不使用范畴论，如何刻画一个线性映射是“自然”的？
思考线性映射的“自然”性，这就像我们尝试理解为什么有些数学工具或概念，在跨越不同结构时，总能表现出一种令人安心的和谐与一致。抛开那些高深的范畴论术语，我们可以从几个更直观的层面来把握这个“自然”的意味。
首先，我们得明白，线性映射本身就是在保持结构。线性映射的定义是：
1. 可加性：$f(u+v) = f(u) + f(v)$ （保持向量加法）
2. 齐次性：$f(cu) = cf(u)$ （保持标量乘法）
这两条性质加在一起，意味着线性映射能“忠实”地传递向量空间的结构信息。如果两个向量相加得到一个新的向量，那么这个新向量经过线性映射后，也应该等于原先两个向量分别经过线性映射后的和。同样，一个向量拉伸（或缩小）的比例，在经过线性映射后也会保持不变。这本身就是一种内在的“自然性”——它尊重并延续了向量空间固有的加法和数乘规则。
那么，什么让一个线性映射在不同的线性空间之间也显得“自然”呢？这涉及到两个关键点：
1. 对基的无偏性（或者说是对坐标系的“独立性”）
想象一下，一个向量空间可以用不同的坐标系来描述。比如，在二维平面 $mathbb{R}^2$ 里，我们可以用标准基 ${(1,0), (0,1)}$，也可以用另一组基，比如 ${(1,1), (1,1)}$。如果我们把一个向量写成 $v = a cdot e_1 + b cdot e_2$（其中 $e_1, e_2$ 是基向量），那么它在某个线性映射 $f$ 下会变成 $f(v) = f(a cdot e_1 + b cdot e_2) = a cdot f(e_1) + b cdot f(e_2)$。
一个“自然”的线性映射，它的行为不应该依赖于我们选择了哪组基。也就是说，无论我们用标准基描述向量，还是用一组“斜着的”基描述向量，这个映射所“做的事情”在概念上是一致的。
更具体地说，如果我们有两个向量空间 $V$ 和 $W$，以及它们各自的基 $B_V = {v_1, dots, v_n}$ 和 $B_W = {w_1, dots, w_m}$。一个线性映射 $f: V o W$ 的行为完全由它如何作用在基向量上决定：$f(v_i)$ 会是什么。
所谓的“自然性”体现在，如果我们用不同的基来表示 $V$ 和 $W$，并且对这些基进行“自然的”变换，那么由这些基决定的线性映射的矩阵表示也应该进行相应的、自然的变换。
举个例子：假设我们有一个向量 $x in mathbb{R}^2$。我们有两个坐标系：
标准坐标系：基是 $e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)$。向量 $x$ 的坐标表示就是 $(x_1, x_2)$，即 $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$。
另一个坐标系：基是 $u_1 = (1,1), u_2 = (1,1)$。向量 $x$ 在这个坐标系下的表示，我们需要找到 $c_1, c_2$ 使得 $x = c_1 u_1 + c_2 u_2$。
一个“自然”的线性映射 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$（比如一个旋转），如果我们用标准基来描述它，会得到一个矩阵 $A$。如果我们换用另一组基来描述 $mathbb{R}^2$，然后在这个新基下表达 $f$，得到的矩阵 $A'$ 应该通过一个“自然”的基变换矩阵 $P$ 来关联：$A' = P^{1}AP$。这里的 $P$ 就是描述新基相对于旧基如何表示的变换矩阵。一个自然的线性映射，它的定义不依赖于“特定”的基，所以它在不同基下的矩阵表示之间可以通过一致的、结构性的方式进行转换。
这里的“自然”意思是，线性映射本身“知道”如何与任何可能存在的坐标系进行协调转换，而不是被某个特定的坐标系“绑定”。
2. 对其他数学结构的兼容性（“不破坏”其他东西）
线性空间并不是孤立存在的。在很多情况下，一个线性空间可能还具有其他的结构，比如：
内积：允许我们谈论长度和角度。
拓扑结构：允许我们谈论距离和收敛。
代数结构：比如可以有外代数、张量代数等。
一个“自然”的线性映射，除了保持向量空间的加法和标量乘法，还会尽可能地保持这些额外的结构。
例如：
正交变换（如旋转、反射）：这是一种“自然”的线性映射，因为它不仅保持了向量空间的结构，还保持了内积。也就是说，它保持了长度和角度。两个向量的点积 $u cdot v$，经过正交变换 $f$ 后，$f(u) cdot f(v)$ 仍然等于 $u cdot v$。这使得它在几何上显得非常“稳健”和“合理”。如果我们把两个向量“旋转”一下再计算它们的内积，结果应该和先计算内积再一起“旋转”它们是一样的。
连续性：在有拓扑结构的向量空间（如赋范线性空间）中，一个“自然”的线性映射通常意味着它是一个连续映射。这意味着微小的输入变化只会导致微小的输出变化。这在物理学和工程学中尤为重要，因为我们通常处理的是连续变化的量，一个不连续的映射会引入不稳定的、不可预测的行为。
代数结构的保持：如果 $V$ 是一个向量空间，我们还可以考虑它的张量积 $V otimes V$。一个“自然”的线性映射 $f: V o W$ 也会自然地诱导出一个到 $W otimes W$ 的映射 $f otimes f$。也就是说，$f(u otimes v) = f(u) otimes f(v)$。这种对张量积的保持，意味着它能够“正确地”处理更高阶的结构。
总结一下，不使用范畴论术语来刻画一个线性映射的“自然”性，我们可以从以下几个方面去理解：
1. 结构保持的一致性：它忠实地遵循向量空间的加法和标量乘法规则。这是最基本也是最重要的自然性。
2. 基的独立性：它的定义和行为不依赖于我们选择的特定坐标系。无论我们如何“换个角度”看问题（更换基），线性映射的表现方式总能通过一种一致的、可预测的方式进行转换。它不会“强迫”我们选择某种特殊的坐标系来理解它。
3. 与额外结构的和谐共存：它不会“破坏”向量空间可能拥有的其他重要结构（如内积、距离等），而是在保持自身线性的同时，也尽可能地兼容这些结构。这让它在更复杂的数学或物理模型中显得可靠和有意义。
4. 可预测性和普遍性：一个“自然”的线性映射，往往具有普遍的适用性。它描述的是事物之间普遍的、结构性的联系，而不是某种特定情况下的“巧合”或者依赖于具体实现的“特例”。
总而言之，一个自然的线性映射，就像一位训练有素的翻译官，它不仅理解两种语言（向量空间）的基本词汇（向量）和语法（加法、标量乘法），还能在不同语言的表达方式（基）之间，以一种不失原意（保持结构）且清晰易懂（兼容其他结构）的方式进行翻译。它带来的不是“惊喜”，而是“意料之中”的、基于结构本身的和谐转换。
首先，我们得明白，线性映射本身就是在保持结构。线性映射的定义是：
1. 可加性：$f(u+v) = f(u) + f(v)$ （保持向量加法）
2. 齐次性：$f(cu) = cf(u)$ （保持标量乘法）
这两条性质加在一起，意味着线性映射能“忠实”地传递向量空间的结构信息。如果两个向量相加得到一个新的向量，那么这个新向量经过线性映射后，也应该等于原先两个向量分别经过线性映射后的和。同样，一个向量拉伸（或缩小）的比例，在经过线性映射后也会保持不变。这本身就是一种内在的“自然性”——它尊重并延续了向量空间固有的加法和数乘规则。
那么，什么让一个线性映射在不同的线性空间之间也显得“自然”呢？这涉及到两个关键点：
1. 对基的无偏性（或者说是对坐标系的“独立性”）
想象一下，一个向量空间可以用不同的坐标系来描述。比如，在二维平面 $mathbb{R}^2$ 里，我们可以用标准基 ${(1,0), (0,1)}$，也可以用另一组基，比如 ${(1,1), (1,1)}$。如果我们把一个向量写成 $v = a cdot e_1 + b cdot e_2$（其中 $e_1, e_2$ 是基向量），那么它在某个线性映射 $f$ 下会变成 $f(v) = f(a cdot e_1 + b cdot e_2) = a cdot f(e_1) + b cdot f(e_2)$。
一个“自然”的线性映射，它的行为不应该依赖于我们选择了哪组基。也就是说，无论我们用标准基描述向量，还是用一组“斜着的”基描述向量，这个映射所“做的事情”在概念上是一致的。
更具体地说，如果我们有两个向量空间 $V$ 和 $W$，以及它们各自的基 $B_V = {v_1, dots, v_n}$ 和 $B_W = {w_1, dots, w_m}$。一个线性映射 $f: V o W$ 的行为完全由它如何作用在基向量上决定：$f(v_i)$ 会是什么。
所谓的“自然性”体现在，如果我们用不同的基来表示 $V$ 和 $W$，并且对这些基进行“自然的”变换，那么由这些基决定的线性映射的矩阵表示也应该进行相应的、自然的变换。
举个例子：假设我们有一个向量 $x in mathbb{R}^2$。我们有两个坐标系：
标准坐标系：基是 $e_1 = (1,0), e_2 = (0,1)$。向量 $x$ 的坐标表示就是 $(x_1, x_2)$，即 $x = x_1 e_1 + x_2 e_2$。
另一个坐标系：基是 $u_1 = (1,1), u_2 = (1,1)$。向量 $x$ 在这个坐标系下的表示，我们需要找到 $c_1, c_2$ 使得 $x = c_1 u_1 + c_2 u_2$。
一个“自然”的线性映射 $f: mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2$（比如一个旋转），如果我们用标准基来描述它，会得到一个矩阵 $A$。如果我们换用另一组基来描述 $mathbb{R}^2$，然后在这个新基下表达 $f$，得到的矩阵 $A'$ 应该通过一个“自然”的基变换矩阵 $P$ 来关联：$A' = P^{1}AP$。这里的 $P$ 就是描述新基相对于旧基如何表示的变换矩阵。一个自然的线性映射，它的定义不依赖于“特定”的基，所以它在不同基下的矩阵表示之间可以通过一致的、结构性的方式进行转换。
这里的“自然”意思是，线性映射本身“知道”如何与任何可能存在的坐标系进行协调转换，而不是被某个特定的坐标系“绑定”。
2. 对其他数学结构的兼容性（“不破坏”其他东西）
线性空间并不是孤立存在的。在很多情况下，一个线性空间可能还具有其他的结构，比如：
内积：允许我们谈论长度和角度。
拓扑结构：允许我们谈论距离和收敛。
代数结构：比如可以有外代数、张量代数等。
一个“自然”的线性映射，除了保持向量空间的加法和标量乘法，还会尽可能地保持这些额外的结构。
例如：
正交变换（如旋转、反射）：这是一种“自然”的线性映射，因为它不仅保持了向量空间的结构，还保持了内积。也就是说，它保持了长度和角度。两个向量的点积 $u cdot v$，经过正交变换 $f$ 后，$f(u) cdot f(v)$ 仍然等于 $u cdot v$。这使得它在几何上显得非常“稳健”和“合理”。如果我们把两个向量“旋转”一下再计算它们的内积，结果应该和先计算内积再一起“旋转”它们是一样的。
连续性：在有拓扑结构的向量空间（如赋范线性空间）中，一个“自然”的线性映射通常意味着它是一个连续映射。这意味着微小的输入变化只会导致微小的输出变化。这在物理学和工程学中尤为重要，因为我们通常处理的是连续变化的量，一个不连续的映射会引入不稳定的、不可预测的行为。
代数结构的保持：如果 $V$ 是一个向量空间，我们还可以考虑它的张量积 $V otimes V$。一个“自然”的线性映射 $f: V o W$ 也会自然地诱导出一个到 $W otimes W$ 的映射 $f otimes f$。也就是说，$f(u otimes v) = f(u) otimes f(v)$。这种对张量积的保持，意味着它能够“正确地”处理更高阶的结构。
总结一下，不使用范畴论术语来刻画一个线性映射的“自然”性，我们可以从以下几个方面去理解：
1. 结构保持的一致性：它忠实地遵循向量空间的加法和标量乘法规则。这是最基本也是最重要的自然性。
2. 基的独立性：它的定义和行为不依赖于我们选择的特定坐标系。无论我们如何“换个角度”看问题（更换基），线性映射的表现方式总能通过一种一致的、可预测的方式进行转换。它不会“强迫”我们选择某种特殊的坐标系来理解它。
3. 与额外结构的和谐共存：它不会“破坏”向量空间可能拥有的其他重要结构（如内积、距离等），而是在保持自身线性的同时，也尽可能地兼容这些结构。这让它在更复杂的数学或物理模型中显得可靠和有意义。
4. 可预测性和普遍性：一个“自然”的线性映射，往往具有普遍的适用性。它描述的是事物之间普遍的、结构性的联系，而不是某种特定情况下的“巧合”或者依赖于具体实现的“特例”。
总而言之，一个自然的线性映射，就像一位训练有素的翻译官，它不仅理解两种语言（向量空间）的基本词汇（向量）和语法（加法、标量乘法），还能在不同语言的表达方式（基）之间，以一种不失原意（保持结构）且清晰易懂（兼容其他结构）的方式进行翻译。它带来的不是“惊喜”，而是“意料之中”的、基于结构本身的和谐转换。
网友意见
有限维线性空间 就是矢量的集合, 其对偶空间 则是矢量到相应数域的映射的集合.
这就是说 作用在 后都会给出数域中的一个数
作为线性空间它们维数相同, 而维数是线性空间唯一的特征量, 所以这俩空间是同构的. 主要是因为线性空间的结构太简单了, 同构映射无非就是二者基底之间的一个线性双射. 而基底的选取有无数多种且均平权, 这就无法挑出最独特的那款双射称之为自然同构, 换句话说就是不同的人在不互相交流的情况下无法保证能做出相同的选择.
但线性空间 与对偶空间 的对偶空间 之间确实能找到一款独一无二的同构映射.
就是说对 都可以定义映射 使得对 都能满足 . 而这个 正是 中的元素, 然后 对线性空间 中矢量的作用都是确定的, 所以映射 就是确定的, 这样一来, 能类似地将 都指向它的天命之子 的同构映射就是一个确定的、独一无二的东西了.
而这个映射在人间界被称为自然同构.
所以我看来, 自然的标准就是, 存在这么一个独一无二的对象能让所有人都做出统一的选择来.
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