数学系的鄙视链是什么？

贴一段话（南京大学数学系张高飞老师语录） :

　　正如大家所知，代数几何是现代数学的主流。当代大多数一流的数学家都工作在这一领域。因此如果你觉得自己天赋异禀，并在代数，几何与分析各方面都有着扎实的基础，我建议你绝不要浪费自己的天赋：应义无反顾的选择代数几何这一专业。当然把代数，几何与分析这三门基础功课同时学好的人很少。比如有些同学有着很好的分析功底，但代数中的抽象思维能力却相对显得薄弱。如果是这样的话，我建议你选择分析方面的专业，比如：复分析，分形， 调和分析或微分方程。
　　如果你代数和分析都不怎么样，可却在几何方面有着良好的感觉，要是这样的话，我建议你应和梅加强老师好好探讨一下。让他帮你判断一下看自己是不是可以学习几何。
　　除以上三部分同学之外，还有这样的一部分同学：他们对代数，分析与几何都不擅长，但却一直坚信自己在数学上仍能有所作为，并幻想有朝一日成为中国数学界的中流砥柱。如果你属于这部分同学中的一位的话，我建议你选择动力系统。动力系统这一学科其实就是专门为这部分同学开设的。
　　当然即使是动力系统也不是人人都能学的。因为动力系统需要大量的微积分。可总有那么一部分同学还没来得及把极限的概念搞清楚就大学毕业了。如果你不巧就是这样的一位同学，也就是说你大学四年压根儿就没学数学，但仍希望自己将来能在数学上一展宏图的话，我建议你选择组合数学这一专业。这一专业的特点就是它只用到中学的数学。 如果你在中学时参加过数学竞赛并获过奖项的话，这一学科正是你大展身手的地方。
　　我想大多数同学看到这儿之前已经找到了适合自己的专业了。可若仍有人羞怯的说他在中学时早恋，因此连中学的数学也没学好，我想告诉这部分同学不要怕。在我们系有专门为你们开设的一个专业：统计学。这一学科只要求懂得小学数学中的加减乘除四则运算就够了。 更重要的是，选择这一专业的大多都是女同学。在你准确无误的把成千上万个数据加起来并娴熟的计算出他们的均值时，你也赢得了众多师姐师妹的芳心：短短三年的研究生生活或许能让你再次体会一次那如花美眷，似水流年的往事。。。
　　最后这一条是专门针对那些悲情人物的。他们连小学的数学也没学好。不要说把上千个数加起来，就是把两个数加起来，对他们来说都是件很吃力的事。然而这一切丝毫没有削弱他们对数学的一片痴情。他们日日夜夜泡在图书馆里。他们翻阅了所有的数学文献，却从未找到一本能读懂的。 但他们仍坚持不懈， 为的就是找到一个适合自己的专业。他们的行为感动了上帝。上世纪的某一天，上帝为他们创造了一台机器帮他们计算。这就是计算机。借助计算机，他们可以很快的进行加减乘除的运算。这就是计算数学。

我本科到了数学系，才明白一个道理，人和人的智商差距，比人和猪还大。

数学系真的不是人呆的地方，我可以毫不犹豫的说，本科时我是我们数学系学习最努力的一个，结果60人的班上，我连前30都排不上，最过分的是我舍友，天天抄我作业，最后那门分析学的课，他考了90，我拿了60.

后来我明白了，不行真的不行，我就老老实实转了金融数学，接下来的路就顺了，无论是gpa还是申研还是找工作，都很不错，薪资也很不错。

但是我真的很羡慕那些继续在数学道路上走下去，然后读博的同学，那是我曾经遥不可及的梦想，他们每个人都在我眼里是金光闪闪的纯在，我真的很羡慕他们。

我们班的第一名是个女生，后来去某知名海外大学读博了，她也许不是很漂亮，但是真的很聪明，很自信。我后来读金工时遇到了很多漂亮的姑娘，但是她们都不如这个女生，聪明的人真的有一种特殊的魅力。

我很羡慕她，想成为她那样的人，在数学上为人类发展做贡献的人。可惜已经30的我没有了这个可能，我只能用另一种方法弥补了。

我把她娶回家了。

学数学的>搞鄙视链的>问别人鄙视链是什么的 ？

关于张高飞老师，还有他写的一封信很有意思，搬运至此。

发信站: 水木社区 (Sat Nov 20 01:53:47 2010), 站内

给梅加强老师的一封信
发信站: 南京大学小百合站 (Thu Mar 11 20:04:23 2010)

加强：

您好！
本周三在班车上我们聊的很愉快。其间您告诉我去年系主任尤建功老师被评为最受学生欢迎的老师。您说对于这件事情我们两人要好好反思一下：我们都是给大一上数学分析课的，可为什么我们两人都没有获此殊荣。回来之后我仔细的思考了这一问题。 现把我自己的想法总结如下。仅供您参考。

就对教材的熟练程度上，以及解题能力上，我想尤老师都无法与你我相比。尤老师自己也说，他在大学时成绩很差，只是到了大四成绩才一下子好了起来。可我们都知道，本科大学的第四年除了一些音乐，美术之类的基本上就没什么主课了。而数学分析课是大一大二开的。可想在三十年以前尤老师就没有学好这门课程。而你我则不同。如同我们的名字一样，你我都属于那种志向高远，精益求精的人。讲数学分析这种基础课程，我俩自然都是驾轻就熟，游刃有余。

说到这里，您自然会问，既然如此，那为何尤老师讲的课最受学生的欢迎呢？这其实正是问题的关键所在。尤老师深知自己对这门课程掌握的不够火候，因此他讲课时只讲那些自己有相当把握的。 比如凡是证明过程超过十行的，尤老师都留给习题课上讲。凡是计算中间需要技巧的，尤老师就循循善诱的告诉大家，他在课上主要讲思想，这些技巧上的东西就留给习题课上讲吧。如此一来，尤老师的课不仅讲的轻松，学生听的也轻松。就连工科毕业的辅导员杨靖在听完尤老师的课后，都感慨的说：原来数学系的数分课比她们当初学的大学数学容易多了。当然尤老师有时也会小试牛刀一把。比如有的同学会在课间休息时请教课后的习题。在确信自己有十足的把握拿下该题时，尤老师总会毅然走上讲台，奋笔疾书。每当这种时刻，重修的同学都会背起书包，悄悄离开了教室。因为他们知道在接下来的一节课，尤老师会一直专注在这道题上。直到下课铃声响起。

然而让尤老师在教学上取得极大成功的却正是他的这种教学风格。几乎所有同学都觉得尤老师讲课思路清晰，浅显易懂。就连那些入学时被调剂到数学系的学生都对数学产生了极大的兴趣。特别是当他们目睹了头顶无数光环的尤老师在一个并不很难的问题上久攻不克时，更是信心倍增。尤老师的课与其说是一堂数学课，倒不如说是一堂励志课。大家都凝视着尤老师，对自己的未来充满了梦想。

然而在大一的第二学期所有这一切都变了。你教一班，我教二班。你我讲课行云流水，面面俱到。大多数同学都不能当堂消化所讲内容。而你不时在黑板的角落处写下的思考题，好多人学期结束时也没做出来。上学期大家都觉得自己是天才，这学期似乎还不如普通人。前后对比，尤老师与我俩形成了鲜明的对比。在埋怨你我的同时，大家更加想念那个能让他们自信满满的尤老师.

而恰好此时，学校开展了评比活动。结果可想而知。据杨靖告知，在抽查的120人中，有116人把票投给了尤老师。有3个人投票给我。他们都是我河北老乡。只有一人投了你一票。但那个人不是你的湖北老乡。因为你从来没告诉大家你是湖北人。那个人是辅导员杨靖。她知道你一向工作很认真，怕你一下子接受不了。

好了，加强，就说这么多吧。我们都还年轻。只要我们好好努力，未来还有好多机会。希望就在前方。

此致
礼！

高飞

曾经pure math出身的我看很多声称自己在搞ml theory（机器学习理论）的人有些不舒服，不知道有没有人和我感觉一样。

我现在是做计算机理论和优化的。我刚到cs department的时候，曾经试图打进ml theory这个圈子，但后来我发现很多时候虽然说我们都写证明，但我们并不是一类人。

我觉得在写证明的时候，即便有很多technical的东西不可避免，但还是要尽量的追求一定的elegance的。这并非是无病呻吟。数学证明很重要的一个目的，在我看来，是让大家明白一个东西背后的原理是什么，传达直觉，给读者以启发。单纯的去推公式，从a到b，在我看来有些本末倒置。

我很难看下去一篇ml theory的文章，经常会发现巨长无比的assumption，或者说全篇的proof就是各种各样的公式累积出来的。我实在是看不到intuition和insight。

最后就导致我和一些ml theory的老师出现了互相不满意的状态。我有些时候觉得他们就是在单纯的推公式，而他们也觉得我的技术能力不够（这点我也肯定是要提升的），也不知道我究竟在纠结什么。

于是，我就离开了这个field。只能说道不同不相为谋吧。

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接下来我给大家分享一个故事。

我曾经和一个搞强化学习理论的老师说，在我看来数学家有两类，一类是像hilbert这样极其重视体系严谨的，另一类是像poincare这样认为数学最主要的是直觉，严谨只是手段。

然后他跟我说，我知道poincare。但他的证明很多都是错的，我觉得没什么价值。倒是hilbert的东西我们现在天天用。

我当时心里万马奔腾啊。我不否认hilbert的丰功伟绩，但是在当今世界上，我不认为有人有资格可以这样说poincare，这个我觉得不世出的天才，数学界的丰碑。

哎，说起来都是泪啊。

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我再来讲一个故事。

我曾经被要求证明一个十分loose的bound。最后凑活弄出了一个proof。这个proof怎么说呢，在我看来就是几页high school algebra和vector calc。

我和老师说，我对这个proof很不满意，过程也不是很开心。觉得没什么conceptual的东西，全是technical details。当然，也很可能压根不会有人看证明。

老师说，technical details 的东西多是很正常的。你看看费马大定理，多么的technical。

我心里想：但是费马大定理里面除了technical detail，是有多少great intuition啊！这样的proof多technical我都觉得是可以的。但是，我们这个。。。完全不是一个级别的啊。

最起码我心里是这样想的。

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这里我要强调一下，我讲这两个故事并不是想要批判或者吐槽上面的这两位老师。他们都是能力很强的researcher，现在的我远远不及，可能以后也赶不上。

相反，我其实很感谢他们。多亏了他们，我意识到了两点。

第一点，我在technical 的东西上还有不小的欠缺，这一点我必须要尽快提升上去。

第二点，他们让我意识到了这个field不适合我。我曾经去找过他们确实是有ml比较火的因素。但在这些相处中，我逐渐意识到了ml theory这个community和我有不同的taste，而有些东西又是我不想妥协的。他们没有接受我作为他们的学生，当时让我很沮丧，但是也给了我一个机会去寻找一个真正适合自己的community。谢谢他们发现了我的不适合。

很感谢他们抽出宝贵的时间对我进行指导。尽管最后没有work out，但是我真的在这个过程中成长了许多。

但愿他们接下来一切顺利，而我，也要踏上一条属于我自己的道路了。

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修正：这里我要强调一下，我说的elegance，主要指的是清楚，而不是美。老实说，我对于数学之美不算是要求特别高的，要不我压根就不会来cs。

我认为即便是一个面向应用的theory，要求解释清楚也不过分。我不认为不清楚的theory可以很好的指导从业者。

那么什么样的证明可以称得上是清楚的呢？ 我觉得理想状态是这样的，一个读者有一定的基础，然后进行反复的阅读，最后有种豁然开朗的感觉：哦，原来是这样的啊。而不是读完后：对，他好像每个步骤都是对的，每个公式我也都check了，但他究竟是咋证的呢？

我认为一个偏应用的theory也可以尽量做的清楚啊。举一个我不是很熟的例子：动力系统（希望大家指导批评）。我感觉动力系统这个subfield也是面对很多复杂的情况，甚至很多恶心的chaotic system，但是也有很多相对清楚的work。达到这个目的是需要从业者的不断努力的。

我觉得有一个事情得心里有数。甭管是面向什么，我们都是搞theory的啊。theory的目的就是要去尽可能清楚的解释啊。

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这里我想再提两个我认为经常被混淆的概念：proof（证明）和verification（验证）。接下来我以wiles对费马大定理的证明举例。

wiles的证明很明显的起到了verificaition的作用。几百年来大家的直觉都是费马大定理是对的，但是都无法完全的确定。这个proof出来，一切终于可以尘埃落定了。

这里我们做一个思想实验，假设有一个blackbox，他能够告诉你任何一个statement是对的，不管是Riemann hypothesis，还是费马大定理，还是Hilbert的open problem中的任何一个。那verification的目的已经达到了。

那么我们还要一个证明吗？

我们还会要的。 Because a proof is definitely more than verification, actually much more.

费马大定理的proof中，清楚地告诉了你为什么这个statement是正确的，哪些concept是重要的，这个statment和其他的field有什么联系。你可以从这个proof中得到很多inspiration，并potentially用之来解决其他的问题。

proof 传达的是knowledge。而verification，仅仅是一个已经work的东西的注脚（对于我们人类的感知而言）。

我觉得，我们理论工作者，要做的工作是写出好的proof，而不仅仅是提供verification。

最起码这是我作为一个理论工作者的初衷。我希望我不会忘掉它。

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这篇post真的是越写越长了。

我一下写的这段话是对 @SuprMania 的回应。他的很多看法和我一致。而且我也很喜欢他给我推荐的paper，谢谢！

在他的评论中，指出了一点，因为是面对engineering的学科，所以很多formulation不是那么clean。这一点我是认同的。但我仍然是觉得，尽量的clean／清楚应该最起码是一个追求的目标（虽然很可能达不到）。

我个人觉得，搞理论的人不需要太去在意用engineering 方法把performance 提升的那几个点（这个队application-oriented的人应该会很impressive）。我们应该追求的，是在纷扰复杂甚至恶心的现象中追求尽可能清楚的concept和framework。

是啊，现在没有太多能够直接应用到ml场景的math structure。但这也是理论工作者需要努力的原因啊。

现在我们大家比较熟悉的math structure，也都不是天上掉下来的。他们都是整个math community努力在纷繁复杂的世界中抽象出来的。

比如说，dynamical system中的invariant set是从各种各样恶心的trajectory中抽象出来的（这一部分的历史我并不是太清楚，欢迎指正）。

纳什均衡是从复杂的人类行为活动中抽象出来的。

群，环，域也是从长成各种各样的代数系统中抽象出来的。

当然，这些都是神级的work，我们普通的理论工作者很难弄得出来（但是这些conept一步步的formulation我觉得也有很多相对普通的理论工作者的努力）。但是我觉得我们应该尽可能的像那个方向努力。

我们理论工作者，纵然脚在泥土里，也应该尽可能地仰望星空啊。这应该是很多理论工作者的初衷吧。

但很无奈的一点是，要想弄出尽可能清楚的theory需要时间，需要积淀。这点在一个大家都不是几篇几篇数，而是几十几篇数paper的field真的很难。但愿这个field有一天能够提供给theorist一个可以仰望星空的环境。

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一个可能不是很相关的更新：我最近对hilbert的认知有所改变。可能原来由于我对poincare的偏爱和自己的无知，使得我对hilbert有一个很狭隘的认知：觉得他就是一个执着于公理化和严谨化的old school mathematician。现在的我仍然不认为公理和严谨是数学最重要的东西，但是我真心为hilbert提出的23个问题中所展现出的视野所折服- 我现在所处的field很大程度上是沿着hilbert的17th，16th problem 一路发展下来的。

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大家对我这个post的反映超出了我的想象。我本来就是想一抒胸臆，并没有指望有太多人响应（我大多数的post都是这样）。很感谢大家给我的回复，我从中也学到了很多。现在可能不是能一一回得过来，但是我有时间的话一定会对大家的评论作出回应的。 谢谢大家！

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我这篇文章基本是中英混杂的。这篇文章大部分的段落是我一蹴而就的，因而基本上是我怎么方便怎么写。很多词语在我的日常生活中确实是用英文比较多。就比如说，对于我来说将math community翻译回“数学群体”，是很别扭的一件事情，而且很影响写作时候的flow。这单纯是一个习惯问题。而要让我将英文全部翻译回中文，我现在是真心没有这个时间。所以请各位理解， 不喜勿喷。