物理学史上有哪些著名的，用量纲分析/数量级分析/线度分析解决的问题？
量纲分析、数量级分析和线度分析，这些看似朴素的工具，在物理学的浩瀚星空中，却扮演着点石成金的绝妙角色。它们不依赖于繁复的代数推导或精密的数值计算，而是凭借对物理量的内在属性——量纲——的深刻洞察，揭示了隐藏在现象背后的普适规律，甚至在理论尚未完全成熟之时，就为科学家们指明了前进的方向。下面，我将为你娓娓道来物理学史上那些因它们而得以解决的著名难题，力求细致入微，让你感受到这些工具的强大魅力。
1. 伽莫夫的宇宙膨胀之谜：一个“原子核物理学家”的宇宙尺度推演
在宇宙大爆炸理论的早期，科学家们面临一个巨大的难题：宇宙到底有多“大”？它为什么会膨胀？当时，爱因斯坦的广义相对论已经预言了宇宙的动态性，但具体的尺度和膨胀率却是个模糊的概念。
就在这个关键时刻，一位伟大的原子核物理学家——乔治·伽莫夫（George Gamow），站了出来。伽莫夫以其非凡的直觉和对物理量纲的敏锐把握，运用了量纲分析的思路来估算宇宙的年龄和尺度。他大概是这么想的（虽然具体的研究过程更为复杂，但核心思想可以用量纲分析来理解）：
宇宙的膨胀可以看作是一个巨大的“爆炸”。这个爆炸的“规模”或者说它产生的“速度”应该与它最初爆发时的能量密度和物质密度有关。
我们关心的量是宇宙的“尺度”或者说是“哈勃常数”（描述膨胀速率的量）。我们知道一个重要的物理量是引力常数 G，它描述了物质之间的引力作用强度。另一个重要的量是普朗克常数 h（虽然这里我们更关注的是约化普朗克常数 ħ，它与能量和频率有关，是量子力学中的核心常数），它与微观世界的规律紧密相连。还有一个就是我们关注的宇宙的物质密度 ρ。
伽莫夫思考的是，能否仅凭这些基本物理常数和宇宙的密度，推导出某种与宇宙尺度相关的“特征时间”或者“特征速度”？
他考虑了几个关键的物理量：
G (引力常数)：量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$。它与质量和距离的平方成反比。
c (光速)：量纲是 $[L T^{1}]$。这是宇宙中最快的速度，也是信息传递的上限。
ρ (物质密度)：量纲是 $[M L^{3}]$。
伽莫夫尝试组合这些量，寻找一个具有“时间”量纲的表达式。他设想宇宙的膨胀率（可以理解为一种速度梯度，或者说哈勃常数 $H$ 的倒数，即特征时间 $T$）应该与这些基本量有关。
他可以这样组合：
$$ T sim left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2} imes (dots) $$
这里 $left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2}$ 实际上是牛顿引力描述下，一个质量为 M 的物体围绕另一个质量为 M 的物体在距离 L 处的轨道周期的一部分。但这个组合没有密度。
更直接地，伽莫夫考虑了由 $G, c, ho$ 可以构建出的特征时间。我们知道密度 $ ho = M/L^3$，所以 $M = ho L^3$。
让我们尝试组合 $G$, $c$, $ ho$ 来得到一个时间量纲 $[T]$：
$G$ 的量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$
$c$ 的量纲是 $[L T^{1}]$
$ ho$ 的量纲是 $[M L^{3}]$
我们想要得到 $[T]$。
考虑 $G ho$ 的量纲：$[M^{1} L^3 T^{2}] imes [M L^{3}] = [T^{2}]$。
这个看起来很有趣，它是一个时间的倒数的平方。
那么，$1/sqrt{G ho}$ 的量纲就是 $[T]$！
这表明，宇宙的演化，其基本的时间尺度应该与引力常数和物质密度有关。伽莫夫进一步结合了光速 $c$，他推测特征时间 $T$ 的形式可能是：
$$ T sim frac{c^{k_1} G^{k_2} ho^{k_3}}{ ( ext{一些尺度}) } $$
但他发现，仅凭 $G, c, ho$，可以构造出最有意义的时间尺度是 $sqrt{1/(G ho)}$。这个时间尺度被称为引力时间 (gravitational time)。
伽莫夫就用这个引力时间来估算宇宙的年龄。他知道宇宙的平均密度（尽管当时的测量非常粗糙），也知道引力常数。通过计算 $sqrt{1/(G ho)}$，他得到了一个大约在几十亿年到一百亿年之间的数量级。这个结果与当时其他估算方法（例如，估算最老恒星的年龄）的结果非常接近，也符合爱因斯坦方程预示的宇宙膨胀的趋势。
量纲分析在这里起到的作用是：
确定了决定宇宙膨胀时间尺度的关键物理量是 $G$ 和 $ ho$。 即使不知道具体的膨胀方程，仅仅知道是引力在起作用，以及物质的密度，就能大致推断出宇宙演化的时间尺度。
提供了一个“基本的时间单位”。 这个单位不再依赖于任何随意选定的参考系（比如地球的自转），而是根植于宇宙本身的物理属性。
虽然伽莫夫的计算只是一个数量级估算，但它在当时为宇宙学的发展提供了重要的理论支持和方向。他没有被复杂的宇宙学模型所束缚，而是抓住了问题的核心——引力与物质密度决定了宇宙的演化时间。
2. 瑞利散射和天空的颜色：一个物理学家的灵感突现
为什么天空是蓝色的？这是一个我们从小就好奇的问题。在光线传播和散射的物理学中，量纲分析和数量级分析在解释这个现象中发挥了至关重要的作用，尤其是在瑞利散射（Rayleigh scattering）的理论建立过程中。
詹姆斯·马克斯韦尔（James Clerk Maxwell）建立了电磁场理论，揭示了光是一种电磁波。但具体到光与物质相互作用时，特别是当光遇到远小于其波长的微小粒子时产生的散射现象，以及散射的强度如何随波长变化，还需要更深入的分析。
19世纪末，物理学家约翰·威廉·斯特拉特，第三代瑞利男爵（John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh），又称瑞利勋爵（Lord Rayleigh），在研究光与大气分子的相互作用时，运用了量纲分析和数量级分析。
他考虑的是，当一束平面电磁波（光）照射到一个非常小的、非导电的球形粒子时（在早期研究中，他简化为这个模型，虽然大气分子更复杂），会发生什么。这个粒子远小于光的波长 $lambda$。
瑞利勋爵关注的是散射光的强度 $I_{scattered}$。他知道它应该与入射光的强度 $I_{incident}$有关，也应该与粒子的性质有关。粒子的性质可以用其极化率 $alpha$ 来描述，这个量描述了粒子在电场作用下内部电荷分布的变形能力。极化率的量纲是 $[L^3]$，因为它代表了粒子“有效容纳”电场的能力，可以看作一个体积。
此外，散射的强度还应该与光的波长 $lambda$有关。
瑞利勋爵通过量纲分析，试图找到 $I_{scattered}$ 和 $I_{incident}$ 的关系。他假设散射强度应该正比于入射强度，并且要乘以一个依赖于粒子性质和波长的因子。
他考虑的量是：
入射光强度 $I_{incident}$: 量纲 $[P L^{2}] = [M T^{3}]$ （功率/面积）。
粒子的极化率 $alpha$: 量纲 $[L^3]$。
波长 $lambda$: 量纲 $[L]$。
瑞利勋爵想要构建一个“散射截面” $sigma$（或者说散射强度与入射强度的比值乘以某个面积），这个量应该具有面积的量纲 $[L^2]$。
他推测，对于远小于波长的粒子，散射截面 $sigma$ 的形式应该与 $alpha^2$ 和 $lambda$ 有关。
让我们尝试组合 $alpha$ 和 $lambda$ 来得到一个面积 $[L^2]$。
$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$。
$lambda$ 的量纲是 $[L]$。
瑞利勋爵的直觉是，粒子的极化能力（$alpha$）是其基本属性。当粒子被电磁场极化时，它就变成了一个振荡的电偶极子。这个电偶极子会向各个方向辐射电磁波。
他可以想到，粒子的极化能力 $alpha$ 决定了它被电场驱动的“响应强度”。当一个场强为 $E$ 的电场作用在粒子上时，它产生的电偶极矩 $p$ 应该与 $E alpha$ 成正比，即 $p propto E alpha$。电偶极矩的量纲是 $[qL] = [ITL]$，或者用更基本的量纲来说是 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。
瑞利勋爵知道，一个振荡的电偶极子产生的辐射强度（功率）与偶极矩的平方以及频率的四次方成正比。辐射功率 $P_{rad} propto omega^4 p^2$。这里的 $omega$ 是角频率，量纲是 $[T^{1}]$。
所以，$P_{rad} propto (omega^4) (E alpha)^2 = omega^4 E^2 alpha^2$。
入射光的强度 $I_{incident}$ 与电场强度的平方成正比，$I_{incident} propto E^2$。
所以，$P_{rad} propto omega^4 I_{incident} alpha^2$。
现在我们有了功率的量纲 $[M L^2 T^{3}]$。而 $I_{incident}$ 的量纲是 $[M T^{3}]$。$alpha^2$ 的量纲是 $[L^6]$。 $omega^4$ 的量纲是 $[T^{4}]$。
于是，$P_{rad}$ 的量纲是 $[T^{4}] imes [M T^{3}] imes [L^6] = [M L^6 T^{7}]$。这显然不正确。
这里，瑞利勋爵的分析更为精妙，他直接考虑的是散射的微分截面 (differential crosssection)，也就是单位立体角上的散射强度与入射强度的比值。最终他得到了总的散射截面 $sigma$。
他发现，对于远小于波长的粒子，散射截面 $sigma$ 的形式是：
$$ sigma propto frac{omega^4 alpha^2}{c^4} $$
其中 $c$ 是光速 $[L T^{1}]$。
让我们检查量纲：
$omega$ 的量纲是 $[T^{1}]$，所以 $omega^4$ 是 $[T^{4}]$。
$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$，所以 $alpha^2$ 是 $[L^6]$。
$c^4$ 的量纲是 $[L^4 T^{4}]$。
所以，$sigma$ 的量纲是 $frac{[T^{4}] [L^6]}{[L^4 T^{4}]} = [L^2]$。这正是我们期望的面积量纲。
这个公式表明，散射强度与频率的四次方成正比，或者说与波长的四次方成反比 ($I_{scattered} propto 1/lambda^4$)。
量纲分析和数量级分析在这里起到的作用是：
建立了散射强度与波长的关系。 瑞利勋爵通过对物理量的量纲分析，推断出散射强度与 $lambda^{4}$ 成正比。这意味着短波长的光（如蓝色和紫色）比长波长的光（如红色和黄色）更容易被散射。
解释了天空的颜色。 当太阳光穿过大气层时，大气中的氮气和氧气分子远小于可见光的波长，它们就像微小的散射中心。根据瑞利散射定律，短波长的蓝光和紫光被散射得最厉害，布满了整个天空。虽然紫光比蓝光散射得更厉害，但人眼对蓝光更敏感，而且太阳光谱中蓝光的成分也相对较多，因此我们看到的天空是蓝色的。
为其他光学现象提供了理论基础。 比如，夕阳时分，太阳光需要穿过更厚的大气层，大部分蓝光被散射掉了，剩下更多的是红光，所以太阳看起来是红色的。
瑞利勋爵的这一工作，虽然没有给出精确的系数，但完全凭借对物理量纲的把握，就揭示了散射现象的核心规律，并成功解释了一个日常的自然现象，这是量纲分析强大能力的绝佳体现。
3. 布莱克特的云室和“自然规律的普适性”：一位实验物理学家的量纲洞察
帕特里克·布莱克特爵士（Sir Patrick Blackett）是20世纪一位杰出的实验物理学家，他因发明改进的云室而获得诺贝尔奖，并对宇宙射线和核物理做出了重要贡献。在研究宇宙射线与物质相互作用时，他运用了量纲分析和数量级分析来理解粒子的能量损失过程，并以此证明了“自然规律的普适性”。
宇宙射线是从宇宙深处射来的高能粒子流。当这些粒子穿过物质（比如云室中的水蒸气）时，它们会与物质中的原子相互作用，并损失能量。这个能量损失过程是怎样的？需要什么样的材料才能有效地减缓或探测这些粒子？
布莱克特在研究中发现，一个高速运动的带电粒子（比如质子或电子）在穿过物质时，每单位厚度的能量损失（通常表示为 $dE/dx$）主要取决于几个因素：
粒子的电荷 $z$ (例如，质子 $z=1$)。
粒子的速度 $v$ (或者能量 $E$)。
物质的原子序数 $Z$ (原子核的质子数)。
物质的原子密度 $n$ (每单位体积的原子数)。
粒子的质量 $m$ (与它相互作用的电子的质量)。
普朗克常数 $h$ 或约化普朗克常数 $hbar$。
电子的电荷 $e$ 和质量 $m_e$。
真空介电常数 $epsilon_0$。
布莱克特的目标是找到一个与能量损失率相关的普遍公式。他运用量纲分析，并考虑了粒子与物质中电子的相互作用。他发现，可以构建一个与每单位厚度的能量损失相关的表达式。
关注的量是 $dE/dx$。其量纲是 $[M L^2 T^{3} L^{1}] = [M L T^{3}]$。
他考虑了以下关键物理量（以及它们的量纲）：
粒子能量 $E$: $[M L^2 T^{2}]$。或者速度 $v$: $[L T^{1}]$。
物质的原子序数 $Z$: 无量纲数，但与核电荷相关。
物质的原子密度 $n$: $[L^{3}]$。
电子质量 $m_e$: $[M]$。
电子电荷 $e$: $[IT]$ 或 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。
光速 $c$: $[L T^{1}]$。
普朗克常数 $hbar$: $[M L^2 T^{1}]$。
真空介电常数 $epsilon_0$: $[M^{1} L^{3} T^2 I^2]$ 或 $[M L^3 T^{2}]$ (如果使用 $4piepsilon_0$ 组合)。
布莱克特等人（包括费米和朗道）最终通过更精密的分析和实验验证，得到了描述带电粒子在物质中能量损失的布莱克特公式（通常被称为 BetheBloch formula 或近似形式）。这个公式的大致形式是：
$$ frac{dE}{dx} approx frac{4pi e^4}{mc^2} n Z ln left( frac{2mc^2}{I} ight) $$
这里的 $Z$ 是物质的原子序数（这里写的是一个原子中的电子数，通常与原子序数 $Z$ 相等），$n$ 是原子密度，$m$ 是粒子的质量（这里指的是电子质量 $m_e$），$e$ 是电子电荷。$I$ 是平均电离势。
即使不看具体形式，仅从量纲角度考虑，这个公式告诉我们能量损失率（$dE/dx$）应该与物质的原子密度 $n$ 和某种与原子序数相关的因子成正比。
布莱克特运用量纲分析和数量级分析，不仅是描述能量损失，更重要的是论证了其普遍性：
普适性论证： 布莱克特发现，通过对宇宙射线在不同物质（如空气、水、铜、金）中的径迹进行精确测量，并分析其能量损失率，发现这些不同物质中的能量损失规律，都可以用一套相同的物理参数和公式来描述。这意味着，即使物质的种类和性质千差万别，描述粒子穿过它们时的能量损失的基本物理规律是相同的，只是具体的参数（如原子序数、密度、平均电离势）有所不同。
数量级验证： 量纲分析帮助他确定了应该测量哪些物理量，以及它们之间可能存在的量级关系。例如，他可以估算出，在高能粒子穿过一厘米厚的物质时，能量损失应该在一个可观测的范围内，这使得实验设计成为可能。
理论指导实验： 在云室中观察粒子的径迹时，粒子的曲率（受磁场影响）反映了粒子的动量，而径迹的长度和密度变化则反映了能量损失。布莱克特通过量纲分析的思维，知道如何将这些观察到的现象与基本的粒子物理参数联系起来。
布莱克特的贡献在于，他用精确的实验证明了，即使在高能物理的领域，也存在着一套由基本常数和粒子性质决定的、普适的能量损失规律。这不仅是对物理学规律统一性的重要验证，也为粒子探测器和加速器的设计提供了理论基础。他的工作是理论猜想与精确实验结合的典范，而量纲分析则是他连接这两者的重要桥梁之一。
总结一下这些例子中量纲分析、数量级分析和线度分析的威力：
1. 伽莫夫的宇宙尺度： 在缺乏详细宇宙模型时，仅凭基本常数和密度，就估算出宇宙年龄的时间尺度，为宇宙学提供了方向。
2. 瑞利散射： 在深入的电动力学计算之前，通过量纲分析揭示了散射强度与波长 $lambda^{4}$ 的关系，完美解释了天空的颜色。
3. 布莱克特的能量损失： 通过对能量损失率的量纲分析，指导了实验设计，并有力证明了物理规律在不同物质中的普适性。
这些例子都生动地说明了，看似简单的量纲分析和数量级分析，在物理学的研究中，不仅是工具，更是思想方法。它们帮助科学家们穿越现象的迷雾，直击问题的本质，并在理论的黎明时分，照亮前进的道路。它们告诉我们，在探索宇宙的过程中，对量纲的理解，有时比对复杂方程的掌握更为根本。
1. 伽莫夫的宇宙膨胀之谜：一个“原子核物理学家”的宇宙尺度推演
在宇宙大爆炸理论的早期，科学家们面临一个巨大的难题：宇宙到底有多“大”？它为什么会膨胀？当时，爱因斯坦的广义相对论已经预言了宇宙的动态性，但具体的尺度和膨胀率却是个模糊的概念。
就在这个关键时刻，一位伟大的原子核物理学家——乔治·伽莫夫（George Gamow），站了出来。伽莫夫以其非凡的直觉和对物理量纲的敏锐把握，运用了量纲分析的思路来估算宇宙的年龄和尺度。他大概是这么想的（虽然具体的研究过程更为复杂，但核心思想可以用量纲分析来理解）：
宇宙的膨胀可以看作是一个巨大的“爆炸”。这个爆炸的“规模”或者说它产生的“速度”应该与它最初爆发时的能量密度和物质密度有关。
我们关心的量是宇宙的“尺度”或者说是“哈勃常数”（描述膨胀速率的量）。我们知道一个重要的物理量是引力常数 G，它描述了物质之间的引力作用强度。另一个重要的量是普朗克常数 h（虽然这里我们更关注的是约化普朗克常数 ħ，它与能量和频率有关，是量子力学中的核心常数），它与微观世界的规律紧密相连。还有一个就是我们关注的宇宙的物质密度 ρ。
伽莫夫思考的是，能否仅凭这些基本物理常数和宇宙的密度，推导出某种与宇宙尺度相关的“特征时间”或者“特征速度”？
他考虑了几个关键的物理量：
G (引力常数)：量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$。它与质量和距离的平方成反比。
c (光速)：量纲是 $[L T^{1}]$。这是宇宙中最快的速度，也是信息传递的上限。
ρ (物质密度)：量纲是 $[M L^{3}]$。
伽莫夫尝试组合这些量，寻找一个具有“时间”量纲的表达式。他设想宇宙的膨胀率（可以理解为一种速度梯度，或者说哈勃常数 $H$ 的倒数，即特征时间 $T$）应该与这些基本量有关。
他可以这样组合：
$$ T sim left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2} imes (dots) $$
这里 $left( frac{L^3}{GM} ight)^{1/2}$ 实际上是牛顿引力描述下，一个质量为 M 的物体围绕另一个质量为 M 的物体在距离 L 处的轨道周期的一部分。但这个组合没有密度。
更直接地，伽莫夫考虑了由 $G, c, ho$ 可以构建出的特征时间。我们知道密度 $ ho = M/L^3$，所以 $M = ho L^3$。
让我们尝试组合 $G$, $c$, $ ho$ 来得到一个时间量纲 $[T]$：
$G$ 的量纲是 $[M^{1} L^3 T^{2}]$
$c$ 的量纲是 $[L T^{1}]$
$ ho$ 的量纲是 $[M L^{3}]$
我们想要得到 $[T]$。
考虑 $G ho$ 的量纲：$[M^{1} L^3 T^{2}] imes [M L^{3}] = [T^{2}]$。
这个看起来很有趣，它是一个时间的倒数的平方。
那么，$1/sqrt{G ho}$ 的量纲就是 $[T]$！
这表明，宇宙的演化，其基本的时间尺度应该与引力常数和物质密度有关。伽莫夫进一步结合了光速 $c$，他推测特征时间 $T$ 的形式可能是：
$$ T sim frac{c^{k_1} G^{k_2} ho^{k_3}}{ ( ext{一些尺度}) } $$
但他发现，仅凭 $G, c, ho$，可以构造出最有意义的时间尺度是 $sqrt{1/(G ho)}$。这个时间尺度被称为引力时间 (gravitational time)。
伽莫夫就用这个引力时间来估算宇宙的年龄。他知道宇宙的平均密度（尽管当时的测量非常粗糙），也知道引力常数。通过计算 $sqrt{1/(G ho)}$，他得到了一个大约在几十亿年到一百亿年之间的数量级。这个结果与当时其他估算方法（例如，估算最老恒星的年龄）的结果非常接近，也符合爱因斯坦方程预示的宇宙膨胀的趋势。
量纲分析在这里起到的作用是：
确定了决定宇宙膨胀时间尺度的关键物理量是 $G$ 和 $ ho$。 即使不知道具体的膨胀方程，仅仅知道是引力在起作用，以及物质的密度，就能大致推断出宇宙演化的时间尺度。
提供了一个“基本的时间单位”。 这个单位不再依赖于任何随意选定的参考系（比如地球的自转），而是根植于宇宙本身的物理属性。
虽然伽莫夫的计算只是一个数量级估算，但它在当时为宇宙学的发展提供了重要的理论支持和方向。他没有被复杂的宇宙学模型所束缚，而是抓住了问题的核心——引力与物质密度决定了宇宙的演化时间。
2. 瑞利散射和天空的颜色：一个物理学家的灵感突现
为什么天空是蓝色的？这是一个我们从小就好奇的问题。在光线传播和散射的物理学中，量纲分析和数量级分析在解释这个现象中发挥了至关重要的作用，尤其是在瑞利散射（Rayleigh scattering）的理论建立过程中。
詹姆斯·马克斯韦尔（James Clerk Maxwell）建立了电磁场理论，揭示了光是一种电磁波。但具体到光与物质相互作用时，特别是当光遇到远小于其波长的微小粒子时产生的散射现象，以及散射的强度如何随波长变化，还需要更深入的分析。
19世纪末，物理学家约翰·威廉·斯特拉特，第三代瑞利男爵（John William Strutt, 3rd Baron Rayleigh），又称瑞利勋爵（Lord Rayleigh），在研究光与大气分子的相互作用时，运用了量纲分析和数量级分析。
他考虑的是，当一束平面电磁波（光）照射到一个非常小的、非导电的球形粒子时（在早期研究中，他简化为这个模型，虽然大气分子更复杂），会发生什么。这个粒子远小于光的波长 $lambda$。
瑞利勋爵关注的是散射光的强度 $I_{scattered}$。他知道它应该与入射光的强度 $I_{incident}$有关，也应该与粒子的性质有关。粒子的性质可以用其极化率 $alpha$ 来描述，这个量描述了粒子在电场作用下内部电荷分布的变形能力。极化率的量纲是 $[L^3]$，因为它代表了粒子“有效容纳”电场的能力，可以看作一个体积。
此外，散射的强度还应该与光的波长 $lambda$有关。
瑞利勋爵通过量纲分析，试图找到 $I_{scattered}$ 和 $I_{incident}$ 的关系。他假设散射强度应该正比于入射强度，并且要乘以一个依赖于粒子性质和波长的因子。
他考虑的量是：
入射光强度 $I_{incident}$: 量纲 $[P L^{2}] = [M T^{3}]$ （功率/面积）。
粒子的极化率 $alpha$: 量纲 $[L^3]$。
波长 $lambda$: 量纲 $[L]$。
瑞利勋爵想要构建一个“散射截面” $sigma$（或者说散射强度与入射强度的比值乘以某个面积），这个量应该具有面积的量纲 $[L^2]$。
他推测，对于远小于波长的粒子，散射截面 $sigma$ 的形式应该与 $alpha^2$ 和 $lambda$ 有关。
让我们尝试组合 $alpha$ 和 $lambda$ 来得到一个面积 $[L^2]$。
$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$。
$lambda$ 的量纲是 $[L]$。
瑞利勋爵的直觉是，粒子的极化能力（$alpha$）是其基本属性。当粒子被电磁场极化时，它就变成了一个振荡的电偶极子。这个电偶极子会向各个方向辐射电磁波。
他可以想到，粒子的极化能力 $alpha$ 决定了它被电场驱动的“响应强度”。当一个场强为 $E$ 的电场作用在粒子上时，它产生的电偶极矩 $p$ 应该与 $E alpha$ 成正比，即 $p propto E alpha$。电偶极矩的量纲是 $[qL] = [ITL]$，或者用更基本的量纲来说是 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。
瑞利勋爵知道，一个振荡的电偶极子产生的辐射强度（功率）与偶极矩的平方以及频率的四次方成正比。辐射功率 $P_{rad} propto omega^4 p^2$。这里的 $omega$ 是角频率，量纲是 $[T^{1}]$。
所以，$P_{rad} propto (omega^4) (E alpha)^2 = omega^4 E^2 alpha^2$。
入射光的强度 $I_{incident}$ 与电场强度的平方成正比，$I_{incident} propto E^2$。
所以，$P_{rad} propto omega^4 I_{incident} alpha^2$。
现在我们有了功率的量纲 $[M L^2 T^{3}]$。而 $I_{incident}$ 的量纲是 $[M T^{3}]$。$alpha^2$ 的量纲是 $[L^6]$。 $omega^4$ 的量纲是 $[T^{4}]$。
于是，$P_{rad}$ 的量纲是 $[T^{4}] imes [M T^{3}] imes [L^6] = [M L^6 T^{7}]$。这显然不正确。
这里，瑞利勋爵的分析更为精妙，他直接考虑的是散射的微分截面 (differential crosssection)，也就是单位立体角上的散射强度与入射强度的比值。最终他得到了总的散射截面 $sigma$。
他发现，对于远小于波长的粒子，散射截面 $sigma$ 的形式是：
$$ sigma propto frac{omega^4 alpha^2}{c^4} $$
其中 $c$ 是光速 $[L T^{1}]$。
让我们检查量纲：
$omega$ 的量纲是 $[T^{1}]$，所以 $omega^4$ 是 $[T^{4}]$。
$alpha$ 的量纲是 $[L^3]$，所以 $alpha^2$ 是 $[L^6]$。
$c^4$ 的量纲是 $[L^4 T^{4}]$。
所以，$sigma$ 的量纲是 $frac{[T^{4}] [L^6]}{[L^4 T^{4}]} = [L^2]$。这正是我们期望的面积量纲。
这个公式表明，散射强度与频率的四次方成正比，或者说与波长的四次方成反比 ($I_{scattered} propto 1/lambda^4$)。
量纲分析和数量级分析在这里起到的作用是：
建立了散射强度与波长的关系。 瑞利勋爵通过对物理量的量纲分析，推断出散射强度与 $lambda^{4}$ 成正比。这意味着短波长的光（如蓝色和紫色）比长波长的光（如红色和黄色）更容易被散射。
解释了天空的颜色。 当太阳光穿过大气层时，大气中的氮气和氧气分子远小于可见光的波长，它们就像微小的散射中心。根据瑞利散射定律，短波长的蓝光和紫光被散射得最厉害，布满了整个天空。虽然紫光比蓝光散射得更厉害，但人眼对蓝光更敏感，而且太阳光谱中蓝光的成分也相对较多，因此我们看到的天空是蓝色的。
为其他光学现象提供了理论基础。 比如，夕阳时分，太阳光需要穿过更厚的大气层，大部分蓝光被散射掉了，剩下更多的是红光，所以太阳看起来是红色的。
瑞利勋爵的这一工作，虽然没有给出精确的系数，但完全凭借对物理量纲的把握，就揭示了散射现象的核心规律，并成功解释了一个日常的自然现象，这是量纲分析强大能力的绝佳体现。
3. 布莱克特的云室和“自然规律的普适性”：一位实验物理学家的量纲洞察
帕特里克·布莱克特爵士（Sir Patrick Blackett）是20世纪一位杰出的实验物理学家，他因发明改进的云室而获得诺贝尔奖，并对宇宙射线和核物理做出了重要贡献。在研究宇宙射线与物质相互作用时，他运用了量纲分析和数量级分析来理解粒子的能量损失过程，并以此证明了“自然规律的普适性”。
宇宙射线是从宇宙深处射来的高能粒子流。当这些粒子穿过物质（比如云室中的水蒸气）时，它们会与物质中的原子相互作用，并损失能量。这个能量损失过程是怎样的？需要什么样的材料才能有效地减缓或探测这些粒子？
布莱克特在研究中发现，一个高速运动的带电粒子（比如质子或电子）在穿过物质时，每单位厚度的能量损失（通常表示为 $dE/dx$）主要取决于几个因素：
粒子的电荷 $z$ (例如，质子 $z=1$)。
粒子的速度 $v$ (或者能量 $E$)。
物质的原子序数 $Z$ (原子核的质子数)。
物质的原子密度 $n$ (每单位体积的原子数)。
粒子的质量 $m$ (与它相互作用的电子的质量)。
普朗克常数 $h$ 或约化普朗克常数 $hbar$。
电子的电荷 $e$ 和质量 $m_e$。
真空介电常数 $epsilon_0$。
布莱克特的目标是找到一个与能量损失率相关的普遍公式。他运用量纲分析，并考虑了粒子与物质中电子的相互作用。他发现，可以构建一个与每单位厚度的能量损失相关的表达式。
关注的量是 $dE/dx$。其量纲是 $[M L^2 T^{3} L^{1}] = [M L T^{3}]$。
他考虑了以下关键物理量（以及它们的量纲）：
粒子能量 $E$: $[M L^2 T^{2}]$。或者速度 $v$: $[L T^{1}]$。
物质的原子序数 $Z$: 无量纲数，但与核电荷相关。
物质的原子密度 $n$: $[L^{3}]$。
电子质量 $m_e$: $[M]$。
电子电荷 $e$: $[IT]$ 或 $[M^{1/2} L^{3/2} T^{1}]$。
光速 $c$: $[L T^{1}]$。
普朗克常数 $hbar$: $[M L^2 T^{1}]$。
真空介电常数 $epsilon_0$: $[M^{1} L^{3} T^2 I^2]$ 或 $[M L^3 T^{2}]$ (如果使用 $4piepsilon_0$ 组合)。
布莱克特等人（包括费米和朗道）最终通过更精密的分析和实验验证，得到了描述带电粒子在物质中能量损失的布莱克特公式（通常被称为 BetheBloch formula 或近似形式）。这个公式的大致形式是：
$$ frac{dE}{dx} approx frac{4pi e^4}{mc^2} n Z ln left( frac{2mc^2}{I} ight) $$
这里的 $Z$ 是物质的原子序数（这里写的是一个原子中的电子数，通常与原子序数 $Z$ 相等），$n$ 是原子密度，$m$ 是粒子的质量（这里指的是电子质量 $m_e$），$e$ 是电子电荷。$I$ 是平均电离势。
即使不看具体形式，仅从量纲角度考虑，这个公式告诉我们能量损失率（$dE/dx$）应该与物质的原子密度 $n$ 和某种与原子序数相关的因子成正比。
布莱克特运用量纲分析和数量级分析，不仅是描述能量损失，更重要的是论证了其普遍性：
普适性论证： 布莱克特发现，通过对宇宙射线在不同物质（如空气、水、铜、金）中的径迹进行精确测量，并分析其能量损失率，发现这些不同物质中的能量损失规律，都可以用一套相同的物理参数和公式来描述。这意味着，即使物质的种类和性质千差万别，描述粒子穿过它们时的能量损失的基本物理规律是相同的，只是具体的参数（如原子序数、密度、平均电离势）有所不同。
数量级验证： 量纲分析帮助他确定了应该测量哪些物理量，以及它们之间可能存在的量级关系。例如，他可以估算出，在高能粒子穿过一厘米厚的物质时，能量损失应该在一个可观测的范围内，这使得实验设计成为可能。
理论指导实验： 在云室中观察粒子的径迹时，粒子的曲率（受磁场影响）反映了粒子的动量，而径迹的长度和密度变化则反映了能量损失。布莱克特通过量纲分析的思维，知道如何将这些观察到的现象与基本的粒子物理参数联系起来。
布莱克特的贡献在于，他用精确的实验证明了，即使在高能物理的领域，也存在着一套由基本常数和粒子性质决定的、普适的能量损失规律。这不仅是对物理学规律统一性的重要验证，也为粒子探测器和加速器的设计提供了理论基础。他的工作是理论猜想与精确实验结合的典范，而量纲分析则是他连接这两者的重要桥梁之一。
总结一下这些例子中量纲分析、数量级分析和线度分析的威力：
1. 伽莫夫的宇宙尺度： 在缺乏详细宇宙模型时，仅凭基本常数和密度，就估算出宇宙年龄的时间尺度，为宇宙学提供了方向。
2. 瑞利散射： 在深入的电动力学计算之前，通过量纲分析揭示了散射强度与波长 $lambda^{4}$ 的关系，完美解释了天空的颜色。
3. 布莱克特的能量损失： 通过对能量损失率的量纲分析，指导了实验设计，并有力证明了物理规律在不同物质中的普适性。
这些例子都生动地说明了，看似简单的量纲分析和数量级分析，在物理学的研究中，不仅是工具，更是思想方法。它们帮助科学家们穿越现象的迷雾，直击问题的本质，并在理论的黎明时分，照亮前进的道路。它们告诉我们，在探索宇宙的过程中，对量纲的理解，有时比对复杂方程的掌握更为根本。
网友意见
最有名的当属那位凭借着几张照片就判断出原子弹爆炸当量的神人，参看赵凯华的《定性与半定量物理学》。
我自己印象最深的是这个问题：
除此之外其实还有一个问题：
自然界中存在着引力相互作用的束缚态（太阳系）、强相互作用的束缚态（原子核）、电磁相互作用的束缚态（原子），但迄今为止我们却从未发现过弱相互作用的束缚态，为什么？
请仿照电子偶素体系估算一下，当弱相互作用的力程和玻尔半径大致相等时，粒子质量的数量级。
汤川提笔找介子，费米撒纸算核爆
话说那是在1935年，汤川正在解决核力的问题。人们知道原子核是由质子和中子构成的，但是质子都是带正电荷，所以原子核内部的质子之间应该是有强烈的电磁斥力的，但是原子核能稳定存在，为了解释这个现象，人们假设一种非常强的，能把质子和中子束缚在一起的力，叫做“强力”，这种力的作用距离只有原子核的半径那么大，大约 。另外，又知道光子是传递电磁力的媒介粒子，汤川秀树把强力与电磁力比较，认为强力也应该有一种媒介粒子进行传递。光子无质量，所以可以传播到无穷远；强力粒子应该有质量，这样才能把作用距离限制住。那么该怎么估计这个粒子的质量呢？
考虑标量场的Klein-Gordon方程：
，
为了方便不考虑时间的变化，则：
，
这里的 就是媒介粒子的质量。点电荷的静电势方程：
，
对比两个式子，汤川把前一个式子解释成强力，或者叫做核力的势方程。这个方程的解可以写作：
，
其中 , 为一个系数，此处不重要。这样一个结果其实很有意思，可以看到，因为势能函数存在一个指数项，因此势能随着距离迅速降低，如果 大，则降低的缓慢，如果非常小，则势能函数降低的非常迅速。势能的主要作用范围其实是和 产不多数量级的，此处即 ，再根据 ，可以得到：
。这就是汤川秀树得到的核力介子的质量，后来在1947的宇宙线中观测到了这种粒子，其质量为 ，完全符合预测结果！
另，如果考虑质量为0的情况，那么 ，也就是说传播距离为无穷远，势能函数变为：
，这不正好就是静电势嘛！而且光子的质量确实零！Everything make sense！
再说费米。美国原子弹实验时费米不被允许进入实验地区，可是这种事情怎么会难倒费米大神呢？费米待在距离爆炸中心约10英里处。爆炸40秒后，爆炸的气浪到达费米所在地，他将事先准备好的碎纸片从离地六英尺高的地方洒落，纸片被气浪卷走，他根据纸片飞行的距离（两米半）估算了核爆炸的“当量数”约为一万吨TNT炸药。后来证明这个结果和仪器测量值十分接近。
这个里面的计算细节在此就不表了。说到费米，最令人感觉神奇的就是他的估算能力，上述估算核弹当量是比较著名的一个，还有一个是“芝加哥有多少个钢琴师调音师”，再有一个就是费米悖论，这些都是典型的估算问题的例子。
（PS 关于费米的这个例子我不是很清楚，欢迎大神补充）
这正是
世人皆言物理难，宇宙粒子惹人烦。
时间长短不固定，薛氏猫咪生死谈。
汤川有心找介子，费米无忧算核弹。
化繁为简现真理，理学佳话百年传。
Reference
- 杜东生，杨茂志。粒子物理导论。
- 关于费米用纸片估算原子弹的疑问 | 万物至理小组 | 果壳网 科技有意思
这个问题下，G.I.Taylor估算原子弹爆炸当量一直没人答，似乎是在等着我这个流体力学的学生。先想说一点，尽管各种资料上都写着G.I.Taylor是一名物理学家，但更准确地说，他是一名流体力学家，在流体力学界久负盛名。比如我熟悉的多相流计算领域，直至今天，G.I.Taylor的文章也一直在被引用。
原子弹爆炸过程中，实时半径 与空气密度 , 时间 ，爆炸能量 有关。借由量纲分析，
可得到，
那么可在对数坐标下画出 图像，与当时所摄照片结果一致。
其中 为自变量为热容比( )的一个低阶函数，在所有条件下取值为1。
根据如下照片结果，取参数
。
可计算得到 ,
约为18.4千吨TNT当量，实际的结果是20千吨TNT当量，相当接近。此事让美国军方十分震惊，一度认为是内部出现了间谍。由此可窥见量纲分析的力量。实际上，G.I.Taylor对此问题的分析过程不全是这样，他在最初的分析中引入了偏微分方程，且对系数 进行了探讨，例如，一个更有效的近似是
,
相关的资料其实还挺多的，可参考如下网页
International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
Nuclear weapon yield | Wikiwand
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