既然两个分数理论上来说可以无限接近，那么为什么还会出现无理数？
让我们从头说起。
分数是什么？我们是怎么定义它们的？
分数，或者说有理数，是我们早期对数的认识。它们是两个整数的比值，可以表示为 $frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 和 $q$ 是整数，且 $q$ 不等于零。例如，$frac{1}{2}$、$frac{3}{4}$、$frac{7}{1}$（也就是整数7）都是有理数。
这些数在数轴上是“离散”的，但它们之间可以无限细分。这意味着，任意两个不同的有理数之间，你总能找到无数个其他的有理数。例如，在 $frac{1}{3}$ 和 $frac{1}{2}$ 之间，你可以找到 $frac{1}{2.5}$（也就是$frac{2}{5}$），在它们之间你还能找到更多的数。这种“无限接近”的能力，让我们觉得有理数已经足够“稠密”了，足以覆盖数轴上的所有点。
那么，为什么会突然冒出“无理数”这个概念呢？
故事的起源往往与几何有关，尤其是毕达哥拉斯学派的发现。
想象一下，我们有一个正方形，它的边长是 1。根据勾股定理，这个正方形的对角线长度的平方，等于它两条相邻边长平方的和。也就是说，对角线长度的平方是 $1^2 + 1^2 = 2$。
那么，对角线的长度是多少呢？它是某个数的平方等于 2。我们称这个数是 $sqrt{2}$。
现在的问题来了：$sqrt{2}$ 能不能用分数来表示？
毕达哥拉斯学派当时认为，宇宙万物都可以用整数和它们的比值（也就是分数）来解释。他们相信 $sqrt{2}$ 也是一个有理数，可以写成 $frac{p}{q}$ 的形式。
于是，他们尝试去证明这一点。假设 $sqrt{2} = frac{p}{q}$，并且这个分数已经被化为最简形式（即 $p$ 和 $q$ 没有共同的约数）。
1. 平方两边： $(sqrt{2})^2 = (frac{p}{q})^2$，所以 $2 = frac{p^2}{q^2}$。
2. 移项： $p^2 = 2q^2$。
从 $p^2 = 2q^2$ 这个式子，我们可以得出结论：$p^2$ 是一个偶数（因为它是 2 乘以另一个整数 $q^2$）。
如果一个数的平方是偶数，那么这个数本身也一定是偶数。（想一下：奇数乘以奇数是奇数，偶数乘以偶数是偶数。所以只有偶数的平方才是偶数。）
既然 $p$ 是偶数，那么我们可以把 $p$ 表示成 $2k$ 的形式，其中 $k$ 是某个整数。
现在，我们把 $p=2k$ 代回到 $p^2 = 2q^2$ 这个式子中：
$(2k)^2 = 2q^2$
$4k^2 = 2q^2$
两边同时除以 2，得到：
$2k^2 = q^2$
这个新的等式告诉我们什么？它意味着 $q^2$ 是一个偶数（因为它是 2 乘以另一个整数 $k^2$）。
根据我们之前的推理，如果 $q^2$ 是偶数，那么 $q$ 本身也一定是偶数。
所以，我们得到了一个矛盾：我们最初假设 $frac{p}{q}$ 是一个最简分数，意味着 $p$ 和 $q$ 没有共同的约数。但我们的推导表明，$p$ 是偶数，$q$ 也是偶数。这意味着它们至少有一个共同的约数 2。
这个矛盾证明了我们的初始假设是错误的：$sqrt{2}$ 不可能表示成两个整数的比值，也就是它不是一个有理数。
这就是第一个无理数的诞生！
$sqrt{2}$ 的出现，打破了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”（指有理数）的信仰。它证明了，即使在几何中最简单的图形（一个边长为1的正方形的对角线）的长度，也无法用分数来精确表示。这些无法用分数表示的数，就被称为无理数。
为什么“无限接近”不够用？
分数理论上可以无限接近，但这只是说它们在数轴上分布得“越来越密集”，但仍然跳过了一些点。
想象一下，你有一把尺子，上面只有刻度为整数的标记，以及它们之间的分数标记。你可以测量出 1 米、1.5 米、1.333 米等等。但是，如果我告诉你需要精确测量出 $sqrt{2}$ 米的长度（大约 1.414 米），你的有理数尺子就无法给出一个精确的数字。你只能无限地逼近它，例如 1.4 米、1.41 米、1.414 米……但永远无法“恰好”等于 $sqrt{2}$ 的长度。
无理数填补了有理数留下的“空隙”。它们使得数轴成为一个连续的整体，而不是由无数个孤立的点组成的。
无理数的更多例子和意义：
除了 $sqrt{2}$，还有很多其他的无理数，它们在数学和科学中扮演着至关重要的角色：
$pi$ (圆周率): 圆的周长与直径之比，一个无法用分数精确表示的数。它的出现比 $sqrt{2}$ 更早一些，但它的无理性直到18世纪才被证明。
$e$ (自然对数的底): 在微积分、复利计算和许多自然现象的描述中都至关重要。
某些根式: 如 $sqrt{3}$、$sqrt{5}$ 等。
无限不循环小数: 任何无限不循环的十进制小数都是无理数。
总结一下：
虽然两个分数可以无限接近，但它们构成的集合（有理数集合）在描述所有可能的长度或数值时是不完整的。几何中的毕达哥拉斯定理暴露了这种不完整性，引出了像 $sqrt{2}$ 这样的无理数。无理数的出现，是为了填补数轴上的空隙，使实数集合成为一个连续的、完整的集合，从而能够描述自然界和数学世界中更广泛的现象。
可以说，正是因为有理数的“无限接近”在某些时候是“不够好”的，我们才需要无理数来构建一个更完整、更强大的数学体系。
网友意见
@Dylaaan 的回答在数学上是正确且严谨的，但并没有触及题主在直观理解时的核心问题。题主的问题在于混淆了稠密性和完备性的区别。
也就是说，题主想问的是：如何理解“任意给定一个分数和一个界，都可以找到一个与该分数的差更小的分数，但分数不能覆盖数轴”？下面我给出一个我的理解。
题主说的“两个分数能无限接近”时，其实并不是具体的两个数，而是一个接近的过程。比如说，两个有理数序列 ，对于任意给定的正数 ，两个序列里都有对应的数的差比它更小。
但是注意，这样的过程是包含一些要求的：首先，两个序列必须是有理序列，这当然没有问题；另外，两个序列必须分别是递增/减和递减/增的，但大小关系不能反转；第三个要求则是，它们之间的差必须能够任意小。
这些条件看似都很显然，但是问题就在最后一个：它们必须夹住一个有理数。也就是说，除非它们夹住了一个有理数，你才能说有理数能够覆盖数轴。因为如果它们没有夹住任何一个有理数，就说明它们中间有一个不是有理数但属于数轴的数，当然了，事实正是如此。
就用最经典的根号2举例。假设第一个序列是 ,第二个序列是 ，显然第一个序列递增，第二个递减，而且第二个永远大于第一个。它们的差显然可以任意小。
但你无法找到一个有理数介于这两个序列之间（唯一符合条件的数是根号2，但它不是有理数），也就是不存在一个有理数不小于第一个序列的任意数且不大于第二个序列的任意数，这就说明数轴上不止是有理数，还有有理数之外的数存在。我想这大概能解决题主的问题了。
最后稍微多说两句：上边我们所说的这些序列叫做柯西列，柯西列都是收敛的。只有空间中的所有柯西列都收敛到空间内，这个空间才叫做完备的空间。有理数不是完备的，实数是完备的。从有理数到实数有很多过渡方法，但是有一个很简单的事实：实数集合就是有理数柯西列极限点的集合。
这个问题的题目+问题描述并没有那么简单。
经过简单的分析，可以拆成三个问题。
为什么分数（或称有理数）可以无限接近？
为什么（在数轴上）会出现无理数？
为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？
第一个问题可以认为是有理数的性质，第二个问题则是无理数存在的必然性，第三个问题就涉及到概率论和测度论了。
一、为什么有理数之间距离可以任意小？
首先，题主所提到的“分数”也可以被称为“有理数”，这是对整数域 的一个扩充。
定义1.1 形如 （ ， ，且 ）的数称为有理数，并称全体有理数所构成的数域为有理数域，用符号 表示。
给出了有理数的定义后，我们可以证明，两个有理数之间是可以无限接近的。
为了使得语言更加严谨，我们参考极限的定义，将其写成如下形式的定理。
定理1.2 对任意 ，总存在 ， ，使得
证明 取 ， ，则 ， ，且
对任意 ，取 ，其中 表示不大于 的最大整数，则有
故定理1.2成立。
由以上过程可以知道，两个有理数之间的距离是可以任意小的，也即题主所说的“无限接近”。
而对于有理数而言，还有一个重要的定理，被称为有理数的稠密性。
定理1.3 对任意 ， ，满足 ，总存在有理数 ，使得
该定理的证明需要用到 的Archimedes性质，在此省略。
二、为什么会出现无理数？
我们知道，在数轴上遍布着数，其中包括有理数。
根据上面的过程，不但有理数之间的距离可以任意小，而且对于任意两个有理数，都可以在它们中间找到一个新的有理数。
看上去，数轴好像被有理数覆盖满了。
我们来看这样的情形。
在数轴上，通过原点作一个边长为 的正方形 ，其中点 落在数轴上， 和 与数轴垂直， 。
再以 为圆心， 的长度为半径作圆，交数轴于点 。
根据勾股定理知， 。
因此，设点 所对应的数轴上的数为 ，则其满足
我们记这个数为
根据刚刚直观的想象，数轴上的点应该都是有理数。
但我们通过这样的方法，构造出来的数轴上的点 ，却不是一个有理数。
定理2.1 不是有理数。
证明 假设 是有理数，则根据有理数的定义（也即定义1.1）知，存在 ， ，且 ，使得
根据 的定义过程知其满足 ，代入上式得
因此 是 的倍数，我们记 ，代入上式得
因此 也是 的倍数，进而知
矛盾，故定理2.1成立。
因此，数轴上除了有理数，还存在其他的数，我们称之为无理数。
定义2.2 数轴上不是有理数的点称为无理数，有理数和无理数统称为实数，并称全体实数所构成的数域为实数域，用符号 表示。
而要给出实数的定义，便涉及到了实数理论的内容。
Dedekind采用对数轴进行分割的方式进行定义，例如，记
则 是一个Dedekind分割，并且它的上确界 就是 。
通过给出Dedekind分割的定义，可以证明每个分割的上界对应着数轴上的每个点，也对应着实数域 中的一个实数。
三、为什么在数轴上任取一点，得到无理数的概率是100%？
从直观上想，如果无理数越多，那么取到无理数的概率就会越大。
或者说，无理数所占的“长度”越大，那么取到无理数的概率就会越大。
但是怎么定义所谓无理数的“长度”呢？这便涉及到了测度论的内容。
测度的概念其实早在小学数学中就出现了。
只是当时并没有给出其严谨的定义，而是采用非常直观的方式来解释它。
例如，对于给定的一条线段，我们使用刻度尺进行测量。
通过数该线段所占的尺子的最小分度值（也即每个小格子，在最简单的刻度尺中为 ）的数量，就能够粗糙地读出该线段的近似长度。
假设我们有一把足够精确的刻度尺，这把尺子的最小分度值足够小，可以读出这条线段的精确的长度。
以上便是测度的建立思路，事实上，概率也是一种特殊的测度。
为了给出有理数和无理数所构成的集合所占的数轴的“长度”的大小，我们在一维情况下，引入Lebesgue零测集的概念。
而在定义Lebesgue测度之前，我们还需要引入可数集的概念。
定义3.1 设 是 的子集，若存在从 到自然数集 的双射，则称 是可数集，否则称 是不可数集。
事实上，若存在从从 到自然数集 的双射，那么 中的所有元素也可以像数列一样排成一列。
根据这个定义，容易验证整数集 是可数集，这是因为 中的元素可以排成
同时，平面直角坐标系中的所有整点所构成的集合 也是可数集，这是因为 的元素可以按照下图所示方式排成一列。
进而知，有理数集 也是可数集，这是因为 中的所有数都可以写成两个整数的商，并且 是可数集。
接下来自然会思考，实数集 也是可数集吗？
定理3.2 实数集 是不可数集。
证明 只需要证明 是不可数集即可，假设 是可数集， 也即 中的实数可以排成一列
设 是第 个实数的十进制表示，考虑一个小数 满足当 时，有 ；当 时，有 。
因此， 的第一位小数与 的第一位小数不同，第二位小数与 的第二位小数不同，以此类推，可以得到 并不在上面的一列数中，矛盾。
故定理3.2成立。
在有了可数集的概念，并且说明了整数集 、有理数集 是可数集，实数集 是不可数集之后，我们可以开始建立Lebesgue测度了。
以下给出了Lebesgue零测集的定义。
定义3.3 设 是 的子集，若对任意 ，存在至多可数个开区间 ，使得
且
其中 表示区间 的长度，则称集合 是Lebesgue零测集。
对于定理叙述过程中的区间的长度，可以通过直观的计算得到。
设 ，则其长度 。
同时，对于数轴上的任意一个点 ，对任意 ，考虑用开区间
覆盖它，并且注意到
因此单个数所构成的集合 是Lebesgue零测集。
定理3.4 有理数集 是Lebesgue零测集。
证明 根据上面的过程知 是可数集，将其写成 其中 是第 个有理数，又每个集合 都是Lebesgue零测集，可以用开区间 覆盖它，且 因此 ， ， 可以覆盖 ，且
因此 是Lebesgue零测集，定理3.4成立。
仅仅考虑开区间 内的点的话，容易知道，里面的有理数所构成的集合也是Lebesgue零测集，但是整个开区间的长度却是 。
这就说明， 中的无理数的测度应该是 。
此时，任取 中的数，取到有理数的概率 ，取到无理数的概率 。
因此，在 区间上任取一点，取到无理数的概率是 。
同样地，扩展到整个数轴上，可以得知，在数轴上任取一点，取到无理数的概率也是 。
到此，题目中所提到的三个问题，都做了简单的解释。
需要深入了解的话，可以去学一学实数论、测度论等相关内容。
我觉得提问者还是需要直观一点的解释。我这边只负责提供一个直观的图景。
提问者说，两个有理数可以无限接近，或者说总能在两个有理数之间找到一个或者两个新的有理数。
那我告诉提问者，如果在两个有理数之间总能找到更多的无理数会不会更好地理解这个问题？
譬如说有两个有理数a，b，有a<b，则总能找到一个新的有理数c=a+(b-a)/2。很显然的a<c<b。
但是我们也能找到一个无理数d=a+(b-a)/√2，很显然的d也满足a<d<b……
类似的话题
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有