怎么通过一维分布的随机样本推测原分布？
从一维分布的随机样本推测原分布，就好比拿到一把从某个神秘音箱里随机播放出来的音符片段，你想知道这个音箱究竟是怎么发出这些声音的。这当然不是一件容易的事，但也不是不可能。我们可以通过分析样本的特征，一点点地拼凑出原分布的模样。
我们拿到的是一系列数字，这些数字来自我们不知道其具体形状的那个“原分布”。简单来说，我们的目标就是从这堆零散的数字里，找出它们共同遵循的那个“规则”。
第一步：观察与描述——样本的初步画像
首先，我们得先好好看看这些样本。就像医生给病人看病，第一步是问诊和观察。
集中在哪？——均值与中位数： 最直观的，这些数字大概聚集在哪个数值附近？最简单的方法是计算样本的均值（平均数）。如果你的样本是 `[2, 3, 4, 5, 6]`，均值就是 `(2+3+4+5+6)/5 = 4`。这告诉我们原分布的“中心”可能在哪里。但要注意，如果原分布里有一些极端值（离群值），均值可能会被拉偏。这时候，中位数就派上用场了。中位数是把所有样本排序后，位于中间的那个数。比如 `[2, 3, 100, 4, 5]` 排序后是 `[2, 3, 4, 5, 100]`，中位数是 4。中位数受离群值影响小，更能反映“大多数”样本的集中趋势。
散布有多开？——方差与标准差： 这些数字离它们的中心有多远？我们用方差和标准差来衡量。简单理解，它们就是样本“散开”程度的度量。方差是每个样本与均值之差的平方的平均数。标准差是方差的平方根。标准差越大，说明样本越分散，原分布也可能越“宽”。
形状怎么样？——偏度和峰度： 如果我们将样本数值进行分组，然后画出它们的“密度图”（稍后会讲），就能看到分布的形状。偏度描述了分布的对称性。如果分布左边“尾巴”长，就是正偏态（比如收入分布，大多数人收入不高，少数人收入很高）；如果右边“尾巴”长，就是负偏态。峰度则描述了分布的“尖锐”程度。高峰度意味着分布的集中性更强，两侧的“尾巴”更长（“瘦高”的形状）；低峰度则意味着分布更平坦（“矮胖”的形状）。
第二步：可视化——让数据说话
光看数字容易腻，把数据画出来，就能一目了然。
直方图（Histogram）： 这是最常用的方法。我们把样本的数值范围分成若干个小区间（称为“箱子”），然后数一下每个区间里有多少个样本落进去。最后用柱状图把这些数量画出来。直方图的形状，就能很直观地反映原分布的形状：是单峰的还是多峰的？是左右对称的还是倾斜的？是像钟形一样中间高两边低的，还是其他形状？
制作直方图的关键：箱子的宽度。 箱子太宽，会丢失很多细节，把很多不同的信息混在一起；箱子太窄，又会显得很“零碎”，像锯齿一样，难以看出整体趋势。选择一个合适的箱子宽度，需要一些经验或者尝试，比如常见的启发式规则，或者一些数据驱动的方法。
核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）： 直方图是基于“区间”的，对箱子的选择比较敏感。核密度估计则是一种更平滑的估计方法。它不是把数据简单地分组，而是为每个样本点“画”一个小的概率密度曲线（这个曲线的形状由“核函数”决定），然后把所有这些小曲线加起来，得到一个光滑的整体曲线。这个光滑的曲线就是对原分布密度函数的估计。
KDE的关键：带宽（Bandwidth）。 这个“带宽”就像是每个小密度曲线的“宽度”。带宽太小，曲线会过于尖锐和“抖动”，像直方图一样；带宽太大，曲线又会过于平滑，丢失细节，看起来像一条直线。选择合适的带宽同样重要，它决定了我们看到的原分布的“清晰度”。
第三步：模型选择与拟合——寻找最可能的“模子”
仅仅靠描述和可视化，我们只能“猜测”原分布是什么样子。但如果原分布有一些已知的数学模型（比如正态分布、均匀分布、指数分布等），我们就可以尝试用这些模型来“拟合”我们的样本。
已知模型假设： 如果我们有理由怀疑原分布是某种特定的类型，比如我们知道这个数据是某个测量误差，可能服从正态分布；或者我们知道这是一个随机事件发生的间隔时间，可能服从指数分布。
参数估计： 每种概率分布都有一些参数来定义它的具体形状。例如，正态分布有两个参数：均值（μ）和标准差（σ）。均匀分布也有两个参数：最小值和最大值。我们通过计算样本的均值、方差等统计量，来估计这些参数的“最佳值”。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 这是最常用的参数估计方法。它的思想是：如果我假设原分布是某种特定模型，并且它的参数是某个特定值，那么我从这个分布里抽取我手里的这堆样本的“可能性”有多大？MLE就是要找到那组参数，使得我们观测到的这堆样本出现的概率最大。
拟合优度检验： 拟合完之后，我们需要检查这个模型和我们实际样本的“匹配程度”。常用的方法有：
卡方检验（Chisquared test）： 将样本数据分组，然后比较实际分组数量和根据拟合模型预测的分组数量之间的差异。
KS检验（KolmogorovSmirnov test）： 比较样本的累积分布函数（ECDF）和拟合模型的累积分布函数（CDF）之间的最大差异。
第四步：无参数方法——不设限的探索
有时候，我们对原分布的具体形状一无所知，也不知道它属于哪种已知的模型。这时候，我们就需要更灵活、更“自由”的方法，即无参数方法。
核密度估计（KDE）： 如前所述，KDE本身就是一种无参数方法，它不预设分布的形状，而是根据数据自身来估计。
分位数函数（Quantile Function）： 也可以通过样本来估计原分布的分位数函数。比如，样本的第50个百分位数估计了原分布的0.5分位数（中位数）。通过估计多个分位数，我们也能大致勾勒出分布的形状。
经验累积分布函数（Empirical Cumulative Distribution Function, ECDF）： 将样本排序后，ECDF就是每个样本点在分布中出现的概率。简单来说，就是小于等于某个值的样本所占的比例。ECDF可以看作是对原分布累积概率的直接估计，比直方图或KDE更直接，但可能不够平滑。
一些需要注意的“坑”：
样本量： 这是最关键的因素。样本量太少，我们看到的形状可能只是偶然形成的，并不能代表原分布的真实情况。样本量越多，我们对原分布的估计就越可靠。想准确“复原”一个复杂的分布，通常需要大量的样本。
样本的独立性与代表性： 抽取的样本需要是独立同分布的（i.i.d.）。也就是说，每个样本的抽取不应该影响其他样本，并且所有样本都应该来自同一个原分布。如果样本之间有关联（比如时间序列数据），或者样本是“挑出来的”，那么用它们来推测原分布就会出现偏差。
参数选择的敏感性： 像直方图的箱子宽度、KDE的带宽，这些参数的选择都会影响最终的估计结果。选择不当，可能得出错误的结论。这往往需要一些尝试和验证。
总结一下，推测原分布的过程，就像一个侦探破案：
1. 收集证据（样本）： 我们拿到了很多“线索”。
2. 初步分析（统计量）： 了解线索的大致特点，比如它们集中在哪里，分散程度如何。
3. 现场勘查（可视化）： 画出线索的分布图，直观感受它们的样子。
4. 寻找关联（模型拟合）： 如果线索符合某种“犯罪模式”（已知分布），就尝试用这个模式来解释。
5. 无罪推定（无参数方法）： 如果线索很随机，没有明显模式，就直接从线索本身去理解。
这个过程是迭代的，我们可能需要反复调整分析方法和参数，才能越来越接近原分布的真实面貌。最终，我们无法百分之百确定原分布“就是”某个样子，但我们可以得到一个越来越精确的“模型”或“估计”，来描述它的特征。
我们拿到的是一系列数字，这些数字来自我们不知道其具体形状的那个“原分布”。简单来说，我们的目标就是从这堆零散的数字里，找出它们共同遵循的那个“规则”。
第一步：观察与描述——样本的初步画像
首先，我们得先好好看看这些样本。就像医生给病人看病，第一步是问诊和观察。
集中在哪？——均值与中位数： 最直观的，这些数字大概聚集在哪个数值附近？最简单的方法是计算样本的均值（平均数）。如果你的样本是 `[2, 3, 4, 5, 6]`，均值就是 `(2+3+4+5+6)/5 = 4`。这告诉我们原分布的“中心”可能在哪里。但要注意，如果原分布里有一些极端值（离群值），均值可能会被拉偏。这时候，中位数就派上用场了。中位数是把所有样本排序后，位于中间的那个数。比如 `[2, 3, 100, 4, 5]` 排序后是 `[2, 3, 4, 5, 100]`，中位数是 4。中位数受离群值影响小，更能反映“大多数”样本的集中趋势。
散布有多开？——方差与标准差： 这些数字离它们的中心有多远？我们用方差和标准差来衡量。简单理解，它们就是样本“散开”程度的度量。方差是每个样本与均值之差的平方的平均数。标准差是方差的平方根。标准差越大，说明样本越分散，原分布也可能越“宽”。
形状怎么样？——偏度和峰度： 如果我们将样本数值进行分组，然后画出它们的“密度图”（稍后会讲），就能看到分布的形状。偏度描述了分布的对称性。如果分布左边“尾巴”长，就是正偏态（比如收入分布，大多数人收入不高，少数人收入很高）；如果右边“尾巴”长，就是负偏态。峰度则描述了分布的“尖锐”程度。高峰度意味着分布的集中性更强，两侧的“尾巴”更长（“瘦高”的形状）；低峰度则意味着分布更平坦（“矮胖”的形状）。
第二步：可视化——让数据说话
光看数字容易腻，把数据画出来，就能一目了然。
直方图（Histogram）： 这是最常用的方法。我们把样本的数值范围分成若干个小区间（称为“箱子”），然后数一下每个区间里有多少个样本落进去。最后用柱状图把这些数量画出来。直方图的形状，就能很直观地反映原分布的形状：是单峰的还是多峰的？是左右对称的还是倾斜的？是像钟形一样中间高两边低的，还是其他形状？
制作直方图的关键：箱子的宽度。 箱子太宽，会丢失很多细节，把很多不同的信息混在一起；箱子太窄，又会显得很“零碎”，像锯齿一样，难以看出整体趋势。选择一个合适的箱子宽度，需要一些经验或者尝试，比如常见的启发式规则，或者一些数据驱动的方法。
核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）： 直方图是基于“区间”的，对箱子的选择比较敏感。核密度估计则是一种更平滑的估计方法。它不是把数据简单地分组，而是为每个样本点“画”一个小的概率密度曲线（这个曲线的形状由“核函数”决定），然后把所有这些小曲线加起来，得到一个光滑的整体曲线。这个光滑的曲线就是对原分布密度函数的估计。
KDE的关键：带宽（Bandwidth）。 这个“带宽”就像是每个小密度曲线的“宽度”。带宽太小，曲线会过于尖锐和“抖动”，像直方图一样；带宽太大，曲线又会过于平滑，丢失细节，看起来像一条直线。选择合适的带宽同样重要，它决定了我们看到的原分布的“清晰度”。
第三步：模型选择与拟合——寻找最可能的“模子”
仅仅靠描述和可视化，我们只能“猜测”原分布是什么样子。但如果原分布有一些已知的数学模型（比如正态分布、均匀分布、指数分布等），我们就可以尝试用这些模型来“拟合”我们的样本。
已知模型假设： 如果我们有理由怀疑原分布是某种特定的类型，比如我们知道这个数据是某个测量误差，可能服从正态分布；或者我们知道这是一个随机事件发生的间隔时间，可能服从指数分布。
参数估计： 每种概率分布都有一些参数来定义它的具体形状。例如，正态分布有两个参数：均值（μ）和标准差（σ）。均匀分布也有两个参数：最小值和最大值。我们通过计算样本的均值、方差等统计量，来估计这些参数的“最佳值”。
最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation, MLE）： 这是最常用的参数估计方法。它的思想是：如果我假设原分布是某种特定模型，并且它的参数是某个特定值，那么我从这个分布里抽取我手里的这堆样本的“可能性”有多大？MLE就是要找到那组参数，使得我们观测到的这堆样本出现的概率最大。
拟合优度检验： 拟合完之后，我们需要检查这个模型和我们实际样本的“匹配程度”。常用的方法有：
卡方检验（Chisquared test）： 将样本数据分组，然后比较实际分组数量和根据拟合模型预测的分组数量之间的差异。
KS检验（KolmogorovSmirnov test）： 比较样本的累积分布函数（ECDF）和拟合模型的累积分布函数（CDF）之间的最大差异。
第四步：无参数方法——不设限的探索
有时候，我们对原分布的具体形状一无所知，也不知道它属于哪种已知的模型。这时候，我们就需要更灵活、更“自由”的方法，即无参数方法。
核密度估计（KDE）： 如前所述，KDE本身就是一种无参数方法，它不预设分布的形状，而是根据数据自身来估计。
分位数函数（Quantile Function）： 也可以通过样本来估计原分布的分位数函数。比如，样本的第50个百分位数估计了原分布的0.5分位数（中位数）。通过估计多个分位数，我们也能大致勾勒出分布的形状。
经验累积分布函数（Empirical Cumulative Distribution Function, ECDF）： 将样本排序后，ECDF就是每个样本点在分布中出现的概率。简单来说，就是小于等于某个值的样本所占的比例。ECDF可以看作是对原分布累积概率的直接估计，比直方图或KDE更直接，但可能不够平滑。
一些需要注意的“坑”：
样本量： 这是最关键的因素。样本量太少，我们看到的形状可能只是偶然形成的，并不能代表原分布的真实情况。样本量越多，我们对原分布的估计就越可靠。想准确“复原”一个复杂的分布，通常需要大量的样本。
样本的独立性与代表性： 抽取的样本需要是独立同分布的（i.i.d.）。也就是说，每个样本的抽取不应该影响其他样本，并且所有样本都应该来自同一个原分布。如果样本之间有关联（比如时间序列数据），或者样本是“挑出来的”，那么用它们来推测原分布就会出现偏差。
参数选择的敏感性： 像直方图的箱子宽度、KDE的带宽，这些参数的选择都会影响最终的估计结果。选择不当，可能得出错误的结论。这往往需要一些尝试和验证。
总结一下，推测原分布的过程，就像一个侦探破案：
1. 收集证据（样本）： 我们拿到了很多“线索”。
2. 初步分析（统计量）： 了解线索的大致特点，比如它们集中在哪里，分散程度如何。
3. 现场勘查（可视化）： 画出线索的分布图，直观感受它们的样子。
4. 寻找关联（模型拟合）： 如果线索符合某种“犯罪模式”（已知分布），就尝试用这个模式来解释。
5. 无罪推定（无参数方法）： 如果线索很随机，没有明显模式，就直接从线索本身去理解。
这个过程是迭代的，我们可能需要反复调整分析方法和参数，才能越来越接近原分布的真实面貌。最终，我们无法百分之百确定原分布“就是”某个样子，但我们可以得到一个越来越精确的“模型”或“估计”，来描述它的特征。
网友意见
核密度估计是非参数统计的经典问题，实践中主要是通过交叉验证来调整窗宽，至于核的选取往往不重要。参看Wand的kernel smoothing还有Fan的local polynomial modelling。
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