有哪些分析的恒等式有很深刻的数学背景？

数学的浩瀚星空中，有无数璀璨的恒等式闪耀着智慧的光芒。它们不仅仅是简单的等式，更是隐藏着深刻数学思想的钥匙，引领我们窥探宇宙运行的规律。在这里，我将为您一一揭示几位在分析领域中拥有深远数学背景的恒等式，并尽可能详细地讲述它们的故事。

1. 欧拉恒等式（Euler's Identity）： $e^{ipi} + 1 = 0$

这或许是所有恒等式中最负盛名、也最令人惊叹的一个。初看之下，它将数学中几个最基本的常数——自然对数的底数 $e$、虚数单位 $i$、圆周率 $pi$ 以及加法单位元 1 和乘法单位元 0——以一种优雅而简洁的方式联系在一起。它的深刻之处在于，它将分析学（$e$）、几何学（$pi$）和代数（$i, 0, 1$）这三个看似独立的数学分支完美地统一了起来。

要理解欧拉恒等式的由来，我们需要回到欧拉公式（Euler's Formula）：

$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$

这个公式本身就蕴含着极其深刻的数学原理。它的推导通常依赖于泰勒级数展开：

$e^x$ 的泰勒级数展开： $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + dots$
$cos(x)$ 的泰勒级数展开： $cos(x) = 1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} frac{x^6}{6!} + dots$
$sin(x)$ 的泰勒级数展开： $sin(x) = x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} frac{x^7}{7!} + dots$

当我们将 $x$ 替换为 $ix$ 并代入 $e^x$ 的泰勒级数展开时：

$e^{ix} = 1 + (ix) + frac{(ix)^2}{2!} + frac{(ix)^3}{3!} + frac{(ix)^4}{4!} + frac{(ix)^5}{5!} + dots$

利用 $i^2 = 1$, $i^3 = i$, $i^4 = 1$, $i^5 = i$ 等等性质，我们可以将展开式重组：

$e^{ix} = 1 + ix frac{x^2}{2!} frac{ix^3}{3!} + frac{x^4}{4!} + frac{ix^5}{5!} dots$

将实部和虚部分开：

$e^{ix} = left(1 frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} dots ight) + i left(x frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} dots ight)$

观察括号中的两部分，我们惊喜地发现它们正是 $cos(x)$ 和 $sin(x)$ 的泰勒级数展开。因此，欧拉公式得证：$e^{ix} = cos(x) + i sin(x)$。

现在，我们只需要令 $x = pi$。我们知道 $cos(pi) = 1$ 且 $sin(pi) = 0$。代入欧拉公式：

$e^{ipi} = cos(pi) + i sin(pi) = 1 + i cdot 0 = 1$

将 $1$ 移到等式左边，我们就得到了 $e^{ipi} + 1 = 0$。

欧拉恒等式的深刻之处在于它揭示了指数函数与三角函数之间的内在联系，这种联系通过复数这一桥梁得以实现。它不仅仅是一个数学公式，更被视为数学中的“最美公式”，因为它以极简的形态包含了数学中最核心的概念，并且在复变函数论、信号处理、物理学（如量子力学中的波函数表示）等众多领域有着至关重要的应用。它传递了一个信息：看似抽象的数学概念，在更广阔的领域内可以有非常具体和美妙的表达。

2. 积分判别法 (Integral Test) 与级数敛散性的联系

在分析学中，判断一个无穷级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 是否收敛是一项基本任务。积分判别法提供了一种强大且直观的方法，它将级数与一个定积分联系起来。

积分判别法的内容： 设 $f(x)$ 是一个在 $[1, infty)$ 上连续、非负且单调递减的函数。那么，级数 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 与积分 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 具有相同的敛散性。也就是说，如果积分收敛，则级数收敛；如果积分发散，则级数发散。

这个判别法的数学背景非常深刻，它建立在两个重要概念之上：黎曼和 (Riemann Sums) 和微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)。

考虑一个级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$。如果存在一个函数 $f(x)$ 使得 $a_n = f(n)$ 并且 $f(x)$ 满足连续、非负、单调递减的条件，那么我们可以将级数的每一项 $a_n$ 看作是函数 $f(x)$ 在 $x=n$ 处的取值。

想象一下函数 $f(x)$ 的图像。由于函数是单调递减的，我们可以用矩形来近似这个函数的积分。

下和 (Lower Sums): 如果我们以每个区间的左端点的高度来构造矩形（对于 $[n, n+1]$ 这个区间，高度取 $f(n)$），那么所有这些矩形的面积之和将小于或等于 $int_{1}^{infty} f(x) dx$（忽略第一个区间）。
$sum_{n=1}^{infty} f(n) = f(1) + f(2) + f(3) + dots$
而 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 可以被看作是所有面积为 $f(n) cdot 1$ 的矩形（以右端点高度为准）的极限。更严谨地说，我们可以考虑区间 $[n, n+1]$ 上的积分 $int_{n}^{n+1} f(x) dx$。
因为 $f(x)$ 单调递减，所以在区间 $[n, n+1]$ 上，$f(n) ge f(x)$。因此，
$f(n) = f(n) cdot 1 = int_{n}^{n+1} f(n) dx ge int_{n}^{n+1} f(x) dx$
将这个不等式从 $n=1$ 到 $infty$ 求和：
$sum_{n=1}^{infty} f(n) ge sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n+1} f(x) dx = int_{1}^{infty} f(x) dx$
这个不等式表明，如果积分 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 发散（趋向于无穷大），那么级数 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 也必然发散。

上和 (Upper Sums): 如果我们以每个区间的右端点的高度来构造矩形（对于 $[n, n+1]$ 这个区间，高度取 $f(n+1)$），那么所有这些矩形的面积之和将小于或等于 $int_{1}^{infty} f(x) dx$。
同样地，在区间 $[n, n+1]$ 上，$f(x) ge f(n+1)$。因此，
$f(n+1) = f(n+1) cdot 1 = int_{n}^{n+1} f(n+1) dx le int_{n}^{n+1} f(x) dx$
将这个不等式从 $n=1$ 到 $infty$ 求和：
$sum_{n=1}^{infty} f(n+1) le sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n+1} f(x) dx = int_{1}^{infty} f(x) dx$
注意到 $sum_{n=1}^{infty} f(n+1) = f(2) + f(3) + f(4) + dots$。我们可以将其写成 $sum_{n=2}^{infty} f(n)$。
为了与 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 对比，我们使用另一个角度：考虑区间 $[n1, n]$ 上的积分。
在区间 $[n1, n]$ 上，$f(n1) ge f(x)$。
$f(n1) cdot 1 ge int_{n1}^{n} f(x) dx$
对 $n=2$ 到 $infty$ 求和：
$sum_{n=2}^{infty} f(n1) ge sum_{n=2}^{infty} int_{n1}^{n} f(x) dx = int_{1}^{infty} f(x) dx$
令 $k = n1$，则 $sum_{k=1}^{infty} f(k) ge int_{1}^{infty} f(x) dx$。这与我们之前的结果一致。

再考虑另一种上和的构造方式，更直观地说明级数与积分的关系。
考虑函数图像下方、由区间 $[n, n+1]$ 和高度 $f(n+1)$ 的矩形组成的面积：
$int_{n}^{n+1} f(x) dx ge f(n+1) cdot 1 = f(n+1)$ （因为 $f$ 单调递减）
将这个从 $n=1$ 到 $infty$ 求和：
$int_{1}^{infty} f(x) dx = sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n+1} f(x) dx ge sum_{n=1}^{infty} f(n+1) = f(2) + f(3) + dots$
即 $int_{1}^{infty} f(x) dx ge sum_{n=2}^{infty} f(n)$。
这告诉我们，如果积分 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 收敛到一个有限值 $L$，那么级数 $sum_{n=2}^{infty} f(n)$ 也一定收敛到一个小于等于 $L$ 的值。由于级数只有第一项 $f(1)$ 不同，因此 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 也收敛。

将这两个方向的比较结合起来：
$int_{1}^{infty} f(x) dx le sum_{n=1}^{infty} f(n)$ (使用右端点高度为矩形高度，实际是下界)
$sum_{n=2}^{infty} f(n) le int_{1}^{infty} f(x) dx$ (使用左端点高度为矩形高度，实际是上界)
或者，更直接地使用左端点构造下和，右端点构造上和：
$sum_{n=2}^{infty} f(n) le int_{1}^{infty} f(x) dx le sum_{n=1}^{infty} f(n)$ (注意这里涉及到区间的起始和结束问题，需要仔细处理边界)

一个更简洁的表述是：
对于单调递减的 $f(x)$：
$int_{n}^{n+1} f(x) dx le f(n)$ （因为在 $[n, n+1]$ 上 $f(x) le f(n)$）
$int_{n1}^{n} f(x) dx ge f(n)$ （因为在 $[n1, n]$ 上 $f(x) ge f(n)$）

将第一个不等式从 $n=1$ 到 $infty$ 求和：
$sum_{n=1}^{infty} int_{n}^{n+1} f(x) dx le sum_{n=1}^{infty} f(n)$
$int_{1}^{infty} f(x) dx le sum_{n=1}^{infty} f(n)$

将第二个不等式从 $n=2$ 到 $infty$ 求和：
$sum_{n=2}^{infty} int_{n1}^{n} f(x) dx ge sum_{n=2}^{infty} f(n)$
$int_{1}^{infty} f(x) dx ge sum_{n=2}^{infty} f(n)$

综合这两个不等式：$sum_{n=2}^{infty} f(n) le int_{1}^{infty} f(x) dx le sum_{n=1}^{infty} f(n)$。
如果 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 收敛，则 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 必定收敛。
如果 $int_{1}^{infty} f(x) dx$ 发散，则 $sum_{n=1}^{infty} f(n)$ 必定发散。

这个判别法的美妙之处在于它将离散的级数问题转化为连续的积分问题，而积分的计算通常有更成熟的工具和直观的几何意义。例如，我们可以用它来判断著名的 p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$ 的收敛性。我们考虑函数 $f(x) = frac{1}{x^p}$。当 $p>0$ 时，该函数在 $[1, infty)$ 上是连续、非负且单调递减的。

我们需要计算积分 $int_{1}^{infty} frac{1}{x^p} dx$。

如果 $p=1$，积分是 $int_{1}^{infty} frac{1}{x} dx = [ln|x|]_{1}^{infty} = ln(infty) ln(1) = infty$，发散。因此，调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 发散。
如果 $p eq 1$，积分是 $int_{1}^{infty} x^{p} dx = left[frac{x^{p+1}}{p+1} ight]_{1}^{infty} = lim_{b o infty} frac{b^{1p}}{1p} frac{1^{1p}}{1p}$。
如果 $1p < 0$ (即 $p>1$)，则 $lim_{b o infty} b^{1p} = 0$。积分收敛于 $frac{0 1}{1p} = frac{1}{p1}$。因此，当 $p>1$ 时，p级数收敛。
如果 $1p > 0$ (即 $p<1$)，则 $lim_{b o infty} b^{1p} = infty$，积分发散。因此，当 $p<1$ 时，p级数发散。

结合 $p=1$ 的情况，我们可以得出结论：p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$ 仅在 $p>1$ 时收敛。这完全是通过积分判别法和对积分的分析得出的，其数学背景深厚，连接了离散求和与连续积分的本质。

3. 傅里叶级数 (Fourier Series) 的核心思想

傅里叶级数是一组用来表示周期性函数（或定义在有限区间上的函数）的三角函数之和。它的核心思想是：任何一个足够“好”的周期性函数都可以被分解成一系列正弦和余弦函数的叠加。 这是一种极其强大的分解方法，在信号处理、图像分析、微分方程求解等众多领域扮演着核心角色。

傅里叶级数的数学表达式为：

$f(x) sim frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$

其中，$a_0, a_n, b_n$ 是傅里叶系数，由以下积分给出：

$a_0 = frac{1}{pi} int_{pi}^{pi} f(x) dx$
$a_n = frac{1}{pi} int_{pi}^{pi} f(x) cos(nx) dx$
$b_n = frac{1}{pi} int_{pi}^{pi} f(x) sin(nx) dx$

这个恒等式的深刻之处在于它建立了一个“正交基”的概念，并将其应用于函数空间。这里的三角函数 ${cos(nx), sin(nx)}$ 构成了一个在区间 $[pi, pi]$ 上关于积分运算的正交基。

正交性 (Orthogonality) 是理解傅里叶级数的核心概念。如果两个函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 满足 $int_{a}^{b} u(x) v(x) dx = 0$，则称它们在区间 $[a, b]$ 上是正交的。

三角函数 ${cos(nx), sin(nx)}$ 具有以下重要的正交性质（以区间 $[pi, pi]$ 为例）：

$int_{pi}^{pi} cos(nx) cos(mx) dx = 0$ 当 $n eq m$ 时
$int_{pi}^{pi} sin(nx) sin(mx) dx = 0$ 当 $n eq m$ 时
$int_{pi}^{pi} sin(nx) cos(mx) dx = 0$ 对于所有 $n, m$
$int_{pi}^{pi} sin(nx) dx = 0$
$int_{pi}^{pi} cos(nx) dx = 0$ 当 $n eq 0$ 时 （当 $n=0$ 时，$int_{pi}^{pi} 1 dx = 2pi$）

为什么这些正交性质如此重要？它们使得我们能够非常方便地“提取”出函数 $f(x)$ 在每个基函数上的“分量”，也就是傅里叶系数。

假设我们希望将函数 $f(x)$ 表示为 $frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))$。
为了求出 $a_k$ (其中 $k$ 是一个特定的整数)，我们可以将等式两边都乘以 $cos(kx)$，然后对区间 $[pi, pi]$ 进行积分：

$int_{pi}^{pi} f(x) cos(kx) dx = int_{pi}^{pi} left( frac{a_0}{2} + sum_{n=1}^{infty} (a_n cos(nx) + b_n sin(nx)) ight) cos(kx) dx$

利用三角函数的正交性，除了 $a_k cos(kx) cos(kx)$ 这一项（积分不为零）以及 $frac{a_0}{2} cos(kx)$ 的积分（在 $k=0$ 时非零），其他所有项的积分都将是零。

$int_{pi}^{pi} f(x) cos(kx) dx = int_{pi}^{pi} frac{a_0}{2} cos(kx) dx + sum_{n=1}^{infty} int_{pi}^{pi} a_n cos(nx) cos(kx) dx + sum_{n=1}^{infty} int_{pi}^{pi} b_n sin(nx) cos(kx) dx$

由于 $int_{pi}^{pi} sin(nx) cos(kx) dx = 0$ 对于所有 $n, k$，所以第二和第三个求和项都为零。
对于第一个求和项，只有当 $n=k$ 时，$int_{pi}^{pi} cos(nx) cos(kx) dx$ 才非零。
如果 $k eq 0$:
$int_{pi}^{pi} a_k cos(kx) cos(kx) dx = a_k int_{pi}^{pi} cos^2(kx) dx$
我们知道 $cos^2(y) = frac{1 + cos(2y)}{2}$，所以
$a_k int_{pi}^{pi} frac{1 + cos(2kx)}{2} dx = a_k left[ frac{x}{2} + frac{sin(2kx)}{4k} ight]_{pi}^{pi} = a_k left( frac{pi}{2} (frac{pi}{2}) ight) = a_k pi$

因此，当 $k eq 0$ 时：
$int_{pi}^{pi} f(x) cos(kx) dx = a_k pi$
解出 $a_k = frac{1}{pi} int_{pi}^{pi} f(x) cos(kx) dx$。

当 $k=0$ 时，我们考虑 $a_0$。我们将级数两边乘以 $1/2$ (也就是 $cos(0x)/2$) 并积分：
$int_{pi}^{pi} f(x) frac{1}{2} dx = int_{pi}^{pi} frac{a_0}{2} frac{1}{2} dx + sum_{n=1}^{infty} dots$
$frac{1}{2} int_{pi}^{pi} f(x) dx = frac{a_0}{2} int_{pi}^{pi} frac{1}{2} dx = frac{a_0}{2} cdot frac{1}{2} (2pi) = frac{a_0 pi}{2}$
所以，$a_0 = frac{1}{pi} int_{pi}^{pi} f(x) dx$。

同理，通过乘以 $sin(kx)$ 并积分，可以推导出 $b_k$ 的公式。

傅里叶级数将无限维的函数空间（这里是勒贝格平方可积函数空间 $L^2[pi, pi]$）通过一组正交基（三角函数系）进行了“坐标化”。这个思想是现代数学中函数分析、调和分析的基石。它告诉我们，即使是看似复杂的周期现象，也可以通过简单的周期波（正弦和余弦）的组合来精确地描述。这与物理学中将复合波分解为基本频率的叠加（例如声音的频谱分析）有着异曲同工之妙。傅里叶本人在研究热传导方程时，正是利用了这一工具，才得以求解这个重要的偏微分方程，揭示了数学在描述物理世界中的巨大力量。

这些恒等式和理论，都不仅仅是孤立的数学事实，它们相互关联，共同构成了分析学宏伟而深刻的数学图景。它们让我们看到数学的统一性和力量，以及人类智慧在探索未知世界时的无限可能。

这个问题的大标题有些不太恰当，有贬低分析的zhengzhi不正确倾向。

题主的zhengzhi正确问法应当是：有哪些可以用分析方法得到的恒等式，有数论/代数/几何/组合方面的解释/推论（或者相反的方向）？

这个问题的回答可以说讲上一千零二个夜晚都讲不完，因为实在太丰富太有趣了，简直就是数学中的百宝箱。前面的两个回答提到了一些例子，特别是 @牧童 的回答，浅入深出，可谓是讲数学故事的典范之作。

所以我就只能讲一讲自己熟悉的一方面故事，而且这个故事相当经典，至于究竟深刻不深刻则纯属个人判断。回想一下自己学习了这么久也从来没有想到过要整理一下这方面内容，所以这个答案某种程度上出于自私的目的，是写给自己看的，当然我会写的尽量基础。

这个小狗屎的大标题就是：许多重要的恒等式有 Lie theory 的自然解释。

先讲第一个夜晚的故事。首先声明这方面的内容在很多书上有，但是对于一般读者来说花费的精力较多，所以主要突出结果和主要思想。理解相应的具体结果，不需要数分线代复变以外的知识。

我们回忆著名的范德蒙行列式等式：

其中 是变量。这是一个线性代数课程里面必讲的例子，作为练习也不难得到。当然这个等式一点都不“分析”，看上去逼格也不够，所以并不是我们故事的主角,但是它为后面的叙述做了一个很好的铺垫。

想要有分析和逼格，一个只有有限项的等式肯定是不行的。下面这个著名的雅可比三项乘积 (Jacobi triple product) 等式，是第一个主角

这里面有两个自由变量 。首先它可以作为一个分析的恒等式，把 看成复变量(但是有收敛范围 )。这个等式可以用基本的复分析方法证明，可见 Stein 《复》chap. 10。实际上等式右侧就是著名的雅可比 theta 函数。这个 theta 函数的非同寻常支出在于它可以由左侧的无穷乘积得到故得名，而这是比较“稀有”的现象。换用代数几何的逼格语言，（雅可比）theta 函数作为（一维）复环面 (做标准变量替换 , 作为 的函数) 上全纯线丛的的全纯截面，其除子可以被具体决定出来。

既然范德蒙行列式是关于 个变量 的，雅可比三项乘积是关于一个 和一个 的，那么有没有一个等式把两个东西都结合起来是同时关于 个变量 和一个 的呢？

这里存在着一群封建领主，叫做麦当劳等式 (Macdonald's identities)。嗯就是和 Atiyah一起的麦当劳爷爷。

麦当劳等式实际上是一系列关于有限型（finite type）和仿射型 (affine) Kac-Moody 李代数的等式，包括了范德蒙行列式等式（有限型 ）和雅可比三项乘积等式（仿射型 ）。直观起见我就不辞劳苦地下来 型的麦当劳等式。为了给等式的叙述做铺垫我们需要引入（关于 的）有理对称多项式, 不妨称作有理Schur函数，定义如下：对任意一个 重整数数组 定义“广义范德蒙行列式”

特别的这里取 ， 就是前面通常的范德蒙行列式。那么我们定义关于 的有理Schur函数 为

注意到尽管这是个分式，但是利用范德蒙行列式等式之后会发现分子分母具有公因子 , 于是分母是整除分子的，因而实际得到的是关于 的多项式。另外由行列式的性质，这个有理多项式关于明显是对称的。进一步的 若满足 , 那么相应的有理多项式只有 正整数次幂因而是（对称）多项式，称作 Schur函数 （或者Schur 多项式）。顺便提下，Schur函数给出了对称多项式环“好”的一组基，相应的结构系数恰好全是非负整数。

型的麦当劳等式形状如下：

在这个等式当中左侧仍然是一些列无穷乘积，右侧则是一个类似 theta 函数（但并不是）的求和，其中每一项 的幂次是关于 的二次型求和，前面的系数是有理schur多项式，而雅可比三项乘积等式是 时候的特例。

在这里做几个remark。

注1. 右侧的求和实际上是在所谓-型根晶格 (-root lattice)上做的，记作 。是一个初等的几何对象，它是欧氏空间 当中的离散点集，或者说就是一些晶格点：

其中 是一组向量(实际上也是一组基),他们内积的Gram矩阵为

当中 是标准的欧氏内积。这一组基的一种去发可以用 的标准正交基 表达

以上的 型麦当劳等式，就是对 Kac “infinite dimensional Lie algebras” p.219上公式对型晶格的应用。原本试图直接抄来一个已有的形式然而发现并没有，因此写下这个可以让一般人看懂的形式，占去了本文大部分时间（另外其中可能有某些未修正的错误）。

注2. 除去 A-型根晶格, 麦当劳等式还可以推广到其余的根晶格（root lattices），如 BCDEFG型，对应相应的单李代数的Dynkin图。另外还可以加上相应的 twist, 所以最一般的形式可以针对 ,其中 , 为秩， 称作 tier number, 表示相应twist 的“程度”。

尽管具体写下所有这些等式可以不用任何的 Lie theory，但是麦当劳等式的统一解释需要 Lie theory。麦当劳等式中的所有领主都是由一个王统治的：分母等式 (denominator identities),而分母等式背后还有一个更厉害的王后，叫做特征公式 （character formula）。更具体地说，是关于Kac-Moody 代数可积最高权模（ integrable highest weight module） 的特征公式。有了这些东西，麦当劳的子孙可以说无穷无尽不可胜数。

由于本年度时间余额已经耗尽，所以不妨就先讲到这里。这里只是庞大冰山一小角，后面的故事，我们明年继续讲。

未完待续。