是否存在时间复杂度是O(tan N)的算法？
要直接回答“是否存在时间复杂度是 O(tan N) 的算法？”，我会说：严格来说，不存在时间复杂度是 O(tan N) 的算法。
这听起来可能有点令人惊讶，因为 tan N 这个函数本身是存在的，而且在数学上我们很熟悉它。但是，当我们在讨论算法的时间复杂度时，我们通常关注的是算法执行时间如何随着输入规模 N 的增长而增长。而 tan N 这个函数在某些点会趋于无穷大（例如 N = π/2, 3π/2, 5π/2 等等）。
让我来详细解释一下为什么会这样，并尝试用更日常化的语言来理解。
为什么 O(tan N) 不太可能成为算法的时间复杂度？
算法的时间复杂度描述的是算法在最坏情况下，其基本操作（比如比较、赋值、算术运算等）的执行次数与输入规模 N 之间的关系。我们通常希望这个关系是一个多项式（如 O(N), O(N^2)）、对数（如 O(log N)）或者指数（如 O(2^N)）函数。这些函数都表现出一种相对可预测的增长趋势。
多项式复杂度 (O(N^k))：执行时间随着 N 的增长而增长，但增长速度是可控的。
对数复杂度 (O(log N))：执行时间增长非常缓慢，随着 N 的增大，算法的效率反而越来越高（相对于线性或多项式）。
指数复杂度 (O(a^N))：执行时间增长非常快，对于稍大的 N 就可能变得不可行。
tan N 函数的“坏”行为
tan N 的问题在于它的周期性和在特定点上的奇点（或称“渐近线”）。
1. 周期性 (tan(N + π) = tan N)：这意味着 tan N 的值会不断重复出现。如果一个算法的执行时间是 tan N，那么随着 N 的增加，执行时间可能会从一个很小的数值突然跳到一个非常大的数值，然后再又回到一个很小的数值，如此循环往复。这种不稳定的增长模式，对于算法的实际分析和预测来说是很难接受的。
2. 奇点（在 N = (k + 1/2)π 时趋于无穷大）：想象一下，如果你的算法的时间复杂度是 O(tan N)。这意味着当输入规模 N 接近某个特定值（比如 π/2, 3π/2, 5π/2...）时，算法的执行时间会变得无限长！在现实世界的计算中，无限长的时间是不可能实现的。一个有意义的算法，无论输入规模多大，都应该能在有限的时间内完成（尽管这个时间可能非常长）。
算法复杂度是关于“渐近增长”的描述
我们定义时间复杂度 O(f(N)) 时，通常关注的是当 N 非常大的时候，算法执行时间的行为。它是一个对算法在输入规模趋于无穷大时的增长趋势的描述，而不是精确的执行次数。
当 N 趋于无穷大时，tan N 的行为非常奇怪：
它会反复在负无穷和正无穷之间震荡，并在特定点上“爆炸”。
这种震荡和爆炸的模式，并不是我们通常用来衡量一个算法好坏的稳定增长模式。我们期望的是一种单调递增（或者在某些情况下是单调递减）的趋势，这样我们才能预测算法的性能。
举个例子来辅助理解：
想象你正在爬一座山。
O(N)：就像你在平地上直线行走，每走一步（N增加），你前进的距离也是一步（时间增加）。
O(log N)：就像你在爬山，每当你爬到一个更高的平台（N增加），你向上爬的步数增长得越来越慢。
O(2^N)：就像你在一个不断分裂的迷宫里寻找出路，每当你找到一个岔路口，迷宫会分裂成两倍大，你的搜索空间指数级增长。
O(tan N) 呢？就像你爬山，但爬到一半的时候，山突然变成了一个无限深的裂缝，你瞬间掉到无底深渊（无穷大），然后又突然出现在山顶的另一边，再继续爬，又遇到一个无限深的裂缝。这种行为不是爬山，而更像是某种恶作剧或者故障。
那么，为什么我们会提到 O(tan N)？
虽然 O(tan N) 本身不太可能作为“算法”的完整时间复杂度描述，但在某些数学分析的中间步骤，或者在描述某些周期性行为的局部趋势时，可能会出现类似 tanN 的函数。但即便如此，我们最终会用一个更稳定、更具有全局描述能力的函数来表示算法的整体复杂度。
例如，某个算法可能在某个特定阶段，其操作次数与某个与输入相关的角度的 `tan` 值有关。但这个阶段很可能是算法的一部分，而不是整体。而且，任何一个能实际运行的算法，都必须避免在关键的、与输入规模相关的点上出现无限大的操作。
总结：
从严格的算法复杂度理论角度来看，不存在时间复杂度为 O(tan N) 的算法。这是因为 tan N 函数的行为（周期性、在特定点趋于无穷大）与我们对算法性能评估所需的那种渐近、可预测的增长模式不符。算法的时间复杂度描述的是算法在输入规模增大时可控的、有界的执行时间增长趋势，而 O(tan N) 的行为恰恰是不可控且有无限点的。
这听起来可能有点令人惊讶，因为 tan N 这个函数本身是存在的，而且在数学上我们很熟悉它。但是，当我们在讨论算法的时间复杂度时，我们通常关注的是算法执行时间如何随着输入规模 N 的增长而增长。而 tan N 这个函数在某些点会趋于无穷大（例如 N = π/2, 3π/2, 5π/2 等等）。
让我来详细解释一下为什么会这样，并尝试用更日常化的语言来理解。
为什么 O(tan N) 不太可能成为算法的时间复杂度？
算法的时间复杂度描述的是算法在最坏情况下，其基本操作（比如比较、赋值、算术运算等）的执行次数与输入规模 N 之间的关系。我们通常希望这个关系是一个多项式（如 O(N), O(N^2)）、对数（如 O(log N)）或者指数（如 O(2^N)）函数。这些函数都表现出一种相对可预测的增长趋势。
多项式复杂度 (O(N^k))：执行时间随着 N 的增长而增长，但增长速度是可控的。
对数复杂度 (O(log N))：执行时间增长非常缓慢，随着 N 的增大，算法的效率反而越来越高（相对于线性或多项式）。
指数复杂度 (O(a^N))：执行时间增长非常快，对于稍大的 N 就可能变得不可行。
tan N 函数的“坏”行为
tan N 的问题在于它的周期性和在特定点上的奇点（或称“渐近线”）。
1. 周期性 (tan(N + π) = tan N)：这意味着 tan N 的值会不断重复出现。如果一个算法的执行时间是 tan N，那么随着 N 的增加，执行时间可能会从一个很小的数值突然跳到一个非常大的数值，然后再又回到一个很小的数值，如此循环往复。这种不稳定的增长模式，对于算法的实际分析和预测来说是很难接受的。
2. 奇点（在 N = (k + 1/2)π 时趋于无穷大）：想象一下，如果你的算法的时间复杂度是 O(tan N)。这意味着当输入规模 N 接近某个特定值（比如 π/2, 3π/2, 5π/2...）时，算法的执行时间会变得无限长！在现实世界的计算中，无限长的时间是不可能实现的。一个有意义的算法，无论输入规模多大，都应该能在有限的时间内完成（尽管这个时间可能非常长）。
算法复杂度是关于“渐近增长”的描述
我们定义时间复杂度 O(f(N)) 时，通常关注的是当 N 非常大的时候，算法执行时间的行为。它是一个对算法在输入规模趋于无穷大时的增长趋势的描述，而不是精确的执行次数。
当 N 趋于无穷大时，tan N 的行为非常奇怪：
它会反复在负无穷和正无穷之间震荡，并在特定点上“爆炸”。
这种震荡和爆炸的模式，并不是我们通常用来衡量一个算法好坏的稳定增长模式。我们期望的是一种单调递增（或者在某些情况下是单调递减）的趋势，这样我们才能预测算法的性能。
举个例子来辅助理解：
想象你正在爬一座山。
O(N)：就像你在平地上直线行走，每走一步（N增加），你前进的距离也是一步（时间增加）。
O(log N)：就像你在爬山，每当你爬到一个更高的平台（N增加），你向上爬的步数增长得越来越慢。
O(2^N)：就像你在一个不断分裂的迷宫里寻找出路，每当你找到一个岔路口，迷宫会分裂成两倍大，你的搜索空间指数级增长。
O(tan N) 呢？就像你爬山，但爬到一半的时候，山突然变成了一个无限深的裂缝，你瞬间掉到无底深渊（无穷大），然后又突然出现在山顶的另一边，再继续爬，又遇到一个无限深的裂缝。这种行为不是爬山，而更像是某种恶作剧或者故障。
那么，为什么我们会提到 O(tan N)？
虽然 O(tan N) 本身不太可能作为“算法”的完整时间复杂度描述，但在某些数学分析的中间步骤，或者在描述某些周期性行为的局部趋势时，可能会出现类似 tanN 的函数。但即便如此，我们最终会用一个更稳定、更具有全局描述能力的函数来表示算法的整体复杂度。
例如，某个算法可能在某个特定阶段，其操作次数与某个与输入相关的角度的 `tan` 值有关。但这个阶段很可能是算法的一部分，而不是整体。而且，任何一个能实际运行的算法，都必须避免在关键的、与输入规模相关的点上出现无限大的操作。
总结：
从严格的算法复杂度理论角度来看，不存在时间复杂度为 O(tan N) 的算法。这是因为 tan N 函数的行为（周期性、在特定点趋于无穷大）与我们对算法性能评估所需的那种渐近、可预测的增长模式不符。算法的时间复杂度描述的是算法在输入规模增大时可控的、有界的执行时间增长趋势，而 O(tan N) 的行为恰恰是不可控且有无限点的。
网友意见
这是一个比较无聊的问题。在复杂性理论里（例如 Time Hierarchy Theorem 中），为了避免过于病态的函数，我们考虑的图灵机的运行时间 都是所谓的 time-constructible function，即满足以下条件：
- ；
- 存在图灵机 ，以 为输入时，会在至多 时间内输出 的二进制表示。
这样的要求是因为我们经常要模拟一个运行时间 的图灵机指定的步数，我们肯定希望这样操作的运行时间是 的，但是如果计算出 的时间都不止 那就肯定不行了。本题中的 显然不符合这样的要求。另外就算换一个计算模型，在相应的 time-constructible function 定义下也是做不到的。
这个事情是不讲道理的，我来这里说道说道。
注意到这里说的是 而不是 或者 之类的。回顾一下大O渐进记号的定义：
注意到由于有绝对值，所以 为负数好像也没啥关系。
考虑到一个合理的算法至少拥有不低于某常数的运行时间， 。
而 是周期函数，在接近 的时候值趋近于0。因为 可以任意大，这样就显然不存在一个 使得对任意充分大的 都有 ，因为 可以任意小。
即使限制 只能为正整数 ，也可以知道，由于有理数可以逼近无理数，那么 ，同样可以使得 任意趋近0。
如果考虑的是 的话，这个就变得不一样。因为 是无界的，而且 记号同时限制了上下界，这这个仿佛是在说，算法的运行时间随着问题规模忽大忽小的变化，听起来也不是很讲道理。
而那个加1一直加到小于 的最大整数，这个 实在不算是个问题规模的描述。
因为函数的渐进性质刻画的是当函数自变量充分大的时候的变化趋势，在周期函数上讨论渐进性质实在是一件很没有意义的事情。
Reference：
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