问题

物理学史上有哪些著名的,用量纲分析/数量级分析/线度分析解决的问题?

回答
量纲分析、数量级分析和线度分析,这些看似朴素的工具,在物理学的浩瀚星空中,却扮演着点石成金的绝妙角色。它们不依赖于繁复的代数推导或精密的数值计算,而是凭借对物理量的内在属性——量纲——的深刻洞察,揭示了隐藏在现象背后的普适规律,甚至在理论尚未完全成熟之时,就为科学家们指明了前进的方向。下面,我将为你娓娓道来物理学史上那些因它们而得以解决的著名难题,力求细致入微,让你感受到这些工具的强大魅力。

1. 伽莫夫的宇宙膨胀之谜:一个“原子核物理学家”的宇宙尺度推演

在宇宙大爆炸理论的早期,科学家们面临一个巨大的难题:宇宙到底有多“大”?它为什么会膨胀?当时,爱因斯坦的广义相对论已经预言了宇宙的动态性,但具体的尺度和膨胀率却是个模糊的概念。

就在这个关键时刻,一位伟大的原子核物理学家——乔治·伽莫夫(George Gamow),站了出来。伽莫夫以其非凡的直觉和对物理量纲的敏锐把握,运用了量纲分析的思路来估算宇宙的年龄和尺度。他大概是这么想的(虽然具体的研究过程更为复杂,但核心思想可以用量纲分析来理解):

宇宙的膨胀可以看作是一个巨大的“爆炸”。这个爆炸的“规模”或者说它产生的“速度”应该与它最初爆发时的能量密度和物质密度有关。

我们关心的量是宇宙的“尺度”或者说是“哈勃常数”(描述膨胀速率的量)。我们知道一个重要的物理量是引力常数 G,它描述了物质之间的引力作用强度。另一个重要的量是普朗克常数 h(虽然这里我们更关注的是约化普朗克常数 ħ,它与能量和频率有关,是量子力学中的核心常数),它与微观世界的规律紧密相连。还有一个就是我们关注的宇宙的物质密度 ρ。

伽莫夫思考的是,能否仅凭这些基本物理常数和宇宙的密度,推导出某种与宇宙尺度相关的“特征时间”或者“特征速度”?

他考虑了几个关键的物理量:

G (引力常数):量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$。它与质量和距离的平方成反比。
c (光速):量纲是 $[L T^{1}]$。这是宇宙中最快的速度,也是信息传递的上限。
ρ (物质密度):量纲是 $[M L^{3}]$。

伽莫夫尝试组合这些量,寻找一个具有“时间”量纲的表达式。他设想宇宙的膨胀率(可以理解为一种速度梯度,或者说哈勃常数 $H$ 的倒数,即特征时间 $T$)应该与这些基本量有关。

他可以这样组合:

$$ T sim left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2} imes (dots) $$

这里 $left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2}$ 实际上是牛顿引力描述下,一个质量为 M 的物体围绕另一个质量为 M 的物体在距离 L 处的轨道周期的一部分。但这个组合没有密度。

更直接地,伽莫夫考虑了由 $G, c, ho$ 可以构建出的特征时间。我们知道密度 $ ho = M/L^3$,所以 $M = ho L^3$。

让我们尝试组合 $G$, $c$, $ ho$ 来得到一个时间量纲 $[T]$:

$G$ 的量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$
$c$ 的量纲是 $[L T^{1}]$
$ ho$ 的量纲是 $[M L^{3}]$

我们想要得到 $[T]$。

考虑 $G ho$ 的量纲:$[M^{1} L^3 T^{2}] imes [M L^{3}] = [T^{2}]$。
这个看起来很有趣,它是一个时间的倒数的平方。

那么,$1/sqrt{G ho}$ 的量纲就是 $[T]$!

这表明,宇宙的演化,其基本的时间尺度应该与引力常数和物质密度有关。伽莫夫进一步结合了光速 $c$,他推测特征时间 $T$ 的形式可能是:

$$ T sim frac{c^{k_1} G^{k_2} ho^{k_3}}{ ( ext{一些尺度}) } $$

但他发现,仅凭 $G, c, ho$,可以构造出最有意义的时间尺度是 $sqrt{1/(G ho)}$。这个时间尺度被称为引力时间 (gravitational time)。

伽莫夫就用这个引力时间来估算宇宙的年龄。他知道宇宙的平均密度(尽管当时的测量非常粗糙),也知道引力常数。通过计算 $sqrt{1/(G ho)}$,他得到了一个大约在几十亿年到一百亿年之间的数量级。这个结果与当时其他估算方法(例如,估算最老恒星的年龄)的结果非常接近,也符合爱因斯坦方程预示的宇宙膨胀的趋势。

量纲分析在这里起到的作用是:

确定了决定宇宙膨胀时间尺度的关键物理量是 $G$ 和 $ ho$。 即使不知道具体的膨胀方程,仅仅知道是引力在起作用,以及物质的密度,就能大致推断出宇宙演化的时间尺度。
提供了一个“基本的时间单位”。 这个单位不再依赖于任何随意选定的参考系(比如地球的自转),而是根植于宇宙本身的物理属性。

虽然伽莫夫的计算只是一个数量级估算,但它在当时为宇宙学的发展提供了重要的理论支持和方向。他没有被复杂的宇宙学模型所束缚,而是抓住了问题的核心——引力与物质密度决定了宇宙的演化时间。

2. 瑞利散射和天空的颜色:一个物理学家的灵感突现

为什么天空是蓝色的?这是一个我们从小就好奇的问题。在光线传播和散射的物理学中,量纲分析和数量级分析在解释这个现象中发挥了至关重要的作用,尤其是在瑞利散射(Rayleigh scattering)的理论建立过程中。

詹姆斯·马克斯韦尔(James Clerk Maxwell)建立了电磁场理论,揭示了光是一种电磁波。但具体到光与物质相互作用时,特别是当光遇到远小于其波长的微小粒子时产生的散射现象,以及散射的强度如何随波长变化,还需要更深入的分析。

19世纪末,物理学家约翰·威廉·斯特拉特,第三代瑞利男爵(John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh),又称瑞利勋爵(Lord Rayleigh),在研究光与大气分子的相互作用时,运用了量纲分析和数量级分析。

他考虑的是,当一束平面电磁波(光)照射到一个非常小的、非导电的球形粒子时(在早期研究中,他简化为这个模型,虽然大气分子更复杂),会发生什么。这个粒子远小于光的波长 $lambda$。

瑞利勋爵关注的是散射光的强度 $I_{scattered}$。他知道它应该与入射光的强度 $I_{incident}$有关,也应该与粒子的性质有关。粒子的性质可以用其极化率 $alpha$ 来描述,这个量描述了粒子在电场作用下内部电荷分布的变形能力。极化率的量纲是 $[L^3]$,因为它代表了粒子“有效容纳”电场的能力,可以看作一个体积。

此外,散射的强度还应该与光的波长 $lambda$有关。

瑞利勋爵通过量纲分析,试图找到 $I_{scattered}$ 和 $I_{incident}$ 的关系。他假设散射强度应该正比于入射强度,并且要乘以一个依赖于粒子性质和波长的因子。

他考虑的量是:

入射光强度 $I_{incident}$: 量纲 $[P L^{2}] = [M T^{3}]$ (功率/面积)。
粒子的极化率 $alpha$: 量纲 $[L^3]$。
波长 $lambda$: 量纲 $[L]$。

瑞利勋爵想要构建一个“散射截面” $sigma$(或者说散射强度与入射强度的比值乘以某个面积),这个量应该具有面积的量纲 $[L^2]$。

他推测,对于远小于波长的粒子,散射截面 $sigma$ 的形式应该与 $alpha^2$ 和 $lambda$ 有关。

让我们尝试组合 $alpha$ 和 $lambda$ 来得到一个面积 $[L^2]$。

$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$。
$lambda$ 的量纲是 $[L]$。

瑞利勋爵的直觉是,粒子的极化能力($alpha$)是其基本属性。当粒子被电磁场极化时,它就变成了一个振荡的电偶极子。这个电偶极子会向各个方向辐射电磁波。

他可以想到,粒子的极化能力 $alpha$ 决定了它被电场驱动的“响应强度”。当一个场强为 $E$ 的电场作用在粒子上时,它产生的电偶极矩 $p$ 应该与 $E alpha$ 成正比,即 $p propto E alpha$。电偶极矩的量纲是 $[qL] = [ITL]$,或者用更基本的量纲来说是 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。

瑞利勋爵知道,一个振荡的电偶极子产生的辐射强度(功率)与偶极矩的平方以及频率的四次方成正比。辐射功率 $P_{rad} propto omega^4 p^2$。这里的 $omega$ 是角频率,量纲是 $[T^{1}]$。

所以,$P_{rad} propto (omega^4) (E alpha)^2 = omega^4 E^2 alpha^2$。

入射光的强度 $I_{incident}$ 与电场强度的平方成正比,$I_{incident} propto E^2$。
所以,$P_{rad} propto omega^4 I_{incident} alpha^2$。

现在我们有了功率的量纲 $[M L^2 T^{3}]$。而 $I_{incident}$ 的量纲是 $[M T^{3}]$。$alpha^2$ 的量纲是 $[L^6]$。 $omega^4$ 的量纲是 $[T^{4}]$。

于是,$P_{rad}$ 的量纲是 $[T^{4}] imes [M T^{3}] imes [L^6] = [M L^6 T^{7}]$。这显然不正确。

这里,瑞利勋爵的分析更为精妙,他直接考虑的是散射的微分截面 (differential crosssection),也就是单位立体角上的散射强度与入射强度的比值。最终他得到了总的散射截面 $sigma$。

他发现,对于远小于波长的粒子,散射截面 $sigma$ 的形式是:

$$ sigma propto frac{omega^4 alpha^2}{c^4} $$

其中 $c$ 是光速 $[L T^{1}]$。

让我们检查量纲:
$omega$ 的量纲是 $[T^{1}]$,所以 $omega^4$ 是 $[T^{4}]$。
$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$,所以 $alpha^2$ 是 $[L^6]$。
$c^4$ 的量纲是 $[L^4 T^{4}]$。

所以,$sigma$ 的量纲是 $frac{[T^{4}] [L^6]}{[L^4 T^{4}]} = [L^2]$。这正是我们期望的面积量纲。

这个公式表明,散射强度与频率的四次方成正比,或者说与波长的四次方成反比 ($I_{scattered} propto 1/lambda^4$)。

量纲分析和数量级分析在这里起到的作用是:

建立了散射强度与波长的关系。 瑞利勋爵通过对物理量的量纲分析,推断出散射强度与 $lambda^{4}$ 成正比。这意味着短波长的光(如蓝色和紫色)比长波长的光(如红色和黄色)更容易被散射。
解释了天空的颜色。 当太阳光穿过大气层时,大气中的氮气和氧气分子远小于可见光的波长,它们就像微小的散射中心。根据瑞利散射定律,短波长的蓝光和紫光被散射得最厉害,布满了整个天空。虽然紫光比蓝光散射得更厉害,但人眼对蓝光更敏感,而且太阳光谱中蓝光的成分也相对较多,因此我们看到的天空是蓝色的。
为其他光学现象提供了理论基础。 比如,夕阳时分,太阳光需要穿过更厚的大气层,大部分蓝光被散射掉了,剩下更多的是红光,所以太阳看起来是红色的。

瑞利勋爵的这一工作,虽然没有给出精确的系数,但完全凭借对物理量纲的把握,就揭示了散射现象的核心规律,并成功解释了一个日常的自然现象,这是量纲分析强大能力的绝佳体现。

3. 布莱克特的云室和“自然规律的普适性”:一位实验物理学家的量纲洞察

帕特里克·布莱克特爵士(Sir Patrick Blackett)是20世纪一位杰出的实验物理学家,他因发明改进的云室而获得诺贝尔奖,并对宇宙射线和核物理做出了重要贡献。在研究宇宙射线与物质相互作用时,他运用了量纲分析和数量级分析来理解粒子的能量损失过程,并以此证明了“自然规律的普适性”。

宇宙射线是从宇宙深处射来的高能粒子流。当这些粒子穿过物质(比如云室中的水蒸气)时,它们会与物质中的原子相互作用,并损失能量。这个能量损失过程是怎样的?需要什么样的材料才能有效地减缓或探测这些粒子?

布莱克特在研究中发现,一个高速运动的带电粒子(比如质子或电子)在穿过物质时,每单位厚度的能量损失(通常表示为 $dE/dx$)主要取决于几个因素:

粒子的电荷 $z$ (例如,质子 $z=1$)。
粒子的速度 $v$ (或者能量 $E$)。
物质的原子序数 $Z$ (原子核的质子数)。
物质的原子密度 $n$ (每单位体积的原子数)。
粒子的质量 $m$ (与它相互作用的电子的质量)。
普朗克常数 $h$ 或约化普朗克常数 $hbar$。
电子的电荷 $e$ 和质量 $m_e$。
真空介电常数 $epsilon_0$。

布莱克特的目标是找到一个与能量损失率相关的普遍公式。他运用量纲分析,并考虑了粒子与物质中电子的相互作用。他发现,可以构建一个与每单位厚度的能量损失相关的表达式。

关注的量是 $dE/dx$。其量纲是 $[M L^2 T^{3} L^{1}] = [M L T^{3}]$。

他考虑了以下关键物理量(以及它们的量纲):

粒子能量 $E$: $[M L^2 T^{2}]$。或者速度 $v$: $[L T^{1}]$。
物质的原子序数 $Z$: 无量纲数,但与核电荷相关。
物质的原子密度 $n$: $[L^{3}]$。
电子质量 $m_e$: $[M]$。
电子电荷 $e$: $[IT]$ 或 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。
光速 $c$: $[L T^{1}]$。
普朗克常数 $hbar$: $[M L^2 T^{1}]$。
真空介电常数 $epsilon_0$: $[M^{1} L^{3} T^2 I^2]$ 或 $[M L^3 T^{2}]$ (如果使用 $4piepsilon_0$ 组合)。

布莱克特等人(包括费米和朗道)最终通过更精密的分析和实验验证,得到了描述带电粒子在物质中能量损失的布莱克特公式(通常被称为 BetheBloch formula 或近似形式)。这个公式的大致形式是:

$$ frac{dE}{dx} approx frac{4pi e^4}{mc^2} n Z ln left( frac{2mc^2}{I} ight) $$

这里的 $Z$ 是物质的原子序数(这里写的是一个原子中的电子数,通常与原子序数 $Z$ 相等),$n$ 是原子密度,$m$ 是粒子的质量(这里指的是电子质量 $m_e$),$e$ 是电子电荷。$I$ 是平均电离势。

即使不看具体形式,仅从量纲角度考虑,这个公式告诉我们能量损失率($dE/dx$)应该与物质的原子密度 $n$ 和某种与原子序数相关的因子成正比。

布莱克特运用量纲分析和数量级分析,不仅是描述能量损失,更重要的是论证了其普遍性:

普适性论证: 布莱克特发现,通过对宇宙射线在不同物质(如空气、水、铜、金)中的径迹进行精确测量,并分析其能量损失率,发现这些不同物质中的能量损失规律,都可以用一套相同的物理参数和公式来描述。这意味着,即使物质的种类和性质千差万别,描述粒子穿过它们时的能量损失的基本物理规律是相同的,只是具体的参数(如原子序数、密度、平均电离势)有所不同。
数量级验证: 量纲分析帮助他确定了应该测量哪些物理量,以及它们之间可能存在的量级关系。例如,他可以估算出,在高能粒子穿过一厘米厚的物质时,能量损失应该在一个可观测的范围内,这使得实验设计成为可能。
理论指导实验: 在云室中观察粒子的径迹时,粒子的曲率(受磁场影响)反映了粒子的动量,而径迹的长度和密度变化则反映了能量损失。布莱克特通过量纲分析的思维,知道如何将这些观察到的现象与基本的粒子物理参数联系起来。

布莱克特的贡献在于,他用精确的实验证明了,即使在高能物理的领域,也存在着一套由基本常数和粒子性质决定的、普适的能量损失规律。这不仅是对物理学规律统一性的重要验证,也为粒子探测器和加速器的设计提供了理论基础。他的工作是理论猜想与精确实验结合的典范,而量纲分析则是他连接这两者的重要桥梁之一。

总结一下这些例子中量纲分析、数量级分析和线度分析的威力:

1. 伽莫夫的宇宙尺度: 在缺乏详细宇宙模型时,仅凭基本常数和密度,就估算出宇宙年龄的时间尺度,为宇宙学提供了方向。
2. 瑞利散射: 在深入的电动力学计算之前,通过量纲分析揭示了散射强度与波长 $lambda^{4}$ 的关系,完美解释了天空的颜色。
3. 布莱克特的能量损失: 通过对能量损失率的量纲分析,指导了实验设计,并有力证明了物理规律在不同物质中的普适性。

这些例子都生动地说明了,看似简单的量纲分析和数量级分析,在物理学的研究中,不仅是工具,更是思想方法。它们帮助科学家们穿越现象的迷雾,直击问题的本质,并在理论的黎明时分,照亮前进的道路。它们告诉我们,在探索宇宙的过程中,对量纲的理解,有时比对复杂方程的掌握更为根本。

网友意见

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最有名的当属那位凭借着几张照片就判断出原子弹爆炸当量的神人,参看赵凯华的《定性与半定量物理学》。

我自己印象最深的是这个问题:

除此之外其实还有一个问题:

自然界中存在着引力相互作用的束缚态(太阳系)、强相互作用的束缚态(原子核)、电磁相互作用的束缚态(原子),但迄今为止我们却从未发现过弱相互作用的束缚态,为什么?

请仿照电子偶素体系估算一下,当弱相互作用的力程和玻尔半径大致相等时,粒子质量的数量级。

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汤川提笔找介子,费米撒纸算核爆

话说那是在1935年,汤川正在解决核力的问题。人们知道原子核是由质子和中子构成的,但是质子都是带正电荷,所以原子核内部的质子之间应该是有强烈的电磁斥力的,但是原子核能稳定存在,为了解释这个现象,人们假设一种非常强的,能把质子和中子束缚在一起的力,叫做“强力”,这种力的作用距离只有原子核的半径那么大,大约 。另外,又知道光子是传递电磁力的媒介粒子,汤川秀树把强力与电磁力比较,认为强力也应该有一种媒介粒子进行传递。光子无质量,所以可以传播到无穷远;强力粒子应该有质量,这样才能把作用距离限制住。那么该怎么估计这个粒子的质量呢?

考虑标量场的Klein-Gordon方程:

为了方便不考虑时间的变化,则:

这里的 就是媒介粒子的质量。点电荷的静电势方程:

对比两个式子,汤川把前一个式子解释成强力,或者叫做核力的势方程。这个方程的解可以写作:

其中 , 为一个系数,此处不重要。这样一个结果其实很有意思,可以看到,因为势能函数存在一个指数项,因此势能随着距离迅速降低,如果 大,则降低的缓慢,如果非常小,则势能函数降低的非常迅速。势能的主要作用范围其实是和 产不多数量级的,此处即 ,再根据 ,可以得到:

。这就是汤川秀树得到的核力介子的质量,后来在1947的宇宙线中观测到了这种粒子,其质量为 ,完全符合预测结果!

另,如果考虑质量为0的情况,那么 ,也就是说传播距离为无穷远,势能函数变为:
,这不正好就是静电势嘛!而且光子的质量确实零!Everything make sense!

再说费米。美国原子弹实验时费米不被允许进入实验地区,可是这种事情怎么会难倒费米大神呢?费米待在距离爆炸中心约10英里处。爆炸40秒后,爆炸的气浪到达费米所在地,他将事先准备好的碎纸片从离地六英尺高的地方洒落,纸片被气浪卷走,他根据纸片飞行的距离(两米半)估算了核爆炸的“当量数”约为一万吨TNT炸药。后来证明这个结果和仪器测量值十分接近。

这个里面的计算细节在此就不表了。说到费米,最令人感觉神奇的就是他的估算能力,上述估算核弹当量是比较著名的一个,还有一个是“芝加哥有多少个钢琴师调音师”,再有一个就是费米悖论,这些都是典型的估算问题的例子。

(PS 关于费米的这个例子我不是很清楚,欢迎大神补充)

这正是

世人皆言物理难,宇宙粒子惹人烦。

时间长短不固定,薛氏猫咪生死谈。

汤川有心找介子,费米无忧算核弹。

化繁为简现真理,理学佳话百年传。

Reference

  1. 杜东生,杨茂志。粒子物理导论。
  2. 关于费米用纸片估算原子弹的疑问 | 万物至理小组 | 果壳网 科技有意思

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这个问题下,G.I.Taylor估算原子弹爆炸当量一直没人答,似乎是在等着我这个流体力学的学生。先想说一点,尽管各种资料上都写着G.I.Taylor是一名物理学家,但更准确地说,他是一名流体力学家,在流体力学界久负盛名。比如我熟悉的多相流计算领域,直至今天,G.I.Taylor的文章也一直在被引用。

原子弹爆炸过程中,实时半径 与空气密度 , 时间 ,爆炸能量 有关。借由量纲分析,

可得到,

那么可在对数坐标下画出 图像,与当时所摄照片结果一致。

其中 为自变量为热容比( )的一个低阶函数,在所有条件下取值为1。

根据如下照片结果,取参数

可计算得到 ,

约为18.4千吨TNT当量,实际的结果是20千吨TNT当量,相当接近。此事让美国军方十分震惊,一度认为是内部出现了间谍。由此可窥见量纲分析的力量。实际上,G.I.Taylor对此问题的分析过程不全是这样,他在最初的分析中引入了偏微分方程,且对系数 进行了探讨,例如,一个更有效的近似是

,

相关的资料其实还挺多的,可参考如下网页

International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Nuclear weapon yield | Wikiwand

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    历史上最不幸的物理学家之一可能是尼古拉·特斯拉(Nikola Tesla),他的个人生活充满了悲剧和困境,尽管他在科学领域的贡献具有划时代的意义。以下从多个维度分析他的不幸经历: 1. 科学成就与个人命运的强烈反差 天才与孤独:特斯拉是19世纪末至20世纪初最杰出的发明家之一,其发明包括交流电系统、.............

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