你有没有在某个瞬间觉得数学是美的，或者被数学震撼到？
要说让我第一次真正感受到数学的“美”，而不是仅仅把它当作一种解题工具，那得追溯到我还在上高中的时候。我们当时学到的是复数。一开始，复数这个概念挺别扭的——虚数单位“i”，那个平方等于1的神奇数字，总觉得有点凭空捏造。书本上的解释，几何意义上的“旋转”，我当时也只是一知半解。
直到有一天，老师在黑板上写下欧拉公式：$e^{ipi} + 1 = 0$。
那一刻，我感觉整个教室的光线都变了。
你看看这个公式，它连接了数学中最基本、最核心的几个元素：
e: 自然对数的底数，代表着连续增长的本质，在微积分、复利计算中无处不在。
i: 虚数单位，打开了复数的世界，让我们可以处理那些在实数轴上无法理解的问题。
π: 圆周率，连接着圆形和直线，是几何学的灵魂。
1: 乘法单位，最朴素的整数。
0: 加法单位，一切的起点和终点。
它们就这样，在一个简洁至极的等式里，以加、乘、指数的形式，不动声色地碰面了。而且，它们是通过一个“+1”和“=0”这样一个简单到不能再简单的关系连接起来的。
这太不可思议了。
我当时脑子里闪过的不是“这个公式是干什么的”，而是“这怎么可能？”。它就像是宇宙最深处的某个秘密被揭示出来，而且是以一种最纯粹、最优雅的方式呈现。在那之前，我接触的数学，更多的是“如何计算”，是“找到答案”。但欧拉公式展现的，是一种“为什么”，是一种“联系”。它告诉我，那些看似独立的数学概念，其实是相互依存，是同一片广阔海洋中的不同波浪。
这种美，不是视觉上的华丽，而是一种智识上的震撼，一种深刻的和谐感。它像是艺术家在画布上挥洒色彩，但数学家挥洒的是概念，是逻辑，而其最终作品，却比任何名画都更能触及灵魂深处。
从那以后，我开始尝试去理解那些公式背后的故事。比如，为什么 $e^x$ 的导数是它本身？为什么 $pi$ 会出现在这里？为什么 $i$ 会把一个实数“旋转”到另一个维度？每当我理解一个公式，就像解开了一个谜语，又像是发现了一个隐藏在现实世界中的秩序。
还有一次，是在学习排列组合的时候。当时遇到一个问题，关于将几本书在书架上排列。一开始，我们想得很直观，一本一本放，第一本有几种放法，第二本有几种，以此类推。但随着数量增加，计算就变得非常繁琐。
直到我看到了阶乘符号“！”。
$n!$ —— 就是 $n imes (n1) imes dots imes 2 imes 1$。
这短短几个符号，就将一个看似复杂，需要一步步枚举的过程，变成了一个极其简洁的表达式。它不仅仅是“少写了几个字”，而是提供了一种全新的视角，一种从“过程”到“结果”的直接通道。就像是突然发现了一个捷径，而且这个捷径是如此的“天然”，以至于你不得不惊叹于创造出它的人的智慧。
我当时的感觉是，数学不是死板的规则，它是关于发现模式，关于找到最精炼的表达。它有一种“省力”的智慧，一种“四两拨千斤”的力量。
所以，是的，我绝对有在某个瞬间觉得数学是美的，而且被它震撼到。那不是瞬间的火花，而是一点点积累起来的，对数学内在逻辑、普遍联系和简洁优雅的深深的赞叹。它就像一个浩瀚的宇宙，每一次的探索，都可能发现新的星系，新的定律，而每一次的发现，都伴随着一种难以言喻的，纯粹的喜悦。
网友意见
洛书，古称龟书，由于在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象而得名。洛书的结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中.
虽然古人将洛书说得神乎其神，其实说白了洛书就是一个三阶幻方.
若这个幻方从 开始，按顺时针每两个数字组成一个数，则可以得到 个数，分别为：
若这个幻方从 开始，按逆时针每两个数字组成一个数，也可以得到 个数，分别为：
这两组数满足
其实这并没有什么神奇的，因为这两组数的各位数和十位数都是 . 但是令人意想不到的是这两组数还满足
更令人惊讶的是
所以这是一组非常神奇的数字！但是
那是否还有具有类似性质的数呢？答案是：有！比如下面这两组数
它们满足
第一次看到这么神奇的数时，我简直被震撼到了！数学也太好玩太美了！
其实上述两组数都是所谓的 等幂和问题 的解. 等幂和问题也叫 Prouhet-Tarry-Escott 问题，即对任意的正整数 ，要找两组不同的整数
使得当 时，有
1935 年，数学家 Wright 猜测：对任意的正整数 ，都存在两组不同的整数
使得当 时，有
对于等幂和问题，一般来说 越大越困难. 1999 年，Kuosa, Meyrignac 和 陈漱文 借助计算机第一次解决了 的等幂和问题，他们找到了两组数
使得当 时，满足
这是目前能解决的 最大的等幂和问题，显然这两组数同时加上一个整数，得到的两组数仍然满足上述结论，这样的解称为是 等价的. 对于 ，等幂和问题等价的解显然有无穷多组，但是否还有不等价的解呢？2007 年英国数学家 Broadhurst 运用 中国剩余定理 找到了第二组不等价的解. 由于这样的解要满足太多的等式，所以我们可能会很自然地想这样的解肯定十分稀少. 但令人意想不到的是，2008 年，Chouhdry 和 Wroblewski 借助 椭圆曲线 证明了 的等幂和问题有无穷多个不等价的解！这个看似与椭圆曲线毫无关系的问题，最后却是用椭圆曲线解决的，这让人觉得不可思议！下面我们一起看看这一精彩的解答方法.
首先，当 时，若有
则数组
满足方程
即我们仅需求方程
的整数解. 设
我们记
经过复杂的计算可得
其中
故问题转化为求方程 的整数解. 我们令
带入方程 ，可得
由于当 时，
从而可知曲线
有有理点
我们又令
带入方程
得椭圆曲线
可以验证曲线
上的有理点 对应椭圆曲线 上的有理点
则由 Nagell-Lutz 定理 知 为椭圆曲线 的无限阶有理点，从而可得 上有无穷多个有理点. 椭圆曲线 上的每一个有理点，都对应着方程
的一组整数解.
如椭圆曲线 上的有理点 对应着
从而可得方程
的一组整数解
容易看出这是一组平凡解. 为了得到非平凡解，我们取椭圆曲线 上的有理点
这个点对应着
而这又对应着
从而可得方程
的一组整数解
Chouhdry 和 Wroblewski 用这种方法一共找到了 组解，其中较小的 组解见下表.
如由表中的第一组解
可得方程
的一组整数解
若这组解的每个数都加 ，则可得方程
的一组正整数解
用计算机验证结果如下：
可知确实为方程的解！
看证明前：woc！？
看证明中：woc！！
看证明后：woc~
。
。
。
。
。
。
几个月后：trivial
Radon-Nikodym导数
如果测度 关于测度 绝对连续，那么存在一个函数 使得任意可测集
且在测度看来，几乎处处唯一（即若两个函数都满足此条件，则他们几乎处处相等）
这个函数 称为 对 的Radon-Nikodym导数，记作 。
对于学数学的同学来说，这个定理可能太简单了，没有什么奇怪的，但这个东西在物理上很不一般，因为物理上有很多密度，他们实际上都是Radon-Nikodym导数，这其中也包括概率密度，当然量子力学的波函数也是Radon-Nikodym导数，相当于概率密度开方再乘以相位。
Cartan对单李代数的分类，A B C D 四族典型群和E F G 三族例外单李群，以及相应的Dynkim diagram，根系图（图片网上搜吧），当然还有这些李群的结构和表示论。非常漂亮的一套理论。我希望有生之年也能做出这样精美的工作。
我在我们系里还见过量子群的根系图，非常对称，等我回到系里再拍张照片传上来。
这是我见过的对圆周率最棒的诠释，为宅总打call
https://www.zhihu.com/video/973946671940472832来源：疑犯追踪(POI)第二季第11集
讲一个震撼到我的数学小故事吧。
1933 年，匈牙利数学家 George Szekeres 还只有 22 岁。那个时候，他常常和朋友们在匈牙利的首都布达佩斯讨论数学。这群人里面还有同样生于匈牙利的数学怪才——Paul Erdős 大神。不过当时，Erdős 只有 20 岁。
在一次数学聚会上，一位叫做 Esther Klein 的美女同学提出了这么一个结论：在平面上随便画五个点（其中任意三点不共线），那么一定有四个点，它们构成一个凸四边形。Szekeres 和 Erdős 等人想了好一会儿，没想到该怎么证明。于是，美女同学得意地宣布了她的证明：这五个点的凸包（覆盖整个点集的最小凸多边形）只可能是五边形、四边形和三角形。前两种情况都已经不用再讨论了，而对于第三种情况，把三角形内的两个点连成一条直线，则三角形的三个顶点中一定有两个顶点在这条直线的同一侧，这四个点便构成了一个凸四边形。
众人大呼精彩。之后，Erdős 和 Szekeres 仍然对这个问题念念不忘，于是尝试对其进行推广。最终，他们于 1935 年发表论文，成功地证明了一个更强的结论：对于任意一个正整数 n ≥ 3，总存在一个正整数 m，使得只要平面上的点有 m 个（并且任意三点不共线），那么一定能从中找到一个凸 n 边形。 Erdős 把这个问题命名为了“幸福结局问题”（Happy Ending problem），因为这个问题让 George Szekeres 和美女同学 Esther Klein 走到了一起，两人在 1936 年结了婚。
对于一个给定的 n ，不妨把最少需要的点数记作 f(n)。求出 f(n) 的准确值是一个不小的挑战。由于平面上任意不共线三点都能确定一个三角形，因此 f(3) = 3 。Esther Klein 的结论则可以简单地表示为 f(4) = 5 。
当 n = 5 时，八个点是不够的。下图就是八个不含凸五边形的点。
利用一些稍显复杂的方法可以证明，任意九个点都包含一个凸五边形，因此 f(5) 等于 9 。
2006 年，利用计算机的帮助，人们终于证明了 f(6) = 17 。对于更大的 n ， f(n) 的值分别是多少？ f(n) 有没有一个准确的表达式呢？这是数学中悬而未解的难题之一。
不管怎样，最后的结局真的很幸福。结婚后的近 70 年里，他们先后到过上海和阿德莱德，最终在悉尼定居，期间从未分开过。 2005 年 8 月 28 日， George 和 Esther 相继离开人世，相差不到一个小时。
—————————————感谢提醒转载
转载 ，以及一个幸福的结局| Matrix67: The Aha MomentsMatrix67: The Aha Moments 谢谢
定义Zeta函数 。
用 表示x以内素数的数量，再设 ，则有：
高等代数。
这些东西研究的挺抽象的，有的人可能不太明白，群环域这些不实际的东西学了干嘛。
不过我就好这口，哈哈哈哈
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