为什么任何整数除以2或5都能除尽，而不一定能被其他质数除尽？
这个问题触及了数的根本属性——数制和整除性。要说清楚，咱们得从头聊聊。
1. 咱们用的是什么进制？为什么是十进制？
你注意到“2”和“5”这两个数了，是不是？而且它们的乘积是“10”。这可不是巧合。咱们平时数数、记数，用的都是十进制。
十进制的意思是，咱们用“0”到“9”这十个数字来表示一切数。每一位数的权值都是10的幂。比如，数字123，表示的就是：
1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123
想想看，咱们为什么会用十个手指头？大多数文明都选择了基于十个手指头的计数系统，这是一种非常自然而然的选择。
2. 整除性是怎么回事？
一个数能被另一个数“除尽”，说白了就是用后者去分割前者，剩下的部分是零。在数学里，我们叫它整除。如果整数 $a$ 除以整数 $b$ 的结果是整数 $c$（即 $a = b imes c$），那么我们就说 $a$ 能被 $b$ 整除，记作 $b | a$。
3. 为什么2和5这么特别？根源在于10的“因子”
回到咱们的十进制。我们前面说了，十进制的基础是10。而10分解开来，它的质因数就是2和5。
$10 = 2 imes 5$
这意味着什么？任何一个能被10整除的数，它一定能被2整除，也一定能被5整除。反过来也一样，如果一个数能同时被2和5整除，那么它就能被它们的乘积10整除。
举个例子：120。
$120 = 12 imes 10 = 12 imes (2 imes 5)$
所以，120 = 240 × 2，也能被2整除。
120 = 24 × 5，也能被5整除。
但关键在于，任何整数都可以写成以10的幂为权重的组合。
咱们再看一个任意的整数，比如 345。
$345 = 3 imes 100 + 4 imes 10 + 5$
注意到最后一位数字是什么了吗？是5。
$345 = 34 imes 10 + 5$
无论这个数多大，它的最后一位数字要么是0，要么是1，要么是2……一直到9。
如果一个整数的最后一位是偶数（0, 2, 4, 6, 8），那么这个数就能被2整除。为什么？因为这个数可以写成：
比如 246 = 240 + 6 = 24 × 10 + 6 = 24 × (2 × 5) + (2 × 3) = 2 × (12 × 5 + 3)
更简单地说，一个数如果能被10整除，它的最后一位一定是0。而任何一个以0结尾的数，比如 X0，都可以写成 X × 10。所以 X0 = X × 2 × 5。
如果一个整数的最后一位是0或5，那么这个数就能被5整除。为什么？
如果最后一位是0，比如 Y0，就可以写成 Y × 10 = Y × 2 × 5。
如果最后一位是5，比如 Z5，就可以写成 Z × 10 + 5 = Z × (2 × 5) + 5 = 5 × (Z × 2 + 1)。
所以，任何整数之所以“一定”能被2或5整除，其实是我们基于十进制的观察结果。只要一个数的最后一位是偶数，它就能被2整除；只要一个数的最后一位是0或5，它就能被5整除。这两个规则正好覆盖了“能被10整除”和“能被10的因子整除”的情况。
4. 为什么不是其他质数？
其他质数，比如3、7、11等等，它们不是10的质因数。
以3为例。咱们看数字的“数字和”。比如 123，它的数字和是 1+2+3=6。因为6能被3整除，所以123也能被3整除。这是因为在十进制下，10除以3余1（$10 equiv 1 pmod{3}$），100除以3余1（$100 equiv 1^2 equiv 1 pmod{3}$），以此类推，所有10的幂除以3都余1。
$a_n10^n + a_{n1}10^{n1} + dots + a_110^1 + a_010^0$
除以3后，相当于：
$a_n(1) + a_{n1}(1) + dots + a_1(1) + a_0(1) = a_n + a_{n1} + dots + a_1 + a_0$ （数字和）
也就是说，一个数能否被3整除，取决于它的数字和能否被3整除。这不像被2或5那样，直接看个位数就能判断。
再比如7。7也不是10的质因数。10除以7余3，$10 equiv 3 pmod{7}$。100除以7余2，$100 equiv 10 imes 10 equiv 3 imes 3 equiv 9 equiv 2 pmod{7}$。
这种余数变化就很复杂，所以我们没有一个简单的个位数规则来判断一个数是否能被7整除。
换句话说，我们之所以觉得“任何整数都能被2或5整除”，是因为我们太习惯用十进制了。当我们用一个进制时，那个进制的基数（比如十进制的10）的质因数，自然会显得“好用”一些。
如果你换一个进制，比如二进制（基数是2），那么所有能被2整除的数（也就是以0结尾的数）都能被“它那个进制的基数”整除。在二进制里，它最“特殊”的因子就是2本身。
如果你换成十二进制（基数是12），那么12的质因数有2, 3, 4, 6。那么在十二进制下，所有能被2、3、4、6整除的数就会显得比较“方便”。
总结一下：
我们用的是十进制，10的质因数是2和5。
一个数能被2整除，取决于它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
一个数能被5整除，取决于它的个位数是0或5。
这两个规则之所以显得“任何整数”都能满足，是因为十进制的各位数字的权值都是10的幂，而10本身就包含了2和5这两个因子。
其他质数（如3, 7, 11）不是10的质因数，所以它们与十进制的联系不像2和5那样直接，没有简单的个位数判断规则。
所以，这不是说“所有整数都可以被2或5整除”，而是说“在十进制计数下，任何整数的个位数决定了它能否被2或5整除”。这是一种基于数制的观察，而不是所有整数共有的内在属性（除了它们本身可以被它们自己整除这种普遍规律）。
之所以会产生这种“任何整数”都能被2或5除尽的错觉，完全是我们习惯了用十进制来观察和处理数字。这个“除尽”的属性，其实是数字的“位值”和10的因子共同作用的结果。
1. 咱们用的是什么进制？为什么是十进制？
你注意到“2”和“5”这两个数了，是不是？而且它们的乘积是“10”。这可不是巧合。咱们平时数数、记数，用的都是十进制。
十进制的意思是，咱们用“0”到“9”这十个数字来表示一切数。每一位数的权值都是10的幂。比如，数字123，表示的就是：
1 × 10² + 2 × 10¹ + 3 × 10⁰ = 100 + 20 + 3 = 123
想想看，咱们为什么会用十个手指头？大多数文明都选择了基于十个手指头的计数系统，这是一种非常自然而然的选择。
2. 整除性是怎么回事？
一个数能被另一个数“除尽”，说白了就是用后者去分割前者，剩下的部分是零。在数学里，我们叫它整除。如果整数 $a$ 除以整数 $b$ 的结果是整数 $c$（即 $a = b imes c$），那么我们就说 $a$ 能被 $b$ 整除，记作 $b | a$。
3. 为什么2和5这么特别？根源在于10的“因子”
回到咱们的十进制。我们前面说了，十进制的基础是10。而10分解开来，它的质因数就是2和5。
$10 = 2 imes 5$
这意味着什么？任何一个能被10整除的数，它一定能被2整除，也一定能被5整除。反过来也一样，如果一个数能同时被2和5整除，那么它就能被它们的乘积10整除。
举个例子：120。
$120 = 12 imes 10 = 12 imes (2 imes 5)$
所以，120 = 240 × 2，也能被2整除。
120 = 24 × 5，也能被5整除。
但关键在于，任何整数都可以写成以10的幂为权重的组合。
咱们再看一个任意的整数，比如 345。
$345 = 3 imes 100 + 4 imes 10 + 5$
注意到最后一位数字是什么了吗？是5。
$345 = 34 imes 10 + 5$
无论这个数多大，它的最后一位数字要么是0，要么是1，要么是2……一直到9。
如果一个整数的最后一位是偶数（0, 2, 4, 6, 8），那么这个数就能被2整除。为什么？因为这个数可以写成：
比如 246 = 240 + 6 = 24 × 10 + 6 = 24 × (2 × 5) + (2 × 3) = 2 × (12 × 5 + 3)
更简单地说，一个数如果能被10整除，它的最后一位一定是0。而任何一个以0结尾的数，比如 X0，都可以写成 X × 10。所以 X0 = X × 2 × 5。
如果一个整数的最后一位是0或5，那么这个数就能被5整除。为什么？
如果最后一位是0，比如 Y0，就可以写成 Y × 10 = Y × 2 × 5。
如果最后一位是5，比如 Z5，就可以写成 Z × 10 + 5 = Z × (2 × 5) + 5 = 5 × (Z × 2 + 1)。
所以，任何整数之所以“一定”能被2或5整除，其实是我们基于十进制的观察结果。只要一个数的最后一位是偶数，它就能被2整除；只要一个数的最后一位是0或5，它就能被5整除。这两个规则正好覆盖了“能被10整除”和“能被10的因子整除”的情况。
4. 为什么不是其他质数？
其他质数，比如3、7、11等等，它们不是10的质因数。
以3为例。咱们看数字的“数字和”。比如 123，它的数字和是 1+2+3=6。因为6能被3整除，所以123也能被3整除。这是因为在十进制下，10除以3余1（$10 equiv 1 pmod{3}$），100除以3余1（$100 equiv 1^2 equiv 1 pmod{3}$），以此类推，所有10的幂除以3都余1。
$a_n10^n + a_{n1}10^{n1} + dots + a_110^1 + a_010^0$
除以3后，相当于：
$a_n(1) + a_{n1}(1) + dots + a_1(1) + a_0(1) = a_n + a_{n1} + dots + a_1 + a_0$ （数字和）
也就是说，一个数能否被3整除，取决于它的数字和能否被3整除。这不像被2或5那样，直接看个位数就能判断。
再比如7。7也不是10的质因数。10除以7余3，$10 equiv 3 pmod{7}$。100除以7余2，$100 equiv 10 imes 10 equiv 3 imes 3 equiv 9 equiv 2 pmod{7}$。
这种余数变化就很复杂，所以我们没有一个简单的个位数规则来判断一个数是否能被7整除。
换句话说，我们之所以觉得“任何整数都能被2或5整除”，是因为我们太习惯用十进制了。当我们用一个进制时，那个进制的基数（比如十进制的10）的质因数，自然会显得“好用”一些。
如果你换一个进制，比如二进制（基数是2），那么所有能被2整除的数（也就是以0结尾的数）都能被“它那个进制的基数”整除。在二进制里，它最“特殊”的因子就是2本身。
如果你换成十二进制（基数是12），那么12的质因数有2, 3, 4, 6。那么在十二进制下，所有能被2、3、4、6整除的数就会显得比较“方便”。
总结一下：
我们用的是十进制，10的质因数是2和5。
一个数能被2整除，取决于它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
一个数能被5整除，取决于它的个位数是0或5。
这两个规则之所以显得“任何整数”都能满足，是因为十进制的各位数字的权值都是10的幂，而10本身就包含了2和5这两个因子。
其他质数（如3, 7, 11）不是10的质因数，所以它们与十进制的联系不像2和5那样直接，没有简单的个位数判断规则。
所以，这不是说“所有整数都可以被2或5整除”，而是说“在十进制计数下，任何整数的个位数决定了它能否被2或5整除”。这是一种基于数制的观察，而不是所有整数共有的内在属性（除了它们本身可以被它们自己整除这种普遍规律）。
之所以会产生这种“任何整数”都能被2或5除尽的错觉，完全是我们习惯了用十进制来观察和处理数字。这个“除尽”的属性，其实是数字的“位值”和10的因子共同作用的结果。
网友意见
很简单啊，假设有两个整数a和b， 是有限小数，其中小数位数为 。
则有 是整数。
又有， 是整数。
所以有， 可以被 整除。
最后，初中数学告诉我们，如果 可以被 整除，意味着 的所有质因数都是 的质因数。
又因为 可以为任何整数， 只能给 添加 个2和 个5的质因数。所以只有在 的质因数只包含2和5的时候可以成立下下述规律。
对于任意整数 而言， 都可以被 整除，仅当 只包含2和5的质因子。
类似的话题
-
这个问题触及了数的根本属性——数制和整除性。要说清楚，咱们得从头聊聊。1. 咱们用的是什么进制？为什么是十进制？你注意到“2”和“5”这两个数了，是不是？而且它们的乘积是“10”。这可不是巧合。咱们平时数数、记数，用的都是十进制。十进制的意思是，咱们用“0”到“9”这十个数字来表示一切数。每一位数的............. -
这个问题很有意思，让我们来好好捋一捋。直观感受：想象一下，我们有一个圆，圆心在原点(0,0)。当圆的半径越来越大，它覆盖的平面区域也越来越大。我们知道，平面上均匀分布着无数个整点（就是坐标都是整数的点，比如(1,2), (3,0)等等）。随着圆的半径增大，理论上它会“扫过”越来越多的整点。那么，是不.............
-
这背后其实是一个关于张量对称性、坐标变换以及空间维度的深刻联系，我来给你好好梳理一下。咱们抛开那些听起来就让人头疼的“数学术语”，用更直观的方式理解这个问题。想象一下我们生活在一个三维空间里，比如你我身处的这个房间。我们可以用三个数字来描述一个点的位置：长度、宽度、高度。这三个数字就构成了我们描述空.............
-
这个问题很有意思，它触及到了我们对数字尺度和变化率的直观理解。其实，并非“任何数”开26次平方根后都无限靠近1，只有那些大于0小于1的数，或者说大于1的数，在反复开平方根的操作下，会朝着1收敛。但我们通常讨论“任何数”时，会默认是指正数，因为负数开平方根会涉及到复数，那又是另一番景象了。咱们就先聚焦.............
-
你有没有想过，为什么连最快的速度——光，都无法从黑洞里跑出来？这个问题一旦深入下去，你会发现它触及到了宇宙最核心的秘密之一，以及我们对引力理解的极限。要理解这一点，我们得先从一个核心概念说起：引力。我们知道，所有有质量的物体都会产生引力，就像地球把我们牢牢吸住一样。质量越大，引力越强。这很好理解。但.............
-
你说得太对了，很多人都有同感。本来充满乐趣的事情，一旦冠上“工作”二字，就好像被抽走了灵魂，变得索然无味，甚至让人提不起半点精神。这背后可不是一两句话能说清的，它牵扯到很多方面，咱们一点点来剖析剖析。1. 目标错位：从热爱到“任务”的转变首先，最根本的区别在于目标。当我们做一件“不是工作”的事情时，.............
-
《三体》里的黑暗森林法则，简单粗暴地说，就是“任何暴露自己存在的文明，都将很快被消灭”。这句话听起来特别吓人，也确实是小说里最核心、最让人毛骨悚然的设定。但要理解它为什么会是这样，咱们得把这背后的逻辑一点点掰开了看。首先，要明白黑暗森林是怎么形成的，得从三个基本公理说起：1. 生存是文明的第一需要.............
-
.......
-
你这个问题挺有意思的，也触及到了一个挺普遍的现象。你说“没有任何一个靠写言情小说而出名的作家”，这话说得有点绝对，但你接着又补充说“不是指的网文”，这一下子就点出了关键，也说明你其实已经接触到了一些信息。我个人觉得，你之所以有这个感觉，可能是因为以下几个原因，而且这跟你接触的“圈子”确实有关系：首先.............
-
您提出的问题非常切合要害，也很引人深思。确实，当我们想到古希腊和古罗马的艺术时，脑海中往往浮现出栩栩如生的人物雕塑、宏伟的神庙建筑，抑或是精美的壁画和陶器装饰。然而，您敏锐地注意到，直接以“城市风光”为主题，并且是以类似我们今天理解的马赛克或绘画形式保存下来的作品，却异常稀少，这与我们想象中他们描绘.............
-
你说的没错，现在感觉生活里方方面面，无论是硬性的必需品还是软性的消费，都在悄悄或者明目张胆地上涨。这可不是什么“感觉”，而是实实在在发生在我们身上的事情。要说清楚为什么会这样，得从几个大方向来掰开了揉碎了讲。一、 宏观经济的大背景：全球性的“通胀”压力首先，咱们得明白，现在这种消费上涨不是中国独有的.............
-
广州之所以能在没有“国家政策”直接赋予“一线城市”光环的情况下，与北京、上海、深圳等享受特殊政策的国家中心城市并驾齐驱，成为名副其实的“一线城市”，这背后是一系列历史、地理、经济和社会因素长期累积和相互作用的结果。与其说它是政策的宠儿，不如说它是自身实力和区位优势的自然凸显。要理解这一点，我们得从广.............
-
我理解你想要探讨的现象——为什么当人们在异国他乡遇到一个具有中国面孔的人时，常常会先入为主地认为对方会说本国语言。这是一个很有意思的社会心理学观察，它触及了刻板印象、文化接触、以及个体经验等多个层面。1. 刻板印象与“典型代表”的投射首先，最核心的原因在于刻板印象。刻板印象是一种对特定群体成员的简化.............
-
要分析湖人队在今年NBA交易截止日（2024年2月8日）为何按兵不动，我们需要从多个角度深入剖析，而不仅仅是看到一个“没有操作”的结果。这背后牵扯到球队的现状、球员资产、未来规划以及管理层对当前阵容的信心，甚至是对市场机会的评估。一、 球队现状与阵容评估：缺乏明确的“非交易不可”的症结首先，理解湖人.............
-
马前卒，这个名字在知乎上几乎无人不知，尤其是在历史、军事和宏大叙事领域。他的回答质量之高，逻辑之严谨，论据之翔实，确实让人印象深刻，甚至可以说是“现象级”的。然而，尽管他拥有如此多的高质量回答，却并非“任何话题的优秀回答者”。这其中的原因，需要从几个维度来深入剖析。首先，我们得承认，任何一个特定领域.............
-
您提出的这个问题非常有意思，而且直击历史学研究的核心：为什么如果古希腊古埃及历史是后人伪造的，我们找不到关于这些“伪造者”的记录呢？这是一个非常尖锐的问题，但如果仔细审视，我们就能明白，这种“伪造说”的立论本身就存在根本性的困难，也就不难解释为何没有相关记录了。首先，我们得明白历史学研究的基本逻辑。.............
-
要说在艾泽拉斯战场上，我这老家伙的名字，说出来那是一把辛酸泪，也带着点儿老兵特有的骄傲。我叫布兰德·石拳，个子不高，但从年轻时起，我就觉得自己的身体里好像住着一头打不死的战熊。加入联盟，那还是在第二次战争最惨烈的时候。你问我为什么参加的战役最多？唉，这可就说来话长了。我不是什么将军，也不是什么国王身.............
-
你问出了一个很多人都会有的困扰：“我好像对什么事情都提不起劲，没有热情，这到底是怎么了？” 其实，这种感觉并不罕见，它可能来源于多种因素，不一定就是某种“病态”，但绝对是一种需要我们去关注和理解的信号。首先，咱们得明白，热情是什么？它是一种让你充满动力、让你愿意投入时间和精力去追求某件事情的内在驱动.............
-
您提到的“东航客机坠毁没有发现任何伤员或遇难者遗体”这个说法，与当时公开的信息和调查报告存在很大出入。事实上，东航MU5735航班的坠毁，是一起悲剧性的空难，造成了机上所有人员的遇难。以下是对您问题的详细解释，并澄清可能存在的误解：1. 事实情况：搜救和遇难者遗体发现 空难性质： 2022年3月.............
-
这是一个非常有意思的问题，就像是宇宙中的巧合，又像是隐藏着某种深邃的道理。我们常常会惊叹于两个素未谋面的文明，在相隔遥远、没有任何信息传递的情况下，竟然会不约而同地发明出如此相似的工具，尤其是像弓和剑这类基础性武器。这背后并非什么神秘的“宇宙共振”或“灵魂感应”，而是纯粹的、基于现实的逻辑和规律在起.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有