正切函数tanx这个部分分式无穷级数展开式怎么证明?
咱们来聊聊正切函数 $ an x$ 的一个很有意思的级数展开式，这个展开式用到了“部分分式”的思想，并且会涉及到无穷级数。这玩意儿可不是像 $sin x$ 或 $cos x$ 那样直接泰勒展开就能得出来的，需要绕一点道。
咱们要证明的展开式是这样的：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
看到这个公式，是不是觉得有点眼熟？它其实和正弦函数 $sin x$ 的部分分式展开式很像，只不过 $sin x$ 的展开式是这样的：
$$ frac{sin(pi z)}{pi z} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{z^2}{n^2} ight) $$
然后通过一些巧妙的取对数、求导和复数分析的手段，最终能得到 $sin x$ 的部分分式展开：
$$ frac{sin(pi x)}{pi x} = sum_{n=infty}^{infty} frac{(1)^n}{xn} = 1 + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{x^2 n^2} $$
咱们的 $ an x$ 的展开式就是利用了 $ an x = frac{sin x}{cos x}$ 这个关系。所以，证明的关键在于如何利用 $sin x$ 和 $cos x$ 的性质，并且把它们联系起来。
证明思路概览：
1. 利用 $ an x$ 的周期性和奇偶性： $ an x$ 的周期是 $pi$，所以我们只需要关注 $frac{pi}{2} < x < frac{pi}{2}$ 这个区间，然后通过周期性推广到整个实轴。同时，$ an x$ 是奇函数，$ an(x) = an x$，这在级数展开时会很有用。
2. 引入 $cot x$ 函数： $cot x = frac{cos x}{sin x}$。很多时候，处理 $cot x$ 比 $ an x$ 更方便，尤其是在利用部分分式展开时。 $cot x$ 的展开式是大家比较熟悉的：
$$ cot x = frac{1}{x} + sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x npi} + frac{1}{x + npi} ight) = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
这个 $cot x$ 的展开式可以通过 $sin(pi z)$ 的乘积展开推导出来，或者利用留数定理证明。这里我们先假设这个结果是已知的，或者可以独立证明。
3. 利用 $ an x$ 和 $cot x$ 的关系：
我们知道 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$。这个关系是关键！
4. 将 $cot(frac{pi}{2} x)$ 的展开式代入：
我们用 $frac{pi}{2} x$ 替换 $cot x$ 展开式中的 $x$，得到：
$$ cotleft(frac{pi}{2} x ight) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(frac{pi}{2} x)^2 (npi)^2} $$
5. 化简和整理：
将上式右边的各项进行化简，最终得到我们想要的正切函数的展开式。
详细证明步骤：
第一步：回顾 $cot x$ 的部分分式展开
我们先来回顾一下 $cot x$ 的部分分式展开式：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
这个展开式可以证明是正确的。一个常用的证明方法是利用 $sin(pi z)$ 的乘积展开式：
$$ frac{sin(pi z)}{pi z} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{z^2}{n^2} ight) $$
取对数，然后求导，你会得到与 $cot(pi z)$ 相关的表达式。更直接一点的方法是利用留数定理。函数 $cot z$ 在 $z=npi$ (其中 $n$ 是整数) 处有单极点，其留数为 1。我们可以构建一个合适的积分路径，然后应用留数定理来证明 $cot x$ 的部分分式展开。
第二步：利用 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$
这是连接 $cot$ 和 $ an$ 的桥梁。如果我们在 $cot x$ 的展开式中，用 $frac{pi}{2} x$ 替换所有的 $x$，我们就自然而然地得到了 $ an x$ 的展开式。
将 $x$ 替换为 $frac{pi}{2} x$ 在 $cot x$ 的展开式中：
$$ cotleft(frac{pi}{2} x ight) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
因为 $cot(frac{pi}{2} x) = an x$，所以我们有：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
第三步：化简右侧的表达式
现在我们需要对右边的表达式进行一些代数上的化简，使其变成我们想要的形式：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(frac{pi}{2} x npi)(frac{pi}{2} x + npi)} $$
我们关注级数中的通项：
$$ frac{1}{(frac{pi}{2} x)^2 (npi)^2} = frac{1}{ left( (npi)^2 (frac{pi}{2} x)^2 ight)} = frac{1}{ left( npi (frac{pi}{2} x) ight) left( npi + (frac{pi}{2} x) ight)} $$
$$ = frac{1}{ left( npi frac{pi}{2} + x ight) left( npi + frac{pi}{2} x ight)} = frac{1}{ left( x + (n frac{1}{2})pi ight) left( x + (n + frac{1}{2})pi ight)} $$
$$ = frac{1}{left( x + (n frac{1}{2})pi ight) left( x (n + frac{1}{2})pi ight)} $$
让我们再仔细看看这个分母的因子。我们希望分子是 $2x$，分母是 $x^2 ( ext{某项})^2$ 的形式。
回到原始目标式子：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
这个式子可以写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x ((n frac{1}{2}))pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x (n + frac{1}{2})pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} + sum_{n=1}^{infty} frac{x}{x (n + frac{1}{2})pi} $$
我们注意到，当 $n$ 从 1 到 $infty$ 时，$n + frac{1}{2}$ 会取值 $frac{1}{2}, frac{3}{2}, frac{5}{2}, dots$。
我们也可以把原目标式子写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} $$
利用部分分式分解：
$$ frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} = frac{A}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{B}{x + (n frac{1}{2})pi} $$
$2x = A(x + (n frac{1}{2})pi) + B(x (n frac{1}{2})pi)$
令 $x = (n frac{1}{2})pi$，则 $2(n frac{1}{2})pi = A(2(n frac{1}{2})pi)$，所以 $A=1$。
令 $x = (n frac{1}{2})pi$，则 $2(n frac{1}{2})pi = B(2(n frac{1}{2})pi)$，所以 $B=1$。
所以：
$$ frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} = frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} $$
因此，目标式子可以写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
我们再回到由 $cot x$ 转换过来的表达式：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
我们处理级数中的每一项：
$$ frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} = frac{1}{(frac{pi}{2} x npi)(frac{pi}{2} x + npi)} $$
$$ = frac{1}{ (x (frac{pi}{2} npi))(x (frac{pi}{2} + npi))} = frac{1}{ (x (frac{1}{2}n)pi)(x (frac{1}{2}+n)pi)} $$
这里和我们期望的因子不太一样。我们期望的是 $x pm (n frac{1}{2})pi$。
让我们换一个角度，从 $ an x$ 的极点出发。
正切函数 $ an x$ 在 $x = frac{pi}{2} + kpi$ （其中 $k$ 为整数）处有单极点，且留数为 1。
考虑函数 $f(z) = an z$。我们可以尝试使用 MittagLeffler 定理，它能够将一个亚纯函数表示为其极点上的留数项之和。
MittagLeffler 定理表明，如果一个亚纯函数 $f(z)$ 在复平面上有孤立的极点 $p_1, p_2, dots$ 且留数分别为 $r_1, r_2, dots$，并且存在一个趋于无穷的区域 $K_n$ 使得在 $K_n$ 上 $f(z)$ 有界，那么
$$ f(z) = f(z_0) + sum_{k=1}^{infty} r_k left( frac{1}{z p_k} + frac{1}{p_k z_0} ight) $$
或者一个更常见的形式是：
$$ f(z) = sum_{n} sum_{k=1}^{m_n} frac{c_{nk}}{(zp_n)^k} + g(z) $$
其中 $p_n$ 是极点，$c_{nk}$ 是留数的相关系数，$m_n$ 是极点的阶数，$g(z)$ 是整个函数。
对于单极点，形式更简单。
对于 $ an x$，极点是 $x_k = frac{pi}{2} + kpi$，其中 $k in mathbb{Z}$。
留数 $Res( an x, x_k) = lim_{x o x_k} (x x_k) an x = lim_{x o x_k} (x x_k) frac{sin x}{cos x}$
令 $x = x_k + h = frac{pi}{2} + kpi + h$，当 $h o 0$ 时。
$cos(frac{pi}{2} + kpi + h) = cos(frac{pi}{2} + kpi)cos h sin(frac{pi}{2} + kpi)sin h$
$cos(frac{pi}{2} + kpi) = 0$
$sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
所以 $cos(frac{pi}{2} + kpi + h) = (1)^k sin h approx (1)^k h$
$sin(frac{pi}{2} + kpi + h) = sin(frac{pi}{2} + kpi)cos h + cos(frac{pi}{2} + kpi)sin h = (1)^k cos h approx (1)^k$
所以 $lim_{h o 0} h frac{(1)^k}{(1)^k h} = 1$。
哦，我这里算错留数了！ 留数应该是 1。
让我们重新计算留数：
$ an x = frac{sin x}{cos x}$
在 $x_k = frac{pi}{2} + kpi$ 处，$cos x_k = 0$ 且 $sin x_k = (1)^k$。
根据留数定理，单极点 $p$ 的留数是 $frac{f(p)}{g'(p)}$，如果 $f(p) eq 0$ 且 $g(p)=0, g'(p) eq 0$。
令 $f(x) = sin x$，$g(x) = cos x$。
$f(x_k) = sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
$g'(x) = sin x$
$g'(x_k) = sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
所以留数是 $frac{(1)^k}{(1)^k} = 1$。
等等，这个留数是1，和我期望的有点出入。 通常用 MittagLeffler 定理时，留数是正的。
也许我需要考虑的是 $frac{1}{ an x}$ 的展开？
或者，我们考虑的不是简单的 $sum frac{c}{xp}$ 的形式，而是 $sum c (frac{1}{xp} + frac{1}{p})$ 这样的形式，以保证收敛性。
让我们回到从 $cot x$ 推导的思路，但这次用更准确的代数处理。
我们知道 $cot x$ 的展开式为：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
我们想证明的是：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
让我们尝试推导一个更普遍的公式，然后应用它。考虑函数 $ an(ax)$。
它的极点是 $ax = frac{pi}{2} + kpi implies x = frac{pi}{2a} + frac{kpi}{a}$。
留数仍然是 1 （如果考虑 $f(x)=sin(ax)/cos(ax)$）。
或许可以直接从 $sin x$ 和 $cos x$ 的部分分式展开入手。
我们知道 $sin x$ 的展开式（注意这和上面的 $frac{sin(pi z)}{pi z}$ 不是同一个）：
$$ sin x = x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
取对数，求导，然后进行一些复变函数的操作，可以得到：
$$ frac{sin x}{x} = sum_{n=infty}^{infty} frac{(1)^n}{x npi} = 1 + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{x^2 n^2 pi^2} $$
这个与前面提到的 $frac{sin(pi z)}{pi z}$ 的展开是一致的，只是把 $pi z$ 换成了 $x$。
而 $cos x$ 的展开式是：
$$ cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
取对数，求导，会得到 $frac{sin x}{cos x} = an x$ 相关的展开。
更具体的，对 $cos x$ 的乘积展开求导，可以得到：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 frac{(2n1)^2 pi^2}{4}} = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
注意，这里分母的 $(2n1)^2 pi^2 / 4$ 就是 $(2n1)pi/2$ 的平方。
因为 $n$ 从 1 开始，$2n1$ 会取 $1, 3, 5, dots$。
所以极点是 $x = pm frac{(2n1)pi}{2} = pm (n frac{1}{2})pi$。
这个公式和我们要证明的目标公式非常接近！
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
我们从 $cos x$ 的展开导出的结果是：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
两边乘以 1，就得到了我们要证明的公式！
那么，如何证明 $cos x$ 的这个乘积展开式，并从中推导出级数呢？
$cos x$ 的乘积展开式 $prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$ 本身也是一个复杂的证明过程，通常依赖于 $sin x$ 的乘积展开以及 $sin(2x) = 2sin x cos x$ 的关系。
更直接的方法：利用函数 $f(z) = an(frac{pi z}{2})$
考虑函数 $f(z) = an(frac{pi z}{2})$。
它的极点是 $frac{pi z}{2} = frac{pi}{2} + kpi implies z = 1 + 2k$ (当 $k$ 为整数)。
极点是 $dots, 3, 1, 1, 3, 5, dots$。
留数是 $lim_{z o 1+2k} (z (1+2k)) an(frac{pi z}{2})$
令 $z = 1+2k+h$，则 $frac{pi z}{2} = frac{pi (1+2k+h)}{2} = frac{pi}{2} + kpi + frac{pi h}{2}$。
$ an(frac{pi z}{2}) = an(frac{pi}{2} + kpi + frac{pi h}{2}) = cot(frac{pi h}{2})$
当 $h o 0$，$cot(frac{pi h}{2}) approx frac{1}{frac{pi h}{2}} = frac{2}{pi h}$。
所以留数是 $lim_{h o 0} h (frac{2}{pi h}) = frac{2}{pi}$。
似乎用 MittagLeffler 定理直接处理 $ an x$ 会遇到留数符号或系数的问题，需要非常精细的处理。
最常见的证明方式还是依赖于 $cot x$ 或 $cos x$ 的已知展开式。
让我们回到从 $cot x$ 推导的思路，但这次要确保代数操作的正确性。
我们知道 $cot x$ 的展开式是：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
我们想要 $ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2}$。
观察目标式子：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
这个形式表明 $ an x$ 的极点是 $x = (n frac{1}{2})pi$ 和 $x = (n frac{1}{2})pi$ (对于 $n=1, 2, 3, dots$)。
这些极点就是 $frac{pi}{2}, frac{pi}{2}, frac{3pi}{2}, frac{3pi}{2}, dots$。
也就是 $x = frac{pi}{2} + kpi$ 和 $x = frac{pi}{2} kpi$ (对于 $k=0, 1, 2, dots$)。
合并起来就是 $x = frac{pi}{2} + mpi$，$m in mathbb{Z}$。
现在我们用 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$ 来进行。
将 $cot y$ 的展开式中的 $y$ 替换为 $frac{pi}{2} x$:
$$ cot(frac{pi}{2} x) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
右边第一项：$frac{1}{frac{pi}{2} x} = frac{2}{pi 2x} = frac{2}{2x pi}$.
这似乎不是我们期望的 $frac{2x}{x^2 (frac{pi}{2})^2}$ 形式。
这里可能需要使用一个更普遍的 MittagLeffler 形式，或者从 $sin$ 和 $cos$ 的展开中直接组合。
让我们聚焦于如何从 $cos x$ 的乘积展开推导 $ an x$ 的展开。
我们有 $cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$。
对两边取自然对数：
$$ ln(cos x) = sum_{n=1}^{infty} ln left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
对两边关于 $x$ 求导：
$$ frac{sin x}{cos x} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2}} cdot frac{d}{dx} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2}} cdot left( frac{8x}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{(2n1)^2 pi^2}{(2n1)^2 pi^2 4x^2} cdot left( frac{8x}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{8x}{(2n1)^2 pi^2 4x^2} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{8x}{4(x^2 frac{(2n1)^2 pi^2}{4})} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (frac{2n1}{2})^2 pi^2} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
将两边都乘以 1：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
这个方法是最直接且最严谨的证明方式，它依赖于 $cos x$ 的乘积展开式。
证明 $cos x$ 的乘积展开式 $prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$ 的简要思路：
这个展开式本身需要独立的证明。一种常见的方法是：
1. 利用 $sin x$ 的乘积展开式： $sin x = x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight)$。
2. 利用 $sin(2x) = 2 sin x cos x$：
$$ sin(2x) = 2x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) cos x $$
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) cos x $$
3. 将 $sin(2x)$ 用其乘积展开式表示：
将上式中的 $x$ 替换为 $2x$，得到：
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{(2x)^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
4. 结合等式：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) ight) cos x $$
5. 分离 $cos x$：
$$ cos x = frac{prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight)}{prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight)} $$
6. 拆分级数：
右边的乘积可以写成偶数项和奇数项的乘积：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
$$ = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
注意，$prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) ight) left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) ight)$ 是不正确的，因为 $prod_{n=1}^infty$ 包含了偶数和奇数项。
更准确地说，利用 $sin x$ 的展开式：
$$ frac{sin x}{x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
将 $x$ 换成 $2x$:
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{(2x)^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
这个乘积可以写成偶数项和奇数项的乘积：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
$$ = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
注意到 $frac{sin x}{x} = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight)$。
所以，
$$ frac{sin(2x)}{2x} = left( frac{sin x}{x} ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
使用 $sin(2x) = 2 sin x cos x$:
$$ frac{2 sin x cos x}{2x} = left( frac{sin x}{x} ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
$$ frac{sin x}{x} cos x = frac{sin x}{x} cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
当 $sin x eq 0$ 时，可以约掉 $frac{sin x}{x}$：
$$ cos x = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
这就是 $cos x$ 的乘积展开式。
总结一下证明思路：
1. 核心依赖： $cos x$ 的部分乘积展开式是 $cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$。
2. 对数求导： 对 $cos x$ 的展开式两边取自然对数，然后关于 $x$ 求导。
3. 化简： 经过一系列代数运算，将求导结果整理成 $ an x$ 的级数形式。
4. 符号调整： 将 $ an x$ 的级数乘以 $1$ 得到 $ an x$ 的目标级数。
这个证明过程虽然步骤不少，但逻辑是清晰的，并且巧妙地利用了三角函数的恒等式和已知函数的展开式。它展示了函数展开的强大威力，将一个超越函数（$ an x$）表示成了简单代数形式（求和形式）的组合。
咱们要证明的展开式是这样的：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
看到这个公式，是不是觉得有点眼熟？它其实和正弦函数 $sin x$ 的部分分式展开式很像，只不过 $sin x$ 的展开式是这样的：
$$ frac{sin(pi z)}{pi z} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{z^2}{n^2} ight) $$
然后通过一些巧妙的取对数、求导和复数分析的手段，最终能得到 $sin x$ 的部分分式展开：
$$ frac{sin(pi x)}{pi x} = sum_{n=infty}^{infty} frac{(1)^n}{xn} = 1 + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{x^2 n^2} $$
咱们的 $ an x$ 的展开式就是利用了 $ an x = frac{sin x}{cos x}$ 这个关系。所以，证明的关键在于如何利用 $sin x$ 和 $cos x$ 的性质，并且把它们联系起来。
证明思路概览：
1. 利用 $ an x$ 的周期性和奇偶性： $ an x$ 的周期是 $pi$，所以我们只需要关注 $frac{pi}{2} < x < frac{pi}{2}$ 这个区间，然后通过周期性推广到整个实轴。同时，$ an x$ 是奇函数，$ an(x) = an x$，这在级数展开时会很有用。
2. 引入 $cot x$ 函数： $cot x = frac{cos x}{sin x}$。很多时候，处理 $cot x$ 比 $ an x$ 更方便，尤其是在利用部分分式展开时。 $cot x$ 的展开式是大家比较熟悉的：
$$ cot x = frac{1}{x} + sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x npi} + frac{1}{x + npi} ight) = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
这个 $cot x$ 的展开式可以通过 $sin(pi z)$ 的乘积展开推导出来，或者利用留数定理证明。这里我们先假设这个结果是已知的，或者可以独立证明。
3. 利用 $ an x$ 和 $cot x$ 的关系：
我们知道 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$。这个关系是关键！
4. 将 $cot(frac{pi}{2} x)$ 的展开式代入：
我们用 $frac{pi}{2} x$ 替换 $cot x$ 展开式中的 $x$，得到：
$$ cotleft(frac{pi}{2} x ight) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(frac{pi}{2} x)^2 (npi)^2} $$
5. 化简和整理：
将上式右边的各项进行化简，最终得到我们想要的正切函数的展开式。
详细证明步骤：
第一步：回顾 $cot x$ 的部分分式展开
我们先来回顾一下 $cot x$ 的部分分式展开式：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
这个展开式可以证明是正确的。一个常用的证明方法是利用 $sin(pi z)$ 的乘积展开式：
$$ frac{sin(pi z)}{pi z} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{z^2}{n^2} ight) $$
取对数，然后求导，你会得到与 $cot(pi z)$ 相关的表达式。更直接一点的方法是利用留数定理。函数 $cot z$ 在 $z=npi$ (其中 $n$ 是整数) 处有单极点，其留数为 1。我们可以构建一个合适的积分路径，然后应用留数定理来证明 $cot x$ 的部分分式展开。
第二步：利用 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$
这是连接 $cot$ 和 $ an$ 的桥梁。如果我们在 $cot x$ 的展开式中，用 $frac{pi}{2} x$ 替换所有的 $x$，我们就自然而然地得到了 $ an x$ 的展开式。
将 $x$ 替换为 $frac{pi}{2} x$ 在 $cot x$ 的展开式中：
$$ cotleft(frac{pi}{2} x ight) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
因为 $cot(frac{pi}{2} x) = an x$，所以我们有：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
第三步：化简右侧的表达式
现在我们需要对右边的表达式进行一些代数上的化简，使其变成我们想要的形式：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{(frac{pi}{2} x npi)(frac{pi}{2} x + npi)} $$
我们关注级数中的通项：
$$ frac{1}{(frac{pi}{2} x)^2 (npi)^2} = frac{1}{ left( (npi)^2 (frac{pi}{2} x)^2 ight)} = frac{1}{ left( npi (frac{pi}{2} x) ight) left( npi + (frac{pi}{2} x) ight)} $$
$$ = frac{1}{ left( npi frac{pi}{2} + x ight) left( npi + frac{pi}{2} x ight)} = frac{1}{ left( x + (n frac{1}{2})pi ight) left( x + (n + frac{1}{2})pi ight)} $$
$$ = frac{1}{left( x + (n frac{1}{2})pi ight) left( x (n + frac{1}{2})pi ight)} $$
让我们再仔细看看这个分母的因子。我们希望分子是 $2x$，分母是 $x^2 ( ext{某项})^2$ 的形式。
回到原始目标式子：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
这个式子可以写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x ((n frac{1}{2}))pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} frac{x}{x (n + frac{1}{2})pi} ight) $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} frac{x}{x (n frac{1}{2})pi} + sum_{n=1}^{infty} frac{x}{x (n + frac{1}{2})pi} $$
我们注意到，当 $n$ 从 1 到 $infty$ 时，$n + frac{1}{2}$ 会取值 $frac{1}{2}, frac{3}{2}, frac{5}{2}, dots$。
我们也可以把原目标式子写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} $$
利用部分分式分解：
$$ frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} = frac{A}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{B}{x + (n frac{1}{2})pi} $$
$2x = A(x + (n frac{1}{2})pi) + B(x (n frac{1}{2})pi)$
令 $x = (n frac{1}{2})pi$，则 $2(n frac{1}{2})pi = A(2(n frac{1}{2})pi)$，所以 $A=1$。
令 $x = (n frac{1}{2})pi$，则 $2(n frac{1}{2})pi = B(2(n frac{1}{2})pi)$，所以 $B=1$。
所以：
$$ frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} = frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} $$
因此，目标式子可以写成：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
我们再回到由 $cot x$ 转换过来的表达式：
$$ an x = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
我们处理级数中的每一项：
$$ frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} = frac{1}{(frac{pi}{2} x npi)(frac{pi}{2} x + npi)} $$
$$ = frac{1}{ (x (frac{pi}{2} npi))(x (frac{pi}{2} + npi))} = frac{1}{ (x (frac{1}{2}n)pi)(x (frac{1}{2}+n)pi)} $$
这里和我们期望的因子不太一样。我们期望的是 $x pm (n frac{1}{2})pi$。
让我们换一个角度，从 $ an x$ 的极点出发。
正切函数 $ an x$ 在 $x = frac{pi}{2} + kpi$ （其中 $k$ 为整数）处有单极点，且留数为 1。
考虑函数 $f(z) = an z$。我们可以尝试使用 MittagLeffler 定理，它能够将一个亚纯函数表示为其极点上的留数项之和。
MittagLeffler 定理表明，如果一个亚纯函数 $f(z)$ 在复平面上有孤立的极点 $p_1, p_2, dots$ 且留数分别为 $r_1, r_2, dots$，并且存在一个趋于无穷的区域 $K_n$ 使得在 $K_n$ 上 $f(z)$ 有界，那么
$$ f(z) = f(z_0) + sum_{k=1}^{infty} r_k left( frac{1}{z p_k} + frac{1}{p_k z_0} ight) $$
或者一个更常见的形式是：
$$ f(z) = sum_{n} sum_{k=1}^{m_n} frac{c_{nk}}{(zp_n)^k} + g(z) $$
其中 $p_n$ 是极点，$c_{nk}$ 是留数的相关系数，$m_n$ 是极点的阶数，$g(z)$ 是整个函数。
对于单极点，形式更简单。
对于 $ an x$，极点是 $x_k = frac{pi}{2} + kpi$，其中 $k in mathbb{Z}$。
留数 $Res( an x, x_k) = lim_{x o x_k} (x x_k) an x = lim_{x o x_k} (x x_k) frac{sin x}{cos x}$
令 $x = x_k + h = frac{pi}{2} + kpi + h$，当 $h o 0$ 时。
$cos(frac{pi}{2} + kpi + h) = cos(frac{pi}{2} + kpi)cos h sin(frac{pi}{2} + kpi)sin h$
$cos(frac{pi}{2} + kpi) = 0$
$sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
所以 $cos(frac{pi}{2} + kpi + h) = (1)^k sin h approx (1)^k h$
$sin(frac{pi}{2} + kpi + h) = sin(frac{pi}{2} + kpi)cos h + cos(frac{pi}{2} + kpi)sin h = (1)^k cos h approx (1)^k$
所以 $lim_{h o 0} h frac{(1)^k}{(1)^k h} = 1$。
哦，我这里算错留数了！ 留数应该是 1。
让我们重新计算留数：
$ an x = frac{sin x}{cos x}$
在 $x_k = frac{pi}{2} + kpi$ 处，$cos x_k = 0$ 且 $sin x_k = (1)^k$。
根据留数定理，单极点 $p$ 的留数是 $frac{f(p)}{g'(p)}$，如果 $f(p) eq 0$ 且 $g(p)=0, g'(p) eq 0$。
令 $f(x) = sin x$，$g(x) = cos x$。
$f(x_k) = sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
$g'(x) = sin x$
$g'(x_k) = sin(frac{pi}{2} + kpi) = (1)^k$
所以留数是 $frac{(1)^k}{(1)^k} = 1$。
等等，这个留数是1，和我期望的有点出入。 通常用 MittagLeffler 定理时，留数是正的。
也许我需要考虑的是 $frac{1}{ an x}$ 的展开？
或者，我们考虑的不是简单的 $sum frac{c}{xp}$ 的形式，而是 $sum c (frac{1}{xp} + frac{1}{p})$ 这样的形式，以保证收敛性。
让我们回到从 $cot x$ 推导的思路，但这次用更准确的代数处理。
我们知道 $cot x$ 的展开式为：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
我们想证明的是：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
让我们尝试推导一个更普遍的公式，然后应用它。考虑函数 $ an(ax)$。
它的极点是 $ax = frac{pi}{2} + kpi implies x = frac{pi}{2a} + frac{kpi}{a}$。
留数仍然是 1 （如果考虑 $f(x)=sin(ax)/cos(ax)$）。
或许可以直接从 $sin x$ 和 $cos x$ 的部分分式展开入手。
我们知道 $sin x$ 的展开式（注意这和上面的 $frac{sin(pi z)}{pi z}$ 不是同一个）：
$$ sin x = x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
取对数，求导，然后进行一些复变函数的操作，可以得到：
$$ frac{sin x}{x} = sum_{n=infty}^{infty} frac{(1)^n}{x npi} = 1 + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^n}{x^2 n^2 pi^2} $$
这个与前面提到的 $frac{sin(pi z)}{pi z}$ 的展开是一致的，只是把 $pi z$ 换成了 $x$。
而 $cos x$ 的展开式是：
$$ cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
取对数，求导，会得到 $frac{sin x}{cos x} = an x$ 相关的展开。
更具体的，对 $cos x$ 的乘积展开求导，可以得到：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 frac{(2n1)^2 pi^2}{4}} = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
注意，这里分母的 $(2n1)^2 pi^2 / 4$ 就是 $(2n1)pi/2$ 的平方。
因为 $n$ 从 1 开始，$2n1$ 会取 $1, 3, 5, dots$。
所以极点是 $x = pm frac{(2n1)pi}{2} = pm (n frac{1}{2})pi$。
这个公式和我们要证明的目标公式非常接近！
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2} $$
我们从 $cos x$ 的展开导出的结果是：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
两边乘以 1，就得到了我们要证明的公式！
那么，如何证明 $cos x$ 的这个乘积展开式，并从中推导出级数呢？
$cos x$ 的乘积展开式 $prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$ 本身也是一个复杂的证明过程，通常依赖于 $sin x$ 的乘积展开以及 $sin(2x) = 2sin x cos x$ 的关系。
更直接的方法：利用函数 $f(z) = an(frac{pi z}{2})$
考虑函数 $f(z) = an(frac{pi z}{2})$。
它的极点是 $frac{pi z}{2} = frac{pi}{2} + kpi implies z = 1 + 2k$ (当 $k$ 为整数)。
极点是 $dots, 3, 1, 1, 3, 5, dots$。
留数是 $lim_{z o 1+2k} (z (1+2k)) an(frac{pi z}{2})$
令 $z = 1+2k+h$，则 $frac{pi z}{2} = frac{pi (1+2k+h)}{2} = frac{pi}{2} + kpi + frac{pi h}{2}$。
$ an(frac{pi z}{2}) = an(frac{pi}{2} + kpi + frac{pi h}{2}) = cot(frac{pi h}{2})$
当 $h o 0$，$cot(frac{pi h}{2}) approx frac{1}{frac{pi h}{2}} = frac{2}{pi h}$。
所以留数是 $lim_{h o 0} h (frac{2}{pi h}) = frac{2}{pi}$。
似乎用 MittagLeffler 定理直接处理 $ an x$ 会遇到留数符号或系数的问题，需要非常精细的处理。
最常见的证明方式还是依赖于 $cot x$ 或 $cos x$ 的已知展开式。
让我们回到从 $cot x$ 推导的思路，但这次要确保代数操作的正确性。
我们知道 $cot x$ 的展开式是：
$$ cot x = frac{1}{x} + 2x sum_{n=1}^{infty} frac{1}{x^2 (npi)^2} $$
我们想要 $ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (n frac{1}{2})^2 pi^2}$。
观察目标式子：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{(x (n frac{1}{2})pi)(x + (n frac{1}{2})pi)} $$
$$ = sum_{n=1}^{infty} left( frac{1}{x (n frac{1}{2})pi} + frac{1}{x + (n frac{1}{2})pi} ight) $$
这个形式表明 $ an x$ 的极点是 $x = (n frac{1}{2})pi$ 和 $x = (n frac{1}{2})pi$ (对于 $n=1, 2, 3, dots$)。
这些极点就是 $frac{pi}{2}, frac{pi}{2}, frac{3pi}{2}, frac{3pi}{2}, dots$。
也就是 $x = frac{pi}{2} + kpi$ 和 $x = frac{pi}{2} kpi$ (对于 $k=0, 1, 2, dots$)。
合并起来就是 $x = frac{pi}{2} + mpi$，$m in mathbb{Z}$。
现在我们用 $ an x = cot(frac{pi}{2} x)$ 来进行。
将 $cot y$ 的展开式中的 $y$ 替换为 $frac{pi}{2} x$:
$$ cot(frac{pi}{2} x) = frac{1}{frac{pi}{2} x} + 2left(frac{pi}{2} x ight) sum_{n=1}^{infty} frac{1}{left(frac{pi}{2} x ight)^2 (npi)^2} $$
右边第一项：$frac{1}{frac{pi}{2} x} = frac{2}{pi 2x} = frac{2}{2x pi}$.
这似乎不是我们期望的 $frac{2x}{x^2 (frac{pi}{2})^2}$ 形式。
这里可能需要使用一个更普遍的 MittagLeffler 形式，或者从 $sin$ 和 $cos$ 的展开中直接组合。
让我们聚焦于如何从 $cos x$ 的乘积展开推导 $ an x$ 的展开。
我们有 $cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$。
对两边取自然对数：
$$ ln(cos x) = sum_{n=1}^{infty} ln left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
对两边关于 $x$ 求导：
$$ frac{sin x}{cos x} = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2}} cdot frac{d}{dx} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{1}{1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2}} cdot left( frac{8x}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{(2n1)^2 pi^2}{(2n1)^2 pi^2 4x^2} cdot left( frac{8x}{(2n1)^2 pi^2} ight) $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{8x}{(2n1)^2 pi^2 4x^2} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{8x}{4(x^2 frac{(2n1)^2 pi^2}{4})} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (frac{2n1}{2})^2 pi^2} $$
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
将两边都乘以 1：
$$ an x = sum_{n=1}^{infty} frac{2x}{x^2 (nfrac{1}{2})^2 pi^2} $$
这个方法是最直接且最严谨的证明方式，它依赖于 $cos x$ 的乘积展开式。
证明 $cos x$ 的乘积展开式 $prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$ 的简要思路：
这个展开式本身需要独立的证明。一种常见的方法是：
1. 利用 $sin x$ 的乘积展开式： $sin x = x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight)$。
2. 利用 $sin(2x) = 2 sin x cos x$：
$$ sin(2x) = 2x prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) cos x $$
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) cos x $$
3. 将 $sin(2x)$ 用其乘积展开式表示：
将上式中的 $x$ 替换为 $2x$，得到：
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{(2x)^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
4. 结合等式：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) ight) cos x $$
5. 分离 $cos x$：
$$ cos x = frac{prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight)}{prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight)} $$
6. 拆分级数：
右边的乘积可以写成偶数项和奇数项的乘积：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
$$ = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
注意，$prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) ight) left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) ight)$ 是不正确的，因为 $prod_{n=1}^infty$ 包含了偶数和奇数项。
更准确地说，利用 $sin x$ 的展开式：
$$ frac{sin x}{x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
将 $x$ 换成 $2x$:
$$ frac{sin(2x)}{2x} = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{(2x)^2}{n^2 pi^2} ight) = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) $$
这个乘积可以写成偶数项和奇数项的乘积：
$$ prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{n^2 pi^2} ight) = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k)^2 pi^2} ight) ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
$$ = left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight) ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
注意到 $frac{sin x}{x} = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{x^2}{k^2 pi^2} ight)$。
所以，
$$ frac{sin(2x)}{2x} = left( frac{sin x}{x} ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
使用 $sin(2x) = 2 sin x cos x$:
$$ frac{2 sin x cos x}{2x} = left( frac{sin x}{x} ight) cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
$$ frac{sin x}{x} cos x = frac{sin x}{x} cdot left( prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) ight) $$
当 $sin x eq 0$ 时，可以约掉 $frac{sin x}{x}$：
$$ cos x = prod_{k=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2k1)^2 pi^2} ight) $$
这就是 $cos x$ 的乘积展开式。
总结一下证明思路：
1. 核心依赖： $cos x$ 的部分乘积展开式是 $cos x = prod_{n=1}^{infty} left( 1 frac{4x^2}{(2n1)^2 pi^2} ight)$。
2. 对数求导： 对 $cos x$ 的展开式两边取自然对数，然后关于 $x$ 求导。
3. 化简： 经过一系列代数运算，将求导结果整理成 $ an x$ 的级数形式。
4. 符号调整： 将 $ an x$ 的级数乘以 $1$ 得到 $ an x$ 的目标级数。
这个证明过程虽然步骤不少，但逻辑是清晰的，并且巧妙地利用了三角函数的恒等式和已知函数的展开式。它展示了函数展开的强大威力，将一个超越函数（$ an x$）表示成了简单代数形式（求和形式）的组合。
网友意见
看着恐怖，实则不难
考虑到 的无穷乘积展开（可用Weierstrass定理证明）：
两端取对数：
两端求导：
即 的分式级数展开。
类似可得：
这是 的 Mittag-Leffler展开式。
注意到 有奇点 留数 其中 于是有
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好的，咱们来聊聊如何求这类含正弦函数的和式极限。这可是个挺有意思的问题，虽然看起来有点眼花缭乱，但拆解开来，其实是有章可循的。咱们就拿一个比较典型的例子来分析，比如：$$ lim_{n o infty} sum_{k=1}^{n} frac{sin(kx)}{n} $$看到这样的式子，第一反应可能.............
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这是一个非常经典的数学问题，涉及到有界性、导数和极限之间的关系。要证明一个有界函数在正无穷处导数趋近于零时，函数在该处有极限，我们需要运用到一些重要的数学定理和概念。下面我将详细地进行阐述。问题陈述：设 $f(x)$ 是一个定义在 $[a, infty)$ 上的实值函数（其中 $a$ 是某个实数），.............
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把“线程的本质就是一个正在运行的函数”这句话拆开来看，它有那么点意思，但说它“本质”嘛，我觉得有点太简化了，甚至可以说是有点误导。咱们一点一点聊，把这个概念掰开了揉碎了说。首先，咱们得明白什么叫“线程”。在计算机里，进程（Process）就像是一个独立的程序，比如你打开的浏览器、文档编辑器。每个进程.............
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你遇到的问题，也就是“实验数据可以被多个函数拟合，如何确定哪个函数是正确的规律”，这确实是科学研究中一个非常核心且普遍的挑战。尤其是在物理、化学、生物、经济学等很多领域，我们观察到的现象往往是复杂的，直接写出描述其内在机制的解析表达式并非易事，因此常常需要通过数据来“反推”规律。咱们就来聊聊，当面对.............
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要证明一个同时以1和π为周期的函数无最小正周期，我们可以采用反证法。假设存在这样一个函数的最小正周期 $T_0$，然后通过推导得到矛盾。首先，我们来明确一下函数的周期性定义。如果一个函数 $f(x)$ 满足 $f(x+T) = f(x)$ 对所有定义域内的 $x$ 都成立，并且 $T$ 是一个非零常.............
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这个问题是多元微积分中一个非常基础且重要的定理，它涉及到连续性和有界闭区域的性质。简单来说，这个说法是 正确 的。让我来仔细解释一下为什么是这样，以及这个定理的深层含义。定理的表述：在数学上，这个定理通常被表述为：如果一个函数 $f(x_1, x_2, ..., x_n)$ 在一个有界闭区域 $D .............
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正中珠江连收两封警示函，四位会计师被点名，这一事件可能对该公司及其相关方产生多方面的负面影响，涉及市场信心、合规风险、业务发展、法律后果等多个层面。以下从多个角度详细分析其潜在影响： 1. 市场信心与投资者信任度受损 投资者信心下降：警示函通常表明公司存在违规或重大瑕疵，可能导致投资者对公司的财务透.............
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符号测度的勒贝格分解与泛函分析中的正交分解，乍听之下似乎风马牛不相及，一个处理的是测度空间中的测度性质，另一个探讨的是向量空间中的线性算子或向量的性质。然而，如果我们深入挖掘它们背后的数学思想和结构，会发现它们在某种层面上存在着深刻的联系，尤其是在理解“分解”、“正交性”以及“结构化表示”这些概念时.............
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圆周率 π 的一个有趣表示：正切半角无穷级数展开式我们都知道圆周率 $pi$ 是一个神秘而迷人的数字，它的出现贯穿于数学的许多分支，尤其是在几何和分析学中。除了我们熟知的 $pi approx 3.14159$ 之外，数学家们也为它找到了许多精妙的表达方式，其中一个尤其引人注目的是通过正切函数的半角.............
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你好！很高兴你能提出这么有趣和深刻的问题，这正是《三体》中引人入胜的科学幻想和对宇宙规律的探讨之处。你关于“持续作用力就一直加速”的理解是牛顿力学的基本观点，这是完全正确的。然而，当我们将视线从日常宏观世界转向接近光速的微观世界时，事情就变得复杂起来，而爱因斯坦的狭义相对论就给出了答案。我们来详细地.............
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面对这种情况，你的感受肯定挺复杂的。明明都准备收工了，突然被通知要开会，而且时间点非常尴尬。以下是一些你可以考虑的应对策略，我会尽量详细地描述每种情况和你的行动：首先，冷静下来，评估情况。 会议的重要性与紧急性： 这是一个非常重要的原则。领导在下班前最后一刻发起会议，通常说明会议内容是相对重要的.............
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正午阳光出品的《开端》确实是一部现象级的佳作，而白敬亭和赵今麦这两位年轻主演的表现也成为了大家热议的焦点。关于他们的演技打分，我认为可以从几个维度来详细分析：白敬亭饰演的肖鹤云 角色契合度与前期铺垫： 肖鹤云这个角色在故事初期是一个有些内向、在公交车上默默听歌的普通大学生。白敬亭很好地抓住了这个.............
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您的问题很有趣，也很现实。确实，对于一个“正常家庭”而言，一年花费“四十来万”似乎已经覆盖了日常生活的方方面面，包括衣食住行、教育、医疗、娱乐等等。但“正常”的定义很宽泛，而且“花费”的领域也远不止于此。当家庭收入远超这个水平时，资金的去向和消费的模式会发生显著的变化，从满足基本需求转向追求生活品质.............
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这是一个深刻且复杂的问题，历史上和当下都有大量的讨论，并且没有一个绝对的“正确”答案，因为“更好”很大程度上取决于我们衡量和评价的标准，以及我们关注的价值导向。我们可以从多个维度来详细探讨专制和民主的优劣。专制 (Autocracy)专制是指一种由个体或少数人掌握绝对权力，不受法律或民众监督的政治体.............
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您好！非常理解您现在的心情。学车过程中感到紧张和记性差是很正常的，尤其是面对理论考试（科目一）时，大量的知识点确实会让人有些不知所措。但请您放心，通过一些有效的方法和策略，您完全可以克服这些困难，顺利通过科目一。下面我将为您详细讲解如何应对紧张和记性差，以及如何高效备考科目一： 一、 应对紧张：紧张.............
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在正规医院里，除了我们耳熟能详的内科、外科、妇产科等常见科室，确实存在一些令人意想不到，但又非常重要且专业的医疗项目。这些项目往往是针对特定人群、特定疾病或特定技术发展而设立的，涵盖了医学的深度和广度。下面我将详细介绍一些可能让你感到意外的医疗项目：1. 精准医疗和基因治疗（Precision Me.............
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