为什么任何数开到很多（比如26）次平方根后都是无限靠近 1 ？
这个问题很有意思，它触及到了我们对数字尺度和变化率的直观理解。其实，并非“任何数”开26次平方根后都无限靠近1，只有那些大于0小于1的数，或者说大于1的数，在反复开平方根的操作下，会朝着1收敛。但我们通常讨论“任何数”时，会默认是指正数，因为负数开平方根会涉及到复数，那又是另一番景象了。
咱们就先聚焦在正数上，并且不直接列举数字，而是通过理解“开平方根”这个操作本身的性质来解释。
想象一下“开平方根”是什么意思。一个数 $x$ 的平方根，就是另一个数 $y$，使得 $y imes y = x$。如果你对 $x$ 开平方根，得到 $y$，然后再对 $y$ 开平方根，得到 $z$，你会发现 $z$ 比 $y$ 更接近1，而 $y$ 又比 $x$ 更接近1（前提是 $x$ 不是0或1）。
咱们先来看大于1的数。比如，我们有个数，它比1大一点点，比如 1.5。
第一次开平方根：$sqrt{1.5}$ 大约是 1.22。
第二次开平方根：$sqrt{1.22}$ 大约是 1.10。
第三次开平方根：$sqrt{1.10}$ 大约是 1.05。
你有没有注意到一个规律？每次开平方根，得到的数都比上一次更接近1。这是因为，当你对一个大于1的数开平方根时，你是在寻找一个数，它自己相乘等于原来的那个数。由于它自己相乘，这个数就必须比原来的数“小一些”，这样才能通过相乘回到原来的值。但同时，它又不能比1小太多，否则相乘的结果就会比1小很多。所以，结果就被“压缩”到了1的附近。
这个“压缩”的程度是有规律的。每当你对一个数 $x$ 开平方根，相当于把它变成 $x^{1/2}$。如果你重复这个操作 $n$ 次，那么这个数就变成了 $x^{(1/2)^n}$，也就是 $x^{1/2^n}$。
现在，我们关注的是指数 $1/2^n$。当 $n$ 越来越大的时候（比如我们说的26次，甚至更多），$2^n$ 这个数会变得非常非常大。一个非常大的数的倒数，比如 $1/2^{26}$，它就是一个非常非常接近0的数。
所以，我们实际上是在计算 $x$ 的一个非常非常小的幂。
对于大于1的数 $x$ 来说，任何大于0的幂都会让这个数变小。而这个幂又非常非常接近0。当一个大于1的数的指数非常非常接近0时，会发生什么？
我们可以这样理解：任何大于1的数的0次方都是1。我们正在计算的这个指数 $1/2^n$，它正是朝着0这个方向“爬行”的。虽然它永远不会真正等于0，但随着 $n$ 的增加，它会无限地接近0。因此， $x^{1/2^n}$ 就会无限地接近 $x^0$，也就是1。
再来看小于1的数（但大于0）。比如，我们有个数 0.5。
第一次开平方根：$sqrt{0.5}$ 大约是 0.707。
第二次开平方根：$sqrt{0.707}$ 大约是 0.841。
第三次开平方根：$sqrt{0.841}$ 大约是 0.917。
同样的，我们看到结果也越来越接近1。这是为什么呢？
当你对一个小于1的数开平方根时，你是在寻找一个数 $y$，使得 $y imes y = x$。由于 $x$ 本身比1小，那么 $y$ 就必须比 $x$ 大一些，这样相乘才能得到 $x$（因为它本身相乘会使结果变小）。同时， $y$ 又不能比1大太多，否则相乘结果会超过1。所以，结果被“拉伸”到了1的附近。
我们之前提到，反复开平方根 $n$ 次，相当于计算 $x^{1/2^n}$。
对于一个小于1的数 $x$ 来说，当它的指数是正数时，指数越大，这个数就越小（越接近0）。而指数越接近0，这个数就越大（越接近1）。
我们计算的指数 $1/2^n$ 随着 $n$ 的增大，会无限地接近0。所以，$x^{1/2^n}$ 就会无限地接近 $x^0$，也就是1。
所以，无论是大于1的数，还是小于1（但大于0）的数，经过足够多次的开平方根（也就是指数 $1/2^n$ 足够接近0），它们最终都会无限地靠近1。
简单来说，开平方根这个操作，就像是一个“拉伸”或“压缩”的机制，它总会把数字往1这个“锚点”上拉。次数越多，它就越精细地往1靠拢。当次数多到一定的程度，比如26次，那个指数 $1/2^{26}$ 已经小到我们难以想象，计算出的结果自然也就非常非常接近1了。
咱们就先聚焦在正数上，并且不直接列举数字，而是通过理解“开平方根”这个操作本身的性质来解释。
想象一下“开平方根”是什么意思。一个数 $x$ 的平方根，就是另一个数 $y$，使得 $y imes y = x$。如果你对 $x$ 开平方根，得到 $y$，然后再对 $y$ 开平方根，得到 $z$，你会发现 $z$ 比 $y$ 更接近1，而 $y$ 又比 $x$ 更接近1（前提是 $x$ 不是0或1）。
咱们先来看大于1的数。比如，我们有个数，它比1大一点点，比如 1.5。
第一次开平方根：$sqrt{1.5}$ 大约是 1.22。
第二次开平方根：$sqrt{1.22}$ 大约是 1.10。
第三次开平方根：$sqrt{1.10}$ 大约是 1.05。
你有没有注意到一个规律？每次开平方根，得到的数都比上一次更接近1。这是因为，当你对一个大于1的数开平方根时，你是在寻找一个数，它自己相乘等于原来的那个数。由于它自己相乘，这个数就必须比原来的数“小一些”，这样才能通过相乘回到原来的值。但同时，它又不能比1小太多，否则相乘的结果就会比1小很多。所以，结果就被“压缩”到了1的附近。
这个“压缩”的程度是有规律的。每当你对一个数 $x$ 开平方根，相当于把它变成 $x^{1/2}$。如果你重复这个操作 $n$ 次，那么这个数就变成了 $x^{(1/2)^n}$，也就是 $x^{1/2^n}$。
现在，我们关注的是指数 $1/2^n$。当 $n$ 越来越大的时候（比如我们说的26次，甚至更多），$2^n$ 这个数会变得非常非常大。一个非常大的数的倒数，比如 $1/2^{26}$，它就是一个非常非常接近0的数。
所以，我们实际上是在计算 $x$ 的一个非常非常小的幂。
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再来看小于1的数（但大于0）。比如，我们有个数 0.5。
第一次开平方根：$sqrt{0.5}$ 大约是 0.707。
第二次开平方根：$sqrt{0.707}$ 大约是 0.841。
第三次开平方根：$sqrt{0.841}$ 大约是 0.917。
同样的，我们看到结果也越来越接近1。这是为什么呢？
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我们之前提到，反复开平方根 $n$ 次，相当于计算 $x^{1/2^n}$。
对于一个小于1的数 $x$ 来说，当它的指数是正数时，指数越大，这个数就越小（越接近0）。而指数越接近0，这个数就越大（越接近1）。
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所以，无论是大于1的数，还是小于1（但大于0）的数，经过足够多次的开平方根（也就是指数 $1/2^n$ 足够接近0），它们最终都会无限地靠近1。
简单来说，开平方根这个操作，就像是一个“拉伸”或“压缩”的机制，它总会把数字往1这个“锚点”上拉。次数越多，它就越精细地往1靠拢。当次数多到一定的程度，比如26次，那个指数 $1/2^{26}$ 已经小到我们难以想象，计算出的结果自然也就非常非常接近1了。
网友意见
桓大和数学体海报和这个诚品广告是谁学谁啊，现在都搞高难度数学题广告啊，
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