二维空间有四色定理，那三维空间中存在 n 色定理吗？如果有，那么是几色定理？
好的，我们来聊聊三维空间里的“四色定理”。
首先要澄清一个概念：二维空间的“四色定理”它说的是在一张地图上，如果你想用不同的颜色给相邻的区域（即边界互相接触的区域）上色，保证相邻区域颜色不同，那么只需要四种颜色就足够了，无论这张地图有多复杂。这里强调的是地图，它是在一个平面上的。
那么到了三维空间，我们是不是也有类似的“n色定理”呢？答案是：并不存在一个简单直接的“三维四色定理”，原因在于问题的定义方式发生了根本性的变化。
让我们一步步来分析：
为什么二维四色定理这么出名？
二维四色定理之所以出名，是因为它解决的是一个非常具体且直观的问题：平面地图着色。我们每天看到的地图就是很好的例子。它的核心在于“区域”和“相邻”的概念。在二维平面上，两个区域相邻，就是它们的边界有一段共同的线段。
三维空间中的“地图”是什么样的？
在三维空间中，“区域”和“相邻”的概念就不再像二维地图那样直观了。我们可以从几个角度来理解这个问题：
1. 三维体块的划分： 想象一下，你把三维空间切分成许多不同的“块”（比如像切蛋糕一样）。如果两个块在三维空间中接触（共享一个二维的边界表面），我们希望给它们上不同的颜色。
这里的挑战在于： 你可以想象出无数种切分三维空间的方式。比如，我们可以切出无数个非常薄的、互相接触的层。或者，我们可以切出非常复杂形状的物体，它们的接触方式也千变万化。
研究方向： 确实有数学家研究这样的问题，称为“三维块着色”（3D block coloring）。但它和二维的四色定理有很大区别。在这个领域，并没有一个普适性的“n色定理”被广泛认知和接受，就像二维的四色定理那样。比如，如果你的三维块非常“密集”地互相接触，你可能需要更多的颜色。问题的复杂度会急剧上升，因为“接触”的定义可以非常复杂。
2. 三维空间的“图”： 在数学里，我们经常用“图论”来解决着色问题。一个图由点（称为“顶点”）和连接点的线（称为“边”）组成。图的着色问题是给图的顶点上色，使得相邻（有边连接）的顶点颜色不同。
二维四色定理与图论的关系： 二维四色定理实际上可以用图论来表述。我们可以把地图上的每一个区域看作图中的一个顶点，如果两个区域相邻，就在它们对应的顶点之间画一条边。这样一来，地图着色问题就变成了平面图着色问题。而平面图着色定理是：任何一个平面图，都可以用至多四种颜色进行顶点着色。
三维空间的“图”着色： 那三维空间中是否存在类似的图论定理呢？确实有。如果我们考虑的是一般的图（不一定在平面上），那么图着色的问题会变得非常复杂。图的“色数”（即最少需要多少种颜色才能着色）取决于图本身的结构。例如：
二分图： 只需要2种颜色。
周期图： 可能需要3种颜色（比如一个三角形）。
完全图（$K_n$）： 需要 $n$ 种颜色，因为每个顶点都与其他所有顶点连接。完全图可以“嵌入”到三维空间中，甚至更高维空间中，并且它们是“不平面”的（planar的延伸概念是“可嵌入性”）。
“类平面性”的概念： 数学家也研究在三维空间或其他流形上“嵌入”的图着色问题。比如，“嵌入到一个三维球体表面”的图，和在平面上的图有类似的性质。但是一旦我们允许图有更复杂的结构，比如允许“边交叉”，或者考虑更复杂的空间，就需要更多的颜色了。
“三维空间”中的“着色”可能指什么？
如果我们将“着色”的概念稍微推广，可能会想到以下几种情况：
空间填充体的着色： 如前所述，如果我们将三维空间分割成许多互不重叠的区域（体块），并且规定只有共享二维边界面的体块才算“相邻”，那么这个问题就变得很复杂。研究表明，对于某些特定类型的体块划分，可能需要比四种颜色更多的颜色。但同样，没有一个普遍的“三维四色定理”。
物体表面的着色： 如果我们考虑的是三维物体（比如球体、多面体）的表面，并且我们在这个表面上划分区域，那么“相邻”的定义是沿着表面的曲线。这个时候，三维空间中的“球面几何”就派上用场了。
球面四色定理？ 如果你考虑的是在一个三维球体（或者任何一个二维球面）的表面上画地图，那么二维四色定理依然适用。因为球面的几何性质与平面是等价的，任何在平面上画出的地图都可以“卷曲”到球面上，反之亦然。所以，任何球面地图也可以用四种颜色着色。
总结一下：
1. 二维四色定理特指在平面上，对划分的区域进行着色，相邻区域颜色不同，最少需要四种颜色。
2. 在三维空间中，没有一个直接对应的、如同二维四色定理一样简洁且广为人知的“n色定理”。
3. 如果我们将其引申为三维块体着色，问题的复杂度大大增加，并且没有一个普遍适用的“n色定理”。
4. 如果我们考虑的是三维球体表面的地图着色，那么由于二维球面和平面在拓扑上等价，二维四色定理同样适用于球面地图，所以仍然是四色定理。
5. 如果我们讨论的是一般图论中的着色问题，那么图的色数取决于图本身的结构，与图是否能“嵌入”到特定空间（如平面或三维空间）有关。在不加限制的情况下，图的色数可以远超四种。
所以，当你问到三维空间的“n色定理”时，最准确的回答是：并没有一个被称为“三维四色定理”的标准定理，因为问题的描述和限制条件与二维情况大相径庭。 尽管数学中有相关的研究，但它不是一个简单的推广。但如果将“三维空间”理解为“三维球体的表面”，那么情况就回归到二维四色定理了。
首先要澄清一个概念：二维空间的“四色定理”它说的是在一张地图上，如果你想用不同的颜色给相邻的区域（即边界互相接触的区域）上色，保证相邻区域颜色不同，那么只需要四种颜色就足够了，无论这张地图有多复杂。这里强调的是地图，它是在一个平面上的。
那么到了三维空间，我们是不是也有类似的“n色定理”呢？答案是：并不存在一个简单直接的“三维四色定理”，原因在于问题的定义方式发生了根本性的变化。
让我们一步步来分析：
为什么二维四色定理这么出名？
二维四色定理之所以出名，是因为它解决的是一个非常具体且直观的问题：平面地图着色。我们每天看到的地图就是很好的例子。它的核心在于“区域”和“相邻”的概念。在二维平面上，两个区域相邻，就是它们的边界有一段共同的线段。
三维空间中的“地图”是什么样的？
在三维空间中，“区域”和“相邻”的概念就不再像二维地图那样直观了。我们可以从几个角度来理解这个问题：
1. 三维体块的划分： 想象一下，你把三维空间切分成许多不同的“块”（比如像切蛋糕一样）。如果两个块在三维空间中接触（共享一个二维的边界表面），我们希望给它们上不同的颜色。
这里的挑战在于： 你可以想象出无数种切分三维空间的方式。比如，我们可以切出无数个非常薄的、互相接触的层。或者，我们可以切出非常复杂形状的物体，它们的接触方式也千变万化。
研究方向： 确实有数学家研究这样的问题，称为“三维块着色”（3D block coloring）。但它和二维的四色定理有很大区别。在这个领域，并没有一个普适性的“n色定理”被广泛认知和接受，就像二维的四色定理那样。比如，如果你的三维块非常“密集”地互相接触，你可能需要更多的颜色。问题的复杂度会急剧上升，因为“接触”的定义可以非常复杂。
2. 三维空间的“图”： 在数学里，我们经常用“图论”来解决着色问题。一个图由点（称为“顶点”）和连接点的线（称为“边”）组成。图的着色问题是给图的顶点上色，使得相邻（有边连接）的顶点颜色不同。
二维四色定理与图论的关系： 二维四色定理实际上可以用图论来表述。我们可以把地图上的每一个区域看作图中的一个顶点，如果两个区域相邻，就在它们对应的顶点之间画一条边。这样一来，地图着色问题就变成了平面图着色问题。而平面图着色定理是：任何一个平面图，都可以用至多四种颜色进行顶点着色。
三维空间的“图”着色： 那三维空间中是否存在类似的图论定理呢？确实有。如果我们考虑的是一般的图（不一定在平面上），那么图着色的问题会变得非常复杂。图的“色数”（即最少需要多少种颜色才能着色）取决于图本身的结构。例如：
二分图： 只需要2种颜色。
周期图： 可能需要3种颜色（比如一个三角形）。
完全图（$K_n$）： 需要 $n$ 种颜色，因为每个顶点都与其他所有顶点连接。完全图可以“嵌入”到三维空间中，甚至更高维空间中，并且它们是“不平面”的（planar的延伸概念是“可嵌入性”）。
“类平面性”的概念： 数学家也研究在三维空间或其他流形上“嵌入”的图着色问题。比如，“嵌入到一个三维球体表面”的图，和在平面上的图有类似的性质。但是一旦我们允许图有更复杂的结构，比如允许“边交叉”，或者考虑更复杂的空间，就需要更多的颜色了。
“三维空间”中的“着色”可能指什么？
如果我们将“着色”的概念稍微推广，可能会想到以下几种情况：
空间填充体的着色： 如前所述，如果我们将三维空间分割成许多互不重叠的区域（体块），并且规定只有共享二维边界面的体块才算“相邻”，那么这个问题就变得很复杂。研究表明，对于某些特定类型的体块划分，可能需要比四种颜色更多的颜色。但同样，没有一个普遍的“三维四色定理”。
物体表面的着色： 如果我们考虑的是三维物体（比如球体、多面体）的表面，并且我们在这个表面上划分区域，那么“相邻”的定义是沿着表面的曲线。这个时候，三维空间中的“球面几何”就派上用场了。
球面四色定理？ 如果你考虑的是在一个三维球体（或者任何一个二维球面）的表面上画地图，那么二维四色定理依然适用。因为球面的几何性质与平面是等价的，任何在平面上画出的地图都可以“卷曲”到球面上，反之亦然。所以，任何球面地图也可以用四种颜色着色。
总结一下：
1. 二维四色定理特指在平面上，对划分的区域进行着色，相邻区域颜色不同，最少需要四种颜色。
2. 在三维空间中，没有一个直接对应的、如同二维四色定理一样简洁且广为人知的“n色定理”。
3. 如果我们将其引申为三维块体着色，问题的复杂度大大增加，并且没有一个普遍适用的“n色定理”。
4. 如果我们考虑的是三维球体表面的地图着色，那么由于二维球面和平面在拓扑上等价，二维四色定理同样适用于球面地图，所以仍然是四色定理。
5. 如果我们讨论的是一般图论中的着色问题，那么图的色数取决于图本身的结构，与图是否能“嵌入”到特定空间（如平面或三维空间）有关。在不加限制的情况下，图的色数可以远超四种。
所以，当你问到三维空间的“n色定理”时，最准确的回答是：并没有一个被称为“三维四色定理”的标准定理，因为问题的描述和限制条件与二维情况大相径庭。 尽管数学中有相关的研究，但它不是一个简单的推广。但如果将“三维空间”理解为“三维球体的表面”，那么情况就回归到二维四色定理了。
网友意见
3维空间就平凡了，不存在自然数n使得该命题成立，请看下图：
每种颜色都可以触碰所有其它的颜色
在二维拓扑空间中，线之间相交处的颜色不能互相穿过从而保证了有限色定理成立的可能性。
而三维拓扑空间中，线则可以互相穿过对方叠起来使得上述图片成立，无论多少种颜色都不够。
可以看在Minecraft中的演示：
事实上，只要对二维拓扑流形(当然可微更好)的部分点进行认同(可以看作类似虫洞的结构，让该流形重新可微。相当于给平面增加了亏格数)，改变该平面的拓扑结构，需要染的色也毫不意外地会增长。
根据“林格尔-杨格斯定理”，一个有k亏格的二维可定向拓扑流形(曲面)上最多需要 种颜色来染色。因此这个东西不是和维度挂钩，它只能被限制在曲面（二维拓扑流形）上，真正和它挂钩的是其拓扑性质。考虑更高维的没有意义。
题目换新了(可查看问题日志)，防止被认为是不审题，我再对凸区域情况进行补充。
首先"备份"题目：
二维平面中需要至少 4 种颜色来区分不同的凸区域，那么三维空间中的凸区域需要几种颜色，如何证明？
这个问题我还是找到了漏洞;D 。首先，三维空间，"空间"并没有指定其拓扑结构。此外，凸集是依靠直线或测地线定义的，那么也就是说，我们在带度规与挠率(确定测地线)的三维流形上才能展开讨论：
首先拓扑结构与平直性没有任何联系。平直被定义为黎曼张量为0。即便是球面 我也可以定义出度规使得黎曼张量为0。因此在给定度规的情况下，我可以使劲改变流形的亏格数，使劲认同各种点，导致三维流形上仍然不存在统一的如此n色定理。此外，凸集是测地线相关的性质，因此和适配导数算符关系最大。而适配导数算符 可以由度规 与挠率 唯一确定。因此给什么度规什么挠率都是我说了算，那我可以先让上述彩色线转弯时可微一点，然后使用合适的挠率与度规使它满足测地线的要求，从而线上任意两点都有在测地线上的测地线连接，符合凸集的定义，让该自然数 n 仍然不存在，完美。
当然，如果你限制在三维无挠欧氏空间 ，那就有意思了。因为简化染色情况的点线图难以反映其是否凸性。这个倒是一个十分有意思的命题。如何把点线图凸化。
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