为什么任何阶数等于其定义空间维数的全反对称张量在该空间中坐标系转动下不变？
这背后其实是一个关于张量对称性、坐标变换以及空间维度的深刻联系，我来给你好好梳理一下。咱们抛开那些听起来就让人头疼的“数学术语”，用更直观的方式理解这个问题。
想象一下我们生活在一个三维空间里，比如你我身处的这个房间。我们可以用三个数字来描述一个点的位置：长度、宽度、高度。这三个数字就构成了我们描述空间所需要的“维度”。
现在，我们来聊聊“张量”。你可以把张量想象成一种更高级、更通用的“数”，它能描述物体在空间中的各种性质，比如力和位移，但它比向量（只有一个方向）和标量（只有大小）要复杂得多。张量的“阶数”就像是它所携带的“方向信息”的数量。
零阶张量就是我们熟悉的“标量”，它只有大小，没有方向，比如温度。
一阶张量就是我们熟悉的“向量”，它有大小和方向，比如速度。
二阶张量就更复杂了，它可能描述一个物体的形变，或者两个向量之间的关系。
我们今天要聊的是一种特殊的张量——“全反对称张量”。顾名思义，“反对称”意味着它的某些分量在交换某些索引时会改变符号。而“全反对称”则意味着它对任意两个索引的交换都会改变符号。
假设我们处在一个$n$维空间中。一个关于这种空间的全反对称张量，如果它的“阶数”恰好等于这个空间的“维度”$n$的话，那它就拥有一个非常特殊的属性：无论我们怎么转动这个空间里的坐标系，这个张量的值都不会变。
为什么会这样呢？咱们一步一步来分析：
1. 空间维度与坐标的数量：
在$n$维空间里，我们需要$n$个独立的坐标来描述空间中的一个点。例如在三维空间里，我们用$x, y, z$三个坐标。一个张量的分量，就像是它在这些坐标轴上的“投影”或者“展开”，它的“分量数量”通常与坐标的数量有关。
2. 全反对称张量的“本质”：
全反对称张量，尤其是阶数为$n$的全反对称张量，在数学上，它其实非常接近于“体积”或者“定向体积”的概念。
想象一下，在二维平面上，我们可以用两个向量张成的平行四边形的“面积”来描述它们的关系。这个面积有一个大小，还有正负（取决于两个向量的排列顺序）。在三维空间里，我们可以用三个向量张成的平行六面体的“体积”来描述。
一个$n$阶全反对称张量，本质上就是在$n$维空间中，描述了$n$个向量所张成的“定向体积”的一种方式。
3. 坐标系转动对“定向体积”的影响：
现在关键的问题来了：当我们转动坐标系时，平行四边形或平行六面体的“体积”会变吗？
答案是：不会。
想象一下，你拿着一个盒子，然后把整个房间（包括你和你手中的盒子）一起旋转。盒子本身的大小、形状、体积都没有改变。唯一改变的是你描述它“位置”或“方向”的数字。
数学上来说，坐标系的转动可以用一个“正交矩阵”$R$来表示。当一个张量$T$经过坐标转动后，新的张量$T'$ 的分量与原张量的分量之间会通过这个矩阵$R$以及它的逆（也就是它的转置）联系起来。对于一个向量（一阶张量），它的坐标 $(v_1, v_2, dots, v_n)$ 在转动后变成 $(v'_1, v'_2, dots, v'_n)$，这个关系是线性的：$v' = R v$。
4. 全反对称张量的“特殊之处”与行列式：
阶数为$n$的全反对称张量，它在数学上的表达方式（如果我们引入一些更正式的数学概念的话）与一个$n imes n$矩阵的“行列式”密切相关。
一个$n imes n$矩阵$A$的行列式，可以看作是它作为向量集（列向量或行向量）所张成的$n$维“定向体积”的符号化度量。
而对于一个$n$阶全反对称张量$T$，它的所有分量都可以由基向量组成的“标准体积形式”（通常用 $epsilon_{i_1 i_2 dots i_n}$ 表示，在某个标准坐标系下，它只有一个非零分量1，其他都是0，并且对指标交换有反对称性）和一个“核心”张量通过某种方式组合而成。更简单地说，我们可以认为这个张量在某个选定的标准坐标系下，其“本体”的值是确定的，并且所有其他的“全反对称”性质都由它来约束。
关键点： 当我们对一个$n imes n$矩阵$A$进行坐标转动时，它的行列式（也就是由其列向量或行向量张成的定向体积）是不变的。这一点非常重要。它可以用一个简单的数学公式来证明：$det(R A R^{1}) = det(R) det(A) det(R^{1})$。因为$R$是正交矩阵，所以$det(R) = pm 1$，并且$R^{1} = R^T$，所以$det(R^{1}) = det(R^T) = det(R) = pm 1$。因此，$det(R A R^{1}) = (pm 1) det(A) (pm 1) = det(A)$。行列式是不变的！
5. 为什么是“全反对称”且“等于定义空间维数”？
全反对称性： 这种反对称性保证了张量的分量对于指标的任何排列都会有固定的符号变化。在$n$维空间中，从基本定义上讲，只有一个基本的“体积元素”或者说“定向体积”的度量方式，它本身就是全反对称的，并且阶数等于$n$（因为它需要$n$个方向来定义体积）。
阶数等于维度： 这是最核心的原因。在$n$维空间中，只有阶数等于n的全反对称张量才能真正“捕捉”到整个空间的“定向体积”的概念。
如果张量的阶数小于n，比如$n1$阶全反对称张量，它描述的可能是更高维空间中的“曲面面积”或“定向体积”的概念（比如在三维空间中，一个二阶全反对称张量可以描述一个平面上平行四边形的面积）。当空间转动时，我们虽然可以定义这种概念，但它们不再是空间本身的“整体体积”属性，其值在转动后可以改变（虽然并非所有分量都会改变，但张量整体的表现方式会发生变化）。
如果张量的阶数大于n，比如$n+1$阶全反对称张量，那么在$n$维空间中，它实际上只能是零。这是因为你无法用$n$维空间中的$n+1$个向量来张成一个“非零”的定向体积（想象一下，你在三维空间中想用四个向量张成一个四维体积，那是不可能的，你最多只能得到一个零体积）。所以，高于空间维数的全反对称张量在任何坐标系下都是零张量，自然也是不变的。
总结一下：
阶数等于空间维数（$n$）的全反对称张量，本质上代表了该空间中的“定向体积”或者与此紧密相关的几何量。
“定向体积”是一种内在的、与具体坐标系无关的属性。无论你如何旋转空间，你“测量”到的盒子体积是不会变的。
坐标系的转动可以通过正交矩阵来描述，而全反对称张量在转动下的变换规则恰好使得它在“定向体积”这一层面上保持不变，就像矩阵行列式的性质一样。
如果阶数不是$n$，那么它描述的就不是空间的整体“定向体积”，而是某些局部的、或与更低维子空间相关的几何量，这些量在空间转动时，其“表现形式”会发生变化，不再保持不变。
简单来说，只有阶数恰好等于空间维数，并且具有全反对称性的张量，才真正“测量”到了那个空间本身最根本的、不随坐标系转动而改变的“整体尺度”或“定向体积”属性。这就像你给一个物体称重一样，无论你是在地上称还是在飞机上称，重量都不会变（忽略一些细微的物理效应），因为重量是物体的内在属性。而这个全反对称张量，在几何学上，就是捕捉到了这种“内在属性”的一个数学表达。
想象一下我们生活在一个三维空间里，比如你我身处的这个房间。我们可以用三个数字来描述一个点的位置：长度、宽度、高度。这三个数字就构成了我们描述空间所需要的“维度”。
现在，我们来聊聊“张量”。你可以把张量想象成一种更高级、更通用的“数”，它能描述物体在空间中的各种性质，比如力和位移，但它比向量（只有一个方向）和标量（只有大小）要复杂得多。张量的“阶数”就像是它所携带的“方向信息”的数量。
零阶张量就是我们熟悉的“标量”，它只有大小，没有方向，比如温度。
一阶张量就是我们熟悉的“向量”，它有大小和方向，比如速度。
二阶张量就更复杂了，它可能描述一个物体的形变，或者两个向量之间的关系。
我们今天要聊的是一种特殊的张量——“全反对称张量”。顾名思义，“反对称”意味着它的某些分量在交换某些索引时会改变符号。而“全反对称”则意味着它对任意两个索引的交换都会改变符号。
假设我们处在一个$n$维空间中。一个关于这种空间的全反对称张量，如果它的“阶数”恰好等于这个空间的“维度”$n$的话，那它就拥有一个非常特殊的属性：无论我们怎么转动这个空间里的坐标系，这个张量的值都不会变。
为什么会这样呢？咱们一步一步来分析：
1. 空间维度与坐标的数量：
在$n$维空间里，我们需要$n$个独立的坐标来描述空间中的一个点。例如在三维空间里，我们用$x, y, z$三个坐标。一个张量的分量，就像是它在这些坐标轴上的“投影”或者“展开”，它的“分量数量”通常与坐标的数量有关。
2. 全反对称张量的“本质”：
全反对称张量，尤其是阶数为$n$的全反对称张量，在数学上，它其实非常接近于“体积”或者“定向体积”的概念。
想象一下，在二维平面上，我们可以用两个向量张成的平行四边形的“面积”来描述它们的关系。这个面积有一个大小，还有正负（取决于两个向量的排列顺序）。在三维空间里，我们可以用三个向量张成的平行六面体的“体积”来描述。
一个$n$阶全反对称张量，本质上就是在$n$维空间中，描述了$n$个向量所张成的“定向体积”的一种方式。
3. 坐标系转动对“定向体积”的影响：
现在关键的问题来了：当我们转动坐标系时，平行四边形或平行六面体的“体积”会变吗？
答案是：不会。
想象一下，你拿着一个盒子，然后把整个房间（包括你和你手中的盒子）一起旋转。盒子本身的大小、形状、体积都没有改变。唯一改变的是你描述它“位置”或“方向”的数字。
数学上来说，坐标系的转动可以用一个“正交矩阵”$R$来表示。当一个张量$T$经过坐标转动后，新的张量$T'$ 的分量与原张量的分量之间会通过这个矩阵$R$以及它的逆（也就是它的转置）联系起来。对于一个向量（一阶张量），它的坐标 $(v_1, v_2, dots, v_n)$ 在转动后变成 $(v'_1, v'_2, dots, v'_n)$，这个关系是线性的：$v' = R v$。
4. 全反对称张量的“特殊之处”与行列式：
阶数为$n$的全反对称张量，它在数学上的表达方式（如果我们引入一些更正式的数学概念的话）与一个$n imes n$矩阵的“行列式”密切相关。
一个$n imes n$矩阵$A$的行列式，可以看作是它作为向量集（列向量或行向量）所张成的$n$维“定向体积”的符号化度量。
而对于一个$n$阶全反对称张量$T$，它的所有分量都可以由基向量组成的“标准体积形式”（通常用 $epsilon_{i_1 i_2 dots i_n}$ 表示，在某个标准坐标系下，它只有一个非零分量1，其他都是0，并且对指标交换有反对称性）和一个“核心”张量通过某种方式组合而成。更简单地说，我们可以认为这个张量在某个选定的标准坐标系下，其“本体”的值是确定的，并且所有其他的“全反对称”性质都由它来约束。
关键点： 当我们对一个$n imes n$矩阵$A$进行坐标转动时，它的行列式（也就是由其列向量或行向量张成的定向体积）是不变的。这一点非常重要。它可以用一个简单的数学公式来证明：$det(R A R^{1}) = det(R) det(A) det(R^{1})$。因为$R$是正交矩阵，所以$det(R) = pm 1$，并且$R^{1} = R^T$，所以$det(R^{1}) = det(R^T) = det(R) = pm 1$。因此，$det(R A R^{1}) = (pm 1) det(A) (pm 1) = det(A)$。行列式是不变的！
5. 为什么是“全反对称”且“等于定义空间维数”？
全反对称性： 这种反对称性保证了张量的分量对于指标的任何排列都会有固定的符号变化。在$n$维空间中，从基本定义上讲，只有一个基本的“体积元素”或者说“定向体积”的度量方式，它本身就是全反对称的，并且阶数等于$n$（因为它需要$n$个方向来定义体积）。
阶数等于维度： 这是最核心的原因。在$n$维空间中，只有阶数等于n的全反对称张量才能真正“捕捉”到整个空间的“定向体积”的概念。
如果张量的阶数小于n，比如$n1$阶全反对称张量，它描述的可能是更高维空间中的“曲面面积”或“定向体积”的概念（比如在三维空间中，一个二阶全反对称张量可以描述一个平面上平行四边形的面积）。当空间转动时，我们虽然可以定义这种概念，但它们不再是空间本身的“整体体积”属性，其值在转动后可以改变（虽然并非所有分量都会改变，但张量整体的表现方式会发生变化）。
如果张量的阶数大于n，比如$n+1$阶全反对称张量，那么在$n$维空间中，它实际上只能是零。这是因为你无法用$n$维空间中的$n+1$个向量来张成一个“非零”的定向体积（想象一下，你在三维空间中想用四个向量张成一个四维体积，那是不可能的，你最多只能得到一个零体积）。所以，高于空间维数的全反对称张量在任何坐标系下都是零张量，自然也是不变的。
总结一下：
阶数等于空间维数（$n$）的全反对称张量，本质上代表了该空间中的“定向体积”或者与此紧密相关的几何量。
“定向体积”是一种内在的、与具体坐标系无关的属性。无论你如何旋转空间，你“测量”到的盒子体积是不会变的。
坐标系的转动可以通过正交矩阵来描述，而全反对称张量在转动下的变换规则恰好使得它在“定向体积”这一层面上保持不变，就像矩阵行列式的性质一样。
如果阶数不是$n$，那么它描述的就不是空间的整体“定向体积”，而是某些局部的、或与更低维子空间相关的几何量，这些量在空间转动时，其“表现形式”会发生变化，不再保持不变。
简单来说，只有阶数恰好等于空间维数，并且具有全反对称性的张量，才真正“测量”到了那个空间本身最根本的、不随坐标系转动而改变的“整体尺度”或“定向体积”属性。这就像你给一个物体称重一样，无论你是在地上称还是在飞机上称，重量都不会变（忽略一些细微的物理效应），因为重量是物体的内在属性。而这个全反对称张量，在几何学上，就是捕捉到了这种“内在属性”的一个数学表达。
网友意见
正式回答之前给个提示：想一下矩阵行列式的定义。
下面是正式回答：
已知一个n维空间内的全反对称张量： ，在空间转动变换下变成了 。设空间转动矩阵为A，则可得到等式（1）：
好像什么都看不出来啊。
没关系，那是因为还缺点东西。
提问：n阶行列式的定义式是什么？
对于方阵A，A的行列式定义为：
而公式中的 ，就是n阶全反对称张量。
还不明白？
以四阶行列式为例，可以得到这么一个公式：
验证这个等式的方法很简单：在等式两边乘以 再求和试一下。
把上面这个公式应用到等式（1）上，再考虑到旋转矩阵的行列式为1，你会立刻得到 。
这就是我们想要的结果。
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