一升 100℃ 的水里倒入一升 0℃ 的水，得到的是不是两升 50℃ 的水？
这个问题听起来挺直观的，好像两边水量一样，温度也正好是中间值，所以结果就应该是两升 50℃ 的水。但实际情况没这么简单，咱们得好好捋一捋。
首先，我们要明白，所谓“一升 100℃ 的水”和“一升 0℃ 的水”，这指的都是它们在那个温度下的体积。当它们混合之后，情况就发生变化了。
1. 温度变化是核心
我们都知道，热的东西会把热量传递给冷的东西，直到它们达到一个共同的温度。这就跟我们把热咖啡和冰水放一起，最后咖啡凉了，冰水也暖和了，最后两者温度一样一样的一样。
在这个过程中，100℃ 的热水会放出热量，而0℃ 的冷水则会吸收热量。这个热量的传递会一直进行，直到它们达到一个“平衡温度”。
2. 为什么不是正好 50℃？
那为什么不是正好 50℃ 呢？这主要跟“热容”这个概念有关。你可以把它理解成物质“储存”热量的能力。不同物质储存热量的能力是不一样的。
对于水来说，它的比热容是一个比较重要的数值。简单来说，就是让一克水升高或降低一度所需的能量。水的比热容是相对比较大的，意味着它储存热量的能力不错。
咱们先假设一下，如果水的密度在不同温度下完全不变，而且也没有热量损失（比如散发到空气中），那我们简单算算：
假设每升水的质量都是 M。
100℃ 的水有 M 的质量，它蕴含的热量（相对于0℃）是 M c 100 （c 是水的比热容）。
0℃ 的水有 M 的质量，它蕴含的热量（相对于0℃）是 M c 0 = 0。
当它们混合后，总热量是 M c 100。假设混合后的温度是 T。那么总热量就可以表示为 (M+M) c T = 2M c T。
所以， M c 100 = 2M c T。
化简一下，就是 100 = 2T，所以 T = 50℃。
到这里，你可能会说：“你看，不就是 50℃ 吗！”
但是！现实生活中的“一升”并不是那么单纯的。
3. 密度是关键的“捣乱者”
水的密度是会随着温度变化的。在0℃的时候，水的密度最大。当温度升高到4℃左右时，密度依然很大，但随着温度继续升高，水的密度会逐渐减小。
这意味着什么呢？
“一升 100℃ 的水”的质量，其实比“一升 0℃ 的水”的质量要 小。
因为100℃ 的水比0℃ 的水“蓬松”一些，体积虽然都是一升，但它里面包含的水分子数量（也就是质量）是少的。
我们用更严谨一点的说法来解释：
水的密度在0℃时大约是 999.84 kg/m³ (也就是0.99984 kg/L)。
水的密度在100℃时大约是 958.37 kg/m³ (也就是0.95837 kg/L)。
所以，如果“一升 100℃ 的水”的质量是 m₁，那么 m₁ ≈ 0.95837 kg。
而“一升 0℃ 的水”的质量是 m₂，那么 m₂ ≈ 0.99984 kg。
当它们混合时，放热的是质量为 m₁ 的水，吸热的是质量为 m₂ 的水。
设混合后的平衡温度为 T。
热平衡方程应该是：
m₁ c (100 T) = m₂ c (T 0)
这里 c 是水的比热容。注意到 c 在等式两边都存在，可以消掉。
m₁ (100 T) = m₂ T
现在我们把密度带进去：
0.95837 (100 T) = 0.99984 T
展开一下：
95.837 0.95837 T = 0.99984 T
把带有 T 的项移到一边：
95.837 = 0.99984 T + 0.95837 T
95.837 = (0.99984 + 0.95837) T
95.837 = 1.95821 T
解出 T：
T = 95.837 / 1.95821 ≈ 48.94℃
所以，实际得到的温度会比 50℃ 稍微低一点，大概在 48.94℃ 左右。
4. 为什么是“稍微低一点”？
这是因为0℃ 的那部分冷水“更重”（质量更大），它需要吸收更多的热量才能升温。而100℃ 的那部分热水“更轻”（质量更小），它放出的热量不足以让所有水都平均达到 50℃。更准确地说，是质量大的冷水占据了“主导权”，它需要更多的热量来达到更高的温度，而质量小的热水放出的热量，在分配到更大的总质量时，使得最终温度略低于中间值。
5. 还有其他影响因素吗？
在非常理想的实验室条件下，我们计算出的 48.94℃ 是一个比较精确的结果。但在现实生活中，还有一些其他因素会影响最终温度：
热量损失： 容器的散热，或者热量散发到周围空气中的情况，都会导致实际混合后的温度低于理论值。
水的蒸发： 100℃ 的水会持续蒸发，带走一部分热量，这也会影响最终结果。
混合效率： 水的混合过程并不是瞬间完成的，热量的传递也不是均匀分布的，这些都会带来微小的误差。
总而言之，简单来说，因为水的密度会随着温度变化，100℃ 的一升水比0℃ 的一升水质量要轻。所以，把它们混合后，温度不会正好是 50℃，而是会略微偏向质量较大的那个部分，也就是比50℃ 稍微低一些。
咱们日常生活里，可能觉得差那一点点无所谓，但科学上讲，这些细节就决定了结果的准确性。所以，答案不是“两升 50℃ 的水”，而是“约两升 48.94℃ 的水”，并且还要考虑一些不可避免的损耗。
首先，我们要明白，所谓“一升 100℃ 的水”和“一升 0℃ 的水”，这指的都是它们在那个温度下的体积。当它们混合之后，情况就发生变化了。
1. 温度变化是核心
我们都知道，热的东西会把热量传递给冷的东西，直到它们达到一个共同的温度。这就跟我们把热咖啡和冰水放一起，最后咖啡凉了，冰水也暖和了，最后两者温度一样一样的一样。
在这个过程中，100℃ 的热水会放出热量，而0℃ 的冷水则会吸收热量。这个热量的传递会一直进行，直到它们达到一个“平衡温度”。
2. 为什么不是正好 50℃？
那为什么不是正好 50℃ 呢？这主要跟“热容”这个概念有关。你可以把它理解成物质“储存”热量的能力。不同物质储存热量的能力是不一样的。
对于水来说，它的比热容是一个比较重要的数值。简单来说，就是让一克水升高或降低一度所需的能量。水的比热容是相对比较大的，意味着它储存热量的能力不错。
咱们先假设一下，如果水的密度在不同温度下完全不变，而且也没有热量损失（比如散发到空气中），那我们简单算算：
假设每升水的质量都是 M。
100℃ 的水有 M 的质量，它蕴含的热量（相对于0℃）是 M c 100 （c 是水的比热容）。
0℃ 的水有 M 的质量，它蕴含的热量（相对于0℃）是 M c 0 = 0。
当它们混合后，总热量是 M c 100。假设混合后的温度是 T。那么总热量就可以表示为 (M+M) c T = 2M c T。
所以， M c 100 = 2M c T。
化简一下，就是 100 = 2T，所以 T = 50℃。
到这里，你可能会说：“你看，不就是 50℃ 吗！”
但是！现实生活中的“一升”并不是那么单纯的。
3. 密度是关键的“捣乱者”
水的密度是会随着温度变化的。在0℃的时候，水的密度最大。当温度升高到4℃左右时，密度依然很大，但随着温度继续升高，水的密度会逐渐减小。
这意味着什么呢？
“一升 100℃ 的水”的质量，其实比“一升 0℃ 的水”的质量要 小。
因为100℃ 的水比0℃ 的水“蓬松”一些，体积虽然都是一升，但它里面包含的水分子数量（也就是质量）是少的。
我们用更严谨一点的说法来解释：
水的密度在0℃时大约是 999.84 kg/m³ (也就是0.99984 kg/L)。
水的密度在100℃时大约是 958.37 kg/m³ (也就是0.95837 kg/L)。
所以，如果“一升 100℃ 的水”的质量是 m₁，那么 m₁ ≈ 0.95837 kg。
而“一升 0℃ 的水”的质量是 m₂，那么 m₂ ≈ 0.99984 kg。
当它们混合时，放热的是质量为 m₁ 的水，吸热的是质量为 m₂ 的水。
设混合后的平衡温度为 T。
热平衡方程应该是：
m₁ c (100 T) = m₂ c (T 0)
这里 c 是水的比热容。注意到 c 在等式两边都存在，可以消掉。
m₁ (100 T) = m₂ T
现在我们把密度带进去：
0.95837 (100 T) = 0.99984 T
展开一下：
95.837 0.95837 T = 0.99984 T
把带有 T 的项移到一边：
95.837 = 0.99984 T + 0.95837 T
95.837 = (0.99984 + 0.95837) T
95.837 = 1.95821 T
解出 T：
T = 95.837 / 1.95821 ≈ 48.94℃
所以，实际得到的温度会比 50℃ 稍微低一点，大概在 48.94℃ 左右。
4. 为什么是“稍微低一点”？
这是因为0℃ 的那部分冷水“更重”（质量更大），它需要吸收更多的热量才能升温。而100℃ 的那部分热水“更轻”（质量更小），它放出的热量不足以让所有水都平均达到 50℃。更准确地说，是质量大的冷水占据了“主导权”，它需要更多的热量来达到更高的温度，而质量小的热水放出的热量，在分配到更大的总质量时，使得最终温度略低于中间值。
5. 还有其他影响因素吗？
在非常理想的实验室条件下，我们计算出的 48.94℃ 是一个比较精确的结果。但在现实生活中，还有一些其他因素会影响最终温度：
热量损失： 容器的散热，或者热量散发到周围空气中的情况，都会导致实际混合后的温度低于理论值。
水的蒸发： 100℃ 的水会持续蒸发，带走一部分热量，这也会影响最终结果。
混合效率： 水的混合过程并不是瞬间完成的，热量的传递也不是均匀分布的，这些都会带来微小的误差。
总而言之，简单来说，因为水的密度会随着温度变化，100℃ 的一升水比0℃ 的一升水质量要轻。所以，把它们混合后，温度不会正好是 50℃，而是会略微偏向质量较大的那个部分，也就是比50℃ 稍微低一些。
咱们日常生活里，可能觉得差那一点点无所谓，但科学上讲，这些细节就决定了结果的准确性。所以，答案不是“两升 50℃ 的水”，而是“约两升 48.94℃ 的水”，并且还要考虑一些不可避免的损耗。
网友意见
结论：
不是。
操作条件不同时，可能得到下面结果的任何一种1-2组合：
- 体积大于两升；小于两升；非常接近两升。
- 水温高于50℃；低于50℃ ；非常接近50℃。
一般情况下：
- 按国土面积计算，在中国大部分地区很难得到一杯100℃的水。通常会低一两度甚至一二十度。准确计量体积时，几乎没有可能。
- 在没有精确的洁净过冷操作条件下，一般人很难获得0℃的纯液态水。通常温度会略高一点（用自来水），或者略低一点（用纯净水）。
- 问题中需要两个杯子，其中热水杯至少是容量两升的。因此注入冷水前后，杯身的一半高度以上显然低于100℃，并不断吸热（导热为主）。
操作条件举例：
- 常温常压常湿下，常规容器常规倾倒操作：体积小于两升，水温低于50℃；
- 环境温度50℃，其他条件同1；体积非常接近两升，水温高于50℃；环境温度大于50℃后，体积缓慢减少，水温继续升高；环境温度接近0℃时，温度损失最大，最后水温明显低于50℃，体积则大于高温混合。
- 常温，高压，其他条件同1：体积略小于两升，水温低于50℃；
- 常温常压，饱和湿度，其他同1：体积大于两升，水温低于50℃；
- 环境温度50℃或更高，常压，饱和湿度，其他同1：体积大于两升，水温大于50℃；
- 疏水容器常规操作，其他同1：体积比1大，但仍小于两升，水温低于50℃；
- 大容器加热/制冷蓄水，电磁开关阀同时快速注入小口两升预热保温容器：在同样计量精度下，可以非常接近两升，并非常接近50℃。
- ……
- 其他开放式、封闭式、半封闭式手工和全自动操作条件和方法还有无数种，结果各不严格相同。
理由简述：
- 两种水初始密度不同，比热容略有差别；
- 热水杯有正常的导热与辐射散热，杯子内外对流换热可忽略；
- 冷水杯有正常的导热与辐射吸热，杯子内外对流换热可忽略；
- 不完全疏水容器无法避免挂壁体积损失，同时伴有热量损失；
- 常规操作过程高温水蒸发较多，低温水蒸发较少；
- 常规操作过程流水与静水蒸发量随环境温度压力和湿度变化；
- 环境温度越偏离50℃，损失量差别越大；
- 环境气压越低，损失量越大；
- 环境湿度越小，损失量越大；
- 常规倒入与测量过程耗时越多，损失量越大；
- 常温下维持0℃ 水不结冰易，维持100℃ 不沸腾且不降温难（环境高温时相反）；
- 容器的隔热性能提高，有利于保持水温。
以上讨论均不考虑体积测量方法和测量误差，那是另外一个漫无边际的大坑，三天三夜也说不完。温度测量相对准确很多，亦不属本题讨论内容。
先从最简单的情形开始考虑吧。
等质量混合，忽略热容变化
中学热学公式：
两边消去 ，显然有 。
等体积混合，忽略热容变化
众所周知水的密度与温度有关，查表可知，100 kPa 下 0 °C 与 100 °C 时水的密度分别为 0.99984 和 0.95840 g/cm³[1]。因此
等体积混合，考虑热容变化
水的热容也并非常数。和上文密度在同一张表[1]里面，也可以找到（定压）热容的数据。考虑到实际的物理过程，这里使用定压热容也会比定体热容合适一点。
因为热容不再是常数，吸放热公式需改为积分形式：
带入数据数值求解一番：
(* 构建插值公式 *) density = Interpolation [ Transpose @ { Range [ 0 , 100 , 10 ], { 0.99984 , 0.99970 , 0.99821 , 0.99565 , 0.99222 , 0.98803 , 0.98320 , 0.97778 , 0.97182 , 0.96535 , 0.95840 } }]; heatCapacity = Interpolation [ Transpose @ { Range [ 0 , 100 , 10 ], { 4.2176 , 4.1921 , 4.1818 , 4.1784 , 4.1785 , 4.1806 , 4.1843 , 4.1895 , 4.1963 , 4.2050 , 4.2159 } }]; (* 质量（密度）之比 *) m1 $ m2 = density [ 0 ] / density [ 100 ]; (* 数值求解 *) sol = FindRoot [ m1 $ m2 * Integrate [ heatCapacity [ T ], { T , 0 , Tf }] == - Integrate [ heatCapacity [ T ], { T , 100 , Tf }], { Tf , 50 }] 得到最终温度为 48.9946 °C。此时的体积：
( density [ 0 ] + density [ 100 ]) / density [ Tf ] /. sol 结果为 1.98106 L。
注
- 原答案中最后一步体积计算有误，感谢 @Ichigo Nye 指正！
- 我们这里的计算仅考虑热力学因素，动力学因素（混合过程中对流等过程）过于复杂，没有办法从基础的物理学公式得到，因此不做考虑。如何选择近似、选择多大程度的近似，始终是物理学中的一个重要话题。
- 这里暂且认为「一升水+一升水」表示等体积混合，而不是一个带有有效数字的实际数据，所以后面的计算也没有考虑有效数字的问题（反正四舍五入都是 0 对吧）。
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