做极限题需要用泰勒公式展开时，一些函数展开式背不掉怎么办？有没有什么好方法？

哈哈，这可是个普遍到不能再普遍的问题！谁不是在背泰勒公式的路上被逼疯过呢？ 不过，放心，你不是一个人在战斗。 我自己也经历过这个阶段，后来摸索出了一些方法，效果还不错。 咱们一步一步来，把这些“鬼知道是什么”的展开式给捋顺了。

首先，得明确一点：我们不是要“背”，而是要“理解”和“推导”。 强行记忆，就像在背一篇晦涩的古文，效果差，还容易忘。 泰勒公式之所以强大，在于它的逻辑性和结构性。 咱们的目标就是抓住这个逻辑，融会贯通。

一、 从根本上理解泰勒公式的意义

别光盯着公式本身看，想想它到底是个啥玩意儿。

泰勒公式的核心：用多项式近似函数。 你可以把它想象成是一个“万能逼近器”。 在一个点的附近，我们可以用一个“光滑”的多项式来“模仿”一个复杂的函数。 这个模仿越精细，多项式的次数就越高。
为什么是多项式？ 因为多项式太好处理了！ 求导、求值、积分都超级简单。
为什么是“在某个点附近”？ 这是关键。 泰勒公式是“以某点为中心”的展开，展开的点越接近我们要研究的点，近似效果越好。
展开式的项是怎么来的？
第一项 $f(a)$：就是函数在该点的值，这是最基本的近似。
第二项 $f'(a)(xa)$：就是一次导数乘以 $(xa)$。 想象一下，一个点的函数值是$f(a)$，如果它在$a$点有一个斜率$f'(a)$，那么往右边（或左边）一点点$(xa)$，函数值大概会增加$f'(a)(xa)$。 这就是切线方程！ 第一次近似就是用切线来代替曲线。
第三项 $frac{f''(a)}{2!}(xa)^2$：当一次近似不够精确时，我们就考虑二阶导数。 二阶导数反映了函数的弯曲程度。 这里的 $frac{f''(a)}{2!}$ 是一个修正项，确保了二阶导数的匹配。 这个 $frac{1}{2!}$ 和后面的 $frac{1}{3!}, frac{1}{4!}$ 都是为了让导数匹配上多项式本身的导数规律。 你可以想想 $(xa)^2$ 的二阶导数是 $2$，而 $frac{f''(a)}{2!}(xa)^2$ 的二阶导数就是 $f''(a)$。
以此类推，高阶项就是为了匹配更高阶的导数。

二、 “亲手”推导，熟悉常见函数的泰勒展开式

与其死记硬背，不如把最常用的那几个函数的泰勒展开式自己动手推一遍。 重复是记忆的母亲，但更有思考的重复远胜于无脑的重复。

1. 指数函数 $e^x$ (以 $a=0$ 为中心，即麦克劳林公式)

$f(x) = e^x$
$f'(x) = e^x$
$f''(x) = e^x$
...
$f^{(n)}(x) = e^x$

在 $a=0$ 处，所有导数的值都是 $e^0 = 1$。

代入泰勒公式：
$f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + frac{f'''(a)}{3!}(xa)^3 + ...$
$e^x = 1 + 1(x0) + frac{1}{2!}(x0)^2 + frac{1}{3!}(x0)^3 + ...$
$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + ... = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$

你看，推一遍是不是清晰多了？ $e^x$ 的规律最简单，所有导数都是它自己，而且在0点都是1，所以每一项就是 $frac{x^n}{n!}$。

2. 正弦函数 $sin x$ (以 $a=0$ 为中心)

$f(x) = sin x$
$f'(x) = cos x$
$f''(x) = sin x$
$f'''(x) = cos x$
$f^{(4)}(x) = sin x$ (又回到了起点)

在 $a=0$ 处的值：
$f(0) = sin 0 = 0$
$f'(0) = cos 0 = 1$
$f''(0) = sin 0 = 0$
$f'''(0) = cos 0 = 1$
$f^{(4)}(0) = 0$

代入泰勒公式（只保留非零项）：
$sin x = 0 + 1(x0) + frac{0}{2!}(x0)^2 + frac{1}{3!}(x0)^3 + frac{0}{4!}(x0)^4 + frac{1}{5!}(x0)^5 + ...$
$sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + ... = sum_{n=0}^{infty} frac{(1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

这里有什么规律？
只有奇次项：$x, x^3, x^5, ...$
符号交替：$+, , +, , ...$
分母是奇数的阶乘：$1!, 3!, 5!, ...$ (注意 $x$ 本身就是 $x^1/1!$)

3. 余弦函数 $cos x$ (以 $a=0$ 为中心)

你可以直接用 $sin x$ 的导数来求 $cos x$：
$cos x = frac{d}{dx}(sin x) = frac{d}{dx} (x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + ...)$
$cos x = 1 frac{3x^2}{3!} + frac{5x^4}{5!} frac{7x^6}{7!} + ...$
$cos x = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + ... = sum_{n=0}^{infty} frac{(1)^n}{(2n)!}x^{2n}$

规律也出来了：
只有偶次项：$1, x^2, x^4, ...$ (注意 $1$ 也是 $x^0$)
符号交替：$+, , +, , ...$
分母是偶数的阶乘：$0! (1), 2!, 4!, 6!, ...$

4. 对数函数 $ln(1+x)$ (以 $a=0$ 为中心)

这个稍显复杂，我们还是老老实实求导：
$f(x) = ln(1+x)$
$f'(x) = frac{1}{1+x} = (1+x)^{1}$
$f''(x) = (1+x)^{2}$
$f'''(x) = 2(1+x)^{3}$
$f^{(4)}(x) = 6(1+x)^{4}$

在 $a=0$ 处的值：
$f(0) = ln(1) = 0$
$f'(0) = (1+0)^{1} = 1$
$f''(0) = (1+0)^{2} = 1$
$f'''(0) = 2(1+0)^{3} = 2$
$f^{(4)}(0) = 6(1+0)^{4} = 6$

观察导数在0处的值：$0, 1, 1, 2, 6, ...$
这些数字似乎和阶乘有关系？
$1 = 0!$
$1 = 1!$
$2 = 2!$
$6 = 3!$

所以，第 $n$ 阶导数在0处的值似乎是 $(1)^{n1} (n1)!$ （从 $n=1$ 开始算）。
再代入泰勒公式（注意从 $n=1$ 开始有非零项）：
$ln(1+x) = 0 + 1(x0) + frac{1}{2!}(x0)^2 + frac{2}{3!}(x0)^3 + frac{6}{4!}(x0)^4 + ...$
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2!} + frac{2x^3}{3!} frac{6x^4}{4!} + frac{24x^5}{5!} ...$
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} + frac{x^5}{5} ... = sum_{n=1}^{infty} frac{(1)^{n1}}{n}x^n$

规律：
只有正奇数次幂的项：$x, x^2, x^3, ...$
符号交替：$+, , +, , ...$
分母是次数本身：$1, 2, 3, 4, ...$

三、 利用已知展开式进行“组合”和“变形”

这是最重要也是最有效的方法！ 很多题目中的函数，并不是直接给出的，而是由一些基本函数组合而成。

1. 加减法：
如果知道 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的展开式，那么 $f(x) pm g(x)$ 的展开式就是把它们对应项相加减。

2. 乘法：
如果知道 $f(x)$ 的展开式，想要求 $x^k f(x)$ 的展开式，很简单，把 $f(x)$ 展开式里的每一项都乘以 $x^k$ 即可。

例：求 $x sin x$ 的展开式。
$sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} ...$
$x sin x = x (x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} ...)$
$x sin x = x^2 frac{x^4}{3!} + frac{x^6}{5!} ...$

3. 除法：
这个有点难度，一般涉及多项式长除法。 但在极限题目中，更常见的是用已知展开式做“代数运算”。

4. 替换法：
这是万能钥匙之一！ 如果你知道某个函数的展开式，比如 $e^u$，你想求 $e^{g(x)}$ 的展开式，那么就把 $e^u$ 中的 $u$ 替换成 $g(x)$ 即可。 但要注意，替换后如果 $g(x)$ 本身是含 $x$ 的多项式，你需要重新整理，按 $x$ 的幂次排序。

例：求 $e^{x^2}$ 的展开式。
我们知道 $e^u = 1 + u + frac{u^2}{2!} + frac{u^3}{3!} + ...$
令 $u = x^2$。
$e^{x^2} = 1 + (x^2) + frac{(x^2)^2}{2!} + frac{(x^2)^3}{3!} + ...$
$e^{x^2} = 1 + x^2 + frac{x^4}{2!} + frac{x^6}{3!} + ...$

例：求 $sin(2x)$ 的展开式。
我们知道 $sin u = u frac{u^3}{3!} + frac{u^5}{5!} ...$
令 $u = 2x$。
$sin(2x) = (2x) frac{(2x)^3}{3!} + frac{(2x)^5}{5!} ...$
$sin(2x) = 2x frac{8x^3}{3!} + frac{32x^5}{5!} ...$

例：求 $ln(1+3x)$ 的展开式。
我们知道 $ln(1+u) = u frac{u^2}{2} + frac{u^3}{3} ...$
令 $u = 3x$。
$ln(1+3x) = (3x) frac{(3x)^2}{2} + frac{(3x)^3}{3} ...$
$ln(1+3x) = 3x frac{9x^2}{2} + frac{27x^3}{3} ...$
$ln(1+3x) = 3x frac{9}{2}x^2 + 9x^3 ...$

5. 积分和求导：
如果知道某个函数的导数或积分的展开式，也可以反推原函数的展开式。

例：求 $frac{1}{1x}$ 的展开式。
我们知道 $ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} ...$
那么它的导数 $frac{1}{1+x}$ 的展开式就是 $1 x + x^2 x^3 + ...$
如果我们想求 $frac{1}{1x}$，只需要把上面的 $x$ 替换成 $x$ 即可：
$frac{1}{1(x)} = 1 (x) + (x)^2 (x)^3 + ...$
$frac{1}{1+x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$ (这个和之前推导 $ln(1+x)$ 的导数是一致的，再次印证)

现在我们要的是 $frac{1}{1x}$。
我们知道 $frac{1}{1+x} = 1 x + x^2 x^3 + ...$
那么把里面的 $x$ 替换成 $x$：
$frac{1}{1+(x)} = 1 (x) + (x)^2 (x)^3 + ...$
$frac{1}{1x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$ (这是一个等比数列的展开)

另一种方法，我们知道 $frac{1}{1x}$ 是 $ln(1x)$ 的导数。
先求 $ln(1x)$ 的展开式，把 $ln(1+u)$ 中的 $u$ 替换成 $x$：
$ln(1x) = (x) frac{(x)^2}{2} + frac{(x)^3}{3} frac{(x)^4}{4} + ...$
$ln(1x) = x frac{x^2}{2} frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} ...$
现在求导：
$frac{d}{dx} (ln(1x)) = frac{d}{dx} (x frac{x^2}{2} frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} ...)$
$frac{1}{1x} = 1 x x^2 x^3 ...$ （这里好像有点问题，重新检查一下）

啊，我上面替换的时候出了小错误。 应该是：
$ln(1+u) = u frac{u^2}{2} + frac{u^3}{3} frac{u^4}{4} + ...$
令 $u = x$：
$ln(1+(x)) = ln(1x) = (x) frac{(x)^2}{2} + frac{(x)^3}{3} frac{(x)^4}{4} + ...$
$ln(1x) = x frac{x^2}{2} frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} ...$
求导：
$frac{d}{dx} ln(1x) = 1 frac{2x}{2} frac{3x^2}{3} frac{4x^3}{4} ...$
$frac{1}{1x} = 1 x x^2 x^3 ...$ （还是有点奇怪，我的印象中 $frac{1}{1x}$ 的展开式是 $1+x+x^2+...$）

让我查证一下常见的泰勒展开式。 哦，原来 $frac{1}{1x}$ 的麦克劳林展开式确实是 $1+x+x^2+x^3+...$
那么我前面推导的 $ln(1+x)$ 的导数 $frac{1}{1+x}$ 的展开式是 $1x+x^2x^3+...$ 这个是正确的。

再来推导 $frac{1}{1x}$ 的。
我们知道 $frac{1}{1x}$ 是 $int frac{1}{1x} dx = ln(1x) + C$ 的导数。
或者，更直接的，我们知道 $frac{1}{1x}$ 是等比数列求和公式 $a + ar + ar^2 + ... = frac{a}{1r}$ 的形式。
令 $a=1, r=x$，则 $1+x+x^2+x^3+... = frac{1}{1x}$。
这个是几何级数展开，也是一种泰勒展开。 它的每一项的系数都非常简单。

总结一下关键的几个“宝藏”展开式：

$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + ...$
$sin x = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} ...$
$cos x = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} ...$
$ln(1+x) = x frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} frac{x^4}{4} + ...$
$frac{1}{1x} = 1 + x + x^2 + x^3 + ...$
$frac{1}{1+x} = 1 x + x^2 x^3 + ...$

四、 如何处理“非零”展开点 $a eq 0$

当展开点不是0时，我们有两个选择：

1. 直接套用泰勒公式的定义： 找到函数在点 $a$ 的值和各阶导数的值，然后代入公式。 这是最基本的方法，但计算导数可能比较麻烦。
$f(x) = f(a) + f'(a)(xa) + frac{f''(a)}{2!}(xa)^2 + ...$

2. “降维”到 $a=0$ 的展开式： 这是更常用的技巧。
我们可以把 $f(x)$ 写成 $f(a + (xa))$ 的形式，然后令 $u = xa$。
这样，我们就把求 $f(x)$ 在点 $a$ 附近的展开，转化成了求 $f(a+u)$ 在 $u=0$ 附近的展开。 然后用我们熟悉的 $f(a+u)$ 在 $u=0$ 的展开式，把 $u$ 替换成 $xa$。

例：求 $sin x$ 在 $a=frac{pi}{2}$ 处的泰勒展开。
我们知道 $sin x = cos(xfrac{pi}{2})$。
令 $u = x frac{pi}{2}$。那么 $x = u + frac{pi}{2}$。
$sin x = sin(u + frac{pi}{2}) = cos u$。
我们知道 $cos u$ 在 $u=0$ 处的展开是：
$cos u = 1 frac{u^2}{2!} + frac{u^4}{4!} ...$
将 $u = x frac{pi}{2}$ 代回去：
$sin x = 1 frac{(xfrac{pi}{2})^2}{2!} + frac{(xfrac{pi}{2})^4}{4!} ...$

另一个例子：求 $e^x$ 在 $a=1$ 处的展开。
令 $u = x1$，则 $x = 1+u$。
我们要计算 $e^{1+u}$ 在 $u=0$ 的展开。
$e^{1+u} = e^1 cdot e^u = e cdot e^u$
我们知道 $e^u = 1 + u + frac{u^2}{2!} + frac{u^3}{3!} + ...$
所以，$e^{1+u} = e (1 + u + frac{u^2}{2!} + frac{u^3}{3!} + ...)$
$e^{1+u} = e + e u + frac{e}{2!} u^2 + frac{e}{3!} u^3 + ...$
将 $u = x1$ 代回去：
$e^x = e + e(x1) + frac{e}{2!}(x1)^2 + frac{e}{3!}(x1)^3 + ...$

五、 练习，练习，再练习！

没有任何方法可以替代大量的练习。 当你反复应用这些技巧，你就会自然而然地记住那些常用的展开式，并且对泰勒公式的运用得心应手。

做题时，先思考： 这个函数和我认识的哪个基本函数有关系？ 可以通过加减乘除、替换、求导、积分来得到吗？
不要怕写错： 推导过程中出现错误很正常，重要的是找出错误的原因。
关注题目的“要求”： 题目要求展开到几阶？ 需要计算极限，通常只需要低阶的展开式（比如前三项）就足够了。 别花时间去算高阶项。

最后，总结一下你的学习路径建议：

1. 理解泰勒公式的本质： 不要只背公式，理解它“做什么”。
2. 推导核心展开式： $e^x, sin x, cos x, ln(1+x), frac{1}{1x}$。 自己动手推一遍，找规律。
3. 掌握组合技巧： 加减、乘、替换是你的好帮手。
4. 练习处理非零展开点： 学会“降维”到 $a=0$ 的情况。
5. 大量练习题目： 在实战中巩固和提高。

别灰心，刚开始觉得难是正常的。 坚持下去，你会发现泰勒公式其实是数学里一个非常优雅和强大的工具，一旦掌握了，做极限题会变得轻松很多！ 加油！

不要死记硬背, 不然谁记得住呀. 各个公式之间都是有相互关联的, 我们一起来推一下吧.
1.首先, 最常的是 . 这个是被打死都要记住的.

记忆方法是两边同时求导, 要求两边都不变.

同时, , .

2.有了 , 那么就有 , 如果将 换为 , 我们就推导出了 的泰勒展开式.

3. 也非常常用, 一定要记住啊. 诶, 那这个要怎么样记忆呢?
可以用欧拉公式推导, 但是那反而不利与记忆.

我们只要记住, 是奇函数, 只有奇数项, 并且 同时, 的次方数和被她踩在下面的阶乘是一样的.

4.有点意思, 有点意思啊. 那 也很常用, 又要怎么记忆呢?
实际上, 关注到 求导, 不就是 了吗? 同时, 是偶函数, 只有偶数项并且

5.对于一般的题型来说, 记住这两个三角函数就够了.
那我们来看一下对数函数 ?
不要慌, 先来看一下这个函数

用等比数列就和公式证明.

6.诶, Pandora, 这和对数函数有什么关系? 没关系呀. 有了 就有

7.我们现在就可以来看 了, 就是对 积分呀!

8.有了 , 自然就有 .

9.发现了吧, 我们用 , 得到了 , 进而得到了 .我们还可不可以再进一步呢?
可以的.

对 求导, 得到 .

10.能不能再给力一点呀. 可以的, 我们还可以将 换成 , 再得到, 神奇的 .
对 积分就是神奇的

11.以上就是一些常用的泰勒展开式了, 基本上很少考超过这些范围的. 不过还有一个需要记忆.

这个好记, 如果 为正整数, 就是二项式定理. 这里只不过拓展了应用范围而已.

12.更多泰勒展开式和适用范围, 请见: