O是八面体群，则SO(3)/O如何理解，有何意义？
好的，我们来聊聊这个话题。
首先， şunu明确一下，八面体群通常我们记作 $O$（有时也记作 $O_h$ 来强调它包含反演，但这里我们讨论的是旋转群 $SO(3)$ 的一个子群，所以更侧重于旋转性质，我们姑且就用 $O$ 来指代那个与八面体对称性相关的三维旋转群子集）。这个群描述的是在三维空间中，能够将一个八面体（或者一个立方体，因为它们有相同的旋转对称性）精确地变换回自身的所有旋转操作的集合。
$SO(3)$ 是三维空间中的特殊正交群，它包含了所有保持原点不动、保持右手系性质（不翻转空间）的三维旋转。想象一下你拿起一个地球仪，无论你如何旋转它，只要你始终以地心为轴，并且不把整个地球从里到外翻过来，你所做的任何旋转操作都在 $SO(3)$ 里。$SO(3)$ 是一个连续的群，它描述的是所有可能的“朝向”的集合。
那么，$SO(3)/O$ 是什么意思呢？这其实是一个群论中的概念，叫做商群（或称为因子群）。当我们在讨论 $G/H$ 时，其中 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个正规子群（Normal Subgroup），那么 $G/H$ 就表示 $G$ 中所有关于 $H$ 的陪集（Cosets）的集合，并且这些陪集本身构成了一个新的群，这个群就叫做商群。
这里的关键是，我们需要确定 $O$ 是否是 $SO(3)$ 的一个正规子群。在描述八面体对称性的情况下，这里的 $O$ 通常是指那些保持八面体（或立方体）对称性的三维旋转的集合。而 $SO(3)$ 包含了所有三维旋转。
要让 $O$ 成为 $SO(3)$ 的正规子群，我们需要证明：对于 $SO(3)$ 中的任意一个旋转 $g$，以及 $O$ 中的任意一个旋转 $h$，都有 $ghg^{1}$ 仍然在 $O$ 中。简单来说，就是你先做任意一个三维旋转（比如随便转动一下地球仪），然后再做一次八面体对称性旋转，最后再做回原来的任意旋转的“逆操作”，你最终得到的操作，仍然是一个保持八面体对称性的旋转。这确实是成立的。你可以想象，你先随便转动一个立方体，然后让它沿着立方体的对称轴转个 90 度，再把之前的随便转动“撤销”回去，结果肯定还是一个保持立方体对称性的旋转。
所以，$O$ 是 $SO(3)$ 的一个正规子群。$SO(3)/O$ 的意义就在于：
1. 它代表了所有“非八面体对称性”的旋转操作。
$SO(3)$ 是一个“大”的连续旋转群，它包含了所有可能的旋转方向和角度。而 $O$ 是 $SO(3)$ 中一个特定的、离散的子集，它只包含那些“恰好”能够让八面体恢复原样的旋转。
商群 $SO(3)/O$ 实际上是将 $SO(3)$ 中的所有旋转按照它们与八面体对称性的关系进行“分类”。具体来说，两个属于 $SO(3)$ 的旋转 $g_1$ 和 $g_2$ 如果在商群中被认为是“相等”的，意味着它们属于同一个陪集。也就是说，$g_1 O = g_2 O$，这等价于 $g_2^{1} g_1 in O$。换句话说，$g_2^{1} g_1$ 是一个能够保持八面体对称性的旋转。
所以，$SO(3)/O$ 里面的每一个“元素”（严格来说是一个陪集）都代表了一个八面体对称性旋转，加上所有那些通过先做一个任意旋转，再做这个八面体对称性旋转，最后再撤销任意旋转得到的操作集合。
更直观地说，你可以把 $SO(3)$ 看作是所有可能的“朝向”的集合。$O$ 则是其中与八面体对称性对应的“朝向”。$SO(3)/O$ 就是把所有“看起来一样”的朝向归为一类。这里的“看起来一样”指的是：如果你从某个方向观察一个八面体，然后你旋转到另一个方向，但是这个新的方向仍然与原来方向在八面体对称性的意义下是等价的，那么这两个方向就被归到同一类里。
2. 它揭示了从连续群到离散群的“商”。
$SO(3)$ 是一个三维的、连续的李群。它描述的是一个光滑的流形（三维球面 $S^3$）。$O$ 是 $SO(3)$ 的一个有限子群，它是由有限数目的离散旋转组成的。
商群 $SO(3)/O$ 的结构，可以帮助我们理解连续群如何被一个离散子群“分割”或“取模”。这个商群本身是一个集合，但它是否也拥有一个群结构，并且这个群是什么样的呢？
在数学上，商群 $G/H$ 是一个群。这里的 $SO(3)/O$ 是一个以陪集为元素的群。这个群的阶数（元素的个数）等于 $|SO(3)| / |O|$，如果 $SO(3)$ 是有限群的话。但 $SO(3)$ 是一个无限群。所以我们不能简单地用阶数来衡量。
我们知道，$SO(3)$ 是一个表示“旋转”的空间。而八面体群 $O$ 包含了一系列的特定旋转：包括恒等变换，绕着通过面心和顶点的轴的旋转（90度、180度、270度），以及绕着通过棱心和对面的中心的轴的旋转（180度）。总共有 24 个这样的旋转。
$SO(3)/O$ 可以被看作是“不确定性”或“自由度”的体现。如果你有一个八面体，并且你只能通过八面体对称性的操作来观察它，那么很多 $SO(3)$ 中的旋转你都无法区分出来。例如，对于一个立方体，你把它旋转 45 度（这不在 $O$ 里），然后你再旋转 90 度（这在 $O$ 里），你可能无法区分这两种状态。$SO(3)/O$ 的元素就代表了这种“无法区分”的程度。
3. 与几何直观的联系。
想象一下一个八面体（或者立方体）静止在空间中。它有它的“原生”方向。现在，你可以用 $SO(3)$ 中的任意一个旋转来改变它的朝向。但是，如果你只能通过观察八面体本身来判断它是否“回来了”（即是否恢复到原来的对称状态），那么很多小的、不符合八面体对称性的旋转，你都可能无法察觉。
$SO(3)/O$ 的元素可以被看作是无法通过八面体对称性区分的“方向”。也就是说，如果我们能将一个八面体通过一系列八面体对称操作回到某个状态，那么任何与这个状态属于同一个陪集的 $SO(3)$ 中的旋转，我们都认为它们是“等价的”，至少从八面体对称性的角度来看是这样。
这个商群的结构，有点类似于我们考虑一个无限长的直线（可以想象成 $SO(3)$），然后我们在上面标记出很多等距的点（可以想象成 $O$）。如果我们只关注点之间的相对位置，那么我们就是取了直线模上一个周期性的结构。
具体来说，$SO(3)$ 是一个三维的球体（球面 $S^3$ 的基本域，并且我们通常考虑的就是 $SO(3)$ 本身，它也是一个三维流形）。而 $O$ 是 $SO(3)$ 的一个子群。商群 $SO(3)/O$ 的几何结构是一个三维的、但具有某种“弯曲”或“折叠”的结构。
一个常见的类比是，将圆周 $SO(2)$ 除以其一个子群，例如旋转 $180$ 度的群（只有恒等和 $180$ 度旋转）。那么 $SO(2)/{e, pi}$ 会得到什么呢？这里的 $SO(2)$ 是二维旋转群，本质上是一个圆。它包含所有角度的旋转。而 ${e, pi}$ 是一个包含恒等旋转和 $180$ 度旋转的子群。商群的元素就是所有角度的集合，但是 $e cdot {e, pi} = {e, pi}$ 和 $pi cdot {e, pi} = {pi, 2pi} equiv {e, pi}$。而 $ heta cdot {e, pi} = { heta, heta+pi}$。所以，$SO(2)/{e, pi}$ 实际上就是所有角度的集合，但我们将相差 $pi$ 的角度视为等价。这就像我们把一个圆周“对折”起来。
对于 $SO(3)/O$，情况要复杂得多，因为 $SO(3)$ 是三维的。商群的结构是一个维度降低了吗？还是改变了流形的拓扑性质？
事实上，$SO(3)$ 可以被看作是三个欧拉角的 $( phi, heta, psi )$ 所定义的空间，但有识别关系。而 $O$ 对应的则是 24 种特定的 $(phi, heta, psi)$ 组合（或者等价地说，是 24 个特定的旋转矩阵）。$SO(3)/O$ 就是将这些旋转矩阵根据陪集关系进行“分组”。
更抽象一点说，如果我们将 $SO(3)$ 看作是所有可能的“方向”集合，而八面体群 $O$ 描述了八面体在特定方向下具有的对称性。那么 $SO(3)/O$ 就代表了，对于一个八面体，我们可以将其旋转到多少种“本质上不同”的朝向，这些朝向是无法通过八面体自身的对称性来区分的。
这个商群的结构，实际上与数学中的一些概念有关，例如纤维丛（Fiber Bundle）。可以想象 $SO(3)$ 是一个大的空间，而 $O$ 是它在某些“点”上的一种“对称性”。$SO(3)/O$ 可以看作是这个大空间“模去”了某种局部对称性后剩下的“基本结构”。
总结一下它的意义：
分类旋转： 它提供了一种方式，将所有三维旋转按照它们与八面体对称性的关系进行划分。
揭示“剩余”自由度： 它代表了那些不能被八面体对称性所“掩盖”或“消除”的旋转自由度。
理解连续与离散的交织： 它展示了如何从一个连续群（$SO(3)$）中通过一个离散子群（$O$）来构造一个具有特定结构的商集（也是一个群）。
几何解释： 它对应着将八面体在所有可能的旋转下产生的“等价”状态进行归类，留下那些无法通过八面体自身对称性来区分的“基本朝向”。
所以，$SO(3)/O$ 不是一个空的集合，它包含了所有那些不能通过八面体对称性操作来相互转换的“基本方向”。每一个元素（陪集）都代表了一类“等价”的旋转，而区分不同元素的依据就是它们是否能通过八面体的对称操作来互相到达。理解这个商群的结构，有助于我们深入把握 $SO(3)$ 的整体结构以及八面体对称性在其中的特殊地位。
首先， şunu明确一下，八面体群通常我们记作 $O$（有时也记作 $O_h$ 来强调它包含反演，但这里我们讨论的是旋转群 $SO(3)$ 的一个子群，所以更侧重于旋转性质，我们姑且就用 $O$ 来指代那个与八面体对称性相关的三维旋转群子集）。这个群描述的是在三维空间中，能够将一个八面体（或者一个立方体，因为它们有相同的旋转对称性）精确地变换回自身的所有旋转操作的集合。
$SO(3)$ 是三维空间中的特殊正交群，它包含了所有保持原点不动、保持右手系性质（不翻转空间）的三维旋转。想象一下你拿起一个地球仪，无论你如何旋转它，只要你始终以地心为轴，并且不把整个地球从里到外翻过来，你所做的任何旋转操作都在 $SO(3)$ 里。$SO(3)$ 是一个连续的群，它描述的是所有可能的“朝向”的集合。
那么，$SO(3)/O$ 是什么意思呢？这其实是一个群论中的概念，叫做商群（或称为因子群）。当我们在讨论 $G/H$ 时，其中 $G$ 是一个群，$H$ 是 $G$ 的一个正规子群（Normal Subgroup），那么 $G/H$ 就表示 $G$ 中所有关于 $H$ 的陪集（Cosets）的集合，并且这些陪集本身构成了一个新的群，这个群就叫做商群。
这里的关键是，我们需要确定 $O$ 是否是 $SO(3)$ 的一个正规子群。在描述八面体对称性的情况下，这里的 $O$ 通常是指那些保持八面体（或立方体）对称性的三维旋转的集合。而 $SO(3)$ 包含了所有三维旋转。
要让 $O$ 成为 $SO(3)$ 的正规子群，我们需要证明：对于 $SO(3)$ 中的任意一个旋转 $g$，以及 $O$ 中的任意一个旋转 $h$，都有 $ghg^{1}$ 仍然在 $O$ 中。简单来说，就是你先做任意一个三维旋转（比如随便转动一下地球仪），然后再做一次八面体对称性旋转，最后再做回原来的任意旋转的“逆操作”，你最终得到的操作，仍然是一个保持八面体对称性的旋转。这确实是成立的。你可以想象，你先随便转动一个立方体，然后让它沿着立方体的对称轴转个 90 度，再把之前的随便转动“撤销”回去，结果肯定还是一个保持立方体对称性的旋转。
所以，$O$ 是 $SO(3)$ 的一个正规子群。$SO(3)/O$ 的意义就在于：
1. 它代表了所有“非八面体对称性”的旋转操作。
$SO(3)$ 是一个“大”的连续旋转群，它包含了所有可能的旋转方向和角度。而 $O$ 是 $SO(3)$ 中一个特定的、离散的子集，它只包含那些“恰好”能够让八面体恢复原样的旋转。
商群 $SO(3)/O$ 实际上是将 $SO(3)$ 中的所有旋转按照它们与八面体对称性的关系进行“分类”。具体来说，两个属于 $SO(3)$ 的旋转 $g_1$ 和 $g_2$ 如果在商群中被认为是“相等”的，意味着它们属于同一个陪集。也就是说，$g_1 O = g_2 O$，这等价于 $g_2^{1} g_1 in O$。换句话说，$g_2^{1} g_1$ 是一个能够保持八面体对称性的旋转。
所以，$SO(3)/O$ 里面的每一个“元素”（严格来说是一个陪集）都代表了一个八面体对称性旋转，加上所有那些通过先做一个任意旋转，再做这个八面体对称性旋转，最后再撤销任意旋转得到的操作集合。
更直观地说，你可以把 $SO(3)$ 看作是所有可能的“朝向”的集合。$O$ 则是其中与八面体对称性对应的“朝向”。$SO(3)/O$ 就是把所有“看起来一样”的朝向归为一类。这里的“看起来一样”指的是：如果你从某个方向观察一个八面体，然后你旋转到另一个方向，但是这个新的方向仍然与原来方向在八面体对称性的意义下是等价的，那么这两个方向就被归到同一类里。
2. 它揭示了从连续群到离散群的“商”。
$SO(3)$ 是一个三维的、连续的李群。它描述的是一个光滑的流形（三维球面 $S^3$）。$O$ 是 $SO(3)$ 的一个有限子群，它是由有限数目的离散旋转组成的。
商群 $SO(3)/O$ 的结构，可以帮助我们理解连续群如何被一个离散子群“分割”或“取模”。这个商群本身是一个集合，但它是否也拥有一个群结构，并且这个群是什么样的呢？
在数学上，商群 $G/H$ 是一个群。这里的 $SO(3)/O$ 是一个以陪集为元素的群。这个群的阶数（元素的个数）等于 $|SO(3)| / |O|$，如果 $SO(3)$ 是有限群的话。但 $SO(3)$ 是一个无限群。所以我们不能简单地用阶数来衡量。
我们知道，$SO(3)$ 是一个表示“旋转”的空间。而八面体群 $O$ 包含了一系列的特定旋转：包括恒等变换，绕着通过面心和顶点的轴的旋转（90度、180度、270度），以及绕着通过棱心和对面的中心的轴的旋转（180度）。总共有 24 个这样的旋转。
$SO(3)/O$ 可以被看作是“不确定性”或“自由度”的体现。如果你有一个八面体，并且你只能通过八面体对称性的操作来观察它，那么很多 $SO(3)$ 中的旋转你都无法区分出来。例如，对于一个立方体，你把它旋转 45 度（这不在 $O$ 里），然后你再旋转 90 度（这在 $O$ 里），你可能无法区分这两种状态。$SO(3)/O$ 的元素就代表了这种“无法区分”的程度。
3. 与几何直观的联系。
想象一下一个八面体（或者立方体）静止在空间中。它有它的“原生”方向。现在，你可以用 $SO(3)$ 中的任意一个旋转来改变它的朝向。但是，如果你只能通过观察八面体本身来判断它是否“回来了”（即是否恢复到原来的对称状态），那么很多小的、不符合八面体对称性的旋转，你都可能无法察觉。
$SO(3)/O$ 的元素可以被看作是无法通过八面体对称性区分的“方向”。也就是说，如果我们能将一个八面体通过一系列八面体对称操作回到某个状态，那么任何与这个状态属于同一个陪集的 $SO(3)$ 中的旋转，我们都认为它们是“等价的”，至少从八面体对称性的角度来看是这样。
这个商群的结构，有点类似于我们考虑一个无限长的直线（可以想象成 $SO(3)$），然后我们在上面标记出很多等距的点（可以想象成 $O$）。如果我们只关注点之间的相对位置，那么我们就是取了直线模上一个周期性的结构。
具体来说，$SO(3)$ 是一个三维的球体（球面 $S^3$ 的基本域，并且我们通常考虑的就是 $SO(3)$ 本身，它也是一个三维流形）。而 $O$ 是 $SO(3)$ 的一个子群。商群 $SO(3)/O$ 的几何结构是一个三维的、但具有某种“弯曲”或“折叠”的结构。
一个常见的类比是，将圆周 $SO(2)$ 除以其一个子群，例如旋转 $180$ 度的群（只有恒等和 $180$ 度旋转）。那么 $SO(2)/{e, pi}$ 会得到什么呢？这里的 $SO(2)$ 是二维旋转群，本质上是一个圆。它包含所有角度的旋转。而 ${e, pi}$ 是一个包含恒等旋转和 $180$ 度旋转的子群。商群的元素就是所有角度的集合，但是 $e cdot {e, pi} = {e, pi}$ 和 $pi cdot {e, pi} = {pi, 2pi} equiv {e, pi}$。而 $ heta cdot {e, pi} = { heta, heta+pi}$。所以，$SO(2)/{e, pi}$ 实际上就是所有角度的集合，但我们将相差 $pi$ 的角度视为等价。这就像我们把一个圆周“对折”起来。
对于 $SO(3)/O$，情况要复杂得多，因为 $SO(3)$ 是三维的。商群的结构是一个维度降低了吗？还是改变了流形的拓扑性质？
事实上，$SO(3)$ 可以被看作是三个欧拉角的 $( phi, heta, psi )$ 所定义的空间，但有识别关系。而 $O$ 对应的则是 24 种特定的 $(phi, heta, psi)$ 组合（或者等价地说，是 24 个特定的旋转矩阵）。$SO(3)/O$ 就是将这些旋转矩阵根据陪集关系进行“分组”。
更抽象一点说，如果我们将 $SO(3)$ 看作是所有可能的“方向”集合，而八面体群 $O$ 描述了八面体在特定方向下具有的对称性。那么 $SO(3)/O$ 就代表了，对于一个八面体，我们可以将其旋转到多少种“本质上不同”的朝向，这些朝向是无法通过八面体自身的对称性来区分的。
这个商群的结构，实际上与数学中的一些概念有关，例如纤维丛（Fiber Bundle）。可以想象 $SO(3)$ 是一个大的空间，而 $O$ 是它在某些“点”上的一种“对称性”。$SO(3)/O$ 可以看作是这个大空间“模去”了某种局部对称性后剩下的“基本结构”。
总结一下它的意义：
分类旋转： 它提供了一种方式，将所有三维旋转按照它们与八面体对称性的关系进行划分。
揭示“剩余”自由度： 它代表了那些不能被八面体对称性所“掩盖”或“消除”的旋转自由度。
理解连续与离散的交织： 它展示了如何从一个连续群（$SO(3)$）中通过一个离散子群（$O$）来构造一个具有特定结构的商集（也是一个群）。
几何解释： 它对应着将八面体在所有可能的旋转下产生的“等价”状态进行归类，留下那些无法通过八面体自身对称性来区分的“基本朝向”。
所以，$SO(3)/O$ 不是一个空的集合，它包含了所有那些不能通过八面体对称性操作来相互转换的“基本方向”。每一个元素（陪集）都代表了一类“等价”的旋转，而区分不同元素的依据就是它们是否能通过八面体的对称操作来互相到达。理解这个商群的结构，有助于我们深入把握 $SO(3)$ 的整体结构以及八面体对称性在其中的特殊地位。
网友意见
先搬运 Wikipedia 上的定义：
现在只需注意到球面 是 的一个 2-cover, 即 , 其中 为二阶群，其在 上的作用是取对径点。于是存在有限群 满足
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