神经网络的万能逼近定理已经发展到什么地步了？
神经网络的万能逼近定理（Universal Approximation Theorem, UAT）是一个里程碑式的理论成果，它表明一个具有足够多隐藏单元的单层前馈神经网络在理论上可以以任意精度逼近任何连续函数。这个定理极大地激发了人们对神经网络研究的兴趣，并推动了其在各个领域的广泛应用。
然而，UAT 的发展并非一成不变，它经历了多个阶段，并在不同的角度上得到了深化和拓展。下面我将详细地介绍神经网络万能逼近定理的发展历程和现状：
1. 初期的奠基工作：Minsky & Papert (1969) 和 Cybenko (1989)
Minsky & Papert 的《Perceptrons》: 尽管这本书主要关注单层感知机，并且指出了其局限性（例如无法解决 XOR 问题），但其中也埋下了对更复杂网络潜力的探讨。他们的工作强调了网络结构和能力的重要性。
Cybenko (1989) 的突破: 这是第一个真正意义上提出并证明了具有单隐藏层的、使用 sigmoid 作为激活函数的 前馈神经网络 可以逼近任何连续函数（在紧集上）的定理。
定理内容: 对于任何在紧集 $K subset mathbb{R}^d$ 上的连续函数 $f$，以及任意 $epsilon > 0$，存在一个具有单隐藏层的、使用sigmoid激活函数的神经网络 $N(x)$，使得对于所有 $x in K$，都有 $|N(x) f(x)| < epsilon$。
关键点:
单隐藏层: 这是早期的突破性成果。
Sigmoid 激活函数: 当时最常用的激活函数之一。
紧集上的连续函数: 对函数的类型有一定要求。
逼近能力，而非学习能力: 定理证明的是“存在”这样的网络，但并没有说明如何找到它，也没有涉及学习过程中的泛化能力。
2. 激活函数的扩展与更严格的证明：Hornik, Stinchcombe, & White (1989, 1990)
Hornik 等人的贡献: 他们将 Cybenko 的结果进行了推广，证明了 非多项式激活函数（如 sigmoid、ReLU、tanh 等）也能赋予神经网络强大的逼近能力。
定理内容: 对于任何在紧集 $K subset mathbb{R}^d$ 上的连续函数 $f$，以及任意 $epsilon > 0$，只要激活函数 $sigma$ 满足某些条件（例如连续且不为常数），并且隐藏层神经元数量足够，那么就存在一个具有单隐藏层的神经网络可以任意精度逼近 $f$。
关键点:
激活函数的通用性: 强调了激活函数的“非多项式”特性是关键，而不是特指 sigmoid。
更具普遍性的条件: 对激活函数提出了一些更通用的要求，为后来的 ReLU 等激活函数奠定了理论基础。
3. 多层网络的逼近能力：Leshno, Li, Mikami, & Royal (1993)
多层网络的优势: 实际应用中，多层网络（深度网络）比单层网络更常见且更有效。Leshno 等人的工作证明了多层神经网络也具备万能逼近能力。
定理内容: 即使是具有 单隐藏层 的神经网络，如果激活函数不是多项式的（例如具有分段线性的 ReLU），它也可以逼近任何连续函数。更重要的是，他们也证明了 多层神经网络 在具有适当激活函数的情况下同样具有万能逼近能力。
关键点:
对 ReLU 等分段线性激活函数的适用性: 这是非常重要的一点，因为 ReLU 在现代深度学习中占据主导地位。
理解了“深度”的潜力: 虽然定理本身并没有直接说“越深越好”，但它为多层结构提供了理论支撑。
4. UAT 的局限性与现实的差距
尽管 UAT 具有重要的理论意义，但它也存在一些明显的局限性，这些局限性也促使了后续的研究和发展：
隐藏层神经元数量的“爆炸性”增长: 早期 UAT 的证明往往需要非常多的隐藏层神经元，其数量可能与函数本身的复杂度呈指数关系。这意味着理论上可行的网络在实际中可能过于庞大，难以训练。
对学习过程和泛化能力的忽视: UAT 只说明了“存在”一个逼近网络，但没有说明如何找到它（即学习算法），也没有讨论学习到的网络的泛化能力。一个过拟合的单层网络也可以在训练集上逼近函数，但无法泛化到新数据。
对网络结构的依赖性不明确: 定理通常针对的是前馈神经网络，对于循环神经网络（RNN）或卷积神经网络（CNN）等更复杂的结构，其逼近能力需要更具体地分析。
激活函数的选择和分布问题: 虽然证明了非多项式激活函数的通用性，但对于特定的函数，最优的激活函数和其参数的分布仍然是研究的重点。
5. UAT 的现代发展与延伸
基于上述局限性，现代对 UAT 的研究主要集中在以下几个方面：
更有效的逼近（Efficient Approximation）:
网络宽度与深度的权衡: 研究如何利用网络的 深度 来更有效地逼近函数，而不是仅仅增加隐藏层神经元的数量。许多研究表明，深度网络可以使用更少的参数实现与宽网络相当甚至更好的逼近效果。
结构化逼近: 研究特定结构的神经网络（如 CNN、RNN、Transformer）如何有效地逼近特定类型的函数（如图像的局部相关性、序列的依赖性）。例如，CNN 的卷积核可以看作是在局部区域学习特定的函数模式。
稀疏表示与压缩感知: 将逼近问题与稀疏性联系起来，研究如何用更少的“激活”神经元来表示复杂的函数。
与学习算法的结合（Connection to Learning Algorithms）:
梯度下降的收敛性: 研究在实践中广泛使用的梯度下降等优化算法，能否在理论上收敛到逼近复杂函数的解。尽管存在局部最小值和鞍点问题，但许多研究表明，在实践中这些算法通常能找到性能不错的解决方案。
泛化能力的理论分析: 这是现代深度学习理论的核心问题之一。研究 UAT 是否能解释为什么具有大量参数的深度网络在训练集上表现良好，并且在新数据上也能表现良好。这涉及到 VC 维、Rademacher 复杂度、信息论等多种理论工具。
过参数化（Overparameterization）的优势: 现代研究发现，过度参数化的网络（参数数量远超函数复杂度所需）反而能够更好地学习和泛化。UAT 本身并未直接解释这一点，但它为理解过参数化网络的潜力提供了基础。
特定函数类与特定网络结构的逼近能力:
多项式逼近: 研究具有多项式激活函数的网络，其逼近能力与非多项式函数相比如何。
Lipschitz 函数、凸函数等特定函数类的逼近: 分析不同类型的网络结构和激活函数对逼近特定函数类的效率和能力的影响。
循环神经网络（RNN）和长短期记忆网络（LSTM）: 研究它们逼近时序函数的能力，以及它们在处理无限长度序列时的逼近性质。
卷积神经网络（CNN）: CNN 的局部连接和权值共享特性使其在处理具有空间层次结构的函数时非常高效。研究表明 CNN 能够有效地逼近图像中的局部模式和不变性特征。
Transformer 模型: Transformer 的注意力机制使其能够捕捉输入序列中任意两个元素之间的关系，这使其在处理长距离依赖性方面表现出色，并对更广泛的函数类具有很强的逼近能力。
概率逼近（Probabilistic Approximation）与生成模型:
参数化概率分布的逼近: 研究神经网络如何逼近复杂的概率分布，这对于生成模型（如 GANs, VAEs）至关重要。UAT 的思想可以扩展到逼近概率密度函数。
条件概率的逼近: 研究神经网络如何学习条件概率分布 $P(Y|X)$，这是监督学习的基础。
有限精度逼近与数值稳定性:
浮点表示的限制: 实际计算中，数值是有限精度的，这会对逼近精度产生影响。研究如何设计网络结构和激活函数，使其在有限精度下仍能保持较好的逼近能力。
梯度消失/爆炸问题: 在深度网络中，梯度计算可能面临数值不稳定问题，这也会影响到网络的训练和逼近能力。
总结
神经网络的万能逼近定理从最初证明了单层网络的基本逼近能力，发展到现在对多层网络、不同激活函数、以及与学习算法的结合进行了深入的研究。现代发展更注重：
效率性: 如何用更少的参数和更深的网络实现更高效的逼近。
可学习性: 如何设计网络结构和激活函数，使其能够通过有效的学习算法（如梯度下降）找到逼近解。
泛化性: 如何确保学习到的网络不仅能逼近训练数据，还能在新数据上表现良好。
特定性: 如何针对不同类型的函数和数据结构设计专门的网络架构（如 CNN、RNN、Transformer）。
可以说，UAT 已经从一个“存在性”的理论，逐渐演变成了一个指导我们设计更有效、更易于学习且具有良好泛化能力的神经网络的理论基础。它仍然是神经网络研究的基石，并且随着深度学习技术的不断进步，其理论内涵也在不断被丰富和拓展。
然而，UAT 的发展并非一成不变，它经历了多个阶段，并在不同的角度上得到了深化和拓展。下面我将详细地介绍神经网络万能逼近定理的发展历程和现状：
1. 初期的奠基工作：Minsky & Papert (1969) 和 Cybenko (1989)
Minsky & Papert 的《Perceptrons》: 尽管这本书主要关注单层感知机，并且指出了其局限性（例如无法解决 XOR 问题），但其中也埋下了对更复杂网络潜力的探讨。他们的工作强调了网络结构和能力的重要性。
Cybenko (1989) 的突破: 这是第一个真正意义上提出并证明了具有单隐藏层的、使用 sigmoid 作为激活函数的 前馈神经网络 可以逼近任何连续函数（在紧集上）的定理。
定理内容: 对于任何在紧集 $K subset mathbb{R}^d$ 上的连续函数 $f$，以及任意 $epsilon > 0$，存在一个具有单隐藏层的、使用sigmoid激活函数的神经网络 $N(x)$，使得对于所有 $x in K$，都有 $|N(x) f(x)| < epsilon$。
关键点:
单隐藏层: 这是早期的突破性成果。
Sigmoid 激活函数: 当时最常用的激活函数之一。
紧集上的连续函数: 对函数的类型有一定要求。
逼近能力，而非学习能力: 定理证明的是“存在”这样的网络，但并没有说明如何找到它，也没有涉及学习过程中的泛化能力。
2. 激活函数的扩展与更严格的证明：Hornik, Stinchcombe, & White (1989, 1990)
Hornik 等人的贡献: 他们将 Cybenko 的结果进行了推广，证明了 非多项式激活函数（如 sigmoid、ReLU、tanh 等）也能赋予神经网络强大的逼近能力。
定理内容: 对于任何在紧集 $K subset mathbb{R}^d$ 上的连续函数 $f$，以及任意 $epsilon > 0$，只要激活函数 $sigma$ 满足某些条件（例如连续且不为常数），并且隐藏层神经元数量足够，那么就存在一个具有单隐藏层的神经网络可以任意精度逼近 $f$。
关键点:
激活函数的通用性: 强调了激活函数的“非多项式”特性是关键，而不是特指 sigmoid。
更具普遍性的条件: 对激活函数提出了一些更通用的要求，为后来的 ReLU 等激活函数奠定了理论基础。
3. 多层网络的逼近能力：Leshno, Li, Mikami, & Royal (1993)
多层网络的优势: 实际应用中，多层网络（深度网络）比单层网络更常见且更有效。Leshno 等人的工作证明了多层神经网络也具备万能逼近能力。
定理内容: 即使是具有 单隐藏层 的神经网络，如果激活函数不是多项式的（例如具有分段线性的 ReLU），它也可以逼近任何连续函数。更重要的是，他们也证明了 多层神经网络 在具有适当激活函数的情况下同样具有万能逼近能力。
关键点:
对 ReLU 等分段线性激活函数的适用性: 这是非常重要的一点，因为 ReLU 在现代深度学习中占据主导地位。
理解了“深度”的潜力: 虽然定理本身并没有直接说“越深越好”，但它为多层结构提供了理论支撑。
4. UAT 的局限性与现实的差距
尽管 UAT 具有重要的理论意义，但它也存在一些明显的局限性，这些局限性也促使了后续的研究和发展：
隐藏层神经元数量的“爆炸性”增长: 早期 UAT 的证明往往需要非常多的隐藏层神经元，其数量可能与函数本身的复杂度呈指数关系。这意味着理论上可行的网络在实际中可能过于庞大，难以训练。
对学习过程和泛化能力的忽视: UAT 只说明了“存在”一个逼近网络，但没有说明如何找到它（即学习算法），也没有讨论学习到的网络的泛化能力。一个过拟合的单层网络也可以在训练集上逼近函数，但无法泛化到新数据。
对网络结构的依赖性不明确: 定理通常针对的是前馈神经网络，对于循环神经网络（RNN）或卷积神经网络（CNN）等更复杂的结构，其逼近能力需要更具体地分析。
激活函数的选择和分布问题: 虽然证明了非多项式激活函数的通用性，但对于特定的函数，最优的激活函数和其参数的分布仍然是研究的重点。
5. UAT 的现代发展与延伸
基于上述局限性，现代对 UAT 的研究主要集中在以下几个方面：
更有效的逼近（Efficient Approximation）:
网络宽度与深度的权衡: 研究如何利用网络的 深度 来更有效地逼近函数，而不是仅仅增加隐藏层神经元的数量。许多研究表明，深度网络可以使用更少的参数实现与宽网络相当甚至更好的逼近效果。
结构化逼近: 研究特定结构的神经网络（如 CNN、RNN、Transformer）如何有效地逼近特定类型的函数（如图像的局部相关性、序列的依赖性）。例如，CNN 的卷积核可以看作是在局部区域学习特定的函数模式。
稀疏表示与压缩感知: 将逼近问题与稀疏性联系起来，研究如何用更少的“激活”神经元来表示复杂的函数。
与学习算法的结合（Connection to Learning Algorithms）:
梯度下降的收敛性: 研究在实践中广泛使用的梯度下降等优化算法，能否在理论上收敛到逼近复杂函数的解。尽管存在局部最小值和鞍点问题，但许多研究表明，在实践中这些算法通常能找到性能不错的解决方案。
泛化能力的理论分析: 这是现代深度学习理论的核心问题之一。研究 UAT 是否能解释为什么具有大量参数的深度网络在训练集上表现良好，并且在新数据上也能表现良好。这涉及到 VC 维、Rademacher 复杂度、信息论等多种理论工具。
过参数化（Overparameterization）的优势: 现代研究发现，过度参数化的网络（参数数量远超函数复杂度所需）反而能够更好地学习和泛化。UAT 本身并未直接解释这一点，但它为理解过参数化网络的潜力提供了基础。
特定函数类与特定网络结构的逼近能力:
多项式逼近: 研究具有多项式激活函数的网络，其逼近能力与非多项式函数相比如何。
Lipschitz 函数、凸函数等特定函数类的逼近: 分析不同类型的网络结构和激活函数对逼近特定函数类的效率和能力的影响。
循环神经网络（RNN）和长短期记忆网络（LSTM）: 研究它们逼近时序函数的能力，以及它们在处理无限长度序列时的逼近性质。
卷积神经网络（CNN）: CNN 的局部连接和权值共享特性使其在处理具有空间层次结构的函数时非常高效。研究表明 CNN 能够有效地逼近图像中的局部模式和不变性特征。
Transformer 模型: Transformer 的注意力机制使其能够捕捉输入序列中任意两个元素之间的关系，这使其在处理长距离依赖性方面表现出色，并对更广泛的函数类具有很强的逼近能力。
概率逼近（Probabilistic Approximation）与生成模型:
参数化概率分布的逼近: 研究神经网络如何逼近复杂的概率分布，这对于生成模型（如 GANs, VAEs）至关重要。UAT 的思想可以扩展到逼近概率密度函数。
条件概率的逼近: 研究神经网络如何学习条件概率分布 $P(Y|X)$，这是监督学习的基础。
有限精度逼近与数值稳定性:
浮点表示的限制: 实际计算中，数值是有限精度的，这会对逼近精度产生影响。研究如何设计网络结构和激活函数，使其在有限精度下仍能保持较好的逼近能力。
梯度消失/爆炸问题: 在深度网络中，梯度计算可能面临数值不稳定问题，这也会影响到网络的训练和逼近能力。
总结
神经网络的万能逼近定理从最初证明了单层网络的基本逼近能力，发展到现在对多层网络、不同激活函数、以及与学习算法的结合进行了深入的研究。现代发展更注重：
效率性: 如何用更少的参数和更深的网络实现更高效的逼近。
可学习性: 如何设计网络结构和激活函数，使其能够通过有效的学习算法（如梯度下降）找到逼近解。
泛化性: 如何确保学习到的网络不仅能逼近训练数据，还能在新数据上表现良好。
特定性: 如何针对不同类型的函数和数据结构设计专门的网络架构（如 CNN、RNN、Transformer）。
可以说，UAT 已经从一个“存在性”的理论，逐渐演变成了一个指导我们设计更有效、更易于学习且具有良好泛化能力的神经网络的理论基础。它仍然是神经网络研究的基石，并且随着深度学习技术的不断进步，其理论内涵也在不断被丰富和拓展。
网友意见
简而言之, 自 Hornik 在 1991 年证明三层神经网络的表示能力比两层神经网络有优越性 (关于参数个数的 exponential separation) 之后, 过了将近三十年, 证明四层神经网络和三层神经网络之间的表示能力的 separation 仍然是 open problem.
2020 年 7 月补: 几周前 Gal Vardi 和 Ohad Shamir 证明了对某些类型的神经网络, 用 层的多项式规模网络需要任意大的 weight, 但是用 层的多项式规模网络只需要多项式大小的 weight:
看起来除了广为人知的三层比两层的网络有优越性的结果外, 此前最好的结果是多项式层的网络比常数层有优越性.
我从没做过 learning theory 但是上过两门课, 第二门大概就是体验被神经网络支配的恐惧吧 -- 其中一部分的讲的主要结果, 是 Amit Daniely 自己搞的三层神经网络的表示能力比两层有优越性的简化证明 (COLT 2017):
尽管 Hornik theorem 是 1991 年的工作, 但看起来似乎是经久不衰的 topic. 这定理大体是说存在一些函数 (满足某些分布), 用三层的神经网络来表示只需要多项式个参数, 但是用两层的神经网络来表示则需要指数个参数, 不同工作的细节 (比如说哪些函数关于哪些分布能做 separation, 证明本身用到了哪些技术) 上会有一些出入.
我试着胡扯几句证明相关的 -- 论文里说用了球面上的调和分析, 其实上课的时候的打开方式稍有不同. 机器学习里常见的一个东西叫做 reproducing kernel Hilbert space, 这里有关于 reproducing kernel function 的一一对应关系. RKHS 当然是个内积空间, 下面的打开方式就不太常见了 -- 有作用 (action) 的地方都可以找个群, 如果定义在集合 X 上的 reproducing kernel function 是关于有限交换群 G 保持不变的话, 那么可以证明对应的 RKHS 是 G 的群表示. 借助有限群的表示 (特征标理论), 我们还可以知道一些这个 RKHS 的结构, 做合适的 normalization 之后, 就可以看到这些 reproducing kernel functions 是正交多项式. 不同的集合 X 和群 G 对应不同的正交多项式, 比如说跟球面有关的球谐函数 (spherical harmonics). 在此基础上, 可以定义 random feature scheme (跟某个概率分布有关的内积空间), 然后就可以讨论具体函数和它的 random feature scheme 近似之间的关系, 在此基础上可以给出 Hornik theorem 的简化证明 (通过一系列不等式).
这课的最后一节给了一些 open problems, 多是一些听起来在技术上细枝末节的题目, 比如说如何做四层和三层的神经网络的 separation -- 是的, 过了将近三十年这玩意竟然还是 open problem......
作为脚注的是, 真不知道我当时是如何在完全看不懂的情况下写完作业的 (x
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