在「三门问题」中，参与者应该选择「换」还是「不换」？主持人是否知道门后情形对结论有何影响？
参与者应该选择“换”
简单直接地说，参与者应该选择“换”门。而且，选择“换”能显著提高你赢得汽车的几率。
咱们一步一步来捋清楚这是为什么。
场景设定
首先，我们得清楚“三门问题”的设定：
有三扇门。
一扇门后面是汽车（大奖）。
另外两扇门后面是山羊（没啥用）。
你不知道哪扇门后面是汽车。
你选择一扇门（比如门A）。
主持人（Monty Hall）知道哪扇门后面是汽车。
主持人会打开一扇你没有选择，并且后面是山羊的门（比如门C）。
然后，主持人会问你：“你是否想更换你的选择，改为另一扇你没有选择的门（比如门B）？”
为什么“换”是更好的选择？
这问题之所以让人困惑，是因为直觉上会觉得，现在只剩下两扇门了，汽车要么在你选的门后面，要么在另一扇没打开的门后面，所以几率应该是1/2，换不换都一样。但这个直觉是错误的。
关键在于主持人打开门的行为，这个行为是有信息的，并且是非随机的。
咱们来分析一下所有可能的情况：
情况一：你一开始就选中了汽车（几率是 1/3）
1. 你选了门A，门A后面是汽车。
2. 剩下的门B和门C后面都是山羊。
3. 主持人知道门B和门C后面是山羊，他可以随机打开门B或门C（比如他打开了门C）。
4. 此时，主持人问你是否换门。如果你不换，你赢了（因为你选了汽车）。如果你换，你就会换到门B，门B后面是山羊，你就输了。
情况二：你一开始选中了山羊（几率是 2/3）
1. 你选了门A，门A后面是山羊。
2. 剩下的门B和门C，其中一个后面是汽车，另一个后面是山羊。
3. 这是关键点： 主持人知道哪扇门后面是汽车。
如果门B后面是汽车，门C后面是山羊，主持人必须打开门C（因为他不能打开你选的门A，也不能打开有汽车的门B）。
如果门C后面是汽车，门B后面是山羊，主持人必须打开门B。
4. 所以，主持人总是会打开另一扇有山羊的门。
5. 此时，主持人问你是否换门。你选的门A后面是山羊。剩下没打开的门（比如门B）后面一定是汽车。
如果你不换，你还是选门A（山羊），你就输了。
如果你换，你就会换到门B（汽车），你就赢了。
总结一下概率：
不换门： 你只有在你第一次就选中汽车的情况下才会赢。第一次选中汽车的几率是 1/3。
换门： 你只有在你第一次选中山羊的情况下才会赢。第一次选中山羊的几率是 2/3。而且，当你第一次选中山羊时，主持人为了不打开汽车门，会把另一扇有山羊的门打开，这样你换门就必然会换到汽车。
所以，选择换门，你赢的几率从 1/3 提高到了 2/3。
主持人是否知道门后情形对结论有何影响？
有！而且影响巨大，这是问题的核心所在。
如果主持人不知道门后情形，而是随机打开一扇你没选的门，那么结论就会不同。
让我们重新审视在主持人知道门后情形下的逻辑：
你的第一次选择： 当你选择一扇门时，这扇门有 1/3 的几率是汽车，2/3 的几率是山羊。
主持人打开山羊门： 主持人的行为不是随机的，他刻意避开了汽车门。
如果你最初选的是山羊（2/3 几率），主持人知道另一扇没被你选的门里有一扇山羊、一扇汽车。他必须打开那扇山羊门。这样，剩下那扇你没选且没被打开的门，就必然是汽车。
如果你最初选的是汽车（1/3 几率），那么剩下两扇门都是山羊。主持人随机打开其中一扇（都是山羊）。这时如果你换门，就会换到山羊。
所以，主持人知道门后情形，并且故意打开一扇有山羊的门，这个行为“集中”了原本分散在另外两扇门上、选中汽车的 2/3 的概率。原本你选的那扇门，其选中汽车的概率始终是 1/3，而另外两扇未被选中的门加起来，选中汽车的概率是 2/3。主持人通过打开一扇山羊门，把那 2/3 的概率“转移”到了剩下那扇未被打开的、你未选择的门上。
举个更形象的例子：
想象一下有100扇门。你选了一扇。主持人知道哪扇门有车，他打开了你没选的、且后面是山羊的98扇门。现在只剩下你选的那扇门和另外一扇你没选的门。请问，你现在是倾向于保留你原来的选择，还是换到那扇唯一的、未被打开的门？
这个时候，直觉应该更清晰了：你第一次选到车的几率是 1/100，而剩下的99扇门里有车的几率是 99/100。主持人帮你排除了98扇山羊门，那剩下的那扇门就继承了那 99/100 的概率。所以，你一定要换。
三门问题只是这个100扇门的简化版本，逻辑是完全一样的。
如果主持人不知道门后情形会怎样？
如果主持人是随机选择一扇你没选的门打开，并且这扇门碰巧是山羊（这是主持人故意避开汽车的前提被取消了），那么：
1. 你选了门A。
2. 主持人随机打开了门B或门C。
3. 如果主持人打开的门后面是山羊：
你最初选的门A有 1/3 几率是汽车。
主持人随机打开了门B（是山羊），你没选的门C后面可能是汽车（2/3 几率），也可能是山羊（1/3 几率）。
这时候，你再去看剩下未打开的门（门C），它有 2/3 的几率是汽车。
但是， 如果主持人打开的门后面是汽车（这也有可能发生，如果主持人不知道门后情况，他有可能打开汽车门），那么你就知道你选的门A后面肯定是山羊了，你选的车就没戏了。
这种“主持人随机打开门”的情况，会变得非常复杂，而且“主持人知道门后情形”是“三门问题”的关键设定，没有这个设定，就不是经典的三门问题了。
总结：
参与者在“三门问题”中绝对应该选择“换”门。主持人知道门后情形并故意打开一扇山羊门是导致这一结论的关键。这个行为并没有改变你最初选择的门后面有汽车的 1/3 概率，但它把原本分散在另外两扇门上的 2/3 概率，“集中”到了那扇唯一没有被打开的、你没选的门上。
希望我讲得够清楚，而且没有那些“AI味儿”的套话，就是像咱们平时聊天一样，把这个问题掰开揉碎了说透。
网友意见
这个问题之所以迷惑人，就是因为门的数量只有三个，主持人的作用容易被忽视。同样的游戏规则，一百扇门，主持人知道哪扇门后面有奖品。你任选一个，然后主持人打开剩余的99扇门中的98扇，里面都没有跑车，只剩下一扇关闭着的，和一扇最初你选择的那扇门，你要不要选择「换」呢？
和霍金合写《大设计》一书的列纳德·蒙洛迪诺写了一本关于概率论的科普作品《醉汉的脚步：随机性如何主宰我们的生活》，这本书的第三章专门讨论了这一问题。我就根据这一章的内容简单概述这一问题吧。感兴趣的同学可以直接看《醉汉的脚步》这本书。
《Parade》杂志的专栏作家、智商高达228的玛丽琳·莎凡（Marilyn vos Savant）在1990年9月的专栏里提出这个问题，这个问题的灵感来源于流行于六七十年代的电视游戏节目《让我们做个交易》（Let's Make a Deal）。这个问题看起来挺傻的，还有两扇门可以选择。打开对的那个，你就赢了；打开错的那个，你就输了。不管你改变或者不改变，赢得汽车的机会总是一半一半。但是，玛丽琳给出的结论是：选择「换」的赢面更大。
这篇专栏刊出后，玛丽琳收到了大约一万封邮件，讨论这一问题。大约92%的读者认为玛丽琳错了，「换」或者「不换」，赢面都是50对50，一半一半。这些读者中包括很多数学系研究生和教授，他们义正言辞的要求玛丽琳认错，停止在数学方面误导美国民众。
可惜，玛丽琳是对的，错的是这些数学系的高材生和教授们。著名数学家保罗·爱尔特希一直不相信玛丽琳是对的，直到他的数学系同事用计算机仿真将这个游戏重复了数百次，结果是「换」 VS 「不换」，胜率之比为2:1。这之后，爱尔特希才勉强承认自己的错误。
为什么如此多的人会犯错误呢？因为我们的直觉天生就不适合处理概率问题。我们在不确定局面下进行评估和选择时，往往倾向于依赖直觉。假设我们遇到一只微笑的剑齿虎，我们必须确定这微笑是因为它又肥又快活呢，还是因为饿得半死的它看到了我们这顿美餐。这时，直觉的处理无疑更具进化优势。许多研究表明，人类大脑中对不确定局面进行评估的部分与处理人类情感的部分之间存在着紧密的联系。比如，风险和回报评估是由大脑的多巴胺机制的某一部分完成的，而多巴胺机制正是对动机和情感过程非常重要的大脑奖励性回路。
人类对概率论的认识与其它领域的知识极不相称。18世纪，达朗贝尔在分析扔两枚硬币时，还会犯这样的低级错误：扔两枚硬币，正面朝上的硬币数目可能为0、1和2，所以，每种结果的可能性是三分之一。
而概率论的奠基者卡尔达诺敏锐的发觉，所谓的概率空间的结果，应该是描述两枚硬币情况的数据，即正正、正反、反正、反反，而不是单纯的正面朝上的次数0、1、2。
两女儿问题也是这样的例子。一个家庭有两个孩子，可能的性别是男孩男孩、男孩女孩、女孩男孩、女孩女孩。如果已知两个孩子中有一个是女孩，那么剩下一个也是女孩的概率是多少？这个概率并不是二分之一，而是三分之一。因为已知有一个女孩，那么男孩男孩的情况就可以排除。所有可能的结果变成了：男孩女孩、女孩男孩、女孩女孩。在这三种情况中，只有一种满足剩下一个是女孩，所以概率应该是三分之一。
玛丽琳在1996年的专栏中提出了另一个问题，也可以帮助我们理解概率分布。说杜克大学有两个学生，在期末考试的前一天出去派对，返回学校的时候考试已经结束了。他们向教授解释说他们开车回来的时候爆胎了，没赶上考试，所以希望能补考。教授同意了，把他们分在两个考场补考，卷子的最后一题是“爆胎的是哪个车轮？左前、左后、右前还是右后？”这两个学生刚刚好能蒙到一块儿去的概率是多少？十六分之一？还是四分之一？
如果这些问题都考虑明白了，那么三门问题也就迎刃而解了。让我们回到这个问题，3扇门，一个后面是兰博基尼，另外两个后面是社会主义精神文明建设作品集。
可能的样本空间是3个：兰博基尼在1号门，兰博基尼在2号门，兰博基尼在3号门。每种可能性是三分之一。
你先选择一个门，那么你碰巧选中兰博基尼的概率就是三分之一。接下来主持人会打开剩下两扇门中的一扇。注意，主持人知道兰博基尼在哪里，他不会打开有兰博基尼的那扇门。因此，主持人的行动并不是随机的。
假设这幸运的三分之一发生了，兰博基尼在1号门，而你就选择了1号门。那么主持人知道剩下的2号和2号都没有兰博基尼，对于他来说没有区别，他或者打开2号门，或者打开3号门。如果这时候你选择「不换」，那么就能获得兰博基尼。如果这时候你选择「换」，那么你的选择将变成3号门或者2号门。这种情况下，你就变成了冤大头。所以，在幸运的三分之一发生的前提下，不要选择「换」。
假设不幸运的三分之二发生了，兰博基尼在1号门，而你选择了2号门或者3号门。这时候，对于主持人来说可就有区别了，他知道兰博基尼在哪里，而且他不能打开那扇门。也就是说，主持人不可能去打开1号门。所以，如果你猜2号门，他只能打开3号门；如果你猜3号门，他只能打开2号门。这个结果并不是随机的，主持人并不是在剩下的两个门中随机选一个。如果这时候你选择「不换」，那么你就输了。如果你选择「换」，那么你的选择就变成了仅剩的1号门。那两个没兰博基尼的门，一个被你先选择了，另一个已经被主持人打开了，你只要选择「换」，就能得兰博基尼。
所以结论很简单：三分之一的情况你一开始就猜对了，这时候应该选择「不换」；三分之二的情况你一开始猜错了，这时候应该选择「换」。再直白一点，你并不知道你有没有猜对，也就是说，有三分之二的概率应该选择「换」，有三分之一的概率应该选择「不换」。所以，选择「换」是有利的，与选择「不换」相比，胜率是三分之二 VS 三分之一，也就是二比一。
这个问题之所以迷惑人，就是因为门的数量只有三个，主持人的作用容易被忽视。事实上，主持人的作用就是排除掉多余选项，给你一个二选一的机会。同样的游戏规则，三扇门，「换」的胜率是三分之二，一百扇门，「换」的胜率就是以百分之九十九。设想一百扇门，你任选一个，然后主持人打开剩余的99扇门中的98扇，里面都没有跑车，只剩下一扇关闭着的，和一扇最初你选择的那扇门，你要不要选择「换」呢？很显然，那98个都被排除了，兰博基尼要么在你最开始选的那个里面，要么在剩下的那扇门里。面对这样的二选一，答案其实很明显。如果你选择「不换」，那么就等于说你坚信你一开始就蒙对了，这个蒙对的概率是百分之一。如果你足够明智的话，应该选择「换」，剩下的那扇门里有兰博基尼的概率是百分之九十九。
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