用主成分分析法求指标权重合理吗？
关于主成分分析法（PCA）在指标权重计算中的合理性，这确实是一个值得深入探讨的问题。在我看来，用PCA来求指标权重，在特定场景下是合理的，但并非万能，并且需要谨慎使用和理解其局限性。不能一概而论地说“合理”或“不合理”。下面我将尽量详细地阐述我的看法，并 कोशिश（尝试）用更自然、更贴近实际的语言来表达。
首先，我们得明白PCA到底是个什么东西。简单来说，PCA是一种降维技术。它发现数据中方差最大的方向，并将这些方向（我们称之为“主成分”）作为新的坐标轴来重新表达原始数据。这些主成分是原始指标的线性组合，并且彼此之间相互独立（不相关）。
那么，为什么会有人想到用PCA来计算指标权重呢？核心的思路是：方差大，可能代表这个指标信息量大，或者在区分不同样本方面起的作用更重要。
PCA在指标权重计算中的合理性体现在以下几个方面：
1. 捕捉数据的主要变异性： 如果我们想要评价一组样本在多个指标上的表现，并且认为那些更能区分这些样本的指标，其“重要性”应该更高，那么PCA的思路是契合的。方差最大的主成分，往往是由那些本身方差较大、或者与多个其他指标高度相关的原始指标贡献最大的。这种情况下，我们可以认为，构成这个主成分的原始指标在整体的变异性中扮演了重要角色。
2. 降维与信息浓缩： 在实际应用中，我们可能面临几十甚至上百个指标。直接对这么多指标赋予权重是一项艰巨的任务，而且很多指标之间可能存在高度相关性，信息是冗余的。PCA可以将这些高维数据映射到低维空间，同时保留大部分的方差信息。如果我们将主成分理解为“综合指标”，那么与贡献度大的主成分相关的原始指标，自然就被赋予了更高的“权重”。
3. 客观性： 与很多依赖专家经验或主观设定的权重不同，PCA是基于数据本身的统计特性来计算的，具有一定的客观性。它不会受到研究者个人偏好的直接影响（当然，数据选择和预处理步骤仍然会影响结果）。
然而，PCA在指标权重计算中的局限性同样不容忽视，这也是为什么它不是“万能”的原因：
1. 主成分的“可解释性”问题： PCA产生的第一个主成分，虽然方差最大，但它通常是多个原始指标的线性组合。这个组合的含义是什么？它到底代表了什么？这常常是一个挑战。如果主成分无法清晰地解释，那么基于它计算出的指标权重也就缺乏直观的意义。比如，一个主成分可能包含了“收入”、“教育程度”和“健康状况”这三个指标，但这个组合的真正含义可能只是模糊的“社会经济地位”。如果指标的原始含义非常重要，且需要明确的解释，那么PCA的权重可能就不那么合适了。
2. 方差不等于重要性（有时）： 方差大确实可能意味着信息量大，但也可能仅仅是指标本身的数值范围比较大，或者存在异常值。例如，一个指标可能对区分“优秀”和“差劲”样本起着关键作用，但它的整体方差可能不如一个反映普遍水平但差异不大的指标大。在这种情况下，方差更大的指标可能被低估了其在区分特定样本时的重要性。
3. 忽略了指标之间的因果关系或逻辑关系： PCA关注的是指标之间的相关性，而非因果关系。在某些领域，指标之间的内在逻辑或层级关系非常重要。比如，在评估一个企业的“经营效率”时，“总收入”和“总成本”之间的关系，可能比它们各自的方差更能说明问题。PCA可能无法充分捕捉这种结构性信息。
4. 对数据预处理敏感： PCA对数据的尺度非常敏感。如果原始指标的量纲不同、数值范围差异很大，在进行PCA之前，通常需要进行标准化处理（例如zscore标准化）。标准化处理本身就对数据进行了调整，改变了数据的方差分布，从而可能影响最终的主成分及其贡献度，进而影响权重计算。
那么，如何更合理地使用PCA来计算指标权重呢？
明确目标： 首先要明确，你希望通过权重表达什么？是“哪个指标对整体的变异贡献最大”？还是“哪个指标能最好地区分不同的样本/群体”？如果目标是前者，PCA可能是一个不错的选择。
理解主成分： 在计算权重之前，花时间去理解每个主成分代表的含义至关重要。如果主成分难以解释，那么基于它的权重计算可能只是数学上的操作，缺乏实际意义。
结合其他方法或领域知识： PCA的权重可以作为参考，但不应是唯一的依据。可以结合专家访谈、层次分析法（AHP）等方法来验证或调整PCA得到的权重。领域知识可以帮助你判断PCA提取的主成分是否符合实际情况，以及方差大的指标是否真的意味着重要。
审慎选择指标： 确保输入的指标本身是相关的，且具有一定的区分度。剔除那些明显不相关或信息量极低的指标。
考虑标准化方法： 选择合适的标准化方法，并了解其对PCA结果的影响。
举个例子来帮助理解：
假设我们要评价一个城市的“生活质量”。我们收集了以下指标：
人均GDP： 反映经济发展水平
平均寿命： 反映健康水平
空气质量指数（AQI）： 反映环境质量
犯罪率： 反映社会安全
教育支出占GDP比重： 反映教育投入
我们发现人均GDP和教育支出占GDP比重之间可能存在一定相关性，而平均寿命可能又受到人均GDP和环境质量的影响。
如果用PCA：
第一个主成分 可能捕捉到了经济发展和相关配套（如教育投入、可能也间接影响健康）的整体趋势。这个主成分的方差很大，说明经济维度是区分城市生活质量差异的一个主要因素。
第二个主成分 可能捕捉到了环境和安全方面的差异。
如果我们将主成分的方差贡献率作为基础，来反推原始指标的权重，那么那些更多地“贡献”给了第一个主成分的指标（比如人均GDP），可能会被赋予更高的权重。
但是，这里需要思考：
“生活质量”的定义中，经济固然重要，但如果某个城市虽然经济发达，但环境污染极其严重，而另一些城市经济相对不发达，但环境优美、社会安全，人们普遍幸福感很高，那么仅仅看方差，环境和安全相关的指标是否会被低估？
我们是否应该让“平均寿命”这个指标在权重中占据更重要的地位，因为它直接反映了居民的福祉？PCA的计算结果可能不会直接给出我们期望的“平均寿命”权重很高的情况，除非它恰好是方差贡献最大的那个维度的核心组成部分。
总结一下我的看法：
用主成分分析法来求指标权重，可以看作是一种“数据驱动”的客观赋权尝试。它擅长捕捉数据中由多个相关指标共同决定的“主要维度”或者“综合影响力”。当你的目标是识别出哪些指标组合起来能最大限度地解释样本间的差异时，PCA是合适的。
但如果你更看重单个指标的独立重要性、指标间的因果逻辑，或者需要高度可解释的权重，那么PCA的权重可能需要谨慎使用，甚至需要与其他方法结合。它更像是一个“发现模式”的工具，而不是一个“量化价值”的精确标尺。关键在于理解它的工作原理、假设以及局限性，然后根据具体的研究目标和数据特征来决定是否使用，以及如何解读其结果。
希望这样的阐述，能够更生动、更真实地反映PCA在指标权重计算中的作用和考量。
首先，我们得明白PCA到底是个什么东西。简单来说，PCA是一种降维技术。它发现数据中方差最大的方向，并将这些方向（我们称之为“主成分”）作为新的坐标轴来重新表达原始数据。这些主成分是原始指标的线性组合，并且彼此之间相互独立（不相关）。
那么，为什么会有人想到用PCA来计算指标权重呢？核心的思路是：方差大，可能代表这个指标信息量大，或者在区分不同样本方面起的作用更重要。
PCA在指标权重计算中的合理性体现在以下几个方面：
1. 捕捉数据的主要变异性： 如果我们想要评价一组样本在多个指标上的表现，并且认为那些更能区分这些样本的指标，其“重要性”应该更高，那么PCA的思路是契合的。方差最大的主成分，往往是由那些本身方差较大、或者与多个其他指标高度相关的原始指标贡献最大的。这种情况下，我们可以认为，构成这个主成分的原始指标在整体的变异性中扮演了重要角色。
2. 降维与信息浓缩： 在实际应用中，我们可能面临几十甚至上百个指标。直接对这么多指标赋予权重是一项艰巨的任务，而且很多指标之间可能存在高度相关性，信息是冗余的。PCA可以将这些高维数据映射到低维空间，同时保留大部分的方差信息。如果我们将主成分理解为“综合指标”，那么与贡献度大的主成分相关的原始指标，自然就被赋予了更高的“权重”。
3. 客观性： 与很多依赖专家经验或主观设定的权重不同，PCA是基于数据本身的统计特性来计算的，具有一定的客观性。它不会受到研究者个人偏好的直接影响（当然，数据选择和预处理步骤仍然会影响结果）。
然而，PCA在指标权重计算中的局限性同样不容忽视，这也是为什么它不是“万能”的原因：
1. 主成分的“可解释性”问题： PCA产生的第一个主成分，虽然方差最大，但它通常是多个原始指标的线性组合。这个组合的含义是什么？它到底代表了什么？这常常是一个挑战。如果主成分无法清晰地解释，那么基于它计算出的指标权重也就缺乏直观的意义。比如，一个主成分可能包含了“收入”、“教育程度”和“健康状况”这三个指标，但这个组合的真正含义可能只是模糊的“社会经济地位”。如果指标的原始含义非常重要，且需要明确的解释，那么PCA的权重可能就不那么合适了。
2. 方差不等于重要性（有时）： 方差大确实可能意味着信息量大，但也可能仅仅是指标本身的数值范围比较大，或者存在异常值。例如，一个指标可能对区分“优秀”和“差劲”样本起着关键作用，但它的整体方差可能不如一个反映普遍水平但差异不大的指标大。在这种情况下，方差更大的指标可能被低估了其在区分特定样本时的重要性。
3. 忽略了指标之间的因果关系或逻辑关系： PCA关注的是指标之间的相关性，而非因果关系。在某些领域，指标之间的内在逻辑或层级关系非常重要。比如，在评估一个企业的“经营效率”时，“总收入”和“总成本”之间的关系，可能比它们各自的方差更能说明问题。PCA可能无法充分捕捉这种结构性信息。
4. 对数据预处理敏感： PCA对数据的尺度非常敏感。如果原始指标的量纲不同、数值范围差异很大，在进行PCA之前，通常需要进行标准化处理（例如zscore标准化）。标准化处理本身就对数据进行了调整，改变了数据的方差分布，从而可能影响最终的主成分及其贡献度，进而影响权重计算。
那么，如何更合理地使用PCA来计算指标权重呢？
明确目标： 首先要明确，你希望通过权重表达什么？是“哪个指标对整体的变异贡献最大”？还是“哪个指标能最好地区分不同的样本/群体”？如果目标是前者，PCA可能是一个不错的选择。
理解主成分： 在计算权重之前，花时间去理解每个主成分代表的含义至关重要。如果主成分难以解释，那么基于它的权重计算可能只是数学上的操作，缺乏实际意义。
结合其他方法或领域知识： PCA的权重可以作为参考，但不应是唯一的依据。可以结合专家访谈、层次分析法（AHP）等方法来验证或调整PCA得到的权重。领域知识可以帮助你判断PCA提取的主成分是否符合实际情况，以及方差大的指标是否真的意味着重要。
审慎选择指标： 确保输入的指标本身是相关的，且具有一定的区分度。剔除那些明显不相关或信息量极低的指标。
考虑标准化方法： 选择合适的标准化方法，并了解其对PCA结果的影响。
举个例子来帮助理解：
假设我们要评价一个城市的“生活质量”。我们收集了以下指标：
人均GDP： 反映经济发展水平
平均寿命： 反映健康水平
空气质量指数（AQI）： 反映环境质量
犯罪率： 反映社会安全
教育支出占GDP比重： 反映教育投入
我们发现人均GDP和教育支出占GDP比重之间可能存在一定相关性，而平均寿命可能又受到人均GDP和环境质量的影响。
如果用PCA：
第一个主成分 可能捕捉到了经济发展和相关配套（如教育投入、可能也间接影响健康）的整体趋势。这个主成分的方差很大，说明经济维度是区分城市生活质量差异的一个主要因素。
第二个主成分 可能捕捉到了环境和安全方面的差异。
如果我们将主成分的方差贡献率作为基础，来反推原始指标的权重，那么那些更多地“贡献”给了第一个主成分的指标（比如人均GDP），可能会被赋予更高的权重。
但是，这里需要思考：
“生活质量”的定义中，经济固然重要，但如果某个城市虽然经济发达，但环境污染极其严重，而另一些城市经济相对不发达，但环境优美、社会安全，人们普遍幸福感很高，那么仅仅看方差，环境和安全相关的指标是否会被低估？
我们是否应该让“平均寿命”这个指标在权重中占据更重要的地位，因为它直接反映了居民的福祉？PCA的计算结果可能不会直接给出我们期望的“平均寿命”权重很高的情况，除非它恰好是方差贡献最大的那个维度的核心组成部分。
总结一下我的看法：
用主成分分析法来求指标权重，可以看作是一种“数据驱动”的客观赋权尝试。它擅长捕捉数据中由多个相关指标共同决定的“主要维度”或者“综合影响力”。当你的目标是识别出哪些指标组合起来能最大限度地解释样本间的差异时，PCA是合适的。
但如果你更看重单个指标的独立重要性、指标间的因果逻辑，或者需要高度可解释的权重，那么PCA的权重可能需要谨慎使用，甚至需要与其他方法结合。它更像是一个“发现模式”的工具，而不是一个“量化价值”的精确标尺。关键在于理解它的工作原理、假设以及局限性，然后根据具体的研究目标和数据特征来决定是否使用，以及如何解读其结果。
希望这样的阐述，能够更生动、更真实地反映PCA在指标权重计算中的作用和考量。
网友意见
这个没什么合理不合理的。
主成分分析法是最常见的一种客观法求权重。任何求权重的方法都有其局限性。
上面一个链接讲了很多种求权重的方法。
如上图。所有求权重的方法，大致分为客观法与主观法。
1、客观法求权重
客观法用得最多的是熵权法。这个方法比PCA求权重要广泛得多。
※主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）， 是一种统计方法，也是快用烂了的一种方法，spss，matlab,python都有这玩意的工具包。通过正交变换将一组可能存在相关性的变量转换为一组线性不相关的变量，转换后的这组变量叫主成分。 主成分分析首先是由K.皮尔森（Karl Pearson）对非随机变量引入的，尔后H.霍特林将此方法推广到随机向量的情形。信息的大小通常用离差平方和或方差来衡量。此方法为常用的方法，它最大好处并不是求出各维度的权重，而是可以通过合并与抛弃部分维度，从总体上减少维度，使得分析的内容减少，模型更简洁且有说服力。它深刻的体现了，简洁就是美，堆出来的东西很可能里面是一堆垃圾信息。
2、主观法求权重
主观法用得最多的是AHP法。如果不考虑一致性校验。AHP求权重最简单。
先列归一化，然后行归一化就是所得的权重。到这步小学生都会。
从适用上来说。
AHP ANP DEMATEL D-ANP
3、组合赋权法
组合赋权法，一般是主观法一个，客观法一个。当然也有两个客观法组合赋权。组合的方式大致有3类。
3.1、强行分配
这种很简单，就是 0.4的给主观法， 0.6的给客观法 这种分配法。很头疼的是这种分配比怎么扯清楚。
3.2、博弈论组合赋权
这种可以自动算，更有说头。
3.3、博弈论基于拓扑序变化的组合赋权
依据两种权重大小的排序。
找到聚类特征，取一个拐点值。
上面有大体的意思。
总结
讨论权重的时候，不要相互鄙视。比如客观法喷主观法，主观法喷客观法。
仅仅主成分分析法来说，最讨厌的地方是，它最终是降维的，怎么给得出的维度给一个新的名称很烦。会影响到后续的分析。
权重反而非常容易的可以求解出来。
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