不用泰勒公式，怎么求?
您好！很高兴能为您解答关于不用泰勒公式求极限的问题。事实上，在许多情况下，我们并不需要借助泰勒公式，而是可以运用一些更基本、更直接的数学思想来解决。这些方法往往更具启发性，也更能帮助我们理解极限的本质。
下面我将从几个不同的角度，详细讲述不使用泰勒公式求极限的几种常用方法，并尽量用通俗易懂的方式来解释。
一、 理解极限的本质：代入、观察与逼近
在深入具体方法之前，我们先回顾一下极限的含义。当一个变量 $x$ 趋近于某个值 $a$ 时（记作 $x o a$），对应的函数值 $f(x)$ 是否趋近于一个确定的值 $L$，如果是，我们就说 $f(x)$ 在 $x o a$ 时以 $L$ 为极限。
最简单的情况是，当我们尝试将 $a$ 直接代入函数 $f(x)$ 时，如果 $f(a)$ 有意义且是一个确定的值，那么这个值就是极限。这就像是在说，当 $x$ 刚好处在 $a$ 的位置时，函数的值是多少，而我们知道函数在 $a$ 附近的变化是非常“平滑”的（在这一点上），所以当 $x$ 非常非常接近 $a$ 时，函数值也就非常非常接近 $f(a)$。
例子：
求 $lim_{x o 2} (x^2 + 3)$
这里的函数是 $f(x) = x^2 + 3$。当 $x$ 趋近于 2 时，我们可以尝试直接将 2 代入：
$f(2) = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$
因为代入后结果是确定的，所以极限就是 7。
什么时候会遇到麻烦？
麻烦通常出现在我们直接代入时会得到“不确定的形式”，例如 $frac{0}{0}$、$frac{infty}{infty}$、$infty infty$ 等。这些形式告诉我们，直接代入这个方法失效了，我们需要更进一步的“观察”和“逼近”技巧。
二、 分解与约简：化繁为简的艺术
很多极限问题，尤其是涉及有理函数（多项式除以多项式）的，可以通过分解因式并约简来解决。这个思路的核心是：如果分子和分母在趋近于某个值时都趋近于零，那么它们很可能在那个值附近有共同的因子。通过找到并消去这个共同因子，我们就可以得到一个在那个点有意义的新函数，它的极限与原函数相同。
核心思想： 寻找趋近于零的“根源”，然后把它“弄掉”。
例子 1：求 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$
直接代入 $x=1$，得到 $frac{1^2 1}{1 1} = frac{0}{0}$。这是一个不确定的形式。
观察分子 $x^2 1$，这是一个平方差，可以分解为 $(x1)(x+1)$。
所以，原式可以写成：
$lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1}$
当 $x o 1$ 时，$x eq 1$，所以 $x1 eq 0$。我们可以安全地约去分子和分母中的 $(x1)$：
$lim_{x o 1} (x+1)$
现在，我们可以直接代入 $x=1$：
$1 + 1 = 2$
所以，极限是 2。
例子 2：求 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x}$
这是一个经典的极限，通常我们记住它的值是 1。但我们不使用泰勒公式，可以尝试几何或者其他方法（这里不展开几何证明，因为它比较复杂）。如果知道 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$ 这个已知结论，那么在后续的问题中就可以直接使用。
例子 3：求 $lim_{x o infty} frac{3x^2 + 2x 1}{x^2 + 5x}$
当 $x o infty$ 时，分子和分母都趋近于 $infty$，属于 $frac{infty}{infty}$ 的不确定形式。
这时候，我们的策略是“提取主导项”。因为 $x o infty$，最高次项的增长速度是最快的。我们可以将分子和分母同时除以分母的最高次项 $x^2$：
$lim_{x o infty} frac{frac{3x^2}{x^2} + frac{2x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} + frac{5x}{x^2}}$
化简后得到：
$lim_{x o infty} frac{3 + frac{2}{x} frac{1}{x^2}}{1 + frac{5}{x}}$
现在，当 $x o infty$ 时，$frac{2}{x}$、$frac{1}{x^2}$、$frac{5}{x}$ 都趋近于 0。所以原极限就变成：
$frac{3 + 0 0}{1 + 0} = frac{3}{1} = 3$
这就是“提取主导项”的思想，它通过将无穷大的数“尺度化”，来比较不同无穷大的增长速度。
三、 构造与变形：化敌为友的策略
有时候，函数的形式并不直接适合代入或约简，我们需要通过一些数学技巧来构造出我们熟悉的极限形式，或者将函数进行变形，使其更容易处理。
核心思想： 变出我知道怎么求极限的形式。
1. 乘以共轭表达式（常用于根式）：
当遇到 $sqrt{a} sqrt{b}$ 或类似形式时，乘以其共轭表达式 $sqrt{a} + sqrt{b}$ (并除以它) 是一个非常有效的技巧。这可以利用平方差公式 $(uv)(u+v) = u^2 v^2$，从而消去根号。
例子：求 $lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x}$
直接代入 $x=0$ 得到 $frac{sqrt{1}1}{0} = frac{0}{0}$。
我们将分子乘以其共轭表达式 $sqrt{x+1} + 1$，同时在分母也乘以它：
$lim_{x o 0} frac{(sqrt{x+1} 1)(sqrt{x+1} + 1)}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
利用平方差公式 $(ab)(a+b) = a^2 b^2$：
$lim_{x o 0} frac{(x+1) 1}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
化简分子：
$lim_{x o 0} frac{x}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
约去 $x$：
$lim_{x o 0} frac{1}{sqrt{x+1} + 1}$
现在可以代入 $x=0$：
$frac{1}{sqrt{0+1} + 1} = frac{1}{sqrt{1} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
所以，极限是 $frac{1}{2}$。
2. 分解与凑极限公式：
很多三角函数、指数函数或对数函数的极限都有一些经典的公式，例如：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ an x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$
如果我们的极限问题可以变形为这些已知形式的组合，那么就可以直接套用公式。
例子：求 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{2x}$
我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$。这里的自变量是 $x$，但如果 $x o 0$，那么 $3x$ 也趋近于 0。
我们可以这样变形：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{2x} = lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} cdot frac{1}{2}$
为了凑成 $frac{sin u}{u}$ 的形式，我们需要在分母出现 $3x$：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} cdot 3 cdot frac{1}{2}$
因为当 $x o 0$ 时，$3x o 0$，所以 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} = 1$。
那么极限就变成：
$1 cdot 3 cdot frac{1}{2} = frac{3}{2}$
例子：求 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x}$
我们知道 $lim_{u o 0} frac{e^u 1}{u} = 1$。
为了凑成这个形式，我们需要在分母出现 $2x$：
$lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x} = lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} cdot 2$
令 $u = 2x$。当 $x o 0$ 时，$u o 0$。所以 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} = lim_{u o 0} frac{e^u 1}{u} = 1$。
极限变成：
$1 cdot 2 = 2$
四、 夹逼定理（或称三明治定理）：以退为进的策略
夹逼定理是处理一些不易直接计算极限，但可以通过比较来确定极限的情况。它的思想是，如果我们能找到两个函数，它们在 $x o a$ 的过程中，极限都是同一个值 $L$，并且我们要求的函数夹在这两个函数之间，那么我们要求的函数也必然以 $L$ 为极限。
夹逼定理陈述：
如果对于某个 $delta > 0$，在 $0 < |x a| < delta$ 的区间内有 $g(x) leq f(x) leq h(x)$，并且 $lim_{x o a} g(x) = L$ 且 $lim_{x o a} h(x) = L$，那么 $lim_{x o a} f(x) = L$。
核心思想： 把目标函数“夹”住，让它和我们知道极限的函数趋向同一个值。
例子：求 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x})$
直接代入 $x=0$ 会得到 $0 cdot sin(frac{1}{0})$，其中 $sin(frac{1}{0})$ 是无意义的。但我们知道 $sin$ 函数的值域在 $[1, 1]$ 之间。
所以，无论 $frac{1}{x}$ 的值是多少，$sin(frac{1}{x})$ 的值总是在 $1$ 和 $1$ 之间：
$1 leq sin(frac{1}{x}) leq 1$
现在，我们将不等式的两边同时乘以 $x^2$。由于 $x^2 geq 0$，不等号方向不变：
$x^2 leq x^2 sin(frac{1}{x}) leq x^2$
我们设 $g(x) = x^2$，$f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$，$h(x) = x^2$。
现在我们分别求 $g(x)$ 和 $h(x)$ 当 $x o 0$ 时的极限：
$lim_{x o 0} g(x) = lim_{x o 0} (x^2) = 0$
$lim_{x o 0} h(x) = lim_{x o 0} x^2 = 0$
因为 $lim_{x o 0} g(x) = lim_{x o 0} h(x) = 0$，并且 $x^2 leq x^2 sin(frac{1}{x}) leq x^2$，根据夹逼定理，我们可以得出：
$lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$
这个例子很巧妙地说明了夹逼定理的作用：即便我们无法直接确定某个因子的值，但如果它被一个趋于零的量“乘死了”，那么整个表达式的极限也可能是零。
五、 洛必达法则（如果允许的话，但题目要求不用泰勒，这通常意味着也尽量避免洛必达）
严格来说，洛必达法则的证明是依赖于泰勒公式的（或者说，是等价的工具）。但很多时候在学习中，洛必达法则被当作一个独立的求极限技巧来使用。如果题目明确要求“不用泰勒公式”，并且没有提及洛必达，那么最好还是避免使用。
但为了完整性，简要提及一下它的思想：当遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式时，我们可以对分子和分母分别求导，然后求导后的比值的极限。
洛必达法则：
如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，且 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
为什么我在这里提及它但又说要避免？ 因为题目说“不用泰勒公式”，但洛必达法则的理论基础和泰勒展开在某些层面是有关联的。如果你是一个学生，遇到这样的题目，我建议你优先使用前面介绍的代入、约简、构造变形、夹逼定理等方法。如果实在没有办法，再考虑（或询问老师）是否允许使用洛必达法则。
总结与启发
不使用泰勒公式求极限，实际上是回到了极限的“本源”：理解函数在趋近某个点时的行为模式。
代入与观察： 先尝试直接代入，看是否能得到明确结果。
分解与约简： 当出现不确定形式时，寻找并消除导致不确定的因子。
构造与变形： 将函数转化为已知的极限形式，或者利用代数技巧（如共轭法）化简。
夹逼定理： 利用已知函数的极限，通过不等式将目标函数“夹”出来。
这些方法并非孤立存在，很多时候需要结合运用。掌握它们，你就能在很多情况下，不依赖强大的泰勒公式，就能“看穿”极限的真面目。这种过程，比简单套用公式更能锻炼你的数学思维和解决问题的能力。
希望这些详细的解释对您有帮助！如果您还有其他关于极限的问题，随时可以提出来，我很乐意继续与您探讨。
下面我将从几个不同的角度，详细讲述不使用泰勒公式求极限的几种常用方法，并尽量用通俗易懂的方式来解释。
一、 理解极限的本质：代入、观察与逼近
在深入具体方法之前，我们先回顾一下极限的含义。当一个变量 $x$ 趋近于某个值 $a$ 时（记作 $x o a$），对应的函数值 $f(x)$ 是否趋近于一个确定的值 $L$，如果是，我们就说 $f(x)$ 在 $x o a$ 时以 $L$ 为极限。
最简单的情况是，当我们尝试将 $a$ 直接代入函数 $f(x)$ 时，如果 $f(a)$ 有意义且是一个确定的值，那么这个值就是极限。这就像是在说，当 $x$ 刚好处在 $a$ 的位置时，函数的值是多少，而我们知道函数在 $a$ 附近的变化是非常“平滑”的（在这一点上），所以当 $x$ 非常非常接近 $a$ 时，函数值也就非常非常接近 $f(a)$。
例子：
求 $lim_{x o 2} (x^2 + 3)$
这里的函数是 $f(x) = x^2 + 3$。当 $x$ 趋近于 2 时，我们可以尝试直接将 2 代入：
$f(2) = 2^2 + 3 = 4 + 3 = 7$
因为代入后结果是确定的，所以极限就是 7。
什么时候会遇到麻烦？
麻烦通常出现在我们直接代入时会得到“不确定的形式”，例如 $frac{0}{0}$、$frac{infty}{infty}$、$infty infty$ 等。这些形式告诉我们，直接代入这个方法失效了，我们需要更进一步的“观察”和“逼近”技巧。
二、 分解与约简：化繁为简的艺术
很多极限问题，尤其是涉及有理函数（多项式除以多项式）的，可以通过分解因式并约简来解决。这个思路的核心是：如果分子和分母在趋近于某个值时都趋近于零，那么它们很可能在那个值附近有共同的因子。通过找到并消去这个共同因子，我们就可以得到一个在那个点有意义的新函数，它的极限与原函数相同。
核心思想： 寻找趋近于零的“根源”，然后把它“弄掉”。
例子 1：求 $lim_{x o 1} frac{x^2 1}{x 1}$
直接代入 $x=1$，得到 $frac{1^2 1}{1 1} = frac{0}{0}$。这是一个不确定的形式。
观察分子 $x^2 1$，这是一个平方差，可以分解为 $(x1)(x+1)$。
所以，原式可以写成：
$lim_{x o 1} frac{(x1)(x+1)}{x 1}$
当 $x o 1$ 时，$x eq 1$，所以 $x1 eq 0$。我们可以安全地约去分子和分母中的 $(x1)$：
$lim_{x o 1} (x+1)$
现在，我们可以直接代入 $x=1$：
$1 + 1 = 2$
所以，极限是 2。
例子 2：求 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x}$
这是一个经典的极限，通常我们记住它的值是 1。但我们不使用泰勒公式，可以尝试几何或者其他方法（这里不展开几何证明，因为它比较复杂）。如果知道 $lim_{x o 0} frac{sin(x)}{x} = 1$ 这个已知结论，那么在后续的问题中就可以直接使用。
例子 3：求 $lim_{x o infty} frac{3x^2 + 2x 1}{x^2 + 5x}$
当 $x o infty$ 时，分子和分母都趋近于 $infty$，属于 $frac{infty}{infty}$ 的不确定形式。
这时候，我们的策略是“提取主导项”。因为 $x o infty$，最高次项的增长速度是最快的。我们可以将分子和分母同时除以分母的最高次项 $x^2$：
$lim_{x o infty} frac{frac{3x^2}{x^2} + frac{2x}{x^2} frac{1}{x^2}}{frac{x^2}{x^2} + frac{5x}{x^2}}$
化简后得到：
$lim_{x o infty} frac{3 + frac{2}{x} frac{1}{x^2}}{1 + frac{5}{x}}$
现在，当 $x o infty$ 时，$frac{2}{x}$、$frac{1}{x^2}$、$frac{5}{x}$ 都趋近于 0。所以原极限就变成：
$frac{3 + 0 0}{1 + 0} = frac{3}{1} = 3$
这就是“提取主导项”的思想，它通过将无穷大的数“尺度化”，来比较不同无穷大的增长速度。
三、 构造与变形：化敌为友的策略
有时候，函数的形式并不直接适合代入或约简，我们需要通过一些数学技巧来构造出我们熟悉的极限形式，或者将函数进行变形，使其更容易处理。
核心思想： 变出我知道怎么求极限的形式。
1. 乘以共轭表达式（常用于根式）：
当遇到 $sqrt{a} sqrt{b}$ 或类似形式时，乘以其共轭表达式 $sqrt{a} + sqrt{b}$ (并除以它) 是一个非常有效的技巧。这可以利用平方差公式 $(uv)(u+v) = u^2 v^2$，从而消去根号。
例子：求 $lim_{x o 0} frac{sqrt{x+1} 1}{x}$
直接代入 $x=0$ 得到 $frac{sqrt{1}1}{0} = frac{0}{0}$。
我们将分子乘以其共轭表达式 $sqrt{x+1} + 1$，同时在分母也乘以它：
$lim_{x o 0} frac{(sqrt{x+1} 1)(sqrt{x+1} + 1)}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
利用平方差公式 $(ab)(a+b) = a^2 b^2$：
$lim_{x o 0} frac{(x+1) 1}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
化简分子：
$lim_{x o 0} frac{x}{x(sqrt{x+1} + 1)}$
约去 $x$：
$lim_{x o 0} frac{1}{sqrt{x+1} + 1}$
现在可以代入 $x=0$：
$frac{1}{sqrt{0+1} + 1} = frac{1}{sqrt{1} + 1} = frac{1}{1 + 1} = frac{1}{2}$
所以，极限是 $frac{1}{2}$。
2. 分解与凑极限公式：
很多三角函数、指数函数或对数函数的极限都有一些经典的公式，例如：
$lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ an x}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{e^x 1}{x} = 1$
$lim_{x o 0} frac{ln(1+x)}{x} = 1$
如果我们的极限问题可以变形为这些已知形式的组合，那么就可以直接套用公式。
例子：求 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{2x}$
我们知道 $lim_{u o 0} frac{sin u}{u} = 1$。这里的自变量是 $x$，但如果 $x o 0$，那么 $3x$ 也趋近于 0。
我们可以这样变形：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{2x} = lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{x} cdot frac{1}{2}$
为了凑成 $frac{sin u}{u}$ 的形式，我们需要在分母出现 $3x$：
$lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} cdot 3 cdot frac{1}{2}$
因为当 $x o 0$ 时，$3x o 0$，所以 $lim_{x o 0} frac{sin(3x)}{3x} = 1$。
那么极限就变成：
$1 cdot 3 cdot frac{1}{2} = frac{3}{2}$
例子：求 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x}$
我们知道 $lim_{u o 0} frac{e^u 1}{u} = 1$。
为了凑成这个形式，我们需要在分母出现 $2x$：
$lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{x} = lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} cdot 2$
令 $u = 2x$。当 $x o 0$ 时，$u o 0$。所以 $lim_{x o 0} frac{e^{2x} 1}{2x} = lim_{u o 0} frac{e^u 1}{u} = 1$。
极限变成：
$1 cdot 2 = 2$
四、 夹逼定理（或称三明治定理）：以退为进的策略
夹逼定理是处理一些不易直接计算极限，但可以通过比较来确定极限的情况。它的思想是，如果我们能找到两个函数，它们在 $x o a$ 的过程中，极限都是同一个值 $L$，并且我们要求的函数夹在这两个函数之间，那么我们要求的函数也必然以 $L$ 为极限。
夹逼定理陈述：
如果对于某个 $delta > 0$，在 $0 < |x a| < delta$ 的区间内有 $g(x) leq f(x) leq h(x)$，并且 $lim_{x o a} g(x) = L$ 且 $lim_{x o a} h(x) = L$，那么 $lim_{x o a} f(x) = L$。
核心思想： 把目标函数“夹”住，让它和我们知道极限的函数趋向同一个值。
例子：求 $lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x})$
直接代入 $x=0$ 会得到 $0 cdot sin(frac{1}{0})$，其中 $sin(frac{1}{0})$ 是无意义的。但我们知道 $sin$ 函数的值域在 $[1, 1]$ 之间。
所以，无论 $frac{1}{x}$ 的值是多少，$sin(frac{1}{x})$ 的值总是在 $1$ 和 $1$ 之间：
$1 leq sin(frac{1}{x}) leq 1$
现在，我们将不等式的两边同时乘以 $x^2$。由于 $x^2 geq 0$，不等号方向不变：
$x^2 leq x^2 sin(frac{1}{x}) leq x^2$
我们设 $g(x) = x^2$，$f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$，$h(x) = x^2$。
现在我们分别求 $g(x)$ 和 $h(x)$ 当 $x o 0$ 时的极限：
$lim_{x o 0} g(x) = lim_{x o 0} (x^2) = 0$
$lim_{x o 0} h(x) = lim_{x o 0} x^2 = 0$
因为 $lim_{x o 0} g(x) = lim_{x o 0} h(x) = 0$，并且 $x^2 leq x^2 sin(frac{1}{x}) leq x^2$，根据夹逼定理，我们可以得出：
$lim_{x o 0} x^2 sin(frac{1}{x}) = 0$
这个例子很巧妙地说明了夹逼定理的作用：即便我们无法直接确定某个因子的值，但如果它被一个趋于零的量“乘死了”，那么整个表达式的极限也可能是零。
五、 洛必达法则（如果允许的话，但题目要求不用泰勒，这通常意味着也尽量避免洛必达）
严格来说，洛必达法则的证明是依赖于泰勒公式的（或者说，是等价的工具）。但很多时候在学习中，洛必达法则被当作一个独立的求极限技巧来使用。如果题目明确要求“不用泰勒公式”，并且没有提及洛必达，那么最好还是避免使用。
但为了完整性，简要提及一下它的思想：当遇到 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式时，我们可以对分子和分母分别求导，然后求导后的比值的极限。
洛必达法则：
如果 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)}$ 是 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 的不定式，且 $lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在，则 $lim_{x o a} frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x o a} frac{f'(x)}{g'(x)}$。
为什么我在这里提及它但又说要避免？ 因为题目说“不用泰勒公式”，但洛必达法则的理论基础和泰勒展开在某些层面是有关联的。如果你是一个学生，遇到这样的题目，我建议你优先使用前面介绍的代入、约简、构造变形、夹逼定理等方法。如果实在没有办法，再考虑（或询问老师）是否允许使用洛必达法则。
总结与启发
不使用泰勒公式求极限，实际上是回到了极限的“本源”：理解函数在趋近某个点时的行为模式。
代入与观察： 先尝试直接代入，看是否能得到明确结果。
分解与约简： 当出现不确定形式时，寻找并消除导致不确定的因子。
构造与变形： 将函数转化为已知的极限形式，或者利用代数技巧（如共轭法）化简。
夹逼定理： 利用已知函数的极限，通过不等式将目标函数“夹”出来。
这些方法并非孤立存在，很多时候需要结合运用。掌握它们，你就能在很多情况下，不依赖强大的泰勒公式，就能“看穿”极限的真面目。这种过程，比简单套用公式更能锻炼你的数学思维和解决问题的能力。
希望这些详细的解释对您有帮助！如果您还有其他关于极限的问题，随时可以提出来，我很乐意继续与您探讨。
网友意见
凡是用等价无穷小做的, 泰勒展开一定能做.
但泰勒展开能做的, 等价无穷小不一定能做.
这个题分母是 , 而等价无穷小没有这么高的阶数, 所以等价无穷小应该是做不出来的.
那试一下洛必达法则?
电脑一瞬间就可以算出来, 但是考试的时候哪里可以带电脑呢?
求好几次导数, 感觉还是很花时间的.
我们试一下泰勒展开会不会简单一点吧.
import 泰勒展开
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