请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解？
我们先从陪集开始聊起。
陪集 (Coset)
想象一下，你有一个大集合 $G$，它是一个群，里面有各种各样的元素，并且满足群的性质（结合律、存在单位元、存在逆元）。现在，你从中挑出一个特殊的子集 $H$，它自己也构成一个群（即 $H$ 是 $G$ 的一个子群）。
陪集就是在这种情况下出现的。我们可以用 $G$ 中的某个元素 $g$ 和子群 $H$ 来“组合”出新的集合。有两种组合方式：
1. 左陪集 ($gH$)： 我们取出 $G$ 中的任意一个元素 $g$（无论它在不在 $H$ 里），然后用它去“乘” $H$ 中的每一个元素。具体来说，左陪集 $gH$ 就是所有形如 $gh$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 你可以把 $H$ 看作是群 $G$ 中的一个“单位元”或者说是一个“基准点”，而 $g$ 是你想要“移动”到的位置。左陪集 $gH$ 就是以 $g$ 为新的“基准点”，然后将 $H$ 中的所有元素都相对于 $g$ 重新“定位”一遍的结果。可以想象成把子群 $H$ 整个“平移”了 $g$ 的距离。
举个例子：
假设 $G$ 是整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$，单位元是 $0$。
子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$，也就是所有偶数构成的集合。
取 $g = 1$。那么左陪集 $1+H$ 就是 ${1+h mid h in H}$。
$1+H = {1 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这个集合就是所有奇数。
再取 $g = 2$。那么左陪集 $2+H$ 就是 ${2+h mid h in H}$。
$2+H = {2 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这个集合就是偶数，也就是子群 $H$ 本身！
2. 右陪集 ($Hg$)： 类似地，我们也可以用 $g$ 去“乘” $H$ 中的每一个元素，但这次顺序反过来。右陪集 $Hg$ 就是所有形如 $hg$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 这就好比你将子群 $H$ 整体“平移”了 $g$ 的距离，但这次是以 $g$ 为“起点”去“连接” $H$ 的每个元素。
举个例子（继续上面的例子）：
还是 $G = (mathbb{Z}, +)$， $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$。
取 $g = 1$。那么右陪集 $H+1$ 就是 ${h+1 mid h in H}$。
$H+1 = {..., 4+1, 2+1, 0+1, 2+1, 4+1, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这和左陪集 $1+H$ 是一样的，都是奇数。
再取 $g = 2$。那么右陪集 $H+2$ 就是 ${h+2 mid h in H}$。
$H+2 = {..., 4+2, 2+2, 0+2, 2+2, 4+2, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这和左陪集 $2+H$ 是一样的，都是偶数。
陪集的一些重要性质：
陪集要么相等，要么不相交： 对于子群 $H$ 和 $G$ 中的任意两个元素 $a, b$，要么 $aH = bH$（左陪集），要么 $aH cap bH = emptyset$。同理，要么 $Ha = Hb$，要么 $Ha cap Hb = emptyset$。
怎么理解？ 这就像你用不同颜色的颜料去涂满一张纸。你每用一种颜料（一个陪集）涂一笔，这笔就覆盖了一片区域。而不同颜色的笔（不同的陪集）画出来的区域要么完全重叠（相等），要么完全分开（不相交）。
每个陪集都和子群本身一样大： 即 $|gH| = |H|$ 和 $|Hg| = |H|$。
怎么理解？ 你只是用 $g$ 去“挪动”了 $H$ 中的每个元素，并没有增加或减少元素的数量，所以大小不变。
单位元所在的陪集就是子群本身： 如果 $e$ 是 $G$ 的单位元，那么 $eH = H$ 且 $He = H$。
怎么理解？ 用单位元去“乘”任何东西都不会改变它，所以 $eH$ 就是用 $e$ 去乘 $H$ 的每个元素，结果还是 $H$。
商群 (Factor Group / Quotient Group)
现在我们有了陪集的这个概念，就可以引出商群了。商群是建立在正规子群基础上的。先不急着定义商群，我们先想想，如果我们要把很多陪集组合起来，形成一个新的“群”，会怎么样？
想想我们刚才在整数群里的例子：
$H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)
$1+H = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$ (奇数)
我们发现，$G = mathbb{Z}$ 被这两个陪集“完全覆盖”了，而且这两个陪集是不相交的。它们共同构成了 $mathbb{Z}$ 的一个“划分”。我们可以把这两类看作是 $mathbb{Z}$ 的“元素”。
商群就是这样一个结构：它把所有陪集看作是新的“元素”，然后在这个“元素集合”上定义一种新的运算。
但是，我们只能在正规子群下才能得到一个真正的群。
正规子群 (Normal Subgroup)
为什么我们需要正规子群？前面我们说了，陪集要么相等，要么不相交。但是，我们观察到左陪集和右陪集的关系。
对于一个子群 $H$ 和一个元素 $g in G$，通常情况下，$gH$ 和 $Hg$ 是不一样的集合。
正规子群的定义： 一个子群 $H$ 被称为 $G$ 的正规子群，如果对于 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gH = Hg$。
换句话说，对于任意 $g in G$ 和任意 $h in H$，都有 $ghg^{1} in H$。（可以证明这两个定义是等价的）。
怎么理解？ 正规子群 $H$ 的特殊之处在于，它对群 $G$ 中的所有元素都是“对称”的。无论你用 $g$ 去“左乘”它，还是用 $g$ 去“右乘”它，得到的“区域”是同一个。或者说，你把 $H$ 中的任何一个元素 $h$ 用 $g$ “变换”（左乘 $g$ 右乘 $g^{1}$），结果总还在 $H$ 里面。
举个例子：
在整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 中，子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)。
对于任意 $g in mathbb{Z}$，我们考虑左陪集 $g+H$ 和右陪集 $H+g$。
因为加法是交换的，所以 $g+H = {g+h mid h in H}$ 和 $H+g = {h+g mid h in H}$ 是完全一样的。
所以，偶数子群是 $mathbb{Z}$ 的正规子群。
再比如，对称群 $S_3$（3个元素的置换群）。它有一个子群 $A_3 = {e, (123), (132)}$ (偶置换构成的群)。
如果取一个奇置换 $g=(12)$。
$gA_3 = (12)A_3 = {(12)e, (12)(123), (12)(132)} = {(12), (13), (23)}$
$A_3g = A_3(12) = {e(12), (123)(12), (132)(12)} = {(12), (23), (13)}$
在这种情况下，$gA_3 = A_3g$。
事实上，$A_3$ 是 $S_3$ 的正规子群。
但是，并不是所有子群都是正规子群。在 $S_3$ 中，有一个子群 $H' = {e, (12)}$。
如果我们取 $g=(123)$。
$gH' = (123){e, (12)} = {(123), (123)(12)} = {(123), (13)}$
$H'g = {e, (12)}(123) = {(123), (12)(123)} = {(123), (23)}$
显然，$gH' eq H'g$。所以 $H'$ 不是 $S_3$ 的正规子群。
商群 (Factor Group / Quotient Group) 的正式理解
现在我们有了正规子群的概念，就可以正式定义商群了。
如果 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群，那么我们可以考虑 $G$ 的所有由 $H$ 产生的陪集（左陪集或右陪集，因为对于正规子群，左陪集和右陪集是相同的）。我们将这些所有陪集的集合记作 $G/H$。
$G/H = {gH mid g in G}$
这个集合 $G/H$ 实际上就是 $G$ 被正规子群 $H$ “划分”后得到的各个“部分”的集合。
我们可以在这个集合 $G/H$ 上定义一个运算，使得它成为一个新的群，这个群就叫做商群。
运算定义： 对于 $G/H$ 中的任意两个元素 $aH$ 和 $bH$（其中 $a, b in G$），它们的运算结果定义为：
$(aH)(bH) = (ab)H$
怎么理解这个运算？ 你可以把 $aH$ 和 $bH$ 看作是两个“大块”的集合。它们的“乘法”就是取这两个大块中的代表元素 $a$ 和 $b$，把它们在原群 $G$ 中乘起来（得到 $ab$），然后看 $ab$ 属于哪个陪集，这个陪集就是运算的结果。
为什么这个运算是良定义的？ 这就是为什么我们需要正规子群！如果 $H$ 不是正规子群，那么我们选取不同的代表元素可能会导致不同的运算结果。比如，如果 $aH = a'H$ 和 $bH = b'H$，但不一定有 $(ab)H = (a'b')H$。但因为 $H$ 是正规子群，所以 $gH=Hg$ 恒成立，这就保证了无论我们选择哪个代表元素，运算结果总是同一个陪集，从而运算是良定义的。
为什么 $G/H$ 是一个群？
1. 封闭性： 对于任意两个陪集 $aH$ 和 $bH$，它们的乘积 $(ab)H$ 也是 $G/H$ 中的一个元素，因为 $ab in G$。
2. 结合律： 对于任意三个陪集 $aH, bH, cH$，有 $((aH)(bH))(cH) = (ab)H(cH) = (ab)cH$ 和 $(aH)((bH)(cH)) = (aH)(bc)H = a(bc)H$。因为在 $G$ 中 $(ab)c = a(bc)$（结合律），所以 $((aH)(bH))(cH) = (aH)((bH)(cH))$。
3. 单位元： $G/H$ 中的单位元就是包含 $G$ 中单位元 $e$ 的那个陪集，即 $eH=H$。对于任意 $aH in G/H$，有 $(aH)(eH) = (ae)H = aH$ 和 $(eH)(aH) = (ea)H = aH$。
4. 逆元： 对于任意陪集 $aH in G/H$，它的逆元是 $a^{1}H$。因为 $(aH)(a^{1}H) = (aa^{1})H = eH = H$ 和 $(a^{1}H)(aH) = (a^{1}a)H = eH = H$。
总结一下，如何理解这几个概念：
陪集 ($gH$ 或 $Hg$)： 可以理解为子群 $H$ 在群 $G$ 中的“平移”或者“位移”。它将子群 $H$ 的结构“复制”了一份，并将其“放置”在 $g$ 的位置。
正规子群 ($gH = Hg$)： 是一个特殊的子群，它的“位置”相对于群 $G$ 中的任何元素都是“对称”的。它不会因为被左乘或右乘而改变其“覆盖的区域”。
商群 ($G/H$)： 是将群 $G$ “压缩”或“打包”成一系列互不相交的陪集后形成的新的群结构。这里的元素不再是 $G$ 中的单个元素，而是 $H$ 的陪集，而运算则是基于这些陪集的“代表元素”在 $G$ 中的运算。它捕捉了群 $G$ 中关于正规子群 $H$ 的“结构信息”，就像是在 $G$ 中“除去了” $H$ 的一些自由度后留下的结构。
希望这样的解释能够帮助你更清晰地认识这些概念！这是一个循序渐进的过程，多看例子，多动手尝试，就会越来越熟悉。
网友意见
从徐一鸿的《Group Theory in a nutshell for Physicists》中看到的：
在群论中，人们喜欢把那些没有非平凡不变子群的群称为“单群”，英文名叫“simple group”，看它的英文名你大概就能猜出来它的性质了。有一些群，它没有内部结构，不能分解成更基本的群的直乘形式，这样的群往往被称为“简单”群；而另外一些群，它有内部结构，它可以被看成更基本的群的直乘形式，而通过研究它的非平反不变子群我们就能得知它是由哪些更基本的群组成的。而这样的分解过程可以不断进行下去，直到找到一个最终为单群的不变子群为止。
举个最简单的例子吧，两个二元群可以通过群乘的方式变成一个四元群，二元群的元素分别为1和-1，而这两个二元群组成的四元群系统的元素共有四个（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），你能看出什么来？（1，1）和（-1，-1）组成了一个子群并且是不变子群，这是一个二元群，而由这个不变子群的陪集所组成的群也是一个二元群。通过这样的方式，我们就知道了它的内部结构并且把它分解成两个二元群直乘的形式。
其他回答中已经把technical details解释得非常明白了 我来补充一些"玄学" 它可能能帮助到直观理解它
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首先 要直观理解什么是quotient object
简而言之 quotient 本质就是：忽略信息
为什么要忽略信息？因为信息太多了 又参杂着无用信息混淆视听
对于任何object 定义了equivalence relation后, 都可以做quotient
equivalence relation告诉我们 哪些"不同的东西"被我们看作相同
i.e. 哪些"差别"是可以被忽略的
而quotient by an equivalence relation的效果就是：
忽略这些信息
几乎所有结构都可以做quotient 包括但不限于
groups, rings, modules, vector space, algebra, topological space 等等
In particular, 一个 quotient group 的意义是
当
也就是说 当两个元素的差在 中，我们忽略它们的不同
quotient的好处就在于 被忽略的信息是我们不在乎的
于是我们所在乎的信息就会被保留下来 而我们可以不受干扰地研究它
比如quotient by the kernel of a homomorphism
就是忽略了 domain中额外的信息：
我们不在乎domain中两个元素是否不同
我们只在乎它们的image是否相同
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在理解了quotient的意义后 基本知道什么是quotient group
接下来我说说别的
首先coset, 本质就是equivalence class
也就是被我们忽略掉不同的一伙东西的集合体
既然我们忽略掉了它们的不同 那么随便挑出其中一个 就可以代表整个coset
这就是为什么我们的notation中coset是一个set
但是可以像 这样用一个 来表示
你可以把它理解成： up to "a difference in "
鉴于Group不一定交换，那么left coset/right coset这两种方式就不一样
不过它们等价 所以在意一个就可以了
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最后 再说说什么是normal subgroup
显然 不是任何东西都可以作为合适的equivalence relation
就好比不是所有map都是homomorphism
我们把respect our structure的map尊称为homomorphism
而我们把respect our structure的equivalence relation称为
normal或是ideal
通过简单的推导 就可以发现一个subset可以被作为equivalence relation
当且仅当它满足你学到的normal subgroup的这些条件
对于不同structure 合适的equivalence relation是不一样的
比如ring对应的ideal 它甚至都不是subring
比如module可以对任何submodule做quotient
具体条件就要具体分析
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希望能帮到人们！
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