有哪些不同的物体,他们沿所有轴的转动惯量都相同?
那么，有没有那么一些“特别”的物体，无论你选择哪一个轴来计算它的转动惯量，算出来的结果都一模一样呢？答案是有的，但这些物体在几何形状和质量分布上都有着非常特殊的要求。
让我来仔细说说，哪些物体符合这个条件，以及为什么。
核心概念：转动惯量的张量
要理解这个问题，我们不能只停留在围绕某一个固定轴的转动惯量上。实际上，一个刚体的转动惯量并不是一个简单的标量，而是一个叫做转动惯量张量 (Moment of Inertia Tensor) 的量。张量可以理解为一种更复杂的数学对象，它能够描述物体在三维空间中质量分布的各个方向上的特性。
转动惯量张量是一个 $3 imes 3$ 的对称矩阵。对于一个连续质量分布的物体，它的转动惯量张量的各个分量可以通过积分来计算：
$I_{ij} = int_V (r^2 delta_{ij} x_i x_j) dm$
其中：
$I_{ij}$ 是转动惯量张量的分量（i, j 可以是 x, y, z）。
$dm$ 是物体内一个微小的质量块。
$r^2 = x^2 + y^2 + z^2$ 是微小质量块到原点的距离的平方。
$delta_{ij}$ 是克罗内克 $delta$ 函数，当 $i=j$ 时为 1，否则为 0。
$x_i$ 和 $x_j$ 是微小质量块在不同坐标轴上的分量。
当我们谈论物体围绕某个特定轴（比如通过原点的单位向量 $mathbf{u}$）的转动惯量时，实际上是计算张量的一个特定组合：
$I_{mathbf{u}} = mathbf{u}^T mathbf{I} mathbf{u}$
其中 $mathbf{I}$ 就是转动惯量张量，$mathbf{u}$ 是表示旋转轴方向的单位向量。
符合条件的物体：极致的对称性
现在我们回过头来问：什么样的物体，使得无论 $mathbf{u}$ 是什么方向，$mathbf{u}^T mathbf{I} mathbf{u}$ 的值都恒定不变？
答案是：那些具有高度对称性的物体，并且它们的主转动惯量都相等。
让我们来具体分析：
1. 主轴和主转动惯量 (Principal Axes and Principal Moments of Inertia)
对于任何一个刚体，总存在一组相互垂直的坐标轴（称为主轴），使得转动惯量张量在这些坐标轴的表示下是对角的。也就是说，在主轴坐标系下，转动惯量张量可以写成：
$ mathbf{I}_{principal} = egin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \ 0 & I_2 & 0 \ 0 & 0 & I_3 end{pmatrix} $
这里的 $I_1, I_2, I_3$ 就是主转动惯量，它们对应于物体绕这三个主轴旋转时的转动惯量。
2. 当所有主转动惯量相等时
如果一个物体的所有主转动惯量都相等，即 $I_1 = I_2 = I_3 = I_{iso}$，那么无论我们选择哪个方向的旋转轴 $mathbf{u} = (u_x, u_y, u_z)$（以主轴坐标系为基准），绕该轴的转动惯量计算起来都会是：
$I_{mathbf{u}} = egin{pmatrix} u_x & u_y & u_z end{pmatrix} egin{pmatrix} I_{iso} & 0 & 0 \ 0 & I_{iso} & 0 \ 0 & 0 & I_{iso} end{pmatrix} egin{pmatrix} u_x \ u_y \ u_z end{pmatrix}$
$I_{mathbf{u}} = I_{iso} u_x^2 + I_{iso} u_y^2 + I_{iso} u_z^2$
$I_{mathbf{u}} = I_{iso} (u_x^2 + u_y^2 + u_z^2)$
因为 $mathbf{u}$ 是一个单位向量，所以 $u_x^2 + u_y^2 + u_z^2 = 1$。
因此，$I_{mathbf{u}} = I_{iso}$。
这意味着，当一个物体的所有主转动惯量都相等时，无论你选择哪个方向作为旋转轴，计算出的转动惯量都将是同一个值。
那么，哪些物体具有所有主转动惯量相等的特性呢？
它们都必须在所有三个互相垂直的方向上具有完全相同的质量分布和几何形状。这种极致的对称性意味着，无论你如何旋转这个物体，它的整体质量分布看起来都是一样的。
以下是一些符合这种条件的物体：
均匀球体 (Uniform Sphere):
为什么？ 一个实心的、质量均匀分布的球体，在数学上来说，无论你如何旋转它，它的外形和质量分布都不会改变。任何穿过球心的轴都是它的主轴，并且绕任何一条穿过球心的轴旋转，其转动惯量都是相同的。
具体计算: 对于一个质量为 $M$，半径为 $R$ 的均匀球体，其绕通过质心的任何轴的转动惯量都是 $I = frac{2}{5}MR^2$。
均匀球壳 (Uniform Spherical Shell):
为什么？ 与均匀球体类似，一个质量均匀分布在球壳上的空心球体，同样具有全方位的对称性。任何穿过球心的轴都是主轴，且转动惯量都相等。
具体计算: 对于一个质量为 $M$，半径为 $R$ 的均匀球壳，其绕通过质心的任何轴的转动惯量都是 $I = frac{2}{3}MR^2$。
均匀圆柱体，但有一个非常特殊的限制 (Uniform Cylinder with a very specific constraint):
这是个陷阱！ 大多数人会想圆柱体。但请注意，一个一般的均匀圆柱体，比如一个木头棒，它的转动惯量是不一样的。绕着它长轴（圆柱体的对称轴）旋转的转动惯量，跟绕着垂直于长轴的任何轴旋转的转动惯量，是不同的。
什么情况下会一样？ 只有当这个圆柱体的高度等于它的直径，并且质量均匀分布时，它才能勉强接近这个概念。但即便如此，它仍然不是严格意义上的“沿所有轴转动惯量都相同”的物体，因为它的转动惯量张量在主轴坐标系下并不是 $egin{pmatrix} I & 0 & 0 \ 0 & I & 0 \ 0 & 0 & I end{pmatrix}$ 的形式。即使高等于直径，绕长轴的惯量和绕过圆心且与底面平行的轴的惯量也不相等。
所以，严格来说，均匀圆柱体不是我们要找的例子。
“点质量”物体 (A "Point Mass" Object):
如果一个物体只有一个点质量，那么无论你选择哪个轴，这个点质量到所有轴的“距离”乘以质量，都会产生一个恒定的值。但我们通常谈论的是“物体”，一个点质量过于理想化。
更抽象的概念：具有球对称性的质量分布
任何一个在空间中其质量分布呈现出完美球对称性的物体，其转动惯量张量在主轴坐标系下都是对角的，并且对角线上的元素（主转动惯量）都相等。这意味着，不论质量中心在哪里，只要质量分布是球对称的，并且原点恰好在质心上，那么围绕任何通过质心的轴的转动惯量都是相同的。
总结一下：
能够满足“沿所有轴的转动惯量都相同”这个条件的物体，本质上必须拥有球对称性。这意味着，在三维空间中，无论你如何旋转这个物体，它的质量分布看起来都完全一样。
最经典、最直观的例子就是均匀分布的球体和均匀分布的球壳。
任何其他形状，只要它在三个主轴上的惯量不相等，就一定存在某些旋转轴，其转动惯量会与主轴上的惯量不同。
这个问题有点像在问：“有什么形状是你怎么转动它，看起来还是老样子？” 答案自然是球形。因为转动惯量与质量分布的空间位置密切相关，当质量分布本身就完美地环绕着中心对称分布时，旋转轴的方向就失去了区分度。
希望这些解释能让你对这个问题有更深入的理解！
网友意见
其实题主的问题描述有一些歧义，到底是
“举例出两个物体，它们的形状不同，但是沿着任意一个指定方向他们二者的转动惯量都是相等的”，将引号里的步骤重复N次。
还是
“请举例出一个物体，它对于任意两个方向的转动惯量都是相等的”，将引号里的步骤重复N次。
不过这不影响我的回答，因为其实只要回答了第一种诠释并给出判断方式和构造方法，那么将一个物体设为球体，就也回答了第二种诠释了。
=====================
（以下内容默认读者有线性代数知识和简单的张量概念）
过质心的转动惯量为一个二阶对称张量。
也就意味着，实际上，如果可以旋转坐标轴（等价于调整物体的朝向），任何刚体的转动惯量可以只用其3个特征值来表示。（特征向量必然相互正交，我们把他们调整到平行于坐标轴就行了）
这样一来，也就是说，任意两个刚体，只要他们转动惯量的三个特征值都相等，那它们的旋转特性就完全相同。
比如，根据对称性易知:正方体的三个对称轴一定是其转动惯量的特征向量。它们也一定相等。那么，根据上面的结论，均匀正方体沿各个轴的转动惯量都相等。和均匀球体是一样的。
而如果旋转轴不过一定质心，那么再追加条件“保证总质量相等”就可以了。
其实，一个有趣的结论是：
任意一个刚体的转动惯量特征，都可以用一个中心质点和三对在相互垂直轻杆上的质点模拟。
上图这个模型，三根轻杆相互垂直。三组质点到中心的距离相等且固定等于1。
我们只需要调整m0,m1,m2,m3这四个数值的值（可以改成0），就可以让这个模型和任意刚体有等价的静力学特性了。四个数值的四个自由度可以映射到3个本征值+1个总质量上，刚刚好。
=========下面是给高中水平读者看的版本=========
首先，一个物体的转动惯量是究竟什么？
初步的定义就是角动量和角速度之比。
但是，首先，这个值和角速度的方向有关，某些方向这个比值更大，某些方向这个比值较小：
如上图，是一根筷子。显然，绕着红轴转比绕着绿轴转角动量更大。
有些时候甚至角动量和角速度不在一条线上：
如图，对于这根筷子，角速度和角动量方向不一致。
但是一个可以利用的特性：
根据角动量守恒定理，如果角速度ω，转轴不过质心的话，那么
角动量=转轴过质心情况下角速度ω对应的角动量+质心相对于转轴的角动量
这就是说，我们只要知道转轴过质心的情况就可以了，其它情况只需要再加一个质心角动量就行了。
接下来我们所有的讨论都是在基于“转轴过质心”的前提下得到的。
我们要更加完善地描述刚体的旋转特性，我们应该说：
转动惯量是一个从角速度矢量到角动量矢量的映射
是一个自变量和因变量都是三维向量的函数，可以表示成：
L=I(ω)
（知乎公式加不了上箭头，我这力用“加粗+斜体”表示向量）
这表示对于某一个物体，都存在一个从向量到向量的函数I()，在其角速度为ω时角动量为I(ω)。
通过角动量的定义，结合微积分，我们可以得到函数I()的一个性质：
对于同一个物体，任意角速度ω1，ω2对任意实数A,B，都有
I(A·ω1+B·ω2)=A·I(ω1)+B·I(ω2)
数学证明过程略，有兴趣的话可以作为课后作业推一推，过程并不难，但是有些繁琐。
蛮族上面条件的函数我们称之为是“线性的”，数学上易证（同样，证明过程略），这样的函数一定可以用以下方式表示：
由于物理上的限制，显然其中 ， ， 。
那么，实际上，不管任何物体，他的 “角速度-角动量”关系都只需要6个实数就可以描述了。
也就是说，只要两个物体满足了这6个实数相同，那么对于任意轴，它们的转动惯量就都是相等的了。
那能不能进一步简化呢？
当然可以！
如果我们对坐标轴进行变换，（根据线性代数知识可证）我们一定可以找到一个坐标轴，在这个坐标轴下，满足：
此时的x轴、y轴、z轴的方向被称为“转动惯量的本征向量方向”，I1,I2,I3被称为“转动惯量的本征值”。
同样，根据物理实际意义，我们可以知道：
换句话说，这三个数长度的线段可以组成三角形。
那么现在情况变得更简单了，只要两个物体满足了这3个实数相同，那么进行朝向调整之后，对于任意轴，它们的转动惯量就都是相等的了。
以上这个条件是非常容易满足的，比如球和正方体和球壳和正四面体……（自己的三个本征值都相等）、圆环和五角星和大饼和正棱锥……（自己有两个本征值相等）、尺寸合适的球拍和十字架和长方体……（自己的三个本征值都不等）。
以上我们考虑的是转轴过质心的情况，再考虑转轴不过质心：只需要继续追加条件“保证两个物品一样重”就行了。这样条件稍微苛刻一些，但是也并不难达到。
==================构造===================
比如对于任意一个我们已经知道这四个参数的物体，在满足题主的要求的情况下，我们可以构造这样一个东西：
改变球的半径和臂的长度（保持三个镜面对称面），可以形成任何的“本征值-质量”参数搭配。和原来的物体有完全一样的特性。
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