如果和地球公转轨迹对应的另一面有另外一个星球，科学家是否能观察到？
让我们从几个方面来详细探讨：
1. 直接观测的可能性（非常低）：
“另一面”的定义： 如果你说的“另一面”是指与地球在黄道平面上相对的那个点（即在地球运行到黄道上某个位置时，它在正对面），那么要直接看到这个星球，我们需要它“正好”在我们观测的时候位于太阳的背后，并且不被太阳本身的光芒掩盖。
被太阳掩盖的挑战： 这是最大的障碍。地球公转的轨道平面称为黄道平面。如果存在一个“镜像”的星球，它也大致在这个平面上运行（但可能在相反的轨道方向或以相反的轨道周期运行），那么当它与地球在轨道上相对时，它就会位于太阳的“背后”。太阳本身是宇宙中最亮的物体，它的光芒会淹没一切相对较暗的物体。任何靠近太阳视线方向的物体都很难被直接观测到。
日食观测的启示： 在日食期间，月球遮挡了太阳，我们才能短暂地看到日冕以及一些非常明亮的星体（例如金星、水星）。但即使是这些行星，在日常观测中也很难在白天看到，更不用说在太阳光芒的正面冲击下观察一个可能并不比它们明亮的“镜像地球”了。
遮挡（Occultation）和凌日（Transit）： 我们可以通过行星凌日（例如金星凌日、水星凌日）来间接了解行星的轨道，但那是在行星从太阳前面经过时发生的。而我们讨论的这个星球是在太阳后面。
探测器和望远镜的位置：
地面望远镜： 地面望远镜受地球大气层的影响，且无法避开太阳的光芒。它们在白天观测能力受到极大限制，尤其是在靠近太阳的方向。
空间望远镜（如哈勃、詹姆斯·韦伯）： 这些望远镜可以避开地球大气层的影响，但它们仍然无法“避开”太阳本身。太阳的光芒对于空间望远镜来说也是一个巨大的挑战。它们通常会设计成可以避免将太阳直接成像，或者配备强大的遮阳罩。如果一个星球正好在太阳的另一侧，空间望远镜也无法直接看到它，除非它稍微偏离了完全对齐的直线。
理论上的可能性（极小）： 如果这个星球非常巨大，而且正好位于地球轨道平面上，地球和太阳之间存在一个观测窗口，或者它发出的光芒特别强烈（这不太可能，如果它只是一个类地行星），并且正好在我们能够观测到的方向上，那可能是一线希望。但即使如此，其被太阳光掩盖的概率也极高。
2. 间接观测的可能性（理论上存在，但证据不足）：
虽然直接看到它很困难，但如果这个星球存在，它可能会通过其引力对其他天体产生影响，从而被科学家间接探测到。
对地球轨道的影响： 如果有一个质量巨大的星球与地球在轨道上相对，它的引力会作用在地球上，使其轨道发生微小的变化。
轨道扰动（Orbital Perturbations）： 科学家通过精密测量地球的轨道，并与预测的轨道进行对比。如果存在一个未知的、质量相当的天体，它的引力会引起地球轨道上的预期之外的扰动。例如，水星的近日点进动曾是解释其轨道异常的一个重要证据，最终促成了爱因斯坦的广义相对论。
探测的难度： 要探测到这种扰动，需要极其精确的观测和模型。而且，地球本身的轨道受到太阳系内其他行星（特别是木星、土星等大质量行星）的引力影响，这些影响可能更大且更复杂。要将一个“镜像地球”的引力影响区分出来，需要非常高的测量精度和对其他已知引力源的精确建模。
对太阳系内其他天体的影响： 这个“镜像地球”的引力也可能影响到其他行星、小行星带、甚至太阳系外围的天体。例如，天王星的轨道异常曾是推测海王星存在的重要线索。
引力透镜效应（Gravitational Lensing）： 如果这个星球的质量足够大，并且它正好位于我们观测遥远天体（如类星体）的视线上，它可能会弯曲来自遥远天体的光线，形成引力透镜效应。通过分析这种光线弯曲的模式，我们可以推断出中间物体的质量和分布。
观测的困难： 要利用引力透镜效应，需要非常特定的对齐方式，即我们与遥远目标之间正好有一个质量分布不均匀的物体（在这个情境下是那个星球）。而且，这种效应通常用于探测更遥远、更暗淡的物质，或者是分布的暗物质。
对太阳的影响（可能非常小或不存在）： 如果它在轨道上绕着太阳公转（即使是与地球相反的方向），它也会以同样的方式受到太阳的引力影响。它不太可能对太阳的运动产生可察觉的影响，除非它的质量非常巨大。
3. “另一面”的几种可能的解释：
在考虑“另一面”的时候，我们也要明确我们指的是哪种情况：
黄道平面上的镜像轨道： 如上所述，这是最直接的理解，但最难直接观测到。
与地球轨道相反的轨道： 如果它只是在与地球相同的距离上，但公转方向相反，那么它在轨道上的位置会与地球的“镜像”不完全对应，但它仍然可能被太阳掩盖。
与地球“潮汐锁定”类似的状态（非常不可能）： 如果它与地球绕太阳公转存在某种特殊的“潮汐锁定”，使得它总是以同一面朝向地球，那么我们就只能看到它的一面。但这非常不符合已知的行星动力学原理，除非存在某种我们未知的相互作用。
在太阳系外围（如奥尔特云）的假想天体： 有时人们会提出“第九行星”或“行星X”的概念，认为在太阳系外围可能存在一颗未知的大质量行星，它的引力影响了柯伊伯带天体的轨道。这与你描述的“与地球公转轨迹对应的另一面”的定义不太一样，但它也是一种间接观测寻找未知天体的方式。
科学界对此类假设的普遍态度：
尽管存在理论上的间接观测方法，但对于一个与地球公转轨迹对应的“镜像地球”的存在，目前没有任何直接或间接的证据支持。
奥卡姆剃刀原理： 在科学上，我们倾向于采用最简单的解释来解释观测到的现象。如果没有强有力的证据表明存在一个“镜像地球”，那么我们就不需要假设它的存在。
行星形成模型： 当前的行星形成模型解释了我们太阳系行星的分布和轨道，没有预测会存在这样的“镜像地球”。
搜寻未知行星的努力： 天文学家一直在通过各种方法搜寻未知行星，例如通过观测系外行星（Exoplanets）的凌星现象、利用高精度望远镜进行直接成像、以及分析太阳系内小天体的轨道异常。如果存在这样的星球，并且对观测数据产生了显著影响，科学家很可能会将其探测到。
总结：
科学家能否观察到与地球公转轨迹对应的另一面有一个星球，其直接观测的可能性极低，几乎为零，主要是因为这个星球会被太阳的光芒完全掩盖。然而，间接观测是有理论可能性的，例如通过它对地球轨道或其他天体轨道产生的引力扰动。
但目前，科学界没有任何证据支持这样一颗星球的存在。我们的太阳系被精确地观测和建模，如果存在这样一个显著的天体，我们很可能已经通过其引力效应发现了它。所以，这是一个非常有趣的理论设想，但现实中要观察到它极其困难，并且缺乏科学依据。
网友意见
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更新：应大家的强烈要求，我就尝试用高端一点软件模拟。嗯，就用Universe Sanbox2 (宇宙沙盒2) 来尝试一下。 在此欢迎广大知乎程序员自己写代码模拟一下更精确的模型，并分享结果。
首先，我们假设有一个简单的系统，太阳在中心，地球在太阳两端对称分布，引入木星作为外扰源。那么，这个系统会怎么运动呢？
1，先上质量对比图，这下不是三体了吧？从左到右依次太阳，木星，地球1，地球2.
首先设置一下，地球1，和地球2（红色圈内）绕太阳均匀分布，绕转都为逆时针，离太阳1AU（1.5亿公里），木星（蓝色圈）在稍远距离之外，为5.2AU。默认是圆形轨道，如果椭圆设置参数太多了。所以这个模拟只能形象说明，不能完全反映真实情况。
如下，刚开始运动之后，两个地球会同时运转，这时候它们几乎是完全对称的。（温馨提示，点击可以看大图）
再看轨道，地球轨道蓝色，木星轨道黄色。两个地球轨道重合。
我们的地球兄弟开始了赛跑比赛，这是第一圈（年）之后的轨迹图。基本上还是对称的。红圈内是地球，在这里是个非常小的光点。
11年后，两个地球和太阳的位置就不对称了。注意，太阳也往上方稍微运动了一点。
20年之后，这下大家可以很清楚的看到两个地球的相对位置发生改变了吧？
虽然太阳质量很大，但是和行星的作用也会使得太阳轨迹产生很小的扭转，具体来看，这是太阳绕太阳-木星质心的运动，地球作用可以忽略。
33年之后，两个地球还在互相靠近。
54.7年之后，两地球和太阳连线夹角接近90度。
注意到这时候两个地球的轨道发生偏移。形成了两个独立轨道。
100年之后，两个地球夹角已经小于90度。但是，两个轨道是不重合的，所以不会相撞。
之后两个地球会相互远离，夹角增加。如116年之后：
1000年之后，两个地球轨道偏差已经很大了。
1万年之后，两兄弟觉得日子没法子一起过了，开始分家。
6万年之后，终于第一次完全分成两个轨道
10万年之后，两个轨道分离在整个太阳系也非常显著了。
10万年到20万年之间，两兄弟的轨道还有时候会有交集。好像是外面一个圈绕着里面的圈跑。
30万年，偏心率越来越大。
52万年之后，两个轨道已经完全分开了。
100万年之后，两个地球成为独立的两个行星，各自有各自的椭圆轨道。内层轨道偏心率小一点。
由于数值误差的累积，已经没有继续进行计算的必要了。但是我还是好奇3百万年之后会发生什么？
接下来两百万年里，两个地球的轨道似乎已经稳定了。如下图，接近太阳的地球近日点在0.66AU，远日点在0.96 AU。远离太阳的地球近日点在0.96AU，远日点在1.6AU。换句话说，接近太阳的地球有可能撞上金星，远离的地球可能撞上火星。
不得不说，如果突然在太阳对面出现了另外一个和地球相似的星球，对两球人民来说看上去都不是好消息。。。
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原答案：
首先，这颗行星不存在。迄今为止，人类探测器已经把太阳大部分有意思的主要天体都访问过了，如果这颗行星真的存在的话，那么它被发现是非常容易的，虽然我们不能直接观测，但是它会对周边天体产生引力影响，很容易被观测到。
太阳系行星轨道上一般只有一颗主要行星（除了小行星带）。但是这不是说一个轨道上就只有一个天体。在木星轨道上，和太阳交角相差60度的左右两方向，都发现大量的小行星，称为特洛伊天体。地球，火星，海王星都有特洛伊天体的发现。这里我们探讨下为什么题主提出的第二地球不存在，以及为什么会有这些特洛伊天体。
像题主这样要求的和地球质量相当的行星可以存在，而且受力平衡，但是，并不能够稳定的存在。只有有一丁点其他行星扰动，两颗行星便会脱离这个平衡状态。
我们做一个最简单的受力分析就可以了。如下图，当两个地球绕太阳对称分布的时候，系统是稳定的，但是一旦另一个地球有稍微一点点飘移，那么地球和另一个地球之间的吸引力会使得另一个地球往外飘，越飘移地球的漂移分力会越显著。
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我们做一个最简单的数值模拟，仅仅为示意，确实这个模拟是非常简陋的，因为按真实条件模拟我到现在还没有找到合适的软件，如果有同学有条件可以模拟一下：
My Solar System 2.04如下图，假设“太阳”质量为1000，两个“地球”质量为10，在一开始设置它们距离相等，速度相等。注意地球1(紫红色）y位置为0.
然后运行，如下图，我们看到一个相对对称的轨道图线，由于实际中太阳质量远大于数值模拟，所以这两个轨道会高度重合。
假设由于其他天体扰动，地球1的坐标y变成1
继续运行，我们发现，一开始影响相当小，但是很快就出现偏差，不到一会儿，地球1更往外跑而地球2更往里面跑。结果很快就分开了。这是由于整个系统是不稳定系统导致的。
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如下图，考虑黄道面，仅考虑太阳-地球系统，太阳和地球会形成两个巨大的引力势阱。在太阳和地球相对不动的条件下，我们可以得到日地系统的有效势能图（注意和引力势区别，此处多了一个天体运动带来的的“离心势能”)。如果你学过拉格朗日点的话，就知道在5个点上，引力正好能够完全提供向心力，使得这些点上的物体能绕太阳公转。然而，这些点虽然受力平衡，但却不能稳定停留任何天体。如下图所示，可见，拉格朗日点虽然受力平衡，但是对于质点来说，都是有效势能最大值位置，我们知道势能大的地方是不稳定的，所以在拉格朗日点附近的天体都不能稳定。只要有稍微的扰动，物体会立刻离开拉格朗日点。这个解释也很简单，比如我们假设一个物体处在L1点，一开始，太阳引力减去地球引力正好提供了全部的向心力，使得它能够稳定绕太阳公转，但是只要它稍微偏向太阳，那么它受到的太阳的引力会增强，而地球引力会减弱，所以它会立马跑向太阳；反之就会偏向地球。L2, L3点上的物体也是类似，它的向心力由太阳和地球引力一起加起来，才能维持在L2, L3点，只要稍有变化，立马会偏向太阳或者远离。
(三维势能图)
(二维有效势能图，越偏红/紫势能越高，越偏蓝/白势能越低，一般势能高点就像山顶一样，很容易往势能低点下落)
L4和L5处在与太阳和地球正好成等边三角形的位置。由于太阳和地球的引力作用，这些点上的物体虽然同是受到两个力，但是这两个力的合力却恰恰指向太阳-地球系统的质心，从而保持平衡。
但是，L4和L5虽然原则上不稳定，但是如果我们考虑地球绕太阳转。所以L4, L5也会转动，这样它会存在一个额外的科里奥利力。在转动坐标系下，科里奥利力会使得L4,L5附近物体运动轨迹不停地偏转，最终会使得小质量物体的轨道会不断在L4, L5 附近绕圈圈，最终停留在L4,L5 附近。但是小天体质量必须很小，最高不能超过行星质量的1/24.5，这也是特洛伊天体存在的原因。
L4点小天体轨道的数值模拟：
具体的稳定解，关于24.5这个倍数的推导，参见如下文献：
http:// map.gsfc.nasa.gov/Conte ntMedia/lagrange.pdf虽然L1， L2 点不稳定，但是对太空望远镜，来说非常重要。L1点适合观测太阳，而L2点适合观测宇宙。所以相当多望远镜都会停留这两个点，为了保持稳定，它们都采取绕L1, L2点的轨道，靠着科里奥利力来保持稳定。但是也需要适当微调。
起源号是观测太阳粒子的卫星。它采用了L1点的周期性的晕轮轨道Halo Obit，来保证稳定。
Herschel 卫星和下一代太空望远镜JWST都采用L2点利萨如轨道（Lissajous orbit） ，其轨道水平竖直投影如下，实际中这些轨道都要考虑太阳，地球，月亮和其他行星的影响，争取能够更多的利用引力来维持轨道稳定，需要大量的科学计算取最优解：
更多参考：
Bo Zhang’s Homepage " 环绕拉格朗日点的轨道————————————————————
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