这个对数积分该如何计算？
好的，咱们一起来聊聊这个对数积分该怎么算。别担心，我会把步骤讲得明明白白，让你一看就懂，就像跟朋友聊天一样。
咱们要算的是 ∫ ln(x) dx 这个积分。这个积分看着不复杂，但直接套用基本积分公式可能有点麻烦，因为被积函数是 ln(x)，它本身不是一个简单的多项式或者三角函数。这时候，我们就需要请出一位“万能钥匙”——分部积分法了。
分部积分法：咱们的“万能钥匙”
分部积分法的核心思想是把一个积分看成两个函数相乘的积分，然后利用公式把它们转换一下。公式长这样：
∫ u dv = uv ∫ v du
这里面，我们得自己选哪一部分是 `u`，哪一部分是 `dv`。怎么选呢？有一个不成文的规则，叫做 LIATE 法则，虽然不是绝对的，但在很多情况下非常管用：
L: Logarithmic functions (对数函数)，比如 ln(x)
I: Inverse trigonometric functions (反三角函数)，比如 arctan(x)
A: Algebraic functions (代数函数)，比如 x², x+1
T: Trigonometric functions (三角函数)，比如 sin(x), cos(x)
E: Exponential functions (指数函数)，比如 e^x
LIATE 法则的建议是，按照这个顺序，越靠前的函数，越适合选作 `u`。为什么呢？因为通常情况下，把靠前的函数选作 `u`，经过求导后会变得更简单，而把靠后的函数选作 `dv`，经过积分后也不会变得太复杂。
咱们来实操一下 ∫ ln(x) dx
回到我们的 ∫ ln(x) dx。根据 LIATE 法则，`ln(x)` 是对数函数，它排在第一位。那么，剩下的 `dx` 就得是我们选择的 `dv` 了。
1. 选择 `u` 和 `dv`：
令 `u = ln(x)`
令 `dv = dx`
2. 求 `du` 和 `v`：
对 `u = ln(x)` 求导，得到 `du = (1/x) dx`。这个很重要，我们把 `u` 变成 `du` 了，积分就变成求导了，这样可以化简。
对 `dv = dx` 求积分，得到 `v = x`。注意，这里我们通常不加常数 `C`，因为最后的常数会被合并。
3. 代入分部积分公式：
现在我们有了 `u`, `dv`, `du`, `v`，就可以把它们塞进公式 ∫ u dv = uv ∫ v du 里了：
∫ ln(x) dx = (ln(x)) (x) ∫ (x) (1/x) dx
4. 化简和继续积分：
你看，公式右边第二项的 `x (1/x)` 约分后就变成了 `1`。这真是个好消息！
∫ ln(x) dx = x ln(x) ∫ 1 dx
现在，我们需要计算 ∫ 1 dx 这个积分了。这个就非常简单了，任何常数的积分就是常数乘以 `x`。
∫ 1 dx = x
5. 最终结果：
把 ∫ 1 dx 的结果代回去，我们就得到了 ∫ ln(x) dx 的最终答案：
∫ ln(x) dx = x ln(x) x
最后别忘了加上积分常数 `C`，因为我们做的是不定积分：
∫ ln(x) dx = x ln(x) x + C
总结一下过程
整个过程就是抓住关键：
识别出需要使用分部积分法：当被积函数不是基本函数时，考虑分部积分。
巧妙选择 `u` 和 `dv`：利用 LIATE 法则来辅助选择，目标是让 `∫ v du` 的计算比原积分更简单。
准确计算 `du` 和 `v`：求导和积分要细心。
代入公式，化简并计算剩余积分：有时候，化简后的积分会变得非常容易计算。
你看，就是这么一步步来的。把对数函数看作一个函数（`u`），把 `dx` 看作另一个微分（`dv`），然后套用分部积分的公式，最后就能轻松得出结果了。这个方法在处理很多其他类型的积分时也同样适用，是数学中一个非常强大的工具。
咱们要算的是 ∫ ln(x) dx 这个积分。这个积分看着不复杂，但直接套用基本积分公式可能有点麻烦，因为被积函数是 ln(x)，它本身不是一个简单的多项式或者三角函数。这时候，我们就需要请出一位“万能钥匙”——分部积分法了。
分部积分法：咱们的“万能钥匙”
分部积分法的核心思想是把一个积分看成两个函数相乘的积分，然后利用公式把它们转换一下。公式长这样：
∫ u dv = uv ∫ v du
这里面，我们得自己选哪一部分是 `u`，哪一部分是 `dv`。怎么选呢？有一个不成文的规则，叫做 LIATE 法则，虽然不是绝对的，但在很多情况下非常管用：
L: Logarithmic functions (对数函数)，比如 ln(x)
I: Inverse trigonometric functions (反三角函数)，比如 arctan(x)
A: Algebraic functions (代数函数)，比如 x², x+1
T: Trigonometric functions (三角函数)，比如 sin(x), cos(x)
E: Exponential functions (指数函数)，比如 e^x
LIATE 法则的建议是，按照这个顺序，越靠前的函数，越适合选作 `u`。为什么呢？因为通常情况下，把靠前的函数选作 `u`，经过求导后会变得更简单，而把靠后的函数选作 `dv`，经过积分后也不会变得太复杂。
咱们来实操一下 ∫ ln(x) dx
回到我们的 ∫ ln(x) dx。根据 LIATE 法则，`ln(x)` 是对数函数，它排在第一位。那么，剩下的 `dx` 就得是我们选择的 `dv` 了。
1. 选择 `u` 和 `dv`：
令 `u = ln(x)`
令 `dv = dx`
2. 求 `du` 和 `v`：
对 `u = ln(x)` 求导，得到 `du = (1/x) dx`。这个很重要，我们把 `u` 变成 `du` 了，积分就变成求导了，这样可以化简。
对 `dv = dx` 求积分，得到 `v = x`。注意，这里我们通常不加常数 `C`，因为最后的常数会被合并。
3. 代入分部积分公式：
现在我们有了 `u`, `dv`, `du`, `v`，就可以把它们塞进公式 ∫ u dv = uv ∫ v du 里了：
∫ ln(x) dx = (ln(x)) (x) ∫ (x) (1/x) dx
4. 化简和继续积分：
你看，公式右边第二项的 `x (1/x)` 约分后就变成了 `1`。这真是个好消息！
∫ ln(x) dx = x ln(x) ∫ 1 dx
现在，我们需要计算 ∫ 1 dx 这个积分了。这个就非常简单了，任何常数的积分就是常数乘以 `x`。
∫ 1 dx = x
5. 最终结果：
把 ∫ 1 dx 的结果代回去，我们就得到了 ∫ ln(x) dx 的最终答案：
∫ ln(x) dx = x ln(x) x
最后别忘了加上积分常数 `C`，因为我们做的是不定积分：
∫ ln(x) dx = x ln(x) x + C
总结一下过程
整个过程就是抓住关键：
识别出需要使用分部积分法：当被积函数不是基本函数时，考虑分部积分。
巧妙选择 `u` 和 `dv`：利用 LIATE 法则来辅助选择，目标是让 `∫ v du` 的计算比原积分更简单。
准确计算 `du` 和 `v`：求导和积分要细心。
代入公式，化简并计算剩余积分：有时候，化简后的积分会变得非常容易计算。
你看，就是这么一步步来的。把对数函数看作一个函数（`u`），把 `dx` 看作另一个微分（`dv`），然后套用分部积分的公式，最后就能轻松得出结果了。这个方法在处理很多其他类型的积分时也同样适用，是数学中一个非常强大的工具。
网友意见
先换元，改成容易级数展开的形式。
我们先算一下 。
后面那个积分，如果是从0到1的话就是我们熟悉的Euler级数了：
下面先计算Euler级数。
所以， 。
再计算剩下的积分。
这里有3个积分。第一个：
第二个：
第三个：
合起来就是：
所以原积分等于
Mathematica验证：
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