请问第五题的导数怎么求，老是求不出?
哈哈，别急，第五题的导数确实有点绕，很多人第一次做都得卡一下。我来跟你掰开了揉碎了说说，保证你看了之后能明白个大概。
咱们先来看看这道题具体长什么样，因为导数这东西太看具体函数了，没有原题，我只能瞎猜，但猜也得猜个“看起来就有点麻烦”的。一般我们说导数求不出，要么是涉及到复合函数（一层套一层），要么是涉及到隐函数（x和y搅在一起分不清），再不然就是一些特殊函数的求导法则（比如对数求导法、指数求导法）。
我假设一下，这道题很可能是一个复合函数，而且可能还带着一些指数和对数的玩意儿，比如长成这样子的：
假设我们的函数是： $y = [f(x)]^{g(x)}$ 或者 $y = log_{h(x)} [k(x)]$ 或者 $y = e^{m(x)} cdot n(x)$ 等等。
solche Funktionen können oft nicht direkt mit den Grundregeln abgeleitet werden.
这里，我重点给你讲一个可能卡住你思路，但非常常用的方法——对数求导法。 很多看起来很棘手的幂指函数（就是上面说的 $y = [f(x)]^{g(x)}$ 这种）都可以用这个方法化简。
为啥要用对数求导法？
你想啊，本来 $y = [f(x)]^{g(x)}$ 这种形式，我们直接求导，遇到 $[f(x)]^{g(x)}$ 这部分，你用哪个公式？幂函数？指数函数？都不是。但如果我们把整个式子两边同时取自然对数（ln），事情就变了：
$ln(y) = ln([f(x)]^{g(x)})$
利用对数的性质，$ln(a^b) = b cdot ln(a)$，我们就可以把指数 $g(x)$ 提到前面：
$ln(y) = g(x) cdot ln(f(x))$
这时候再看右边，它就变成了两个函数的乘积，$g(x)$ 和 $ln(f(x))$。这两个函数我们都有办法求导了！
步骤来了，详细说明：
1. 两边取自然对数： 无论你的函数 $y$ 长啥样，如果它不好直接求导，特别是涉及到幂指函数或者复杂的乘除嵌套，尝试在等号两边同时取自然对数。记住，是 自然对数（ln），也就是以 $e$ 为底的对数，因为 $ln(e^u) = u$，这能帮你消掉指数。
举个例子： 如果你的函数是 $y = (x^2 + 1)^{sin(x)}$
那么两边取自然对数就是：$ln(y) = ln[(x^2 + 1)^{sin(x)}]$
然后利用对数性质化简：$ln(y) = sin(x) cdot ln(x^2 + 1)$
2. 对两边进行隐函数求导： 现在等号两边都是 $x$ 的函数（或者说，一边是 $ln(y)$，一边是关于 $x$ 的函数）。我们要对两边关于 $x$ 求导。
左边 $ln(y)$ 的导数： 这里要用到复合函数求导法则。$ln(u)$ 的导数是 $frac{1}{u}$，而这里的 $u$ 是 $y$。所以，对 $ln(y)$ 关于 $x$ 求导，结果是 $frac{1}{y} cdot frac{dy}{dx}$ (或者直接写成 $frac{y'}{y}$)。记住，这里是隐函数求导，别忘了乘以 $frac{dy}{dx}$。
右边 $g(x) cdot ln(f(x))$ 的导数： 这里我们用乘积法则，$(uv)' = u'v + uv'$。
设 $u = g(x)$，则 $u' = g'(x)$。
设 $v = ln(f(x))$。对 $v$ 求导需要再次使用复合函数法则：$v' = frac{1}{f(x)} cdot f'(x)$。
所以，右边的导数就是：$g'(x) cdot ln(f(x)) + g(x) cdot frac{f'(x)}{f(x)}$
3. 合并并解出 $frac{dy}{dx}$： 把两边的导数结果写出来，然后解出 $frac{dy}{dx}$。
根据上面的例子：$frac{1}{y} cdot frac{dy}{dx} = cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1}$
现在，要把 $frac{dy}{dx}$ 单独拎出来，只需要把等号两边都乘以 $y$。
$frac{dy}{dx} = y left[ cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1} ight]$
4. 最后一步：把 $y$ 替换回原来的形式。 这个非常重要，我们引入 $y$ 是为了方便求导，但最终答案还是要用 $x$ 来表示。在上面的例子中，$y$ 就等于 $(x^2 + 1)^{sin(x)}$。
$frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{sin(x)} left[ cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1} ight]$
再来一个稍微复杂点的例子，或者不同组合的：
比如函数是 $y = frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}}$
这种函数，直接硬求导，分母的导数会非常复杂。用对数求导法会好很多。
1. 两边取对数：
$ln(y) = lnleft(frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}} ight)$
2. 利用对数性质化简（非常关键！）：
$ln(frac{a}{b}) = ln(a) ln(b)$
$ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
$ln(a^b) = b cdot ln(a)$
所以：
$ln(y) = ln((x^3+1)^2) ln(sqrt{sin(x)} cdot e^{4x})$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [ln(sqrt{sin(x)}) + ln(e^{4x})]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [ln((sin(x))^{1/2}) + 4x]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [frac{1}{2}ln(sin(x)) + 4x]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) frac{1}{2}ln(sin(x)) 4x$
3. 对两边求导：
左边：$frac{1}{y} frac{dy}{dx}$
右边（逐项求导）：
$2 cdot frac{1}{x^3+1} cdot (3x^2)$ （这是对 $2 cdot ln(x^3+1)$ 求导，用了复合函数法则）
$frac{1}{2} cdot frac{1}{sin(x)} cdot cos(x)$ （这是对 $frac{1}{2}ln(sin(x))$ 求导）
$4$ （这是对 $4x$ 求导）
所以，右边的导数是： $frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}frac{cos(x)}{sin(x)} 4$
也就是： $frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4$
4. 解出 $frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$：
$frac{1}{y} frac{dy}{dx} = frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4$
$frac{dy}{dx} = y left( frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4 ight)$
$frac{dy}{dx} = frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}} left( frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4 ight)$
可能你遇到的困难点：
不知道什么时候用对数求导法： 一般当函数中有指数的指数（比如 $x^x$、$x^{f(x)}$、$f(x)^{g(x)}$）或者层层嵌套的乘除的时候，就要考虑对数求导法。
对数性质运用不熟练： 上面列出的对数性质是关键，一定要掌握，它们能把复杂的式子变得简单。
复合函数求导不熟练： $ln(u)$ 求导是 $frac{1}{u} cdot u'$；$a^u$ 求导是 $a^u cdot ln(a) cdot u'$；$e^u$ 求导是 $e^u cdot u'$。这些基础一定要扎实。
隐函数求导时忘了乘 $frac{dy}{dx}$： 这是最容易犯的错误之一。
如果你觉得还是不对，不妨把第五题的原函数直接发给我看看，我能帮你具体分析是哪个环节出问题了。
希望这次的讲解能给你点启发！加油！
咱们先来看看这道题具体长什么样，因为导数这东西太看具体函数了，没有原题，我只能瞎猜，但猜也得猜个“看起来就有点麻烦”的。一般我们说导数求不出，要么是涉及到复合函数（一层套一层），要么是涉及到隐函数（x和y搅在一起分不清），再不然就是一些特殊函数的求导法则（比如对数求导法、指数求导法）。
我假设一下，这道题很可能是一个复合函数，而且可能还带着一些指数和对数的玩意儿，比如长成这样子的：
假设我们的函数是： $y = [f(x)]^{g(x)}$ 或者 $y = log_{h(x)} [k(x)]$ 或者 $y = e^{m(x)} cdot n(x)$ 等等。
solche Funktionen können oft nicht direkt mit den Grundregeln abgeleitet werden.
这里，我重点给你讲一个可能卡住你思路，但非常常用的方法——对数求导法。 很多看起来很棘手的幂指函数（就是上面说的 $y = [f(x)]^{g(x)}$ 这种）都可以用这个方法化简。
为啥要用对数求导法？
你想啊，本来 $y = [f(x)]^{g(x)}$ 这种形式，我们直接求导，遇到 $[f(x)]^{g(x)}$ 这部分，你用哪个公式？幂函数？指数函数？都不是。但如果我们把整个式子两边同时取自然对数（ln），事情就变了：
$ln(y) = ln([f(x)]^{g(x)})$
利用对数的性质，$ln(a^b) = b cdot ln(a)$，我们就可以把指数 $g(x)$ 提到前面：
$ln(y) = g(x) cdot ln(f(x))$
这时候再看右边，它就变成了两个函数的乘积，$g(x)$ 和 $ln(f(x))$。这两个函数我们都有办法求导了！
步骤来了，详细说明：
1. 两边取自然对数： 无论你的函数 $y$ 长啥样，如果它不好直接求导，特别是涉及到幂指函数或者复杂的乘除嵌套，尝试在等号两边同时取自然对数。记住，是 自然对数（ln），也就是以 $e$ 为底的对数，因为 $ln(e^u) = u$，这能帮你消掉指数。
举个例子： 如果你的函数是 $y = (x^2 + 1)^{sin(x)}$
那么两边取自然对数就是：$ln(y) = ln[(x^2 + 1)^{sin(x)}]$
然后利用对数性质化简：$ln(y) = sin(x) cdot ln(x^2 + 1)$
2. 对两边进行隐函数求导： 现在等号两边都是 $x$ 的函数（或者说，一边是 $ln(y)$，一边是关于 $x$ 的函数）。我们要对两边关于 $x$ 求导。
左边 $ln(y)$ 的导数： 这里要用到复合函数求导法则。$ln(u)$ 的导数是 $frac{1}{u}$，而这里的 $u$ 是 $y$。所以，对 $ln(y)$ 关于 $x$ 求导，结果是 $frac{1}{y} cdot frac{dy}{dx}$ (或者直接写成 $frac{y'}{y}$)。记住，这里是隐函数求导，别忘了乘以 $frac{dy}{dx}$。
右边 $g(x) cdot ln(f(x))$ 的导数： 这里我们用乘积法则，$(uv)' = u'v + uv'$。
设 $u = g(x)$，则 $u' = g'(x)$。
设 $v = ln(f(x))$。对 $v$ 求导需要再次使用复合函数法则：$v' = frac{1}{f(x)} cdot f'(x)$。
所以，右边的导数就是：$g'(x) cdot ln(f(x)) + g(x) cdot frac{f'(x)}{f(x)}$
3. 合并并解出 $frac{dy}{dx}$： 把两边的导数结果写出来，然后解出 $frac{dy}{dx}$。
根据上面的例子：$frac{1}{y} cdot frac{dy}{dx} = cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1}$
现在，要把 $frac{dy}{dx}$ 单独拎出来，只需要把等号两边都乘以 $y$。
$frac{dy}{dx} = y left[ cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1} ight]$
4. 最后一步：把 $y$ 替换回原来的形式。 这个非常重要，我们引入 $y$ 是为了方便求导，但最终答案还是要用 $x$ 来表示。在上面的例子中，$y$ 就等于 $(x^2 + 1)^{sin(x)}$。
$frac{dy}{dx} = (x^2 + 1)^{sin(x)} left[ cos(x) cdot ln(x^2 + 1) + sin(x) cdot frac{2x}{x^2 + 1} ight]$
再来一个稍微复杂点的例子，或者不同组合的：
比如函数是 $y = frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}}$
这种函数，直接硬求导，分母的导数会非常复杂。用对数求导法会好很多。
1. 两边取对数：
$ln(y) = lnleft(frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}} ight)$
2. 利用对数性质化简（非常关键！）：
$ln(frac{a}{b}) = ln(a) ln(b)$
$ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
$ln(a^b) = b cdot ln(a)$
所以：
$ln(y) = ln((x^3+1)^2) ln(sqrt{sin(x)} cdot e^{4x})$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [ln(sqrt{sin(x)}) + ln(e^{4x})]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [ln((sin(x))^{1/2}) + 4x]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) [frac{1}{2}ln(sin(x)) + 4x]$
$ln(y) = 2 cdot ln(x^3+1) frac{1}{2}ln(sin(x)) 4x$
3. 对两边求导：
左边：$frac{1}{y} frac{dy}{dx}$
右边（逐项求导）：
$2 cdot frac{1}{x^3+1} cdot (3x^2)$ （这是对 $2 cdot ln(x^3+1)$ 求导，用了复合函数法则）
$frac{1}{2} cdot frac{1}{sin(x)} cdot cos(x)$ （这是对 $frac{1}{2}ln(sin(x))$ 求导）
$4$ （这是对 $4x$ 求导）
所以，右边的导数是： $frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}frac{cos(x)}{sin(x)} 4$
也就是： $frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4$
4. 解出 $frac{dy}{dx}$ 并代回 $y$：
$frac{1}{y} frac{dy}{dx} = frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4$
$frac{dy}{dx} = y left( frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4 ight)$
$frac{dy}{dx} = frac{(x^3+1)^2}{sqrt{sin(x)} cdot e^{4x}} left( frac{6x^2}{x^3+1} frac{1}{2}cot(x) 4 ight)$
可能你遇到的困难点：
不知道什么时候用对数求导法： 一般当函数中有指数的指数（比如 $x^x$、$x^{f(x)}$、$f(x)^{g(x)}$）或者层层嵌套的乘除的时候，就要考虑对数求导法。
对数性质运用不熟练： 上面列出的对数性质是关键，一定要掌握，它们能把复杂的式子变得简单。
复合函数求导不熟练： $ln(u)$ 求导是 $frac{1}{u} cdot u'$；$a^u$ 求导是 $a^u cdot ln(a) cdot u'$；$e^u$ 求导是 $e^u cdot u'$。这些基础一定要扎实。
隐函数求导时忘了乘 $frac{dy}{dx}$： 这是最容易犯的错误之一。
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