会被问到这个问题呢？可能是在讨论向量空间基的性质时。
如果一个向量空间有 $n$ 个向量构成一个基，那么这些向量一定是线性无关的。一个 $n$ 维向量空间的任何一个基都恰好包含 $n$ 个向量。
正确的说法应该是：
如果一个向量空间（或其子空间）的维度是 $n$，那么它任何一组恰好包含 $n$ 个向量的基都一定是线性无关的。
如果一组 $n$ 个向量是线性无关的，那么它们张成一个 $n$ 维空间。
回到你的问题，精确回答：
如果 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的，那么其中任意选取的 $m < n$ 个向量，这 $m$ 个向量一定是线性无关的。
反之，如果 $n$ 个向量是线性相关的，那么其中可能存在 $n1$ 个向量是线性无关的，也可能存在 $n1$ 个向量是线性相关的。
总结：
$n$ 个向量线性无关意味着它们是“独立的信息源”。当你从中移除一个向量（得到 $n1$ 个向量）时，你并没有增加向量之间的依赖关系，反而可能减少了它们所能张成的空间的维度。因此，如果原始的 $n$ 个向量是线性无关的，那么任何子集（只要不为空集）的向量也一定是线性无关的。
所以，如果 $n$ 个向量线性无关，则其中 $n1$ 个向量（甚至任意少于 $n$ 个的子集）一定是线性无关的，而不是线性相关。
让我们来详细解释一下原因。
核心概念回顾：线性无关和线性相关
线性无关 (Linearly Independent):
一组向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 被称为线性无关，如果存在唯一一组标量 $c_1, c_2, ..., c_n$（即只有 $c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$）使得它们的线性组合为零向量：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = mathbf{0}$
通俗地说，这意味着在这组向量中，没有哪个向量可以被其他向量的线性组合表示出来。每个向量都提供了“新的方向”或信息。
线性相关 (Linearly Dependent):
如果存在一组不全为零的标量 $c_1, c_2, ..., c_n$ 使得它们的线性组合为零向量：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_nv_n = mathbf{0}$
通俗地说，这意味着在这组向量中，至少有一个向量可以被其他向量的线性组合表示出来。这组向量包含“冗余”信息。
为什么“n个向量线性无关，则其中n1个向量线性相关”的说法不成立？
让我们假设我们有 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 并且它们是线性无关的。这意味着上面关于线性无关的定义是唯一成立的。
现在，我们要看其中的 $n1$ 个向量，比如 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$。要判断这 $n1$ 个向量是否线性相关，我们需要检查是否存在一组不全为零的标量 $k_1, k_2, ..., k_{n1}$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1} = mathbf{0}$
反例说明：
考虑在三维空间 $mathbb{R}^3$ 中的三个标准基向量：
$v_1 = (1, 0, 0)$
$v_2 = (0, 1, 0)$
$v_3 = (0, 0, 1)$
这三个向量是线性无关的。这是因为唯一的线性组合使得它们为零向量的方式是 $0 cdot v_1 + 0 cdot v_2 + 0 cdot v_3 = mathbf{0}$。
现在，我们取出其中的 $n1=2$ 个向量，例如 $v_1$ 和 $v_2$。
$v_1 = (1, 0, 0)$
$v_2 = (0, 1, 0)$
我们要检查 $v_1, v_2$ 是否线性相关。也就是说，是否存在不全为零的标量 $k_1, k_2$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 = mathbf{0}$
$k_1(1, 0, 0) + k_2(0, 1, 0) = (0, 0, 0)$
$(k_1, 0, 0) + (0, k_2, 0) = (0, 0, 0)$
$(k_1, k_2, 0) = (0, 0, 0)$
从这个方程，我们可以得出 $k_1 = 0$ 且 $k_2 = 0$。
这意味着，对于 $v_1$ 和 $v_2$，唯一使得它们的线性组合为零向量的方式是系数都为零。因此，$v_1$ 和 $v_2$ 是线性无关的。
在这个例子中，我们有 3 个线性无关的向量，而取出的 2 个向量（$n1$个）仍然是线性无关的。这直接反驳了原命题。
更一般的解释：
如果 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的，那么这意味着它们各自都贡献了新的“方向”。如果我们要从这 $n$ 个向量中只取出 $n1$ 个向量，比如 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$，而它们是线性相关的，那就意味着其中某个向量（比如 $v_{n1}$）可以被其他向量（$v_1, ..., v_{n2}$）的线性组合表示出来。
例如，如果 $v_1, v_2, ..., v_{n1}$ 是线性相关的，那么存在不全为零的 $k_1, ..., k_{n1}$ 使得：
$k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1} = mathbf{0}$
但我们知道，原始的 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的。这意味着：
$c_1v_1 + c_2v_2 + ... + c_{n1}v_{n1} + c_nv_n = mathbf{0}$
唯一的解是 $c_1 = c_2 = ... = c_{n1} = c_n = 0$。
如果 $v_1, ..., v_{n1}$ 是线性相关的，我们可以将上面的关系写成：
$(k_1v_1 + k_2v_2 + ... + k_{n1}v_{n1}) + 0 cdot v_n = mathbf{0}$
其中，系数 $k_1, ..., k_{n1}$ 不全为零。
根据 $v_1, ..., v_n$ 线性无关的定义，这会要求所有的系数都必须为零，即 $k_1 = k_2 = ... = k_{n1} = 0$ 和 $0 = 0$。
但这与我们假设 $k_1, ..., k_{n1}$ 不全为零的条件矛盾了！
除非一种特殊情况：
上面我们排除了 $n1$ 个向量“通常情况”下是线性相关的情况。那么什么情况下会被问到这个问题呢？可能是在讨论向量空间基的性质时。
如果一个向量空间有 $n$ 个向量构成一个基，那么这些向量一定是线性无关的。一个 $n$ 维向量空间的任何一个基都恰好包含 $n$ 个向量。
正确的说法应该是：
如果一个向量空间（或其子空间）的维度是 $n$，那么它任何一组恰好包含 $n$ 个向量的基都一定是线性无关的。
如果一组 $n$ 个向量是线性无关的，那么它们张成一个 $n$ 维空间。
回到你的问题，精确回答：
如果 $n$ 个向量 $v_1, v_2, ..., v_n$ 是线性无关的，那么其中任意选取的 $m < n$ 个向量，这 $m$ 个向量一定是线性无关的。
反之，如果 $n$ 个向量是线性相关的，那么其中可能存在 $n1$ 个向量是线性无关的，也可能存在 $n1$ 个向量是线性相关的。
总结：
$n$ 个向量线性无关意味着它们是“独立的信息源”。当你从中移除一个向量（得到 $n1$ 个向量）时，你并没有增加向量之间的依赖关系，反而可能减少了它们所能张成的空间的维度。因此，如果原始的 $n$ 个向量是线性无关的，那么任何子集（只要不为空集）的向量也一定是线性无关的。
所以，如果 $n$ 个向量线性无关，则其中 $n1$ 个向量（甚至任意少于 $n$ 个的子集）一定是线性无关的，而不是线性相关。
网友意见
谢邀。
反证法。
在线性空间 (V, F) 中，假设存在 n-1个向量 (α) 线性相关，则由向量线性相关的定义，存在一组不全为零的系数 (k)，使得：
若令 k_n = 0，则有
这又是一组不全为零的系数，但却令这 n 个向量线性相关，这与题目矛盾。
所以这 n-1个向量 (α) 线性无关。
Q. E. D
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