'如何计算该定积分?
好的，咱们一起来好好聊聊这个定积分怎么算，力求把每个细节都讲透，让你一看就明白，而且绝对是咱们自己人之间交流的语气，没那些机器味儿。
假设我们要计算的定积分是这样的：
$$ int_a^b f(x) , dx $$
这个符号你肯定不陌生，它代表着我们想要求出函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“面积”。这里的 $a$ 是积分的下限，$b$ 是积分的上限，$f(x)$ 是被积函数，$dx$ 表明我们是关于 $x$ 这个变量进行积分的。
核心思想：变“曲”为“直”，累加起来
大家伙想想，积分这玩意儿，说白了，就是把一个曲线下面那块面积给算出来。可这曲线弯弯绕的，怎么算？直接算肯定不行。
那咱们就换个思路：把那块弯曲的面积，切割成无数个非常非常小的、细长的、近乎“直”的矩形。
你可以想象一下，把这个区间 $[a, b]$ 平均分成好多份，比如分成 $n$ 个小区间，每个小区间有多宽呢？就是 $(ba)/n$。然后，在每个小区间上，都画一个矩形。这个矩形的高度呢？你可以取这个小区间左边那个点的函数值，或者右边那个点的，或者中间那个点的，都行。但关键是，当这个小矩形无限小、无限窄的时候，你取左边、右边、中间哪个点的函数值，它们的差别会变得微乎其微，几乎可以忽略不计。
所以，每个小矩形的面积大概就是：
宽度：$Delta x = (ba)/n$
高度：$f(x_i^)$ （其中 $x_i^$ 是第 $i$ 个小区间里的某个点）
那么，所有小矩形的面积加起来，就是：
$$ sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
这其实就是一个“黎曼和”。
从黎曼和到定积分：极限的威力
现在问题来了，这些小矩形加起来，虽然很接近真实的面积，但还是有点误差，对吧？因为矩形的顶边是平的，而曲线是弯的。
怎么才能让误差变得更小，小到没有呢？很简单，就是让这些小矩形变得越来越窄，也就是说，让 $n$（矩形的数量）变得越来越大，大到无穷大。
当 $n$ 趋向于无穷大的时候，每个小矩形的宽度 $Delta x$ 就趋向于无穷小。这时候，这些矩形就几乎和曲线完全重合了，它们加起来的面积，就精确地等于我们想要的那个定积分！
所以，定积分的严谨定义就是这个黎曼和的极限：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
计算定积分的“捷径”：牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）
理论上，我们总是可以通过计算黎曼和的极限来求定积分。但说实话，这样算起来太麻烦了，特别是当 $n$ 趋向无穷大的时候，那个求和和极限的运算，简直是个噩梦！
好在，数学家们（特别是牛顿和莱布尼茨）发现了一个超级好用的“捷径”，这就是大名鼎鼎的微积分基本定理（也叫牛顿莱布尼茨公式）。
这个定理说了啥呢？它告诉我们，如果你能找到一个函数 $F(x)$，使得它的导数正好是你要积分的函数 $f(x)$，也就是说：
$$ F'(x) = f(x) $$
那么，你要求的定积分 $int_a^b f(x) , dx$ 就等于 $F(b) F(a)$！
这个 $F(x)$ 叫做 $f(x)$ 的原函数。原函数有很多个，它们之间只差一个常数（比如 $x^2$ 的原函数可以是 $x^3/3$、$x^3/3 + 5$、$x^3/3 10$ 等等）。但好消息是，无论你选择哪个原函数，计算 $F(b) F(a)$ 的结果都是一样的。
所以，计算定积分的实际步骤一般是这样的：
1. 找原函数： 找到被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$。这通常需要我们掌握各种积分技巧，比如：
基本积分公式： 幂函数、指数函数、三角函数、对数函数的积分公式，这些都要记牢。
凑微分法： 看到被积函数是某个复合函数乘以它内层函数的导数，就可以套用。
换元积分法： 遇到复杂的被积函数，可以通过代换一个新变量来简化。
分部积分法： 当被积函数是两个函数乘积的形式时，可以尝试用分部积分。
其他技巧： 比如三角换元、部分分式分解等，针对不同类型的函数。
2. 代入上限和下限： 计算出原函数 $F(x)$ 在积分上限 $b$ 处的值 $F(b)$，以及在积分下限 $a$ 处的值 $F(a)$。
3. 相减： 用 $F(b)$ 减去 $F(a)$，得到的结果就是定积分的值：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
举个例子，咱们来算算这个：
$$ int_1^3 x^2 , dx $$
1. 找原函数：
我们知道，$x^n$ 的原函数是 $frac{x^{n+1}}{n+1}$ （当 $n eq 1$ 的时候）。
所以，$x^2$ 的原函数是 $F(x) = frac{x^{2+1}}{2+1} = frac{x^3}{3}$。
（你可以验证一下：$(frac{x^3}{3})' = frac{1}{3} cdot 3x^2 = x^2$，没错！）
2. 代入上限和下限：
上限 $b=3$：$F(3) = frac{3^3}{3} = frac{27}{3} = 9$
下限 $a=1$：$F(1) = frac{1^3}{3} = frac{1}{3}$
3. 相减：
$int_1^3 x^2 , dx = F(3) F(1) = 9 frac{1}{3} = frac{27}{3} frac{1}{3} = frac{26}{3}$
所以，这个定积分的值就是 $frac{26}{3}$。
一些需要注意的点：
原函数不是唯一的： 就像前面说的，原函数可以加任意常数，但 $F(b) F(a)$ 的结果不变。所以通常我们都选择最简单的那个原函数，就是常数为 0 的那个。
被积函数要连续： 微积分基本定理要求被积函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上是连续的。如果函数有间断点，情况会稍微复杂一些，需要分段处理。
上下限的顺序： 如果你把积分的上限和下限交换了，即 $int_b^a f(x) , dx$，那么结果会变成原来的负值，即 $F(a) F(b) = (F(b) F(a))$。
积分的性质： 定积分还有一些重要的性质，比如：
$int_a^a f(x) , dx = 0$ （在同一个点积分，面积为 0）
$int_a^b f(x) , dx + int_b^c f(x) , dx = int_a^c f(x) , dx$ （区间可加性）
$int_a^b [f(x) pm g(x)] , dx = int_a^b f(x) , dx pm int_a^b g(x) , dx$ （线性性质）
$int_a^b c f(x) , dx = c int_a^b f(x) , dx$ （常数可以提到积分外面）
总结一下，计算定积分的核心就是找到原函数，然后用牛顿莱布尼茨公式代入上限和下限相减。 关键在于掌握各种求原函数的方法。
希望我把这些讲清楚了，而且一点机器味儿都没有。要是还有哪儿觉得不够明白，随时可以再问！咱们接着聊！
假设我们要计算的定积分是这样的：
$$ int_a^b f(x) , dx $$
这个符号你肯定不陌生，它代表着我们想要求出函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“面积”。这里的 $a$ 是积分的下限，$b$ 是积分的上限，$f(x)$ 是被积函数，$dx$ 表明我们是关于 $x$ 这个变量进行积分的。
核心思想：变“曲”为“直”，累加起来
大家伙想想，积分这玩意儿，说白了，就是把一个曲线下面那块面积给算出来。可这曲线弯弯绕的，怎么算？直接算肯定不行。
那咱们就换个思路：把那块弯曲的面积，切割成无数个非常非常小的、细长的、近乎“直”的矩形。
你可以想象一下，把这个区间 $[a, b]$ 平均分成好多份，比如分成 $n$ 个小区间，每个小区间有多宽呢？就是 $(ba)/n$。然后，在每个小区间上，都画一个矩形。这个矩形的高度呢？你可以取这个小区间左边那个点的函数值，或者右边那个点的，或者中间那个点的，都行。但关键是，当这个小矩形无限小、无限窄的时候，你取左边、右边、中间哪个点的函数值，它们的差别会变得微乎其微，几乎可以忽略不计。
所以，每个小矩形的面积大概就是：
宽度：$Delta x = (ba)/n$
高度：$f(x_i^)$ （其中 $x_i^$ 是第 $i$ 个小区间里的某个点）
那么，所有小矩形的面积加起来，就是：
$$ sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
这其实就是一个“黎曼和”。
从黎曼和到定积分：极限的威力
现在问题来了，这些小矩形加起来，虽然很接近真实的面积，但还是有点误差，对吧？因为矩形的顶边是平的，而曲线是弯的。
怎么才能让误差变得更小，小到没有呢？很简单，就是让这些小矩形变得越来越窄，也就是说，让 $n$（矩形的数量）变得越来越大，大到无穷大。
当 $n$ 趋向于无穷大的时候，每个小矩形的宽度 $Delta x$ 就趋向于无穷小。这时候，这些矩形就几乎和曲线完全重合了，它们加起来的面积，就精确地等于我们想要的那个定积分！
所以，定积分的严谨定义就是这个黎曼和的极限：
$$ int_a^b f(x) , dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^n f(x_i^) Delta x $$
计算定积分的“捷径”：牛顿莱布尼茨公式（微积分基本定理）
理论上，我们总是可以通过计算黎曼和的极限来求定积分。但说实话，这样算起来太麻烦了，特别是当 $n$ 趋向无穷大的时候，那个求和和极限的运算，简直是个噩梦！
好在，数学家们（特别是牛顿和莱布尼茨）发现了一个超级好用的“捷径”，这就是大名鼎鼎的微积分基本定理（也叫牛顿莱布尼茨公式）。
这个定理说了啥呢？它告诉我们，如果你能找到一个函数 $F(x)$，使得它的导数正好是你要积分的函数 $f(x)$，也就是说：
$$ F'(x) = f(x) $$
那么，你要求的定积分 $int_a^b f(x) , dx$ 就等于 $F(b) F(a)$！
这个 $F(x)$ 叫做 $f(x)$ 的原函数。原函数有很多个，它们之间只差一个常数（比如 $x^2$ 的原函数可以是 $x^3/3$、$x^3/3 + 5$、$x^3/3 10$ 等等）。但好消息是，无论你选择哪个原函数，计算 $F(b) F(a)$ 的结果都是一样的。
所以，计算定积分的实际步骤一般是这样的：
1. 找原函数： 找到被积函数 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x)$。这通常需要我们掌握各种积分技巧，比如：
基本积分公式： 幂函数、指数函数、三角函数、对数函数的积分公式，这些都要记牢。
凑微分法： 看到被积函数是某个复合函数乘以它内层函数的导数，就可以套用。
换元积分法： 遇到复杂的被积函数，可以通过代换一个新变量来简化。
分部积分法： 当被积函数是两个函数乘积的形式时，可以尝试用分部积分。
其他技巧： 比如三角换元、部分分式分解等，针对不同类型的函数。
2. 代入上限和下限： 计算出原函数 $F(x)$ 在积分上限 $b$ 处的值 $F(b)$，以及在积分下限 $a$ 处的值 $F(a)$。
3. 相减： 用 $F(b)$ 减去 $F(a)$，得到的结果就是定积分的值：
$$ int_a^b f(x) , dx = F(b) F(a) $$
举个例子，咱们来算算这个：
$$ int_1^3 x^2 , dx $$
1. 找原函数：
我们知道，$x^n$ 的原函数是 $frac{x^{n+1}}{n+1}$ （当 $n eq 1$ 的时候）。
所以，$x^2$ 的原函数是 $F(x) = frac{x^{2+1}}{2+1} = frac{x^3}{3}$。
（你可以验证一下：$(frac{x^3}{3})' = frac{1}{3} cdot 3x^2 = x^2$，没错！）
2. 代入上限和下限：
上限 $b=3$：$F(3) = frac{3^3}{3} = frac{27}{3} = 9$
下限 $a=1$：$F(1) = frac{1^3}{3} = frac{1}{3}$
3. 相减：
$int_1^3 x^2 , dx = F(3) F(1) = 9 frac{1}{3} = frac{27}{3} frac{1}{3} = frac{26}{3}$
所以，这个定积分的值就是 $frac{26}{3}$。
一些需要注意的点：
原函数不是唯一的： 就像前面说的，原函数可以加任意常数，但 $F(b) F(a)$ 的结果不变。所以通常我们都选择最简单的那个原函数，就是常数为 0 的那个。
被积函数要连续： 微积分基本定理要求被积函数 $f(x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上是连续的。如果函数有间断点，情况会稍微复杂一些，需要分段处理。
上下限的顺序： 如果你把积分的上限和下限交换了，即 $int_b^a f(x) , dx$，那么结果会变成原来的负值，即 $F(a) F(b) = (F(b) F(a))$。
积分的性质： 定积分还有一些重要的性质，比如：
$int_a^a f(x) , dx = 0$ （在同一个点积分，面积为 0）
$int_a^b f(x) , dx + int_b^c f(x) , dx = int_a^c f(x) , dx$ （区间可加性）
$int_a^b [f(x) pm g(x)] , dx = int_a^b f(x) , dx pm int_a^b g(x) , dx$ （线性性质）
$int_a^b c f(x) , dx = c int_a^b f(x) , dx$ （常数可以提到积分外面）
总结一下，计算定积分的核心就是找到原函数，然后用牛顿莱布尼茨公式代入上限和下限相减。 关键在于掌握各种求原函数的方法。
希望我把这些讲清楚了，而且一点机器味儿都没有。要是还有哪儿觉得不够明白，随时可以再问！咱们接着聊！
网友意见
谢邀，
1.Sonine-Schafheitlin公式
Jackson的经典电动力学里有一道混合边界条件的边值问题正好用到类似的积分公式
当初也稍微思考过，虽然没有完全证出来，但也得到了一些有意思的结果（见第2节、第3节）
Sonine-Schafheitlin 公式
针对 还需讨论上述积分的连续性，具体可以参看Watson, pp. 398 ff[1]
先接受它成立，那么可以得到
令 ，即可得到题中所需计算的积分
2.提供一种简洁的解法
当然了，如果这题纯粹套公式那就没什么意思了。
其他五位答主都提供了很好的解答，在此我给出一种相对优雅的方法，
事实上，这题你甚至可以把原函数求出来，这也是我写这个回答的动机，
注意到：
令 ，那么上式紫色部分则转变为
于是原积分则转化为
利用贝塞尔函数在无穷远处的渐近公式
原积分可进一步化简为
于是最终的结果便得到了：
其中 的条件是为了保证积分收敛（也即原函数在 处非奇异）
3.进一步的结论
可以看到上述过程是非常简洁清晰的，也符合大部分物理系学生的一贯思路（直觉）
通过相同的方法，其实你还可以得到一些更有意思的结果
Hint:
用此方法能计算的含贝塞尔函数积分远远不止这一个，
另外上述计算方法也可推广到其他的柱函数；
考虑到篇幅还有时间原因，就不再补充了。
4.补充一些细节的证明
可能有人对这个式子有些困惑：
用两个贝塞尔函数的递推关系式就可以证明：
简单证一下，以下省略自变量 ，
注意红色和蓝色部分相互抵消。
Q.E.D.
参考
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