你靠哪些讲解学会了曾经怎么也学不会的算法？
曾经，我也和很多人一样，面对那些动不动就冒出“时间复杂度”、“空间复杂度”、“递归”、“回溯”之类的算法，就像是看一本天书。越看越糊涂，越学越挫败。什么动态规划、图论，听着都觉得高深莫测，遥不可及。
真正让我开始“开窍”，并且能够把那些曾经让我头疼的算法变成自己手里解决问题的工具，并不是靠某一本“神书”或者某一个“圣人”的一句话。它是一个循序渐进、不断试错、并且把抽象概念具体化的过程。
一、 从“理解”到“看懂”，再到“会用”：破除“畏难”心理
最开始，我面对算法，有一种天然的“畏难”情绪。总觉得它们是数学家、计算机科学家们玩的高雅游戏，离我这种“普通人”太远。这种心态是最大的障碍。
我开始调整策略，不再一开始就抱着“我要彻底搞懂它”的决心，而是先给自己设定一个更小的目标：“我只是想先看懂这个算法在做什么”。
第一步：找一个“讲人话”的解释。 我会避免一开始就去看官方文档或者那些充斥着专业术语的教材。相反，我会去搜索那些用更日常、更形象的比喻来解释算法的资源。比如，学习排序算法时，我会找那些把冒泡排序比作“一锅煮饺子，每轮都让最上面的饺子沉下去”的讲解；学习二分查找时，我会找那种“你在一堆按顺序排列的书中找一本书，每次都先翻到中间”的例子。
第二步：动手“模拟”一遍。 看懂比喻之后，我会找一个非常小的数据集（比如一个只有5个元素的数组），然后跟着讲解一步一步地在纸上或者脑子里“跑”一遍。比如，用选择排序给 [5, 2, 8, 1, 4] 排序：
第一轮，找最小的1，和5交换，变成 [1, 2, 8, 5, 4]。
第二轮，在剩下的 [2, 8, 5, 4] 中找最小的2，它已经在正确位置，不动。
第三轮，在剩下的 [8, 5, 4] 中找最小的4，和8交换，变成 [1, 2, 4, 5, 8]。
第四轮，在剩下的 [5, 8] 中找最小的5，它已经在正确位置，不动。
最后得到 [1, 2, 4, 5, 8]。
这个过程就像是玩一个解谜游戏，把抽象的代码逻辑变成了可视化的动作。
第三步：理解“为什么”这么做。 在模拟一遍之后，我会回过头来思考：为什么这个算法要这样设计？它解决了什么问题？比如，为什么冒泡排序每次都要比较相邻的两个元素？因为它能保证每一轮都能把当前未排序部分的最大（或最小）元素“冒泡”到最后面。理解这个“目的”和“逻辑”，比死记硬背代码更重要。
二、 数据结构是算法的“基石”：没有好的地基，再高的大楼也建不起来
我曾经犯过一个很大的错误，就是单纯地去啃算法，而忽略了数据结构。结果就是，我能“背”下一些算法的步骤，但理解起来总觉得隔靴搔痒，也无法灵活运用。
后来我才明白，很多算法之所以有效，是因为它们依托于特定的数据结构。理解了数据结构，算法的原理就自然而然地浮现了。
图论与邻接表/邻接矩阵： 学习最短路径算法（如Dijkstra）或者深度优先/广度优先搜索（DFS/BFS）时，我发现如果不能理解图是什么，邻接表和邻接矩阵又是怎么表示边的，那么算法的介绍就全是天书。我花了很多时间去学习如何用不同的方式表示图，然后把DFS/BFS的“遍历”行为和“访问邻居”的概念联系起来。就像玩迷宫，BFS是层层推进，一层一层地探索；DFS是沿着一条路一直走到黑，碰壁了再退回来。
栈与递归/表达式求值： 学习递归函数时，我发现很多人用“函数调用栈”来解释。我特意去研究了栈这种数据结构，理解它的“后进先出”特性。当我看到递归函数调用时，我脑子里就自动会想象成是把当前的“状态”（函数参数、局部变量）压入栈中，然后处理下一层；返回时再从栈中弹出。这对于理解回溯算法（Backtracking）尤其重要。
队列与BFS： 同样，BFS的核心就是队列。理解队列的“先进先出”特性，就很容易明白为什么BFS能找到最短路径（或者说层数最少的路径），因为它总是先访问离起点近的节点，再访问远的节点。
三、 实践出真知：代码调试是我最好的老师
光看不练，永远学不会。当我对一个算法有了初步的理解后，最关键的一步就是动手写代码。
从简单版本的实现开始： 我不会一开始就去追求最优解或者最复杂的版本。比如学习快速排序，我先尝试实现一个相对容易理解的版本，哪怕它的时间复杂度不是最优的。
断点调试： 这是我最常用的“秘诀”。当我写完代码，运行结果不对，或者出现死循环时，我不会立刻放弃，而是把代码放到调试器里。我会设置断点，一步一步地执行代码，观察每一步变量的变化，看看程序到底是怎么走到那个错误的状态的。这个过程就像是给算法“照X光”，把它的内部运行机制看得一清二楚。
比如，我调试一个图的遍历算法，如果发现它漏掉了某个节点，我就会在“访问节点”的代码前后设置断点，看看它为什么没有“看到”那个节点，是图的表示有问题，还是遍历逻辑有问题。
对比和修改： 很多时候，我也会找一些网上成熟的、正确的实现，和我的代码进行对比。看看别人是怎么处理边界情况的，是怎么优化代码的。然后，根据这些对比，一点点修改自己的代码，直到它能正确运行。
四、 “以终为始”：反向理解算法的设计思路
有时候，我也会尝试“反向”去理解算法。
思考解决的问题： 我会先确定这个算法是为了解决什么问题而诞生的，以及它要达到的目标是什么。比如，动态规划是为了解决具有“重叠子问题”和“最优子结构”的问题，它要找到的是最优解。
推导过程： 然后，我会尝试自己去推导，能不能想出一个“朴素”的解决方法，然后再看看这个朴素方法有什么问题（比如重复计算），以及如何优化。这个过程会让我更深刻地理解为什么会有 DP 这种“填表”或者“记忆化”的思想。
比如，学习斐波那契数列的 DP，我首先想到的是递归 `fib(n) = fib(n1) + fib(n2)`。然后我发现 `fib(3)` 会被计算很多次。这时我就会想，能不能把算过的结果存起来？这就自然而然地导出了 DP 的思路。
五、 别怕“不懂”：在“踩坑”中学习
最重要的一点，也许是接受“我就是不懂”的事实，并且把“不懂”当作学习的常态。
大量的试错： 很多人学习算法，可能只是看了一两篇讲解就觉得自己明白了。我发现，真正能记住并且掌握的，都是那些我“踩过坑”、折腾了很久才弄明白的算法。那些“一蹴而就”的理解，往往也是最不牢固的。
反思总结： 每次我因为某个算法卡住，或者写出错误的程序时，我都会花时间反思：我错在哪里？是理解错了概念，还是代码实现有误？把这些错误记录下来，下次遇到类似的问题，就能避免。
总而言之，我学会这些算法的过程，不是一个“一键下载”的过程，而是一个“炼钢”的过程。它需要耐心的打磨、反复的实践、不断的试错，以及最重要的——理解“为什么”。当我不再把算法当作需要“记住”的公式，而是当作解决问题的“思路”和“工具”时，它们就变得不再可怕，反而充满魅力了。
真正让我开始“开窍”，并且能够把那些曾经让我头疼的算法变成自己手里解决问题的工具，并不是靠某一本“神书”或者某一个“圣人”的一句话。它是一个循序渐进、不断试错、并且把抽象概念具体化的过程。
一、 从“理解”到“看懂”，再到“会用”：破除“畏难”心理
最开始，我面对算法，有一种天然的“畏难”情绪。总觉得它们是数学家、计算机科学家们玩的高雅游戏，离我这种“普通人”太远。这种心态是最大的障碍。
我开始调整策略，不再一开始就抱着“我要彻底搞懂它”的决心，而是先给自己设定一个更小的目标：“我只是想先看懂这个算法在做什么”。
第一步：找一个“讲人话”的解释。 我会避免一开始就去看官方文档或者那些充斥着专业术语的教材。相反，我会去搜索那些用更日常、更形象的比喻来解释算法的资源。比如，学习排序算法时，我会找那些把冒泡排序比作“一锅煮饺子，每轮都让最上面的饺子沉下去”的讲解；学习二分查找时，我会找那种“你在一堆按顺序排列的书中找一本书，每次都先翻到中间”的例子。
第二步：动手“模拟”一遍。 看懂比喻之后，我会找一个非常小的数据集（比如一个只有5个元素的数组），然后跟着讲解一步一步地在纸上或者脑子里“跑”一遍。比如，用选择排序给 [5, 2, 8, 1, 4] 排序：
第一轮，找最小的1，和5交换，变成 [1, 2, 8, 5, 4]。
第二轮，在剩下的 [2, 8, 5, 4] 中找最小的2，它已经在正确位置，不动。
第三轮，在剩下的 [8, 5, 4] 中找最小的4，和8交换，变成 [1, 2, 4, 5, 8]。
第四轮，在剩下的 [5, 8] 中找最小的5，它已经在正确位置，不动。
最后得到 [1, 2, 4, 5, 8]。
这个过程就像是玩一个解谜游戏，把抽象的代码逻辑变成了可视化的动作。
第三步：理解“为什么”这么做。 在模拟一遍之后，我会回过头来思考：为什么这个算法要这样设计？它解决了什么问题？比如，为什么冒泡排序每次都要比较相邻的两个元素？因为它能保证每一轮都能把当前未排序部分的最大（或最小）元素“冒泡”到最后面。理解这个“目的”和“逻辑”，比死记硬背代码更重要。
二、 数据结构是算法的“基石”：没有好的地基，再高的大楼也建不起来
我曾经犯过一个很大的错误，就是单纯地去啃算法，而忽略了数据结构。结果就是，我能“背”下一些算法的步骤，但理解起来总觉得隔靴搔痒，也无法灵活运用。
后来我才明白，很多算法之所以有效，是因为它们依托于特定的数据结构。理解了数据结构，算法的原理就自然而然地浮现了。
图论与邻接表/邻接矩阵： 学习最短路径算法（如Dijkstra）或者深度优先/广度优先搜索（DFS/BFS）时，我发现如果不能理解图是什么，邻接表和邻接矩阵又是怎么表示边的，那么算法的介绍就全是天书。我花了很多时间去学习如何用不同的方式表示图，然后把DFS/BFS的“遍历”行为和“访问邻居”的概念联系起来。就像玩迷宫，BFS是层层推进，一层一层地探索；DFS是沿着一条路一直走到黑，碰壁了再退回来。
栈与递归/表达式求值： 学习递归函数时，我发现很多人用“函数调用栈”来解释。我特意去研究了栈这种数据结构，理解它的“后进先出”特性。当我看到递归函数调用时，我脑子里就自动会想象成是把当前的“状态”（函数参数、局部变量）压入栈中，然后处理下一层；返回时再从栈中弹出。这对于理解回溯算法（Backtracking）尤其重要。
队列与BFS： 同样，BFS的核心就是队列。理解队列的“先进先出”特性，就很容易明白为什么BFS能找到最短路径（或者说层数最少的路径），因为它总是先访问离起点近的节点，再访问远的节点。
三、 实践出真知：代码调试是我最好的老师
光看不练，永远学不会。当我对一个算法有了初步的理解后，最关键的一步就是动手写代码。
从简单版本的实现开始： 我不会一开始就去追求最优解或者最复杂的版本。比如学习快速排序，我先尝试实现一个相对容易理解的版本，哪怕它的时间复杂度不是最优的。
断点调试： 这是我最常用的“秘诀”。当我写完代码，运行结果不对，或者出现死循环时，我不会立刻放弃，而是把代码放到调试器里。我会设置断点，一步一步地执行代码，观察每一步变量的变化，看看程序到底是怎么走到那个错误的状态的。这个过程就像是给算法“照X光”，把它的内部运行机制看得一清二楚。
比如，我调试一个图的遍历算法，如果发现它漏掉了某个节点，我就会在“访问节点”的代码前后设置断点，看看它为什么没有“看到”那个节点，是图的表示有问题，还是遍历逻辑有问题。
对比和修改： 很多时候，我也会找一些网上成熟的、正确的实现，和我的代码进行对比。看看别人是怎么处理边界情况的，是怎么优化代码的。然后，根据这些对比，一点点修改自己的代码，直到它能正确运行。
四、 “以终为始”：反向理解算法的设计思路
有时候，我也会尝试“反向”去理解算法。
思考解决的问题： 我会先确定这个算法是为了解决什么问题而诞生的，以及它要达到的目标是什么。比如，动态规划是为了解决具有“重叠子问题”和“最优子结构”的问题，它要找到的是最优解。
推导过程： 然后，我会尝试自己去推导，能不能想出一个“朴素”的解决方法，然后再看看这个朴素方法有什么问题（比如重复计算），以及如何优化。这个过程会让我更深刻地理解为什么会有 DP 这种“填表”或者“记忆化”的思想。
比如，学习斐波那契数列的 DP，我首先想到的是递归 `fib(n) = fib(n1) + fib(n2)`。然后我发现 `fib(3)` 会被计算很多次。这时我就会想，能不能把算过的结果存起来？这就自然而然地导出了 DP 的思路。
五、 别怕“不懂”：在“踩坑”中学习
最重要的一点，也许是接受“我就是不懂”的事实，并且把“不懂”当作学习的常态。
大量的试错： 很多人学习算法，可能只是看了一两篇讲解就觉得自己明白了。我发现，真正能记住并且掌握的，都是那些我“踩过坑”、折腾了很久才弄明白的算法。那些“一蹴而就”的理解，往往也是最不牢固的。
反思总结： 每次我因为某个算法卡住，或者写出错误的程序时，我都会花时间反思：我错在哪里？是理解错了概念，还是代码实现有误？把这些错误记录下来，下次遇到类似的问题，就能避免。
总而言之，我学会这些算法的过程，不是一个“一键下载”的过程，而是一个“炼钢”的过程。它需要耐心的打磨、反复的实践、不断的试错，以及最重要的——理解“为什么”。当我不再把算法当作需要“记住”的公式，而是当作解决问题的“思路”和“工具”时，它们就变得不再可怕，反而充满魅力了。
网友意见
NN 空间映射后得到的特征向量在2维空间的可视化，直接打开了我理解网络的大门！！
比如下图：
就是手写字体mnist的特征向量在2维空间里的样子
之前一直很难理解：
什么是特征映射 (feature map) 和特征向量 (embeddings)？
当我们谈及 CNN 网络，总能听到 feature map 这个词。它也叫特征映射，简单说来就是输入图像在与卷积核进行卷积操作后得到图像特征。
一般而言，CNN 网络在对图像自底向上提取特征时，feature map 的数量(其实也对应的就是卷积核的数目) 会越来越多，而空间信息会越来越少，其特征也会变得越来越抽象。比如著名的 VGG16 网络，它的 feature map 变化就是这个样子。
feature map 在空间尺寸上越来越小，但在通道尺寸上变得越来越深，这就是 VGG16 的特点。
讲到 feature map 哦，就不得不提一下人脸识别领域里经常提到的 embedding. 一般来说，它其实就是 feature map 被最后一层全连接层所提取到特征向量。早在2006年，深度学习鼻祖 hinton 就在《SCIENCE》上发表了一篇论文，首次利用自编码网络对 mnist 手写数字提取出了特征向量(一个2维或3维的向量)。
值得一提的是，也是这篇论文揭开了深度学习兴起的序幕。
前面我们提到：CNN 网络在对图像自底向上提取特征时，得到的 feature map 一般都是在空间尺寸上越来越小，而在通道尺寸上变得越来越深。 那么，为什么要这么做？
其实，这就与 ROI (感兴趣区域)映射到 Feature Map 有关。在上面这幅图里：原图里的一块 ROI 在 CNN 网络空间里映射后，在 feature map 上空间尺寸会变得更小，甚至是一个点, 但是这个点的通道信息会很丰富，这些通道信息是 ROI 区域里的图片信息在 CNN 网络里映射得到的特征表示。由于图像中各个相邻像素在空间上的联系很紧密，这在空间上造成具有很大的冗余性。因此，我们往往会通过在空间上降维，而在通道上升维的方式来消除这种冗余性，尽量以最小的维度来获得它最本质的特征。
原图左上角红色 ROI 经 CNN 映射后在 feature map 空间上只得到了一个点，但是这个点有85个通道。那么，ROI的维度由原来的 [32, 32, 3] 变成了现在的 85 维，这难道又不是降维打击么？
---by 学习自yunyang1994 的博客！！AI小伙们的宝藏
追更：这个图到底怎么理解
详细内容及复现请看：
MNIST 数据集上的一个示例，可以通过将输出维度设置为 2 或 3 来可视化 CNN 特征，如下图所示。
二维可视化
原始 softmax
修改后的 softmax
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