是否存在虚虚数j，使得j^2=-i？
首先，我们要明确一下我们熟悉的数系。我们有实数，比如 1, 5, $pi$, $sqrt{2}$，它们都可以在数轴上找到位置。然后我们引入了虚数单位 $i$，它的核心定义就是 $i^2 = 1$。正是这个 $i$ 的出现，我们才能构建出完整的复数系，每一个复数都可以表示为 $a + bi$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 都是实数。
那么，你提出的问题是，“是否存在一个数 $j$，使得 $j^2 = i$ ？” 这里的 $j$ 并不是我们熟悉的实数，也不是那个定义了 $i^2 = 1$ 的 $i$。它是一个全新的“虚虚数”，我们姑且这么称呼它。
我们来尝试用复数的表示方法来寻找这样的 $j$。假设 $j$ 也是一个复数，那么它可以写成 $j = x + yi$ 的形式，其中 $x$ 和 $y$ 是实数。
现在，我们将 $j^2$ 计算出来：
$j^2 = (x + yi)^2 = x^2 + 2xyi + (yi)^2$
我们知道 $i^2 = 1$，所以：
$j^2 = x^2 + 2xyi + y^2(1) = x^2 y^2 + 2xyi$
根据题目要求，我们希望这个 $j^2$ 等于 $i$。而 $i$ 同样可以看作一个复数，它的实部是 0，虚部是 1，即 $0 + (1)i$。
所以，我们要找到满足以下条件的实数 $x$ 和 $y$：
$x^2 y^2 + 2xyi = 0 + (1)i$
为了使两个复数相等，它们的实部必须相等，虚部也必须相等。由此，我们得到了两个方程：
1. 实部相等： $x^2 y^2 = 0$
2. 虚部相等： $2xy = 1$
我们来解这个方程组。
从第一个方程 $x^2 y^2 = 0$，我们可以推导出 $x^2 = y^2$。这意味着 $x = y$ 或者 $x = y$。
现在我们把这两种情况代入第二个方程 $2xy = 1$。
情况一：$x = y$
将 $x = y$ 代入 $2xy = 1$：
$2(y)(y) = 1$
$2y^2 = 1$
$y^2 = frac{1}{2}$
在实数范围内，平方不可能得到负数。所以，如果 $x$ 和 $y$ 必须是实数，那么在 $x=y$ 的情况下，我们找不到满足条件的 $y$。
情况二：$x = y$
将 $x = y$ 代入 $2xy = 1$：
$2(y)(y) = 1$
$2y^2 = 1$
$y^2 = frac{1}{2}$
这次我们得到了一个实数解！ $y = sqrt{frac{1}{2}}$ 或者 $y = sqrt{frac{1}{2}}$。
化简一下， $y = frac{1}{sqrt{2}}$ 或者 $y = frac{1}{sqrt{2}}$。
如果 $y = frac{1}{sqrt{2}}$：
由于 $x = y$，所以 $x = frac{1}{sqrt{2}}$。
这时，我们的 $j$ 就等于 $j = x + yi = frac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{2}}i$。
我们可以验证一下：
$j^2 = (frac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{2}}i)^2 = (frac{1}{sqrt{2}})^2 + 2(frac{1}{sqrt{2}})(frac{1}{sqrt{2}}i) + (frac{1}{sqrt{2}}i)^2$
$j^2 = frac{1}{2} frac{2}{2}i + frac{1}{2}i^2 = frac{1}{2} i + frac{1}{2}(1) = frac{1}{2} i frac{1}{2} = i$
成功了！
如果 $y = frac{1}{sqrt{2}}$：
由于 $x = y$，所以 $x = (frac{1}{sqrt{2}}) = frac{1}{sqrt{2}}$。
这时，我们的 $j$ 就等于 $j = x + yi = frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}i$。
我们也可以验证一下：
$j^2 = (frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}i)^2 = (frac{1}{sqrt{2}})^2 + 2(frac{1}{sqrt{2}})(frac{1}{sqrt{2}}i) + (frac{1}{sqrt{2}}i)^2$
$j^2 = frac{1}{2} frac{2}{2}i + frac{1}{2}i^2 = frac{1}{2} i + frac{1}{2}(1) = frac{1}{2} i frac{1}{2} = i$
这个结果也一样！
所以，答案是肯定的！存在这样的数 $j$。我们找到了两个这样的数：
$j_1 = frac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{2}}i$
$j_2 = frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}i$
这两个数都可以看作是 $i$ 的“平方根”。
更进一步的思考：
这个问题实际上是在问，复数 $i$ 是否有平方根。在复数域内，任何非零复数都有两个平方根，它们互为相反数。
我们也可以从另一个角度来看。在复数的极坐标表示中，一个复数 $z$ 可以表示为 $z = r(cos heta + i sin heta)$，其中 $r$ 是模长，$ heta$ 是辐角。
我们知道 $i = 1(cos(frac{pi}{2}) + i sin(frac{pi}{2}))$。
所以 $i = 1(cos(frac{pi}{2}) + i sin(frac{pi}{2}))$。
然而，复数的极坐标表示要求模长 $r$ 必须是非负的。那么，我们需要调整一下 $i$ 的辐角。
$i$ 的位置在复平面的负虚轴上，它的模长是 1。它的辐角可以表示为 $frac{3pi}{2}$（或者 $frac{pi}{2}$）。
所以， $i = 1(cos(frac{3pi}{2}) + i sin(frac{3pi}{2}))$。
现在，我们要找 $j$ 使得 $j^2 = i$。设 $j = ho(cos phi + i sin phi)$。
那么 $j^2 = ho^2(cos(2phi) + i sin(2phi))$。
将 $j^2$ 与 $i$ 的极坐标形式对应起来：
$ ho^2 = 1 implies ho = 1$ (因为模长必须是非负的)
$2phi = frac{3pi}{2} + 2kpi$，其中 $k$ 是整数。
解出 $phi$：
$phi = frac{3pi}{4} + kpi$
当 $k=0$ 时：
$phi = frac{3pi}{4}$
$j_1 = 1(cos(frac{3pi}{4}) + i sin(frac{3pi}{4}))$
$cos(frac{3pi}{4}) = frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$
$sin(frac{3pi}{4}) = frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$
所以，$j_1 = frac{1}{sqrt{2}} + frac{1}{sqrt{2}}i$。这与我们前面代数方法算出的第一个结果一致。
当 $k=1$ 时：
$phi = frac{3pi}{4} + pi = frac{7pi}{4}$
$j_2 = 1(cos(frac{7pi}{4}) + i sin(frac{7pi}{4}))$
$cos(frac{7pi}{4}) = frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$
$sin(frac{7pi}{4}) = frac{sqrt{2}}{2} = frac{1}{sqrt{2}}$
所以，$j_2 = frac{1}{sqrt{2}} frac{1}{sqrt{2}}i$。这与我们前面代数方法算出的第二个结果一致。
当 $k=2$ 时，$phi = frac{3pi}{4} + 2pi$，这与 $k=0$ 的辐角相同，所以我们只会有这两个不同的解。
总结一下：
你提出的“虚虚数” $j$ 实际上就是复数 $i$ 的一个平方根。在我们已经熟悉的复数体系内，是完全可以找到这样的数的。它们只不过是复平面上特定位置的复数，而 $i$ 仅仅是复数体系中一个特殊的“基石”。不存在什么需要额外引入的、脱离了复数框架的“虚虚数”。我们只是在复数的大花园里，又发现了几朵有意思的花。
而且，这个 $j$ 的存在，也进一步印证了复数体系的完备性——即使是要求一个复数的平方等于另一个复数（而且这个复数是纯虚数），也都能在复数内部找到答案。这就像实数能够解决 $x^2=2$ 的问题一样，复数能够解决 $j^2=i$ 的问题。
所以，尽管名字听起来有点绕，但 $j$ 确确实实存在于我们通常理解的复数范畴之内。
网友意见
感谢知乎小管家，问题已经被恢复了。（2022.2.3 更新）
物理角度
提问者在问题描述中提到了虚单位i再量子力学中是有实际意义的。这和近期的一个热搜问题关联紧密：如何看待潘建伟等人团队近期在PRL上发表的从实验角度证明量子力学中虚数的必要性
事实上，不光是量子力学，即使在经典力学也应用了复数和四元数。所以，不光是从数学的角度，为了求解无根的方程，从物理的角度来说，当我们进入到微观世界，我们也必须要扩充实数到复数。
题主的问题是，是否存在虚虚数j，使得 ，以及这个虚虚数的物理意义是什么。
从数学的角度来说，如果只是要寻找一个j，使得 ，我们是不需要扩展复数集的。复数集是对基本运算代数封闭的。对复数的求根时使用欧拉公式()会更加方便。使用欧拉公式，你还可以计算一些看起来奇怪的式子，例如
如果从物理的角度来说，是否复数就足以描述我们的物理世界呢？我们是否需要进一步的扩展复数域呢？
这里抛砖引玉。
当研究对象从用薛定谔方程描述的微观低速粒子变成用Klein–Gordon方程和用Dirac方程描述的微观高速的粒子时，粒子的状态多了一个新的自由度：自旋。
在薛定谔方程中，粒子所处的状态由波函数描述。波函数是一个从三维实向量x / k到复数Ψ的映射： 。在粒子所处的状态的集合上可以定义加法和（复）数乘，这样我们就可以定义一个线性空间。在该线性空间上我们可以定义内积。内积的物理意义即从一个状态转移到另一个状态的概率。这样我们就定义了一个希尔伯特空间。更广义的说，任何一个单粒子的状态都可以用希尔伯特空间中的一个向量表示。
粒子的状态也可以被算符（例如时间演化算符）改变。在算符的集合上我们可以定义算符先后作用后的结果，即定义乘法。这样算符和连续作用规则就构成了算符群。而算符会导致我们从一个状态转移到另一个状态，那么我们就说状态空间（上和算符群同态的一个转置群）是算符群的一个群表示。
在Klein–Gordon方程和用Dirac方程中，粒子所处的状态不光包括波函数，还包括粒子的自旋：
类似于定义在三维实空间上复函数空间，波函数空间，自旋空间也应该是某种群的群表示。这个群就是SU(2) 群。
SU(2)群有无穷多种表示。2j+1维表示对应自旋为j的粒子。以电子为例。电子的自旋为1/2，那么它的自旋就是SU(2) 群的一个2维表示。（为什么不能用1维表示电子呢？因为和实验观察结果不符。如果有人感兴趣可以继续展开讨论。）
自旋空间本身是一个希尔伯特空间，也是一个线性空间，因此可以用向量的方式表示。由于电子的线性空间维数为2，我们必须要进一步的将复数扩展到复数二维复向量才能描述电子。
那可不可以避免使用向量呢？答案是可以的，但是在定义波函数时需要将值域从复数域扩充到四元数域。四元数的维数为四，和二维复向量的维数是相同的。这样我们就可以直接用四元数波函数描述电子。和向量相比，四元数的符号更加紧致简介。
事实上，在最早期时（1862-1865）麦克斯韦以分量的形式写下了麦克斯韦方程。在1873年时他重新用四元数重新了麦克斯韦方程。后来，Heaviside（1885-188年间）、Gibbs（1901年）Foppl等人用矢量积分重写了方程[1]。在在1916年时，爱因斯坦用4维能动张量重写了这个式子。这几种数学形式是相互等价的。我们来对比一下他们。
麦克斯韦方程描述了电场、磁场之间的转化关系。四元数有三个虚单位，每个四元数都可以写成
的形式。我们把电场和磁场写成两个四元数 和 :
四元数的乘法是非对易的。对于非对易的群，我们一般定义对易和反对易算法，而不是直接使用乘法：
那么麦克斯韦方程就可以写成
其中微分算符等的定义：
再来看一下用矢量积分形式：
四元数是不是稍微更简洁一点呢？
再来看看四维共扼张量形式：
是不是更简洁了呢？
事实上，凡是需要用到四元数的地方，我们都可以用张量这个数学结构代替描述。张量比超复数更加自由，其符号也同样紧致简洁，因此被更广泛的应用。
更多关于四元数在物理上的应用：
在1984年P R Girard的论文“四元数群与现代物理”中，作者讨论了可以用四元数群来表示多种与物理相关的群：
更深入了解还可以参考Johannes的博士论文
相信你可以找到更多的资料。
2022.2.2 继续更新。
数学角度
相关问题：
其中@陈泽坤 的答案写的很详细，解释了数域被扩充的充分必要条件。
在 math.stackexchange 找打了类似的问题：
这里翻译问题及高赞回答：
Mathematics as a science became richer when Cantor invented the real numbers. Then scientists wanted to solve equations which were not solvable in the real numbers so they invented the complex numbers. My question is, will we ever need to extend the complex numbers to some other set which will contain all other existing sets and help us for something? Are complex numbers extendable? Thanks in advance.
在Cantor发明了实数后，数学科学变得更丰富了。进一步地，科学家们希望求解在实数范围内无解的方程，因此它们发明了复数。我的问题是，我们是否需要进一步拓展复数集合，使得这个集合穷举其他的集合，并且对我们有所帮助？复数是可以被拓展的么？提前感谢。
评论也十分有意思。
In most formulations of set theory, there isn't a "set that contains all other existing sets", by the way. This is the content of Russell's paradox. – bradhd
在绝大多数集合论表述中，“包含所有其它集合”的集合并不存在。这也是俄罗斯套娃悖论的内容。
To solve polynomials, the answer is no. The Fundamental Theorem of Algebra says that every (non-constant) polynomial, of degree , with complex coefficients has roots (including repeated roots) in ℂ.
如果问题是求多项式的根，答案是否定的。代数基本定理的内容即每个非常数的、系数为复数的、n度的多项式有n个可重复的复数根。
As a result of this, the set of complex numbers, unlike the set of real numbers, is algebraically closed, which means that we cannot 'escape' ℂ. using any elementary operations, like +,−,×,÷,√, ... etc. So, in this sense, we don't really 'need' to extend the complex numbers.
因此，不同于实数集合，复数集合是代数封闭的。或者说仅通过初等运算，包括加法、减法、乘法、除法、开根号、指数幂等，我们是没有办法逃离复数集合的。所以从此意义上来说，我们不“需要”拓展复数集合。
However, there do exist hypercomplex numbers, like the quaternions, ℍ, which, instead of using just one imaginary unit i i, use three: , , , each satisfying:
然而，超复数的确存在，例如四元数H。不同于只有一个虚单元i的复数，四元数有三个虚单元i j k满足
Quaternions are used in modelling 3D vectors, and have a lot of use in 3D mechanics. A useful property of a quaternion is that it does not satisfy commutativity: e.g. × ≠ × .
四元数被广泛应用于描述三维向量，并且在三维动力学中有广泛的应用。四元数的一个有用的性质是它不满足对易性：
Now, if you still want to go further, you can explore the octonions, , which are an extension of the quaternions. Octonions have 7 imaginary units: 1, 2,... 7.
如果你还想走的更远，你可以探索八元数 O。八元数是对四元数的扩展。它有7个虚单元：e1,..e7.
Octonions have far fewer (that I know of, at least) practical uses that quaternions. Octonions also have the interesting property that they lack associativity: e.g. ×( × )≠( × )× x×(y×z)≠(x×y)×z
(for , , ∈ x,y,z∈O , , ∈ x,y,z∈O).
相比于四元数，八元数（至少就我所知）的实用价值更少。八元数的一个有趣的性质是它不满足结合律：
And, finally, at least as far as mathematical interest has gone, we have the sedenions, . These are an extension of the octonions and have 15 imaginary units: 1, 2, 3,..., 15 The special property about the sedenions is that they have zero-divisors (meaning that there exist non-zero sedenions and such that =0). Interesting, this property, isn't it? Not particularly, intuitive, to say the least.
而最后，出于数学上的兴趣，我们还有十六元数 S。十六元数是对八元数的扩展。它有15个虚单元：e1...e15。十六元数的一个特殊性质是存在零因子（也就是说存在非零的x和y，它们的乘积为0）。这个性质很有趣不是么？但是，至少直觉上来说，这并没有什么卵用。
Now, I'll leave as an exercise for you to find out about the applications of hypercomplex numbers, and how to multiply them (hint: Google 'Fano plane mnemonic', which explains how to multiply octonions- this same idea can be extended to the sedenions).
See http://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
现在，我要把找出超复数的应用和乘法规则留给你作为练习。提示：搜索法诺平面助记符。它解释了八元数的乘法规则。相同的方法可以被应用于十六元数。参考wiki 超复数。
更多相关的问题：
- 除了实数、虚数，是否存在第三个维度 [?] 数？
- 有没有类似于虚虚数的东西？
- 为什么实数域上的可除代数只能是实数、复数、四元数三者之一？
知乎有类似的文章，参考 @CirnoSama 的文章：
以下是更早期的回答。
是否存在虚虚数
复数可以被扩展，只是扩展方式并不是，而是有更多的。例如四元数：
不光存在四元数，还有八元数、十六元数等等。而三元数五元数是不存在的，参考：
那么虚虚数的实用意义又是什么呢？
以四元数为例。在描述刚体转动时，四元数比欧拉角更加简洁直接。刚体从一个取向转换到另一个取向时，欧拉角需要将物体转动三次，分别对应进动角、章动角和自旋角。转动矩阵：
而如果使用四元数，我们只需要做共轭乘法就够了：
在计算机视觉中，四元数也比欧拉角的应用更加广泛。参考 @Yang Eninala 的回答：
我觉得你其实想问的可能是四元数，参考
四元数最开始是哈密顿在1843年提出的。和复数相比有四个单位元，1，i，j，k。它也可以直接用泡利矩阵表示。四元数是Clifford Algebra的子代数，目前应用不是很广泛。矢量是一个很好的替代工具。
就拿复数来说，复数可以被想象成二维平面上的一个矢量 / 点。只是因为多了一个nontrivial的单位元的自乘关系 i*i -> -1，它的乘法难以被形象的理解。类似的，狭义相对论里和广义相对论里定义距离的度规也是nontrivial的，这也导致“可以为负”、以及“距离定义依赖于起点位置“的距离被难以理解。
参考
- ^On the changing form of Maxwell’s equations during the last 150 years — spotlights on the history of classical electrodynamics by Friedrich W. Hehl http://www.thp.uni-koeln.de/gravitation/mitarbeiter/hehl/MaxwellUCL2.pdf
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