请问陪集、左陪集、商群、正规子群该如何理解？
理解群论中的一些概念，特别是与子群相关的概念，确实需要一些时间和耐心。我尽量用一种更贴近思考过程的方式来解释，希望能帮助你更直观地把握它们。
我们先从陪集开始聊起。
陪集 (Coset)
想象一下，你有一个大集合 $G$，它是一个群，里面有各种各样的元素，并且满足群的性质（结合律、存在单位元、存在逆元）。现在，你从中挑出一个特殊的子集 $H$，它自己也构成一个群（即 $H$ 是 $G$ 的一个子群）。
陪集就是在这种情况下出现的。我们可以用 $G$ 中的某个元素 $g$ 和子群 $H$ 来“组合”出新的集合。有两种组合方式：
1. 左陪集 ($gH$)： 我们取出 $G$ 中的任意一个元素 $g$（无论它在不在 $H$ 里），然后用它去“乘” $H$ 中的每一个元素。具体来说，左陪集 $gH$ 就是所有形如 $gh$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 你可以把 $H$ 看作是群 $G$ 中的一个“单位元”或者说是一个“基准点”，而 $g$ 是你想要“移动”到的位置。左陪集 $gH$ 就是以 $g$ 为新的“基准点”，然后将 $H$ 中的所有元素都相对于 $g$ 重新“定位”一遍的结果。可以想象成把子群 $H$ 整个“平移”了 $g$ 的距离。
举个例子：
假设 $G$ 是整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$，单位元是 $0$。
子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$，也就是所有偶数构成的集合。
取 $g = 1$。那么左陪集 $1+H$ 就是 ${1+h mid h in H}$。
$1+H = {1 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这个集合就是所有奇数。
再取 $g = 2$。那么左陪集 $2+H$ 就是 ${2+h mid h in H}$。
$2+H = {2 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这个集合就是偶数，也就是子群 $H$ 本身！
2. 右陪集 ($Hg$)： 类似地，我们也可以用 $g$ 去“乘” $H$ 中的每一个元素，但这次顺序反过来。右陪集 $Hg$ 就是所有形如 $hg$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 这就好比你将子群 $H$ 整体“平移”了 $g$ 的距离，但这次是以 $g$ 为“起点”去“连接” $H$ 的每个元素。
举个例子（继续上面的例子）：
还是 $G = (mathbb{Z}, +)$， $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$。
取 $g = 1$。那么右陪集 $H+1$ 就是 ${h+1 mid h in H}$。
$H+1 = {..., 4+1, 2+1, 0+1, 2+1, 4+1, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这和左陪集 $1+H$ 是一样的，都是奇数。
再取 $g = 2$。那么右陪集 $H+2$ 就是 ${h+2 mid h in H}$。
$H+2 = {..., 4+2, 2+2, 0+2, 2+2, 4+2, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这和左陪集 $2+H$ 是一样的，都是偶数。
陪集的一些重要性质：
陪集要么相等，要么不相交： 对于子群 $H$ 和 $G$ 中的任意两个元素 $a, b$，要么 $aH = bH$（左陪集），要么 $aH cap bH = emptyset$。同理，要么 $Ha = Hb$，要么 $Ha cap Hb = emptyset$。
怎么理解？ 这就像你用不同颜色的颜料去涂满一张纸。你每用一种颜料（一个陪集）涂一笔，这笔就覆盖了一片区域。而不同颜色的笔（不同的陪集）画出来的区域要么完全重叠（相等），要么完全分开（不相交）。
每个陪集都和子群本身一样大： 即 $|gH| = |H|$ 和 $|Hg| = |H|$。
怎么理解？ 你只是用 $g$ 去“挪动”了 $H$ 中的每个元素，并没有增加或减少元素的数量，所以大小不变。
单位元所在的陪集就是子群本身： 如果 $e$ 是 $G$ 的单位元，那么 $eH = H$ 且 $He = H$。
怎么理解？ 用单位元去“乘”任何东西都不会改变它，所以 $eH$ 就是用 $e$ 去乘 $H$ 的每个元素，结果还是 $H$。
商群 (Factor Group / Quotient Group)
现在我们有了陪集的这个概念，就可以引出商群了。商群是建立在正规子群基础上的。先不急着定义商群，我们先想想，如果我们要把很多陪集组合起来，形成一个新的“群”，会怎么样？
想想我们刚才在整数群里的例子：
$H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)
$1+H = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$ (奇数)
我们发现，$G = mathbb{Z}$ 被这两个陪集“完全覆盖”了，而且这两个陪集是不相交的。它们共同构成了 $mathbb{Z}$ 的一个“划分”。我们可以把这两类看作是 $mathbb{Z}$ 的“元素”。
商群就是这样一个结构：它把所有陪集看作是新的“元素”，然后在这个“元素集合”上定义一种新的运算。
但是，我们只能在正规子群下才能得到一个真正的群。
正规子群 (Normal Subgroup)
为什么我们需要正规子群？前面我们说了，陪集要么相等，要么不相交。但是，我们观察到左陪集和右陪集的关系。
对于一个子群 $H$ 和一个元素 $g in G$，通常情况下，$gH$ 和 $Hg$ 是不一样的集合。
正规子群的定义： 一个子群 $H$ 被称为 $G$ 的正规子群，如果对于 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gH = Hg$。
换句话说，对于任意 $g in G$ 和任意 $h in H$，都有 $ghg^{1} in H$。（可以证明这两个定义是等价的）。
怎么理解？ 正规子群 $H$ 的特殊之处在于，它对群 $G$ 中的所有元素都是“对称”的。无论你用 $g$ 去“左乘”它，还是用 $g$ 去“右乘”它，得到的“区域”是同一个。或者说，你把 $H$ 中的任何一个元素 $h$ 用 $g$ “变换”（左乘 $g$ 右乘 $g^{1}$），结果总还在 $H$ 里面。
举个例子：
在整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 中，子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)。
对于任意 $g in mathbb{Z}$，我们考虑左陪集 $g+H$ 和右陪集 $H+g$。
因为加法是交换的，所以 $g+H = {g+h mid h in H}$ 和 $H+g = {h+g mid h in H}$ 是完全一样的。
所以，偶数子群是 $mathbb{Z}$ 的正规子群。
再比如，对称群 $S_3$（3个元素的置换群）。它有一个子群 $A_3 = {e, (123), (132)}$ (偶置换构成的群)。
如果取一个奇置换 $g=(12)$。
$gA_3 = (12)A_3 = {(12)e, (12)(123), (12)(132)} = {(12), (13), (23)}$
$A_3g = A_3(12) = {e(12), (123)(12), (132)(12)} = {(12), (23), (13)}$
在这种情况下，$gA_3 = A_3g$。
事实上，$A_3$ 是 $S_3$ 的正规子群。
但是，并不是所有子群都是正规子群。在 $S_3$ 中，有一个子群 $H' = {e, (12)}$。
如果我们取 $g=(123)$。
$gH' = (123){e, (12)} = {(123), (123)(12)} = {(123), (13)}$
$H'g = {e, (12)}(123) = {(123), (12)(123)} = {(123), (23)}$
显然，$gH' eq H'g$。所以 $H'$ 不是 $S_3$ 的正规子群。
商群 (Factor Group / Quotient Group) 的正式理解
现在我们有了正规子群的概念，就可以正式定义商群了。
如果 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群，那么我们可以考虑 $G$ 的所有由 $H$ 产生的陪集（左陪集或右陪集，因为对于正规子群，左陪集和右陪集是相同的）。我们将这些所有陪集的集合记作 $G/H$。
$G/H = {gH mid g in G}$
这个集合 $G/H$ 实际上就是 $G$ 被正规子群 $H$ “划分”后得到的各个“部分”的集合。
我们可以在这个集合 $G/H$ 上定义一个运算，使得它成为一个新的群，这个群就叫做商群。
运算定义： 对于 $G/H$ 中的任意两个元素 $aH$ 和 $bH$（其中 $a, b in G$），它们的运算结果定义为：
$(aH)(bH) = (ab)H$
怎么理解这个运算？ 你可以把 $aH$ 和 $bH$ 看作是两个“大块”的集合。它们的“乘法”就是取这两个大块中的代表元素 $a$ 和 $b$，把它们在原群 $G$ 中乘起来（得到 $ab$），然后看 $ab$ 属于哪个陪集，这个陪集就是运算的结果。
为什么这个运算是良定义的？ 这就是为什么我们需要正规子群！如果 $H$ 不是正规子群，那么我们选取不同的代表元素可能会导致不同的运算结果。比如，如果 $aH = a'H$ 和 $bH = b'H$，但不一定有 $(ab)H = (a'b')H$。但因为 $H$ 是正规子群，所以 $gH=Hg$ 恒成立，这就保证了无论我们选择哪个代表元素，运算结果总是同一个陪集，从而运算是良定义的。
为什么 $G/H$ 是一个群？
1. 封闭性： 对于任意两个陪集 $aH$ 和 $bH$，它们的乘积 $(ab)H$ 也是 $G/H$ 中的一个元素，因为 $ab in G$。
2. 结合律： 对于任意三个陪集 $aH, bH, cH$，有 $((aH)(bH))(cH) = (ab)H(cH) = (ab)cH$ 和 $(aH)((bH)(cH)) = (aH)(bc)H = a(bc)H$。因为在 $G$ 中 $(ab)c = a(bc)$（结合律），所以 $((aH)(bH))(cH) = (aH)((bH)(cH))$。
3. 单位元： $G/H$ 中的单位元就是包含 $G$ 中单位元 $e$ 的那个陪集，即 $eH=H$。对于任意 $aH in G/H$，有 $(aH)(eH) = (ae)H = aH$ 和 $(eH)(aH) = (ea)H = aH$。
4. 逆元： 对于任意陪集 $aH in G/H$，它的逆元是 $a^{1}H$。因为 $(aH)(a^{1}H) = (aa^{1})H = eH = H$ 和 $(a^{1}H)(aH) = (a^{1}a)H = eH = H$。
总结一下，如何理解这几个概念：
陪集 ($gH$ 或 $Hg$)： 可以理解为子群 $H$ 在群 $G$ 中的“平移”或者“位移”。它将子群 $H$ 的结构“复制”了一份，并将其“放置”在 $g$ 的位置。
正规子群 ($gH = Hg$)： 是一个特殊的子群，它的“位置”相对于群 $G$ 中的任何元素都是“对称”的。它不会因为被左乘或右乘而改变其“覆盖的区域”。
商群 ($G/H$)： 是将群 $G$ “压缩”或“打包”成一系列互不相交的陪集后形成的新的群结构。这里的元素不再是 $G$ 中的单个元素，而是 $H$ 的陪集，而运算则是基于这些陪集的“代表元素”在 $G$ 中的运算。它捕捉了群 $G$ 中关于正规子群 $H$ 的“结构信息”，就像是在 $G$ 中“除去了” $H$ 的一些自由度后留下的结构。
希望这样的解释能够帮助你更清晰地认识这些概念！这是一个循序渐进的过程，多看例子，多动手尝试，就会越来越熟悉。
我们先从陪集开始聊起。
陪集 (Coset)
想象一下，你有一个大集合 $G$，它是一个群，里面有各种各样的元素，并且满足群的性质（结合律、存在单位元、存在逆元）。现在，你从中挑出一个特殊的子集 $H$，它自己也构成一个群（即 $H$ 是 $G$ 的一个子群）。
陪集就是在这种情况下出现的。我们可以用 $G$ 中的某个元素 $g$ 和子群 $H$ 来“组合”出新的集合。有两种组合方式：
1. 左陪集 ($gH$)： 我们取出 $G$ 中的任意一个元素 $g$（无论它在不在 $H$ 里），然后用它去“乘” $H$ 中的每一个元素。具体来说，左陪集 $gH$ 就是所有形如 $gh$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 你可以把 $H$ 看作是群 $G$ 中的一个“单位元”或者说是一个“基准点”，而 $g$ 是你想要“移动”到的位置。左陪集 $gH$ 就是以 $g$ 为新的“基准点”，然后将 $H$ 中的所有元素都相对于 $g$ 重新“定位”一遍的结果。可以想象成把子群 $H$ 整个“平移”了 $g$ 的距离。
举个例子：
假设 $G$ 是整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$，单位元是 $0$。
子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$，也就是所有偶数构成的集合。
取 $g = 1$。那么左陪集 $1+H$ 就是 ${1+h mid h in H}$。
$1+H = {1 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这个集合就是所有奇数。
再取 $g = 2$。那么左陪集 $2+H$ 就是 ${2+h mid h in H}$。
$2+H = {2 + ..., 4, 2, 0, 2, 4, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这个集合就是偶数，也就是子群 $H$ 本身！
2. 右陪集 ($Hg$)： 类似地，我们也可以用 $g$ 去“乘” $H$ 中的每一个元素，但这次顺序反过来。右陪集 $Hg$ 就是所有形如 $hg$ 的元素的集合，其中 $h$ 是 $H$ 中的任意一个元素。
怎么理解？ 这就好比你将子群 $H$ 整体“平移”了 $g$ 的距离，但这次是以 $g$ 为“起点”去“连接” $H$ 的每个元素。
举个例子（继续上面的例子）：
还是 $G = (mathbb{Z}, +)$， $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$。
取 $g = 1$。那么右陪集 $H+1$ 就是 ${h+1 mid h in H}$。
$H+1 = {..., 4+1, 2+1, 0+1, 2+1, 4+1, ...} = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$。
这和左陪集 $1+H$ 是一样的，都是奇数。
再取 $g = 2$。那么右陪集 $H+2$ 就是 ${h+2 mid h in H}$。
$H+2 = {..., 4+2, 2+2, 0+2, 2+2, 4+2, ...} = {..., 2, 0, 2, 4, 6, ...}$。
这和左陪集 $2+H$ 是一样的，都是偶数。
陪集的一些重要性质：
陪集要么相等，要么不相交： 对于子群 $H$ 和 $G$ 中的任意两个元素 $a, b$，要么 $aH = bH$（左陪集），要么 $aH cap bH = emptyset$。同理，要么 $Ha = Hb$，要么 $Ha cap Hb = emptyset$。
怎么理解？ 这就像你用不同颜色的颜料去涂满一张纸。你每用一种颜料（一个陪集）涂一笔，这笔就覆盖了一片区域。而不同颜色的笔（不同的陪集）画出来的区域要么完全重叠（相等），要么完全分开（不相交）。
每个陪集都和子群本身一样大： 即 $|gH| = |H|$ 和 $|Hg| = |H|$。
怎么理解？ 你只是用 $g$ 去“挪动”了 $H$ 中的每个元素，并没有增加或减少元素的数量，所以大小不变。
单位元所在的陪集就是子群本身： 如果 $e$ 是 $G$ 的单位元，那么 $eH = H$ 且 $He = H$。
怎么理解？ 用单位元去“乘”任何东西都不会改变它，所以 $eH$ 就是用 $e$ 去乘 $H$ 的每个元素，结果还是 $H$。
商群 (Factor Group / Quotient Group)
现在我们有了陪集的这个概念，就可以引出商群了。商群是建立在正规子群基础上的。先不急着定义商群，我们先想想，如果我们要把很多陪集组合起来，形成一个新的“群”，会怎么样？
想想我们刚才在整数群里的例子：
$H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)
$1+H = {..., 3, 1, 1, 3, 5, ...}$ (奇数)
我们发现，$G = mathbb{Z}$ 被这两个陪集“完全覆盖”了，而且这两个陪集是不相交的。它们共同构成了 $mathbb{Z}$ 的一个“划分”。我们可以把这两类看作是 $mathbb{Z}$ 的“元素”。
商群就是这样一个结构：它把所有陪集看作是新的“元素”，然后在这个“元素集合”上定义一种新的运算。
但是，我们只能在正规子群下才能得到一个真正的群。
正规子群 (Normal Subgroup)
为什么我们需要正规子群？前面我们说了，陪集要么相等，要么不相交。但是，我们观察到左陪集和右陪集的关系。
对于一个子群 $H$ 和一个元素 $g in G$，通常情况下，$gH$ 和 $Hg$ 是不一样的集合。
正规子群的定义： 一个子群 $H$ 被称为 $G$ 的正规子群，如果对于 $G$ 中的任意元素 $g$，都有 $gH = Hg$。
换句话说，对于任意 $g in G$ 和任意 $h in H$，都有 $ghg^{1} in H$。（可以证明这两个定义是等价的）。
怎么理解？ 正规子群 $H$ 的特殊之处在于，它对群 $G$ 中的所有元素都是“对称”的。无论你用 $g$ 去“左乘”它，还是用 $g$ 去“右乘”它，得到的“区域”是同一个。或者说，你把 $H$ 中的任何一个元素 $h$ 用 $g$ “变换”（左乘 $g$ 右乘 $g^{1}$），结果总还在 $H$ 里面。
举个例子：
在整数加法群 $(mathbb{Z}, +)$ 中，子群 $H = {..., 4, 2, 0, 2, 4, ...}$ (偶数)。
对于任意 $g in mathbb{Z}$，我们考虑左陪集 $g+H$ 和右陪集 $H+g$。
因为加法是交换的，所以 $g+H = {g+h mid h in H}$ 和 $H+g = {h+g mid h in H}$ 是完全一样的。
所以，偶数子群是 $mathbb{Z}$ 的正规子群。
再比如，对称群 $S_3$（3个元素的置换群）。它有一个子群 $A_3 = {e, (123), (132)}$ (偶置换构成的群)。
如果取一个奇置换 $g=(12)$。
$gA_3 = (12)A_3 = {(12)e, (12)(123), (12)(132)} = {(12), (13), (23)}$
$A_3g = A_3(12) = {e(12), (123)(12), (132)(12)} = {(12), (23), (13)}$
在这种情况下，$gA_3 = A_3g$。
事实上，$A_3$ 是 $S_3$ 的正规子群。
但是，并不是所有子群都是正规子群。在 $S_3$ 中，有一个子群 $H' = {e, (12)}$。
如果我们取 $g=(123)$。
$gH' = (123){e, (12)} = {(123), (123)(12)} = {(123), (13)}$
$H'g = {e, (12)}(123) = {(123), (12)(123)} = {(123), (23)}$
显然，$gH' eq H'g$。所以 $H'$ 不是 $S_3$ 的正规子群。
商群 (Factor Group / Quotient Group) 的正式理解
现在我们有了正规子群的概念，就可以正式定义商群了。
如果 $H$ 是群 $G$ 的一个正规子群，那么我们可以考虑 $G$ 的所有由 $H$ 产生的陪集（左陪集或右陪集，因为对于正规子群，左陪集和右陪集是相同的）。我们将这些所有陪集的集合记作 $G/H$。
$G/H = {gH mid g in G}$
这个集合 $G/H$ 实际上就是 $G$ 被正规子群 $H$ “划分”后得到的各个“部分”的集合。
我们可以在这个集合 $G/H$ 上定义一个运算，使得它成为一个新的群，这个群就叫做商群。
运算定义： 对于 $G/H$ 中的任意两个元素 $aH$ 和 $bH$（其中 $a, b in G$），它们的运算结果定义为：
$(aH)(bH) = (ab)H$
怎么理解这个运算？ 你可以把 $aH$ 和 $bH$ 看作是两个“大块”的集合。它们的“乘法”就是取这两个大块中的代表元素 $a$ 和 $b$，把它们在原群 $G$ 中乘起来（得到 $ab$），然后看 $ab$ 属于哪个陪集，这个陪集就是运算的结果。
为什么这个运算是良定义的？ 这就是为什么我们需要正规子群！如果 $H$ 不是正规子群，那么我们选取不同的代表元素可能会导致不同的运算结果。比如，如果 $aH = a'H$ 和 $bH = b'H$，但不一定有 $(ab)H = (a'b')H$。但因为 $H$ 是正规子群，所以 $gH=Hg$ 恒成立，这就保证了无论我们选择哪个代表元素，运算结果总是同一个陪集，从而运算是良定义的。
为什么 $G/H$ 是一个群？
1. 封闭性： 对于任意两个陪集 $aH$ 和 $bH$，它们的乘积 $(ab)H$ 也是 $G/H$ 中的一个元素，因为 $ab in G$。
2. 结合律： 对于任意三个陪集 $aH, bH, cH$，有 $((aH)(bH))(cH) = (ab)H(cH) = (ab)cH$ 和 $(aH)((bH)(cH)) = (aH)(bc)H = a(bc)H$。因为在 $G$ 中 $(ab)c = a(bc)$（结合律），所以 $((aH)(bH))(cH) = (aH)((bH)(cH))$。
3. 单位元： $G/H$ 中的单位元就是包含 $G$ 中单位元 $e$ 的那个陪集，即 $eH=H$。对于任意 $aH in G/H$，有 $(aH)(eH) = (ae)H = aH$ 和 $(eH)(aH) = (ea)H = aH$。
4. 逆元： 对于任意陪集 $aH in G/H$，它的逆元是 $a^{1}H$。因为 $(aH)(a^{1}H) = (aa^{1})H = eH = H$ 和 $(a^{1}H)(aH) = (a^{1}a)H = eH = H$。
总结一下，如何理解这几个概念：
陪集 ($gH$ 或 $Hg$)： 可以理解为子群 $H$ 在群 $G$ 中的“平移”或者“位移”。它将子群 $H$ 的结构“复制”了一份，并将其“放置”在 $g$ 的位置。
正规子群 ($gH = Hg$)： 是一个特殊的子群，它的“位置”相对于群 $G$ 中的任何元素都是“对称”的。它不会因为被左乘或右乘而改变其“覆盖的区域”。
商群 ($G/H$)： 是将群 $G$ “压缩”或“打包”成一系列互不相交的陪集后形成的新的群结构。这里的元素不再是 $G$ 中的单个元素，而是 $H$ 的陪集，而运算则是基于这些陪集的“代表元素”在 $G$ 中的运算。它捕捉了群 $G$ 中关于正规子群 $H$ 的“结构信息”，就像是在 $G$ 中“除去了” $H$ 的一些自由度后留下的结构。
希望这样的解释能够帮助你更清晰地认识这些概念！这是一个循序渐进的过程，多看例子，多动手尝试，就会越来越熟悉。
网友意见
从徐一鸿的《Group Theory in a nutshell for Physicists》中看到的：
在群论中，人们喜欢把那些没有非平凡不变子群的群称为“单群”，英文名叫“simple group”，看它的英文名你大概就能猜出来它的性质了。有一些群，它没有内部结构，不能分解成更基本的群的直乘形式，这样的群往往被称为“简单”群；而另外一些群，它有内部结构，它可以被看成更基本的群的直乘形式，而通过研究它的非平反不变子群我们就能得知它是由哪些更基本的群组成的。而这样的分解过程可以不断进行下去，直到找到一个最终为单群的不变子群为止。
举个最简单的例子吧，两个二元群可以通过群乘的方式变成一个四元群，二元群的元素分别为1和-1，而这两个二元群组成的四元群系统的元素共有四个（1，1），（1，-1），（-1，1），（-1，-1），你能看出什么来？（1，1）和（-1，-1）组成了一个子群并且是不变子群，这是一个二元群，而由这个不变子群的陪集所组成的群也是一个二元群。通过这样的方式，我们就知道了它的内部结构并且把它分解成两个二元群直乘的形式。
其他回答中已经把technical details解释得非常明白了 我来补充一些"玄学" 它可能能帮助到直观理解它
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首先 要直观理解什么是quotient object
简而言之 quotient 本质就是：忽略信息
为什么要忽略信息？因为信息太多了 又参杂着无用信息混淆视听
对于任何object 定义了equivalence relation后, 都可以做quotient
equivalence relation告诉我们 哪些"不同的东西"被我们看作相同
i.e. 哪些"差别"是可以被忽略的
而quotient by an equivalence relation的效果就是：
忽略这些信息
几乎所有结构都可以做quotient 包括但不限于
groups, rings, modules, vector space, algebra, topological space 等等
In particular, 一个 quotient group 的意义是
当
也就是说 当两个元素的差在 中，我们忽略它们的不同
quotient的好处就在于 被忽略的信息是我们不在乎的
于是我们所在乎的信息就会被保留下来 而我们可以不受干扰地研究它
比如quotient by the kernel of a homomorphism
就是忽略了 domain中额外的信息：
我们不在乎domain中两个元素是否不同
我们只在乎它们的image是否相同
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
在理解了quotient的意义后 基本知道什么是quotient group
接下来我说说别的
首先coset, 本质就是equivalence class
也就是被我们忽略掉不同的一伙东西的集合体
既然我们忽略掉了它们的不同 那么随便挑出其中一个 就可以代表整个coset
这就是为什么我们的notation中coset是一个set
但是可以像 这样用一个 来表示
你可以把它理解成： up to "a difference in "
鉴于Group不一定交换，那么left coset/right coset这两种方式就不一样
不过它们等价 所以在意一个就可以了
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
最后 再说说什么是normal subgroup
显然 不是任何东西都可以作为合适的equivalence relation
就好比不是所有map都是homomorphism
我们把respect our structure的map尊称为homomorphism
而我们把respect our structure的equivalence relation称为
normal或是ideal
通过简单的推导 就可以发现一个subset可以被作为equivalence relation
当且仅当它满足你学到的normal subgroup的这些条件
对于不同structure 合适的equivalence relation是不一样的
比如ring对应的ideal 它甚至都不是subring
比如module可以对任何submodule做quotient
具体条件就要具体分析
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希望能帮到人们！
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刚看完《赘微》，33集的情节确实让人对宁毅和刘西瓜之间的感情纠葛有点捉摸不透。说到底，宁毅到底喜不喜欢刘西瓜？这事儿，说实话，有点复杂，不是一两句话就能说清楚的。你看，宁毅这个人，一开始跟苏檀儿成亲，那完全是出于形势，甚至是带着点“玩票”的心态。他那时候心思根本不在经商，更不在儿女情长上，整天琢磨着.............
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理解这个问题，关键在于把握“零测集”的定义以及如何与之相对比。零测集，简单来说，就是“几乎没有长度”、“几乎没有面积”、“几乎没有体积”的集合。在数学上，它的测度为零。我们知道直线、点、有限个点构成的集合都是零测集。那么，不是零测集的集合呢？这其实涵盖了我们生活中大部分能够“触摸到”和“感知到”的实.............
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要找寻中国古代散文的集评或评注，确实有不少途径和值得推荐的书籍。这些宝贵的资料不仅能帮助我们更深入地理解古代散文的精妙之处，也能从中窥见历代文人心中的爱憎褒贬，让阅读体验更加丰富。一、 寻找集评与评注的途径1. 传统学术著作与文集： 这是最主要、也最可靠的来源。许多学识渊博的学者，尤其是清代以来治.............
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您问的是刘知远老师团队发布的网易新闻标注数据集，对吧？这是一个非常好的问题，也是很多 NLP 研究者和爱好者关注的焦点。关于数据集的开源情况，我的了解是：是的，这个网易新闻标注数据集是公开提供的，并且是开源的。您可以将它理解为是刘知远老师团队在进行相关研究时，公开发布出来供大家学习、复现和进一步研究.............
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您好！看到您家孩子8岁了，上厕所还需要人陪着，您心里肯定有些着急和困惑。首先，我想说，您能这样细心地观察和关心孩子的需求，这本身就是一位非常棒的家长。关于您孩子的情况，它确实有可能是缺乏安全感的一种表现，但同时也要考虑到，每个孩子的发展节奏和敏感度都是不一样的。8岁这个年纪，正是孩子独立性开始萌芽的.............
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这事儿啊，挺常见的，也挺让人纠结的。从情理上说，男人家装修房子，确实是个大事儿，花钱的地方多着呢。而家电，又是家里必不可少的，而且说实话，现在的家电也不便宜，从冰箱、洗衣机、空调到电视、热水器，一套下来也是一笔不小的开销。男方希望女方陪一部分家电，可能也是考虑到以后组成家庭，家电也是共同使用的，分摊.............
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若我有幸穿越时空，能与一位三国人物共享一段戏曲时光，我脑海中最先浮现的名字，非诸葛亮莫属。这位运筹帷幄的智者，平日里心思深沉，虽对万事洞若观火，但他的内心深处，是否也渴望着某种超越权谋的慰藉与共鸣？我选择与他一同观戏，便是希望在那虚实相映的舞台上，寻得一丝他鲜为人知的柔情与感慨。至于看哪一折，我的选.............
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这问题一出，我脑子里立马跳出几个名字来，但要真说挑一个，那可得好好合计合计。我最想邀请的，还是那位“羽扇纶巾，谈笑间，樯橹灰飞烟灭”的先生——诸葛亮。为什么是他？别的先不说，光是想想他坐在我旁边，看着眼前这部电影，他的表情，他的反应，就够我期待的了。诸葛亮这个人，你不能只看他聪明绝顶，他身上还有种沉.............
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杰瑞米·雷纳（Jeremy Renner）作为鹰眼（Hawkeye）的扮演者，威胁漫威“给我时间陪女儿，或者另请演员”的说法，在当时引起了不少讨论，并可以从多个角度进行评价。事件背景和可能的原因：首先，需要明确的是，关于杰瑞米·雷纳提出此类“威胁”的确切新闻报道和详细信息并不普遍存在，更多的可能是一.............
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这事儿吧，挺让人纠结的，尤其是当你的博士生涯里，一位重要的老师要来，你心里想着要好好招待一下，顺便把男朋友也带上，结果对方一口回绝，换谁都会忍不住琢磨琢磨：“是我做的不对，还是他有问题？”别急，咱一点一点捋。首先，咱们得承认，博士阶段的导师和学生之间，确实有那么点说不清道不明的“特殊性”。这位硕士老.............
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关于“绍依古军改”这一表述，可能存在名称混淆或拼写错误。根据常见的军事改革话题，以下是对中国、美国、俄罗斯等国家军改的详细分析，并指出可能的误解： 一、可能的误解与澄清1. “绍依古”可能的含义 中国：可能误写为“绍”或“绍依”，但中国近年来的军改（如2015年后的改革）是重点。 .............
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当朋友去世时，处理微信相关的信息需要谨慎和尊重，既要考虑逝者的隐私和家属的感受，也要避免让生者陷入不必要的困扰。以下是详细建议，供你参考： 一、是否需要删除微信联系人？1. 联系人信息 建议删除：如果朋友的微信账号已注销或无法联系，建议删除对方的微信联系人。 保留但备注：若想保留.............
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关于历朝历代屠城事件为何清朝被广泛唾弃，而项羽、朱元璋等人的屠城行为较少被提及，这一问题涉及历史记载、文化背景、政治因素、后世评价标准等多个层面。以下从多个角度进行详细分析： 一、历史记载的差异与客观性1. 清朝屠城的记载更详实 清朝的屠城事件（如扬州十日、嘉定三屠）有大量文献记载，如《扬州.............
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海兰察（1647年－1711年）是清朝中期著名的军事将领，属于满洲镶黄旗，是清朝八旗制度中的重要人物之一。他不仅是清朝的忠诚将领，还在平定三藩、收复台湾、对抗准噶尔部等重大军事行动中立下战功，被后世视为清代重要的军事将领之一。以下从多个角度详细分析他的历史地位和功绩： 一、身份与家族背景1. 出身与.............
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知乎用户@持续低熵（假设为某位以“低熵”为标签的用户，可能涉及哲学、社会批判、个人成长等主题）的众多回答是否具有可行性，需从多个角度进行深入分析。以下从逻辑性、现实性、理论依据、用户动机等方面展开，结合具体案例和背景进行评估： 一、核心观点的理论基础“低熵”在物理学中是热力学第二定律的反向表述，指系.............
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关于“国家分配对象”的问题，需要明确具体语境和背景，因为“分配对象”在不同场景下可能有不同含义。以下从几个常见角度进行详细解释： 一、如果是大学生就业或工作安排在中国，目前的就业政策以“自主择业、市场导向”为主，但某些特定群体（如定向培养生、特殊专业学生）可能会涉及国家或单位的分配机制。1. 定向培.............
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关于赫梯文明的原始史料，主要来源于考古发掘和楔形文字文本的解读。由于赫梯人使用的是基于阿卡德楔形文字的书写系统，且其语言在古典时期被遗忘，现代学者通过破译这些文献和实物资料来重建这一古代文明的历史、社会结构与文化。以下是详细分类和具体例子： 一、碑铭与石刻赫梯王室的纪念碑是重要的原始史料之一，通常以.............
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