威尔逊定理中 p=4是一个例外，为什么？是否存在其他非质数的例外？
关于威尔逊定理中 p=4 的特殊情况，以及是否存在其他非质数的例外，这确实是一个很有趣且需要仔细解释的问题。让我们一层层剥开来。
威尔逊定理到底说了什么？
首先，我们得明确威尔逊定理的内容。这个定理是数论中的一个经典结论，它告诉我们：
> 一个整数 p > 1 是质数，当且仅当 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
用更通俗的话来说，就是如果你拿 p1 这个数进行阶乘运算（也就是 1 × 2 × 3 × ... × (p1)），然后用这个阶乘的结果除以 p，得到的余数恰好是 p1（或者等价地说，是 1）。威尔逊定理说，只有当 p 是一个质数时，才会发生这种情况。
为什么 p=4 是个“例外”？
现在我们来看看 p=4 这个例子。根据威尔逊定理的定义，p 必须大于 1，而 4 确实大于 1。
我们来计算 (41)!，也就是 3!：
3! = 3 × 2 × 1 = 6
然后，我们看看 6 除以 4 的余数是多少：
6 ÷ 4 = 1 余 2
所以，6 ≡ 2 (mod 4)。
对照威尔逊定理的条件：(p1)! ≡ 1 (mod p)。
在这里，我们得到的是 (41)! ≡ 2 (mod 4)。而 1 (mod 4) 等于 3 (mod 4)，因为 41 = 3。
所以，2 并不等于 3。
问题的关键在于“例外”的定义。 威尔逊定理本身是一个“当且仅当”的命题，它是在“p 是质数”和“(p1)! ≡ 1 (mod p)”之间建立了一个等价关系。
当 p 是质数时，它必定满足 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
当 (p1)! ≡ 1 (mod p) 时，它必定是一个质数。
p=4 的情况之所以被认为是“例外”，是因为：
1. 它不满足定理的结论（(p1)! ≡ 1 (mod p)）：如我们计算所示，(41)! ≡ 2 (mod 4)，而不是 1 (mod 4)。
2. 但 p=4 却也不是质数：这是重点。定理说，如果 (p1)! ≡ 1 (mod p)，那么 p 必须是质数。而对于 4，(41)! ≡ 2 (mod 4)，所以它不满足结论，这意味着 p=4 就不应该是质数，这一点倒是被定理“正确”地反映了。
所以，p=4 并不是威尔逊定理本身失效，而是它处于一个“不符合定理的质数部分，也不符合定理的结论部分”的特殊位置。换句话说，4 不是质数，而 (41)! ≡ 2 (mod 4)，这恰好说明了它不是一个满足威尔逊定理结论的数。
真正需要探讨的是“是否存在其他非质数的例外？”
这里的“例外”指的是：是否存在某个合数 p，使得 (p1)! ≡ 1 (mod p) 成立？
根据威尔逊定理的表述，答案是否定的。定理明确指出，只有质数才满足这个条件。但是，我们更想知道的是，为什么只有质数满足这个条件？特别是，为什么那些合数（除了 4 之外）就不满足呢？
让我们来分析一下合数 p 的情况。当 p 是一个合数时，p 可以写成 p = ab，其中 1 < a ≤ b < p。
情况一：a ≠ b
如果 p = ab，且 a 和 b 是不同的数，并且都小于 p，那么 a 和 b 都将出现在 (p1)! 的连乘项中：
(p1)! = 1 × 2 × ... × a × ... × b × ... × (p1)
由于 a 和 b 都是 p 的因子，它们的乘积 ab = p。
所以，(p1)! 必然包含因子 a 和因子 b。
这意味着，(p1)! 是 p 的倍数，也就是 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
例如，当 p=6 时：
6 是合数，6 = 2 × 3。a=2, b=3。
(61)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
这里面包含了因子 2 和因子 3，所以 5! = 120。
120 ÷ 6 = 20 余 0。所以 5! ≡ 0 (mod 6)。
这里的 0 显然不等于 1 (mod 6)，1 (mod 6) 等于 5 (mod 6)。
这适用于所有合数 p = ab，其中 1 < a < p 和 1 < b < p，且 a ≠ b。
情况二：p = a² (即 p 是某个数的平方)
如果 p 是一个合数的平方，比如 p = a²，且 a > 2。
那么 a 和 2a 都将出现在 (p1)! 的连乘项中吗？
(p1)! = 1 × 2 × ... × a × ... × 2a × ... × (a²1)
这里需要确保 2a < p。
如果 2a < p，那么 a 和 2a 都是 (p1)! 的因子。
那么 (p1)! 必然包含因子 a 和因子 2a。
所以 (p1)! 含有 a × 2a = 2a² = 2p。
这意味着 (p1)! 是 p 的倍数，所以 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
这种情况什么时候会出问题？
出问题的前提是 2a ≥ p。而 p = a²。所以我们要求 2a ≥ a²。
这个不等式可以写成 a² 2a ≤ 0，即 a(a2) ≤ 0。
因为 a 是一个大于 1 的整数，所以 a > 0。
那么我们只需要 a2 ≤ 0，也就是 a ≤ 2。
如果 a = 2，那么 p = a² = 2² = 4。这是我们前面讨论过的特殊情况。
当 p=4 时，a=2。2a = 4。这时 2a 不小于 p，而是等于 p。
(41)! = 3! = 6。
在 3! 的计算中，因子是 1, 2, 3。因子 2 确实存在，但因子 2a=4 不存在于 1, 2, 3 这个序列中。
所以，对于 p=4，虽然 2 和 a=2 都出现，但它们并没有直接构成一个 p 的因子（因为它们没有被分开）。
因子 2 出现一次。p=4。a=2。
我们看到 3! = 6。6 除以 4 的余数是 2。
如果 a > 2，那么 a(a2) > 0，即 2a > a² = p。
这意味着对于大于 4 的平方数（比如 9=3²，16=4²），因子 2a 将不小于 p，也就不会同时出现在 1 到 p1 的连乘项里了。
但是，即使 2a 不出现，只要 a < p/2，那么 a 至少会被 p1 的一个数“处理”掉。
让我们重新审视 p=a² 的情况，并且 a>2。
p = a²。因子 a 存在于 (p1)! 中。
我们需要找另一个因子 b，使得 ab 也是 p 的倍数。
如果存在一个 b，使得 ab = ka (其中 k 为整数)，并且 b ≠ a 且 b < p，那么 p=(p1)! 的倍数。
考虑 p = a²，其中 a > 2。
那么 a < a² = p。
2a < a² = p (因为 a > 2)。
所以，a 和 2a 都是小于 p 的整数。
它们都会出现在 (p1)! 的连乘项里：1 × 2 × ... × a × ... × 2a × ... × (a²1)。
那么 (p1)! 包含因子 a 和因子 2a。
(p1)! 含有 a × (2a) = 2a² = 2p。
因此，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
这证明了所有合数 p = a² 且 a > 2，都满足 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
总结一下合数的情况：
1. 如果 p 是合数且 p ≠ 4：
若 p 有两个不同的因子 a, b (1 < a < b < p)：则 a 和 b 都在 (p1)! 中，所以 ab=p 是 (p1)! 的因子，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
若 p 是一个合数的平方，p = a²，且 a > 2：则 a 和 2a 都小于 p 且不同（因为 a>2），它们都在 (p1)! 中，所以 a × 2a = 2a² = 2p 是 (p1)! 的因子，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
所以，对于所有大于 4 的合数 p，我们都有 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
0 永远不等于 1 (mod p)，因为 1 (mod p) 等于 p1 (mod p)，而 p1 是不可能等于 0 的（因为 p > 1）。
那么，p=4 这个“例外”到底怎么来的？
p=4 是唯一的合数，对于它，(p1)! ≡ 2 (mod 4)。
它不满足 (p1)! ≡ 1 (mod p) 的结论，但它也不是 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
质数 p：(p1)! ≡ 1 (mod p)
合数 p > 4：(p1)! ≡ 0 (mod p)
合数 p = 4：(p1)! ≡ 2 (mod 4)
所以，p=4 是一个独特的“不满足威尔逊定理结论”的合数，它不属于“大部分合数”的模式 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
“是否存在其他非质数的例外？”
如果“例外”指的是不满足威尔逊定理结论 ((p1)! ≡ 1 (mod p)) 的非质数，那么：
p=4 是一个这样的“例外”。它不是质数，并且 (41)! ≡ 2 (mod 4) ≠ 1 (mod 4)。
所有大于 4 的合数也是这样的“例外”。它们不是质数，并且 (p1)! ≡ 0 (mod p) ≠ 1 (mod p)。
所以，从这个角度看，p=4 并不是一个“孤立”的例外。实际上，所有大于 4 的合数也都不满足 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
威尔逊定理的精髓在于其“当且仅当”的性质。它告诉我们，想要得到余数 1 (mod p) 的，只有质数 p。而 p=4 以及其他合数，都没有这个能力。它们要么得到余数 0 (大多数合数)，要么得到像 4 这样的特殊余数 2。
为什么历史上会特别提到 p=4 作为“例外”？
这可能源于对定理证明过程的分析。当人们试图证明威尔逊定理时，通常会将质数和合数分开讨论。
质数的证明依赖于模 p 的乘法群结构，其中每个非零元素都有唯一的逆元。
对于合数 p > 4，可以利用 p 的因子来构造出 (p1)! 中的因子乘积恰好是 p 的倍数。
而 p=4 的情况，是唯一一个“卡在中间”的合数，它的因子 2 出现了，但它不是 p 的因子（14 = 4，22 = 4）。
在 (41)! = 1 × 2 × 3 中，因子 2 是存在的，但它自己并没有被 p=4 整除。而且，由于 p=4 只有一个因子 2 (除去 1 和它本身)，所以 p=4 没有两个不同的因子 a, b 使得 ab=p 出现在 (p1)! 中。它也不是形如 a² (a>2) 的合数。
所以，p=4 的情况在某些证明策略下，需要特别被拎出来单独处理，因为它不落入“p 有两个不同因子 ab=p”的逻辑链条里，也不落入“p=a² (a>2) 有因子 a 和 2a”的逻辑链条里。
总而言之，威尔逊定理是一个关于质数的特征性判据。p=4 并不是威尔逊定理的“例外”，而是一个不满足定理结论的合数。从这个意义上讲，所有大于 4 的合数也都是不满足定理结论的“非质数”。只有质数，才拥有产生余数 1 (mod p) 的特殊能力。
威尔逊定理到底说了什么？
首先，我们得明确威尔逊定理的内容。这个定理是数论中的一个经典结论，它告诉我们：
> 一个整数 p > 1 是质数，当且仅当 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
用更通俗的话来说，就是如果你拿 p1 这个数进行阶乘运算（也就是 1 × 2 × 3 × ... × (p1)），然后用这个阶乘的结果除以 p，得到的余数恰好是 p1（或者等价地说，是 1）。威尔逊定理说，只有当 p 是一个质数时，才会发生这种情况。
为什么 p=4 是个“例外”？
现在我们来看看 p=4 这个例子。根据威尔逊定理的定义，p 必须大于 1，而 4 确实大于 1。
我们来计算 (41)!，也就是 3!：
3! = 3 × 2 × 1 = 6
然后，我们看看 6 除以 4 的余数是多少：
6 ÷ 4 = 1 余 2
所以，6 ≡ 2 (mod 4)。
对照威尔逊定理的条件：(p1)! ≡ 1 (mod p)。
在这里，我们得到的是 (41)! ≡ 2 (mod 4)。而 1 (mod 4) 等于 3 (mod 4)，因为 41 = 3。
所以，2 并不等于 3。
问题的关键在于“例外”的定义。 威尔逊定理本身是一个“当且仅当”的命题，它是在“p 是质数”和“(p1)! ≡ 1 (mod p)”之间建立了一个等价关系。
当 p 是质数时，它必定满足 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
当 (p1)! ≡ 1 (mod p) 时，它必定是一个质数。
p=4 的情况之所以被认为是“例外”，是因为：
1. 它不满足定理的结论（(p1)! ≡ 1 (mod p)）：如我们计算所示，(41)! ≡ 2 (mod 4)，而不是 1 (mod 4)。
2. 但 p=4 却也不是质数：这是重点。定理说，如果 (p1)! ≡ 1 (mod p)，那么 p 必须是质数。而对于 4，(41)! ≡ 2 (mod 4)，所以它不满足结论，这意味着 p=4 就不应该是质数，这一点倒是被定理“正确”地反映了。
所以，p=4 并不是威尔逊定理本身失效，而是它处于一个“不符合定理的质数部分，也不符合定理的结论部分”的特殊位置。换句话说，4 不是质数，而 (41)! ≡ 2 (mod 4)，这恰好说明了它不是一个满足威尔逊定理结论的数。
真正需要探讨的是“是否存在其他非质数的例外？”
这里的“例外”指的是：是否存在某个合数 p，使得 (p1)! ≡ 1 (mod p) 成立？
根据威尔逊定理的表述，答案是否定的。定理明确指出，只有质数才满足这个条件。但是，我们更想知道的是，为什么只有质数满足这个条件？特别是，为什么那些合数（除了 4 之外）就不满足呢？
让我们来分析一下合数 p 的情况。当 p 是一个合数时，p 可以写成 p = ab，其中 1 < a ≤ b < p。
情况一：a ≠ b
如果 p = ab，且 a 和 b 是不同的数，并且都小于 p，那么 a 和 b 都将出现在 (p1)! 的连乘项中：
(p1)! = 1 × 2 × ... × a × ... × b × ... × (p1)
由于 a 和 b 都是 p 的因子，它们的乘积 ab = p。
所以，(p1)! 必然包含因子 a 和因子 b。
这意味着，(p1)! 是 p 的倍数，也就是 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
例如，当 p=6 时：
6 是合数，6 = 2 × 3。a=2, b=3。
(61)! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
这里面包含了因子 2 和因子 3，所以 5! = 120。
120 ÷ 6 = 20 余 0。所以 5! ≡ 0 (mod 6)。
这里的 0 显然不等于 1 (mod 6)，1 (mod 6) 等于 5 (mod 6)。
这适用于所有合数 p = ab，其中 1 < a < p 和 1 < b < p，且 a ≠ b。
情况二：p = a² (即 p 是某个数的平方)
如果 p 是一个合数的平方，比如 p = a²，且 a > 2。
那么 a 和 2a 都将出现在 (p1)! 的连乘项中吗？
(p1)! = 1 × 2 × ... × a × ... × 2a × ... × (a²1)
这里需要确保 2a < p。
如果 2a < p，那么 a 和 2a 都是 (p1)! 的因子。
那么 (p1)! 必然包含因子 a 和因子 2a。
所以 (p1)! 含有 a × 2a = 2a² = 2p。
这意味着 (p1)! 是 p 的倍数，所以 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
这种情况什么时候会出问题？
出问题的前提是 2a ≥ p。而 p = a²。所以我们要求 2a ≥ a²。
这个不等式可以写成 a² 2a ≤ 0，即 a(a2) ≤ 0。
因为 a 是一个大于 1 的整数，所以 a > 0。
那么我们只需要 a2 ≤ 0，也就是 a ≤ 2。
如果 a = 2，那么 p = a² = 2² = 4。这是我们前面讨论过的特殊情况。
当 p=4 时，a=2。2a = 4。这时 2a 不小于 p，而是等于 p。
(41)! = 3! = 6。
在 3! 的计算中，因子是 1, 2, 3。因子 2 确实存在，但因子 2a=4 不存在于 1, 2, 3 这个序列中。
所以，对于 p=4，虽然 2 和 a=2 都出现，但它们并没有直接构成一个 p 的因子（因为它们没有被分开）。
因子 2 出现一次。p=4。a=2。
我们看到 3! = 6。6 除以 4 的余数是 2。
如果 a > 2，那么 a(a2) > 0，即 2a > a² = p。
这意味着对于大于 4 的平方数（比如 9=3²，16=4²），因子 2a 将不小于 p，也就不会同时出现在 1 到 p1 的连乘项里了。
但是，即使 2a 不出现，只要 a < p/2，那么 a 至少会被 p1 的一个数“处理”掉。
让我们重新审视 p=a² 的情况，并且 a>2。
p = a²。因子 a 存在于 (p1)! 中。
我们需要找另一个因子 b，使得 ab 也是 p 的倍数。
如果存在一个 b，使得 ab = ka (其中 k 为整数)，并且 b ≠ a 且 b < p，那么 p=(p1)! 的倍数。
考虑 p = a²，其中 a > 2。
那么 a < a² = p。
2a < a² = p (因为 a > 2)。
所以，a 和 2a 都是小于 p 的整数。
它们都会出现在 (p1)! 的连乘项里：1 × 2 × ... × a × ... × 2a × ... × (a²1)。
那么 (p1)! 包含因子 a 和因子 2a。
(p1)! 含有 a × (2a) = 2a² = 2p。
因此，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
这证明了所有合数 p = a² 且 a > 2，都满足 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
总结一下合数的情况：
1. 如果 p 是合数且 p ≠ 4：
若 p 有两个不同的因子 a, b (1 < a < b < p)：则 a 和 b 都在 (p1)! 中，所以 ab=p 是 (p1)! 的因子，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
若 p 是一个合数的平方，p = a²，且 a > 2：则 a 和 2a 都小于 p 且不同（因为 a>2），它们都在 (p1)! 中，所以 a × 2a = 2a² = 2p 是 (p1)! 的因子，(p1)! ≡ 0 (mod p)。
所以，对于所有大于 4 的合数 p，我们都有 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
0 永远不等于 1 (mod p)，因为 1 (mod p) 等于 p1 (mod p)，而 p1 是不可能等于 0 的（因为 p > 1）。
那么，p=4 这个“例外”到底怎么来的？
p=4 是唯一的合数，对于它，(p1)! ≡ 2 (mod 4)。
它不满足 (p1)! ≡ 1 (mod p) 的结论，但它也不是 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
质数 p：(p1)! ≡ 1 (mod p)
合数 p > 4：(p1)! ≡ 0 (mod p)
合数 p = 4：(p1)! ≡ 2 (mod 4)
所以，p=4 是一个独特的“不满足威尔逊定理结论”的合数，它不属于“大部分合数”的模式 (p1)! ≡ 0 (mod p)。
“是否存在其他非质数的例外？”
如果“例外”指的是不满足威尔逊定理结论 ((p1)! ≡ 1 (mod p)) 的非质数，那么：
p=4 是一个这样的“例外”。它不是质数，并且 (41)! ≡ 2 (mod 4) ≠ 1 (mod 4)。
所有大于 4 的合数也是这样的“例外”。它们不是质数，并且 (p1)! ≡ 0 (mod p) ≠ 1 (mod p)。
所以，从这个角度看，p=4 并不是一个“孤立”的例外。实际上，所有大于 4 的合数也都不满足 (p1)! ≡ 1 (mod p)。
威尔逊定理的精髓在于其“当且仅当”的性质。它告诉我们，想要得到余数 1 (mod p) 的，只有质数 p。而 p=4 以及其他合数，都没有这个能力。它们要么得到余数 0 (大多数合数)，要么得到像 4 这样的特殊余数 2。
为什么历史上会特别提到 p=4 作为“例外”？
这可能源于对定理证明过程的分析。当人们试图证明威尔逊定理时，通常会将质数和合数分开讨论。
质数的证明依赖于模 p 的乘法群结构，其中每个非零元素都有唯一的逆元。
对于合数 p > 4，可以利用 p 的因子来构造出 (p1)! 中的因子乘积恰好是 p 的倍数。
而 p=4 的情况，是唯一一个“卡在中间”的合数，它的因子 2 出现了，但它不是 p 的因子（14 = 4，22 = 4）。
在 (41)! = 1 × 2 × 3 中，因子 2 是存在的，但它自己并没有被 p=4 整除。而且，由于 p=4 只有一个因子 2 (除去 1 和它本身)，所以 p=4 没有两个不同的因子 a, b 使得 ab=p 出现在 (p1)! 中。它也不是形如 a² (a>2) 的合数。
所以，p=4 的情况在某些证明策略下，需要特别被拎出来单独处理，因为它不落入“p 有两个不同因子 ab=p”的逻辑链条里，也不落入“p=a² (a>2) 有因子 a 和 2a”的逻辑链条里。
总而言之，威尔逊定理是一个关于质数的特征性判据。p=4 并不是威尔逊定理的“例外”，而是一个不满足定理结论的合数。从这个意义上讲，所有大于 4 的合数也都是不满足定理结论的“非质数”。只有质数，才拥有产生余数 1 (mod p) 的特殊能力。
网友意见
题主的视力堪忧……原句是这样的：
With the sole exception of 4, where 3! = 6 ≡ 2 (mod 4), if n is composite then (n − 1)! is congruent to 0 (mod n).
译：对于合数n，除了n=4时有3! = 6 ≡ 2 (mod 4)之外，总是有(n-1)! ≡ 0 (mod n)。
本来就没在说质数啊……至于证明就在这一段的后面：
The proof is divided into two cases: First, if n can be factored as the product of two unequal numbers, n =ab, where 2 ≤ a<b ≤ n − 2, then both a and b will appear in the product1 × 2 × ... × (n -1) = (n -1)!and (n − 1)! will be divisible by n. If n has no such factorization, then it must be the square of some prime q, q > 2. But then 2q < q2 = n, both q and 2q will be factors of (n − 1)!, and again n divides (n − 1)!.
若n为合数，则n可以写成两个小于n的数的乘积：n = ab
1) 若a不等于b，那么a和b都出现在(n-1)!中，于是n|(n-1)!
2) 若不存在a不等于b的分解，这意味着n是质数q的平方，当n>4时，q>2，于是q和2q都出现在(n-1)!中，于是n| (n-1)!。
唯一的例外就是n=4，此时q=2，在1、2、3中质因数2只出现了一次。
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行，咱们就聊聊威尔·史密斯这趟《光灵》之旅。这片子啊，说是他“新片”，其实也上映有些年头了，但只要一提到威尔·史密斯，这片子就绕不开。咋说呢，这就像是你吃了一道菜，味道挺特别，虽然不是你的最爱，但多少也留下了点印象。《光灵》（Bright），你可以把它想象成是那种“设定很有趣，但玩得没那么溜”的电影.............
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《国王理查德》这部电影，在我看来，绝对是一部值得细细品味的佳作。它不只是讲述了网球明星大小威廉姆斯姐妹的崛起，更深层次地挖掘了一个父亲，理查德·威廉姆斯，那种近乎偏执的爱与坚持，以及他为了女儿们未来所付出的常人难以想象的努力。看完电影，我脑海里挥之不去的是理查德那张饱经风霜却又充满力量的脸。威尔·史.............
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利威尔对艾尔文团长的感情，与其说是单纯的战友情，不如说是一种复杂而深刻的羁绊，这种羁绊贯穿了他们从相遇到生死的整个过程。如果要细致地评价，我觉得需要从几个层面去理解：1. 建立在绝对信任与相互扶持之上的战友情：刚认识的时候，利威尔还是一个街头混混，艾尔文团长却看到了他身上非凡的才能和潜质，不惜花费巨.............
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利威尔兵长，这个在《进击的巨人》中令人印象深刻的角色，以其冷峻外表下隐藏的坚韧、对部下的责任感、以及对正义的执着而闻名。想要构建出类似利威尔兵长那样的价值观，并不是一件容易的事，它需要我们深入剖析他的人生经历、核心驱动力以及他对周围世界的看法。这不是简单的模仿，而是理解他之所以是他，以及如何将这种精.............
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威尔士在中世纪时期，从罗马不列颠那里继承了相当多，但过程绝非简单的“照搬”，而是一种复杂的、充满地方特色的融合与演变。罗马人的统治虽然不算长久，却在不列颠留下了深刻的烙印，尤其是在它们统治的核心区域。当罗马撤离，本土的凯尔特文化（尤其是威尔士地区的凯尔特文化）重新抬头，但他们并非凭空开始，而是带着罗.............
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