无限大的围棋盘上某个子的存活概率是多少？

这个问题，问得可真有意思，带着点玄学的味道。无限大的围棋盘，上头有个棋子，你说它能活多久，或者说，活着的可能性有多大？

要回答这个问题，得先弄清楚“活”是啥意思。在围棋里，一颗子或者一串子，要“活”，就得至少有两只“眼”。什么是眼？就是把子围住的、不被对方棋子占领的空交叉点。围棋盘很大，但围棋的规则是死的，不管盘子多大，或者无限大，这“两只眼”的规则，是不会变的。

咱们先从最简单的情况说起。假设这颗子，孤零零地放在无限大的棋盘中间。周围全都是空。这个时候，它其实是没有任何“眼”的。对方只需要一步，就可以把它“提”走。在这种情况下，这颗子存活的概率，可以说趋近于零，因为它随时可能被吃掉，而且从一开始就没有自我保护的能力。

但围棋不是这么下的。没人会孤零零地放一颗子，然后指望它自己活下来。总会有其他棋子来支援，或者围出根据地。所以，我们要考虑的是，这颗子，它所处的环境，是已经被“开发”过，还是“原始”的。

如果说，我们是在讨论一个刚刚落下的棋子，而这个棋盘，是空空如也的无限大棋盘。那么，这颗子，没有任何联系，也没有任何潜在的“眼”。它要形成眼，需要周围的棋子配合。而配合它的棋子，同样需要落子。在这个无限大的棋盘上，对方完全可以随心所欲地在你周围落子，封锁你的出路，让你永远无法形成两只眼。所以，在这种绝对公平、无预设的初始状态下，一颗子想要“存活”，几乎是不可能的。它的存活，完全依赖于后续的落子，而后续的落子，理论上是可以被无限地延长的，对方可以无限地来“拆解”你。

但是，围棋的乐趣在于“争斗”和“变化”。谁说存活就一定是被动的？“活”的棋子，往往是主动寻求安全的。

咱们换个角度想：有没有一种情况，让一颗子“天然”地具备存活的条件？

在围棋里，有一些“死活题”会给出一个固定的局面，然后让你计算这个子或者这块棋是否能活。这些题目，虽然有固定的子，但计算起来也非常复杂，尤其是当局面庞大，或者有很强的“收官”意味的时候。

现在我们把这个“局面”放到无限大的棋盘上。如果说，这颗子，是在一片已经相对稳定的、拥有两只眼的“根据地”里面。也就是说，它已经属于某个已经被“做活”的群体的一部分。那么，它作为这个群体的一员，它的存活就不是孤立的。它依赖于整个根据地的稳固。

在这种情况下，虽然盘面是无限大的，但实际的“争斗”区域，可能是在这个根据地周围。对方想要吃掉这颗子，就必须先破坏它所在的根据地。如果这个根据地非常牢固，有足够的腾挪空间，能够形成两只以上的确定的眼，那么，这颗子，以及它所属的这块棋，就是“活”的。

所以，存活的概率，其实取决于它周围的“棋形”和“棋力”。

我们可以想象这样几个场景：

1. 完全孤立的子： 概率趋近于零。
2. 正在与对方缠斗，但尚未形成两眼： 这是一个动态的过程，概率取决于双方的实力和后续的每一步棋。在无限大的棋盘上，对方理论上总有无限的空间去“拖延”或者“找寻”破绽，所以即便在缠斗中，概率也可能不高。
3. 身处一个已经做活的棋形之中： 它的存活，可以说是有保证的，因为它所在的“势力范围”已经安全。在这个意义上，存活的概率就是“1”，只要整个根据地不被对方打破。

但是，“无限大”这个概念，又带来了新的思考。

如果盘面真的无限大，意味着棋局永远不会因为“无处可下”而终结。双方可以无限地扩张，无限地制造新的争斗。

在这种情况下，我们可以设想一个“动态平衡”。也许，在无限大的棋盘上，不存在绝对的“活”或“死”，而是一种永恒的“争夺”。每一个棋子，都在一个无限延伸的战场上，它能活多久，取决于它能否在棋局的“某个局部”形成独立的生存空间。

你可以把这颗子想象成一个士兵，身处一片无边无际的战场。它能否存活，取决于它是否有坚固的工事（眼），有没有友军的支援，以及战场上敌人的密度和火力。

如果我们把“存活概率”理解为“在无限大的棋盘上，这颗子最终能够构成两只眼并稳定下来，不受对方棋子干扰的可能性”，那么：

如果这颗子是随机落下的，没有任何预设： 概率极低。因为对方可以无限地阻止你形成眼，或者在你形成眼之前就将你围死。
如果这颗子是某个“活跃”的棋局的一部分： 它的存活概率，就变成了这块棋“能否做活”的概率。而这个概率，又取决于下棋者的水平、棋局的复杂程度。在无限大的棋盘上，理论上，任何一方都有无限的空间去“寻找”或者“创造”有利于自己的局部。

所以，这个问题，与其说是在问一个具体的数字，不如说是在探讨“可能性”和“局限性”。在无限大的空间里，任何一个“局部”的稳定，都显得弥足珍贵。一颗子的存活，最终还是取决于它能否在这个浩渺无垠的棋盘上，为自己“圈出一小片宁静之地”。

总而言之，如果真的要给一个“概率”的概念，并且限定在一个“有意义”的讨论范围内，那就是：

在一个完全随机、无预设的无限大棋盘上，一颗孤立棋子的存活概率，趋近于零。
在一个已经形成的、复杂的棋局中，一颗棋子的存活概率，取决于其所处棋形的“死活”状态。 在无限大的棋盘上，这种“死活”状态的计算可能会变得异常复杂，因为永远存在“外部空间”的无限延伸，这可能给棋形带来更多的变数。

说到底，围棋的妙处，就在于它有限的规则，在无限的可能里创造出无穷的变化。一颗子能否存活，是无数次落子博弈的结果，这个结果，在无限大的棋盘上，既可能永远摇摆不定，也可能在某个局部，就此落下帷幕。

网友意见

偶然间想起几年前的这道题，沿着 byoshovel 的思路继续算了一下，考虑了 3 阶的 fixed polyominoes，略微改进了一下上下界。

主要是使用分类讨论，然后用条件概率进行计算。我们把要讨论死活的黑子称为天元黑子，其所在的黑子串称为天元黑子串。根据围棋的规则，只有与天元黑子串相邻的交叉点可能成为天元黑子串的气。在计算中，与天元黑子串相邻的交叉点的数量是我们需要特别注意的。

下界

我们根据天元黑子串的情况分为 4 类：1.孤立天元黑子；2.天元黑子串有 2 个黑子；3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型；4.其他情况。

1.孤立天元黑子

这种情况下天元黑子周围的 4 个交叉点均不是黑子，所以这种情况发生的概率为 。而在这种情况下，只要 4 个交叉点不都是白子天元黑子就能存活，而需要注意的是，根据分类这 4 个点已经没有可能是黑子了，因而每个点是白子和空的条件概率各为二分之一，所以天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

2.天元黑子串有 2 个黑子

这种情况有 4 类可能（分别为天元黑子的上下左右为黑子），而与这两个黑子相邻的交叉点有 6 个，这 6 个交叉点自然不能是黑子，所以这种情况发生的概率为 。在这种情况下，与之前类似，与黑串相邻的点有 6 个，所以天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型

这个情况有根据转角的方向（4 个）和天元黑子在转角型 3 子中的位置（3 种）分类共有 4*3=12 类，而与这 3 个黑子相邻的交叉点有 7 个，所以这种情况发生的概率为 。在这种情况下，与之前类似，天元黑子存活的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献为

4.其他情况

这种情况发生的概率为 。在这种情况下，注意到与天元黑串相邻的交叉点数量不少于 8 个，所以天元黑子存活的条件概率至少为 。因此这种情况对天元黑子存活的概率贡献至少为

综合起来，我们就得到了存活概率的下界

上界

类似地，我们根据天元黑子串的情况分为 4 类：1.孤立天元黑子；2.天元黑子串的形状为 1*n，其中 n 大于 1；3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型；4.其他情况。这里的分类 2 与下界中的分类略有不同，因为在这里可以做出一个幂级数稍微地改进一下上界，但是如果在下界里面也这样弄的话在计算其他情况的时候式子就会变得略微复杂。

1.孤立天元黑子

这种情况发生的概率为 ，天元黑子死亡的条件概率为 ，因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献为

2.天元黑子串的形状为 1*n，其中 n 大于 1

对于某个 n，由于可以分为纵向和横向，且天元黑子可以位于 n 个位置中的任意位置，所以这种情况有 2n 种小类，另外注意到与 n 个黑子相邻的交叉点有 2n+2 个。所以这种情况发生的概率为 ，而天元黑子死亡的条件概率为 。因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献是一个级数，为

3.天元黑子串有 3 个黑子，且为转角型

这种情况发生的概率为 ，天元黑子死亡的条件概率为 ，因此这种情况对天元黑子死亡的概率贡献为

4.其他情况

由于我们需要的是天元黑子存活概率的上界，所以需要考虑黑子死亡概率的下界。但是在这种情况中，与黑串相邻的交叉点个数没有一个统一的上界，所以就没法用一个简单的式子给出界了，因而我们忽略掉这种情况。

综合起来，我们就得到了存活概率的上界

评论

我们用分类讨论的方法，通过一些复杂的计算给出了存活概率的更精确一些的上下界

但这似乎与 惠飞须泽胡桃 用 19 路棋盘模拟得到的 0.9825 不太符合，与 byoshovel 模拟的 0.98470±0.00004 到是符合的。

另外在上界的第 4 种情况中，我考虑过用 fixed polyominoes 的数量（OEIS A001168）的界，但是 OEIS 上的界是渐近的而我需要的是对于所有 n 都成立的界（尤其是需要对小的 n 成立的界否则误差可能会比较大），所以想得到更精确的上下界可能还是要计算机暴力枚举不可。

最后，我之前一直在想这里的这个存活概率与围棋合法局面数量的关系。关于围棋合法局面数量可以参考 Tromp 和 Farneback 的文章 Combinatorics of Go，里面证明了一个关于 n*n 棋盘上合法局面数量的常数的存在性，即

其中 L(n) 就表示 n*n 棋盘上合法局面数量，常数 L 被称为 base of liberties，约为 2.975734192043357249381。可以粗糙地认为当 n 很大的时候，对棋盘随机染色，大约会有 (L/3)^(n^2) 的局面是合法的，也就是所有棋子都是有气的。但是我没有想到这个常数与这题里的存活概率之间有意思的联系。

2021.11.29

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