条件概率属不属于随机变量？为什么？

条件概率本身并不是一个随机变量，但它是与随机变量紧密相连的概念。理解它们之间的关系，需要我们先明确“随机变量”和“条件概率”各自的定义。

随机变量是什么？

我们先来聊聊“随机变量”。你可以把它想象成一个“容器”，这个容器能够装着各种可能的结果，而这些结果的出现是带有不确定性的，由随机现象决定。

举个例子：

抛硬币：硬币正面朝上的结果可以被一个随机变量 X 捕捉。X 的可能取值是 0（代表反面）和 1（代表正面）。
掷骰子：掷一个六面骰子，朝上的点数是一个随机变量 Y。Y 的可能取值是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
测量身高：一个人的身高也是一个随机变量，它可能取任何一个落在某个范围内的实数值。

关键点在于，随机变量的“值”不是固定的，它会随着随机事件的发生而变化，并且我们可以讨论它取某个特定值的“概率”。

条件概率又是什么？

现在我们来看看“条件概率”。简单来说，条件概率就是“在已知某个事件发生的情况下，另一个事件发生的概率”。它是在一个“已知信息”的背景下对概率进行重新评估。

它的数学表达形式是 P(A|B)，读作“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率”。其计算公式为：

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

这里 P(A ∩ B) 是事件 A 和事件 B 同时发生的概率，而 P(B) 是事件 B 发生的概率（并且 P(B) 不能为零）。

为什么条件概率不直接是随机变量？

理解了这两个概念，我们就能明白为什么条件概率本身不是随机变量。

1. 随机变量映射结果到数值： 随机变量的本质是将随机实验的每一个可能结果，映射到一个数值上。例如，抛硬币这个随机实验，结果是“正面”或“反面”，随机变量 X 把“正面”映射成 1，“反面”映射成 0。这是一个从“结果”到“数值”的映射。

2. 条件概率是某个概率值： 条件概率 P(A|B) 是一个具体的、非负的数值，它表示在某个特定条件下，某个事件发生的“可能性”的大小。它本身并不是一个“容器”去接收随机实验的输出。

它们之间的联系在哪里？

虽然条件概率不是随机变量，但它与随机变量的关系非常密切，并且可以用来构建新的随机变量。

让我们深入剖析一下：

基于事件的条件概率： 最直接的理解是，条件概率是关于“事件”的。比如，我们考虑掷两次骰子。设随机变量 X 是第一次骰子的点数，Y 是第二次骰子的点数。那么，P(Y=3 | X=2) 就是一个条件概率，它表示“在已知第一次骰子掷出的是 2 的情况下，第二次骰子掷出的是 3 的概率”。这里的 P(Y=3 | X=2) 是一个确定的数值（在这个例子中是 1/6），它不是一个会随着实验结果变化而变化的“变量”。

基于随机变量的条件概率分布： 更有趣的是，我们可以讨论“在已知某个随机变量取特定值的情况下，另一个随机变量的概率分布”。这同样是一个条件概率的概念，但它指向的是一个完整的概率分布，而不仅仅是一个单一的概率值。

例如，在上面掷两次骰子的例子中：
我们知道 X=2。那么，对于随机变量 Y（第二次骰子的点数），它的条件概率分布就是：
P(Y=1 | X=2) = 0
P(Y=2 | X=2) = 0
P(Y=3 | X=2) = 1/6
P(Y=4 | X=2) = 0
P(Y=5 | X=2) = 0
P(Y=6 | X=2) = 0

这个“在已知 X=2 的情况下，Y 的概率分布”虽然描述的是 Y 的可能性，但它本身不是一个“新的随机变量”。它描述的是一个特定条件下 Y 的行为。

条件期望： 我们可以定义一个“条件期望”，这确实是一个随机变量。
条件期望表示的是在已知某个事件（或者某个随机变量取某个值）的条件下，另一个随机变量的期望值。
例如，我们可以定义一个随机变量 Z = E[Y | X]。这个 Z 的值取决于 X 的取值。
如果 X=1，则 Z 的值是 E[Y | X=1] = 1/6 1 + 1/6 2 + ... + 1/6 6 = 3.5。
如果 X=2，则 Z 的值是 E[Y | X=2] = 3.5。
等等...

在这个例子里，Z 是一个随机变量，它的每一个可能值都是一个条件期望。而构成这些值的基础，正是条件概率 P(Y | X=x)。

总结一下：

条件概率 P(A|B) 是一个具体的概率数值，它是在给定信息（事件 B 发生）下的概率度量，不是随机变量。它不接受随机实验的输出并赋予数值。
随机变量是将随机实验的可能结果映射为数值的函数。
然而，条件概率是构建随机变量（如条件期望）的基础和组成部分。我们可以讨论“在某个随机变量取特定值的情况下，另一个随机变量的条件概率分布”，而这些条件概率值是计算条件期望的基础。

所以，用一个比喻来说：随机变量就像一个画家，它能够把世界（随机实验的结果）描绘成一幅画（数值）。而条件概率呢，它更像是画家在创作一幅画时使用的“调色板”上的某种颜色（概率值），或者是在特定光照条件下（已知信息）对画作进行评判的“视角”。它本身不是画，但它是创作或评价画作（理解随机变量行为）不可或缺的一部分。

网友意见

这个问题可能比你想象的要复杂很多。当然如果放在中学数学的范围内又没那么复杂。下面我先在中学数学的框架内回答一下，然后再在测度论的基础上完整地回答一下。

高中数学范围内的回答：

因为条件概率是一个确定的数，而随机变量是一个随机的数。

这当然很不严谨。说的细致一点：给定事件A和B，条件概率 就可以求出来了，它是一个在0，1之间的实数。而随机变量是一个从样本空间(即某一个随机试验的所有可能的结果组成的空间)到实数的映射。由于一个给定的实数不是映射，所以条件概率不是随机变量。

完整的回答：

条件概率的严格定义其实并不那么简单，原因是“原始”的定义方式，即 , 只对概率大于0的事件B适用，但是一般地，我们希望也可以对概率为0的条件定义条件概率。比如我们有一个随机变量Y, 希望了解已知Y的取值的时候各种事件的概率。这当然是个直观上非常正常的问题，但是如果Y是连续型随机变量，那么问题就来了：对任意取值y, Y=y的概率都是0，这时候该怎么定义Y=y的情况下的条件概率？

答案是，和条件期望的严格定义一样，我们需要借助积分。具体来讲，我们有

定义，定理：令 为一个概率空间， 是一个子 域。则存在一个从 到 [0,1] 上的映射 , 满足：

1. 对任意 , 是一个 可积函数；
2. 对任意 , 是一个 上的概率测度；
3. 对所有 成立。

此时的 被称为给定 的正则条件概率。

所以回到这个问题：注意到一个 可积函数本身就是一个随机变量。所以当你固定要求条件概率的事件而让条件(更准确地讲, )变化的时候，条件概率就是一个随机变量。其他理解方式下的条件概率都不是随机变量。

这个问题比看起来要困难，特别是题主还加上了“高中数学”的tag，而事实上很多数学系的本科生也不一定可以清楚地想明白这个问题.

首先我们指出随机变量的定义：

如果在脱离测度论的情况下，对随机变量的理解应该是：随机变量是样本空间上的实值函数.

在明确了随机变量的定义后，接下来我们来讲条件概率是个什么东西.事实上，条件期望是比条件概率更一般的对象，所以我们不妨先来看看条件期望的定义：

由条件期望的定义，我们可以清楚地看到 是一个随机变量.

如果我们取 为由 另一个定义在 上的随机变量 生成的 代数 ，那么 就是给定随机变量 的全部信息条件下 的条件期望.

特别地，如果 是示性函数，其中 ，那么我们可以记 ，它表示给定 的条件下 发生的概率，可以看到 是一个随机变量，这个随机变量的随机性体现在 本身的随机性上.于是当我们固定某个 时，这个随机变量就应该会取到某个确定的数，如果我们把这个数记为 ，则有

,

于是我们有 ，这也就是我们从高中开始就一直接触的条件概率的形式，这是一个数.但是这个数 是随机变量 的某个具体的取值.这样一来我们就可以看到通过严谨的测度论语言定义的条件期望与我们之前接触到的通过直观感受定义出来的条件期望的联系.

我们注意到 ，其中 ，于是取 ，我们可以记

进一步地，如果我们取 ，其中 是 生成的 代数，那么可以记 .

由此出发我们可以把测度论下定义的条件概率和我们在高中或者本科时候所学到的条件密度或者条件分布列联系起来.在联系上条件密度之后，我们可以再回过头考察一开始我们定义的条件期望和高中或者本科时学习到的条件期望的联系：

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