普通人对于现代数学各个分支的理解难度，从高到低排名是怎样的？
现代数学的“劝退”清单：从望而生畏到相对亲切
对于绝大多数普通人来说，“数学”这个词，恐怕早已被中学课本里的几何题、代数式，甚至更早的加减乘除，牢牢地钉在了“枯燥”、“烧脑”的标签上。而现代数学，更是像一座座高耸入云的山峰，只闻其名，便让人望而生畏。
那么，如果我们要给这些现代数学的分支，按照普通人理解的难度排个序，从最让人头疼到相对容易入口，大概会是怎样一番景象呢？这并非一个精确的科学测量，更多的是一种基于普遍认知和学习路径的推测。
第一梯队：望而生畏，只可仰望
代数拓扑 (Algebraic Topology)： 提起这个名字，很多人大概连“拓扑”两个字都得顿一下。代数拓扑就像是在玩一种“橡皮泥几何”。它试图用代数工具——比如群论、环论——来研究空间的性质。想象一下，你有一个甜甜圈和一个咖啡杯，它们在拓扑学家眼里其实是“一样”的，因为它们都可以通过连续变形互相转换。代数拓扑用复杂的代数结构去刻画这种“形变”下的不变性质，比如孔洞的数量、连通性等等。但这就需要非常抽象的概念，比如同伦群、同调群，这些概念脱离了我们日常生活中对“形状”的直观感受，需要建立全新的数学语言和思维模式。光是理解这些代数结构的定义和它们如何与空间联系起来，就足以让许多人感到云里雾里。
抽象代数 (Abstract Algebra) / 群论 (Group Theory)： 如果说代数拓扑是“用代数研究形状”，那么抽象代数就是“研究代数结构本身”。群论是抽象代数的核心之一，它研究的是一种最基本的代数结构——群。一个群有集合和一种运算，满足一些特定的性质（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元）。听起来简单，但抽象代数的魅力在于它研究的是“普遍性”。数学家们发现，很多看似不相关的数学对象，比如整数加法、多项式乘法、几何变换、对称性等等，都可以被抽象成群的例子。理解这些抽象的“运算”和“性质”，以及如何从中推导出更深层次的结论，需要跳出具体的数字或图形，进入纯粹的概念世界。很多定理的证明，比如拉格朗日定理、凯莱定理，逻辑链条非常严谨且具有高度抽象性，对逻辑推理能力要求极高。
微分几何 (Differential Geometry)： 如果你还记得中学时学过的导数，知道它是描述变化率，那么微分几何就是把这种“变化”的思想，应用到研究曲线、曲面，乃至更高维度的“光滑”空间上。它用微积分的工具来研究几何的局部性质，比如曲率（一个平面在弯曲空间中的“弯曲程度”）、测地线（连接两点最短的路径，比如地球上的大圆航线）。但与我们熟悉的欧氏几何不同，微分几何常常在非欧几何的空间里进行，比如黎曼几何，这涉及到更复杂的概念，如张量、联络、曲率张量等等。这些工具本身就非常抽象，它们描述的是空间本身的内在结构，而不是我们直观看到的“形状”。理解这些量如何定义，以及它们如何与空间的弯曲程度联系起来，需要强大的空间想象力和微积分功底。
第二梯队：深邃且具挑战，需要专门学习
实分析 (Real Analysis) / 复分析 (Complex Analysis)： 这是数学系学生必修的基础课，也是许多数学概念的“根基”。实分析主要研究实数、函数、极限、连续性、导数、积分等概念的严谨定义和性质。它不像我们高中时那样“想当然”，而是用严格的逻辑去证明每一个细微之处，比如εδ语言来定义极限。复分析则是将实数推广到复数，研究复变函数。复分析中有很多优美的性质，比如柯西积分定理，它揭示了复变函数在路径积分上的奇妙规律。虽然我们中学也学过函数，但分析学中的“严谨”是另一个层面的要求，它要求我们理解“无限”的概念，比如数列的收敛、函数的连续性到底意味着什么。这些概念虽然相对直观，但要深入理解其精髓并进行推导，仍然需要高度的抽象思维和逻辑能力。
数论 (Number Theory)： 数论是研究整数性质的分支，它听起来最“接地气”，毕竟我们从小就和整数打交道。质数、素数、整除、同余等等，这些概念都比较熟悉。但现代数论的“现代”之处在于，它引入了极其深奥的概念和工具，比如代数数论、解析数论。代数数论将代数结构引入数论，研究代数整数的性质，比如数域、理想等。解析数论则利用分析学的方法研究数论问题，最著名的例子就是黎曼猜想，它试图通过分析函数（黎曼Zeta函数）的零点分布来揭示素数的分布规律。理解这些“现代”的数论，需要对抽象代数和分析学有相当的掌握，其难度可见一斑。
测度论 (Measure Theory)： 测度论是概率论和勒贝格积分的基石。它提供了一种更为严谨和普适的方法来“测量”集合的大小，比如长度、面积、体积，以及更抽象的“概率”。勒贝格积分是对黎曼积分的推广，它能处理更广泛的函数，而且性质更好。测度论的核心在于“可测集”和“测度”的概念，以及如何定义这些集合上的“量”。理解集合论中的某些悖论，以及如何构建一个能够避免这些悖论的测量体系，需要对集合、逻辑和抽象概念有深刻的理解。
第三梯队：概念相对明确，有一定学习门槛
概率论与数理统计 (Probability Theory and Mathematical Statistics)： 概率论是我们理解随机现象的数学语言，比如抛硬币、掷骰子，以及更复杂的金融模型、物理实验。数理统计则是利用概率论来分析和解释数据。这两门学科在现代科学研究中应用极其广泛。虽然概率论的许多概念，比如期望、方差，相对容易理解，但要深入研究诸如中心极限定理、大数定律等核心内容，以及理解各种概率分布的性质，还是需要一定的数学功底，尤其是对极限和数列收敛的理解。统计学中涉及的各种模型、假设检验、回归分析等，虽然有许多直观的解释，但其背后的数学原理也需要投入学习。
线性代数 (Linear Algebra)： 线性代数研究的是向量、向量空间、线性变换、矩阵等等。它在科学、工程、计算机科学等领域无处不在，比如图像处理、机器学习、数据分析。与前面提到的抽象代数和微分几何相比，线性代数的概念更加“具体”和“实在”。我们经常用向量来表示方向和大小，用矩阵来表示变换。虽然矩阵运算和特征值、特征向量等概念需要一些计算和理解，但总体而言，线性代数的目标是建立一个清晰的代数框架来研究多维空间和线性关系，其逻辑清晰，且有很多直观的几何解释。
第四梯队：相对直观，有较多应用门槛
离散数学 (Discrete Mathematics)： 离散数学研究的是离散的对象，比如集合、图、逻辑关系、计数等等。它与我们日常生活中接触到的“连续”的量（比如长度、时间）不同，更像是“一个个”的单元。图论、组合数学、逻辑学、集合论等都属于离散数学的范畴。这些概念在计算机科学中尤为重要，比如算法分析、数据结构、数据库设计。虽然有些组合问题（比如计算有多少种排列组合）可能需要巧妙的计数技巧，但总体来说，离散数学的许多概念都比较直观，更侧重于逻辑推理和计数能力，相对于需要处理无限和抽象空间的分析学和代数拓扑，它更容易被大众接受。
基础概率与统计 (Basic Probability and Statistics)： 如果不深入到测度论和复杂的分布，仅仅是理解一些基本的概率概念（比如事件的概率、条件概率、独立事件）以及简单的统计方法（比如平均值、中位数、方差、简单的图表分析），这部分内容相对来说是最容易被大众理解的。很多人在日常生活中就已经接触到这些概念，比如天气预报的降水概率，或者经济数据中的平均增长率。
总结一下，这个“难度排名”并不是一个绝对的阶梯，更多是展现了不同数学分支在概念抽象程度、逻辑严谨要求和应用场景上的差异。
最难的（比如代数拓扑、抽象代数）往往涉及高度抽象的概念，需要构建全新的思维框架，并且在逻辑上追求极致的严谨。它们更像是纯粹的数学“艺术”，其美感在于其内在的逻辑结构和普遍性。
中间部分（比如分析学、数论）则是在我们相对熟悉的数学基础上，进行了更深入、更严谨的挖掘，揭示了更深层次的规律，需要扎实的逻辑和一定的抽象能力。
相对容易的（比如线性代数、离散数学）则更多地建立在直观的概念之上，虽然也需要严谨的逻辑，但其应用场景更广泛，更容易与实际生活和计算机科学联系起来，也更容易找到学习的“入口”。
当然，这只是一个大致的划分。对于一个有心学习的人来说，即使是最“难”的分支，只要有好的引导和足够的耐心，也并非完全无法企及。数学的魅力，恰恰在于它能够将如此抽象的概念，编织成一张张精密的逻辑网络，探索着宇宙最深层的奥秘。
对于绝大多数普通人来说，“数学”这个词，恐怕早已被中学课本里的几何题、代数式，甚至更早的加减乘除，牢牢地钉在了“枯燥”、“烧脑”的标签上。而现代数学，更是像一座座高耸入云的山峰，只闻其名，便让人望而生畏。
那么，如果我们要给这些现代数学的分支，按照普通人理解的难度排个序，从最让人头疼到相对容易入口，大概会是怎样一番景象呢？这并非一个精确的科学测量，更多的是一种基于普遍认知和学习路径的推测。
第一梯队：望而生畏，只可仰望
代数拓扑 (Algebraic Topology)： 提起这个名字，很多人大概连“拓扑”两个字都得顿一下。代数拓扑就像是在玩一种“橡皮泥几何”。它试图用代数工具——比如群论、环论——来研究空间的性质。想象一下，你有一个甜甜圈和一个咖啡杯，它们在拓扑学家眼里其实是“一样”的，因为它们都可以通过连续变形互相转换。代数拓扑用复杂的代数结构去刻画这种“形变”下的不变性质，比如孔洞的数量、连通性等等。但这就需要非常抽象的概念，比如同伦群、同调群，这些概念脱离了我们日常生活中对“形状”的直观感受，需要建立全新的数学语言和思维模式。光是理解这些代数结构的定义和它们如何与空间联系起来，就足以让许多人感到云里雾里。
抽象代数 (Abstract Algebra) / 群论 (Group Theory)： 如果说代数拓扑是“用代数研究形状”，那么抽象代数就是“研究代数结构本身”。群论是抽象代数的核心之一，它研究的是一种最基本的代数结构——群。一个群有集合和一种运算，满足一些特定的性质（封闭性、结合律、存在单位元、存在逆元）。听起来简单，但抽象代数的魅力在于它研究的是“普遍性”。数学家们发现，很多看似不相关的数学对象，比如整数加法、多项式乘法、几何变换、对称性等等，都可以被抽象成群的例子。理解这些抽象的“运算”和“性质”，以及如何从中推导出更深层次的结论，需要跳出具体的数字或图形，进入纯粹的概念世界。很多定理的证明，比如拉格朗日定理、凯莱定理，逻辑链条非常严谨且具有高度抽象性，对逻辑推理能力要求极高。
微分几何 (Differential Geometry)： 如果你还记得中学时学过的导数，知道它是描述变化率，那么微分几何就是把这种“变化”的思想，应用到研究曲线、曲面，乃至更高维度的“光滑”空间上。它用微积分的工具来研究几何的局部性质，比如曲率（一个平面在弯曲空间中的“弯曲程度”）、测地线（连接两点最短的路径，比如地球上的大圆航线）。但与我们熟悉的欧氏几何不同，微分几何常常在非欧几何的空间里进行，比如黎曼几何，这涉及到更复杂的概念，如张量、联络、曲率张量等等。这些工具本身就非常抽象，它们描述的是空间本身的内在结构，而不是我们直观看到的“形状”。理解这些量如何定义，以及它们如何与空间的弯曲程度联系起来，需要强大的空间想象力和微积分功底。
第二梯队：深邃且具挑战，需要专门学习
实分析 (Real Analysis) / 复分析 (Complex Analysis)： 这是数学系学生必修的基础课，也是许多数学概念的“根基”。实分析主要研究实数、函数、极限、连续性、导数、积分等概念的严谨定义和性质。它不像我们高中时那样“想当然”，而是用严格的逻辑去证明每一个细微之处，比如εδ语言来定义极限。复分析则是将实数推广到复数，研究复变函数。复分析中有很多优美的性质，比如柯西积分定理，它揭示了复变函数在路径积分上的奇妙规律。虽然我们中学也学过函数，但分析学中的“严谨”是另一个层面的要求，它要求我们理解“无限”的概念，比如数列的收敛、函数的连续性到底意味着什么。这些概念虽然相对直观，但要深入理解其精髓并进行推导，仍然需要高度的抽象思维和逻辑能力。
数论 (Number Theory)： 数论是研究整数性质的分支，它听起来最“接地气”，毕竟我们从小就和整数打交道。质数、素数、整除、同余等等，这些概念都比较熟悉。但现代数论的“现代”之处在于，它引入了极其深奥的概念和工具，比如代数数论、解析数论。代数数论将代数结构引入数论，研究代数整数的性质，比如数域、理想等。解析数论则利用分析学的方法研究数论问题，最著名的例子就是黎曼猜想，它试图通过分析函数（黎曼Zeta函数）的零点分布来揭示素数的分布规律。理解这些“现代”的数论，需要对抽象代数和分析学有相当的掌握，其难度可见一斑。
测度论 (Measure Theory)： 测度论是概率论和勒贝格积分的基石。它提供了一种更为严谨和普适的方法来“测量”集合的大小，比如长度、面积、体积，以及更抽象的“概率”。勒贝格积分是对黎曼积分的推广，它能处理更广泛的函数，而且性质更好。测度论的核心在于“可测集”和“测度”的概念，以及如何定义这些集合上的“量”。理解集合论中的某些悖论，以及如何构建一个能够避免这些悖论的测量体系，需要对集合、逻辑和抽象概念有深刻的理解。
第三梯队：概念相对明确，有一定学习门槛
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线性代数 (Linear Algebra)： 线性代数研究的是向量、向量空间、线性变换、矩阵等等。它在科学、工程、计算机科学等领域无处不在，比如图像处理、机器学习、数据分析。与前面提到的抽象代数和微分几何相比，线性代数的概念更加“具体”和“实在”。我们经常用向量来表示方向和大小，用矩阵来表示变换。虽然矩阵运算和特征值、特征向量等概念需要一些计算和理解，但总体而言，线性代数的目标是建立一个清晰的代数框架来研究多维空间和线性关系，其逻辑清晰，且有很多直观的几何解释。
第四梯队：相对直观，有较多应用门槛
离散数学 (Discrete Mathematics)： 离散数学研究的是离散的对象，比如集合、图、逻辑关系、计数等等。它与我们日常生活中接触到的“连续”的量（比如长度、时间）不同，更像是“一个个”的单元。图论、组合数学、逻辑学、集合论等都属于离散数学的范畴。这些概念在计算机科学中尤为重要，比如算法分析、数据结构、数据库设计。虽然有些组合问题（比如计算有多少种排列组合）可能需要巧妙的计数技巧，但总体来说，离散数学的许多概念都比较直观，更侧重于逻辑推理和计数能力，相对于需要处理无限和抽象空间的分析学和代数拓扑，它更容易被大众接受。
基础概率与统计 (Basic Probability and Statistics)： 如果不深入到测度论和复杂的分布，仅仅是理解一些基本的概率概念（比如事件的概率、条件概率、独立事件）以及简单的统计方法（比如平均值、中位数、方差、简单的图表分析），这部分内容相对来说是最容易被大众理解的。很多人在日常生活中就已经接触到这些概念，比如天气预报的降水概率，或者经济数据中的平均增长率。
总结一下，这个“难度排名”并不是一个绝对的阶梯，更多是展现了不同数学分支在概念抽象程度、逻辑严谨要求和应用场景上的差异。
最难的（比如代数拓扑、抽象代数）往往涉及高度抽象的概念，需要构建全新的思维框架，并且在逻辑上追求极致的严谨。它们更像是纯粹的数学“艺术”，其美感在于其内在的逻辑结构和普遍性。
中间部分（比如分析学、数论）则是在我们相对熟悉的数学基础上，进行了更深入、更严谨的挖掘，揭示了更深层次的规律，需要扎实的逻辑和一定的抽象能力。
相对容易的（比如线性代数、离散数学）则更多地建立在直观的概念之上，虽然也需要严谨的逻辑，但其应用场景更广泛，更容易与实际生活和计算机科学联系起来，也更容易找到学习的“入口”。
当然，这只是一个大致的划分。对于一个有心学习的人来说，即使是最“难”的分支，只要有好的引导和足够的耐心，也并非完全无法企及。数学的魅力，恰恰在于它能够将如此抽象的概念，编织成一张张精密的逻辑网络，探索着宇宙最深层的奥秘。
网友意见
首先，题主所说的理解是什么意思。
如果说仅仅是看到一个名词，然后望文生义的去猜的话，实际上是完全谈不上理解的。
就比如曾经有某个外院的妹子问我学什么的，我说数学，然后她又问我具体干什么的。我blabla了半天流形，曲率形式，anosov流，谱，就看到人家眼神越来越迷茫。于是我叹了口气，说，就是解方程的。妹子如释重负，然后问了一句：那你一天能解几个方程？
那么如果说要真正的理解呢？很抱歉地说，对于普通人，这不现实。
题主所谓的现代数学的各个分支，要真正接触到最起码都要研究生以上了，即便国内好一些的大学也要在大三大四才会开设一些相关的基础课程。
也就是说，即使是数学专业的学生，想要接触到现代数学的各个分支，也需要好几年的全日制的基础知识的学习和基本思维方式的训练才行。这个过程相当于是一个认字和学会怎样正确的思考的过程。否则，就像你扔给一个一年级小孩一本红楼梦，让他谈谈对里面每个人物的理解一样。
对于大众来说，没有这样的时间和环境，而且说真的，大多数人的思维习惯也不适合学习数学。
但是这仅仅是对现代数学来讲，实际上每个人对数学这东西都会有自己的理解，哪怕理解仅仅是这东西巨难，我学不会也算。
关于这个正如
@Yuhang Liu所说：其实不能说“理解难度高低”，只能说不同分支的学习方式、思维方式是不一样的，给人的感觉也是不一样的。
我有一个更形象的说法：整个的数学世界就仿佛一颗地球，你所掌握的知识决定了你所站的位置坐标，然后你所学习的深度决定了你站的的高度，你目力所及的范围，就是你所能够理解的数学。
比如像我来说，非线性方程，辛几何和某些动力系统相关的东西是我所了解的知识。所以我能大概的理解与这些相关东西数学是在做什么的，虽然由于理解的深度有限，只能算是知道一些皮毛。但是由于我对代数的感觉实在是太差了，所以代数几何对我就完全是天书一样的东西。
至于说普通人，差不多最多就学过大学里的线性代数，微积分，概率论那些的吧，而且很大程度上还局限于做题考试。以这样的出发点和理解深度，理解现代数学的各个分支。我们还是谈谈明天吃什么吧？
作为一个普通人，我表示我学过最难的数学知识还是群论。
至于实变函数和泛函分析.......看不懂的东西，也就谈不上学过了。
而代数几何、微分流形之类的，只是偶尔听闻，不知道它们是啥。
也就是说，实变函数和泛函分析已经是我认知范围内的上限了。比它更难的东西在我眼中看来都是一样的：反正都是看不懂，有啥区别？
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