梯度下降法的神经网络容易收敛到局部最优，为什么应用广泛？
这个问题触及了深度学习实践的核心，也解释了为何看似“不完美”的梯度下降法及其变种，能够支撑起如今令人惊叹的AI能力。表面上看，梯度下降法的目标是找到损失函数的全局最小值，但理论上，它确实有可能在多维、高度非线性的损失曲面上“卡”在一个局部最优解，而这个解远非最佳。那么，为什么我们依然广泛使用它呢？答案并非单一，而是由多个关键因素共同决定的。
1. 局部最优解本身往往足够优秀（“足够好”的局部最优）
这是最根本的原因。虽然我们追求全局最优，但在实际应用中，很多时候一个“足够好”的局部最优解已经能够带来非常出色的性能。想象一下，你在爬一座非常高的山，目标是山顶（全局最优）。但如果你只是想从山脚下到达一个视野开阔、能看到远处景色的山腰（一个好的局部最优），可能已经花费了你大量的时间和精力。
在深度神经网络的损失函数上，情况也类似。这些损失函数通常具有非常复杂的形状，但研究表明，在很多情况下，一个训练得到的局部最优解，其损失值与理论上的全局最优解可能相差无几，或者说，它所对应的模型参数，已经能够很好地学习到数据中的模式和特征，从而在任务上表现出色。
举个例子：
图像识别： 即使一个模型没有找到识别所有猫和狗的“终极”方法，但只要它能以95%以上的准确率区分它们，这已经足以满足绝大多数应用的需求，比如自动相册分类、安防监控等。
自然语言处理： 对于机器翻译，即使模型没有找到语法最完美、语义最地道的表达方式，但只要它能生成可理解、信息准确的句子，就已经是巨大的进步。
因此，虽然理论上存在全局最优，但在实践中，我们往往能获得一个虽然不是“最好”但“足够好”的解，足以解决现实世界的问题。
2. 损失函数的“糟糕”区域并不普遍
深度学习模型，尤其是在具有大量参数的现代神经网络中，其损失函数在参数空间中的表现极其复杂。但幸运的是，并非所有区域都充斥着“陷阱”。研究发现，在许多实际训练中，损失函数的“糟糕”局部最优解（即损失值远高于全局最优）实际上是相对稀疏的。
大多数情况下，我们遇到的局部最优解，其损失值与全局最优解的差异并不大。换句话说，梯度下降法在“糟糕”的局部最小值处停留的可能性，远低于它在“不错”的局部最小值或鞍点处停留的可能性。
“糟糕”的局部最小值 vs. “不错”的局部最小值：
糟糕的局部最小值： 损失值很高，模型表现很差。
不错的局部最小值： 损失值较低，模型表现良好，接近全局最优。
深度神经网络的损失函数曲面更像是一系列“山谷”，而“糟糕”的局部最优只是少数几个非常浅、非常狭窄的山谷。大部分山谷的底部都相对较深，并且连在一起，形成了一个平坦的区域，使得梯度下降法更容易“滑”到这些更优的山谷中。
3. 鞍点比局部最小值更普遍，但更容易逃离
关于局部最优的担忧，很大程度上源于理论上的分析。但实际上，在深度学习的参数空间中，鞍点（Saddle Points） 比真正的局部最小值更为普遍。鞍点是指函数在该点梯度为零，但它不是局部最小值或最大值，而是一个“马鞍”形状。
为什么鞍点比局部最小值更普遍？这是因为在神经网络的高维参数空间中，参数的微小变化可能导致损失函数的复杂变化。在一个方向上可能是在下降，但在另一个方向上可能是在上升，形成一个鞍点。
为什么鞍点不是大问题？
逃离鞍点： 梯度下降法的更新规则（即使是原始的SGD）在面对鞍点时，通常能够利用噪声或者微小的梯度偏差来“越过”鞍点，继续向更低损失的区域前进。
动量方法： 像Adam、RMSprop、SGD with Momentum等动量加速的梯度下降变种，它们通过累积过去的梯度信息，能够有效地“冲过”鞍点，继续向更优解前进。这些动量项本质上帮助模型在遇到平坦区域或鞍点时保持前进的方向和速度，从而加速逃离。
对比局部最小值： 理论上，一旦进入一个局部最小值，梯度为零，模型就会停止更新。但在高维空间中，真正的局部最小值往往很“窄”，模型很难精确地“掉”进去。而鞍点则更容易遇到，也更容易被动量方法“甩掉”。
4. 梯度下降的实际实现和变种
我们今天广泛使用的“梯度下降”早已不是最初的那个简单概念，而是发展出了一系列高效的优化算法。这些算法通过引入动量、自适应学习率等机制，极大地改善了模型的收敛性能，并降低了陷入“糟糕”局部最优的风险。
SGD with Momentum (带动量): 累积过去的梯度信息，帮助模型加速和“越过”平坦区域或鞍点。
RMSprop / Adagrad: 根据参数的更新历史，为每个参数调整学习率，使得更新不那么容易在某些方向上“卡住”。
Adam (自适应矩估计): 结合了动量和自适应学习率的思想，是目前最常用的优化器之一。Adam通过估计梯度的二阶矩，能够更有效地处理不同尺度的梯度，从而更好地导航复杂的损失曲面。
这些变种算法在实践中表现出了惊人的鲁棒性，它们能够有效地引导模型在复杂的损失曲面上找到接近全局最优的解。
5. 模型的正则化和初始化
除了优化算法本身，模型的结构、正则化技术以及参数的初始化方式，也对梯度下降法的收敛行为有重要影响。
正则化 (Regularization): L1/L2正则化、Dropout等技术，它们的作用之一就是“平滑”损失函数曲面，减少高频的剧烈变化，从而降低陷入狭窄、尖锐的局部最优的风险。
初始化 (Initialization): 合适的权重初始化（如Xavier、He初始化）能够确保在训练初期，模型处于一个相对“平坦”的区域，梯度信息更有效，避免一开始就陷入深邃的局部最小值。
这些技术共同作用，使得梯度下降法在实践中能够更稳定地找到一个好的解决方案。
6. 泛化能力与局部最优解的关系
这是一个更深层次的观察。在深度学习领域，我们最终追求的是模型的泛化能力（Generalization Ability），即模型在新数据上的表现。令人惊讶的是，研究发现，在许多情况下，那些“足够好”的局部最优解，往往也具有更好的泛化能力。
这意味着，即使我们找到了一个损失值非常低的局部最优解，如果它导致模型过拟合了训练数据（即在训练集上表现极好，但在新数据上表现差），那么这个解并不是我们想要的。而那些恰好能被梯度下降法找到的局部最优解，可能恰恰是在模型复杂度、训练数据和噪声之间找到了一个良好的平衡点，从而带来了更好的泛化能力。
为什么局部最优解可能具有更好的泛化能力？
“平坦”的最小值： 相对而言，“平坦”的局部最小值（即损失函数在最小值附近变化缓慢）通常比“尖锐”的局部最小值具有更好的泛化能力。因为在平坦区域，模型参数的小幅扰动（相当于在测试数据上的微小差异）不会导致损失值发生剧烈变化。梯度下降法的动量和自适应学习率机制，更有可能将模型引向这些平坦的区域。
正则化的作用： 正则化技术本身也在鼓励模型寻找更平坦的最小值，这间接促进了泛化能力的提升。
总结
所以，虽然理论上梯度下降法可能陷入局部最优，但它之所以应用广泛，是因为：
1. “足够好”的局部最优解通常已经满足了实际应用的需求。
2. 深度学习的损失函数在大多数情况下，其“糟糕”的局部最小值区域并不普遍，并且存在大量“不错”的、接近全局最优的解决方案。
3. 鞍点比真正的局部最小值更普遍，而动量和自适应学习率等变种算法能够有效地逃离鞍点。
4. 现代梯度下降的变种算法（如Adam）在实践中表现出强大的导航能力。
5. 正则化和初始化等技术辅助了收敛过程，降低了陷入不良局部最优的风险。
6. 很多时候，能被梯度下降法找到的局部最优解，恰恰也拥有更好的泛化能力。
因此，尽管“局部最优”的帽子依然扣在梯度下降法头上，但它的强大生命力，正是源于其在实践中表现出的“够用”的性能、优良的鲁棒性以及与模型泛化能力之间的微妙联系。我们并非不在乎全局最优，而是因为在复杂的世界里，找到一个“足够好”并且可靠的解决方案，比漫无目的地追求理论上的完美，更具价值。
网友意见
因为你的直觉是错的。
你以为你所优化的神经网络参数空间可能会像下图一样陷入local minima：
但实际上在高维空间中绝大多数梯度值为0的点不是上图所示的local minima，而是saddle point（我们在将低维空间中的直觉想当然地推广到高维时出现了问题）：
假设在一个20,000维的参数空间中，如果某个点梯度值为0，那么在每个方向上既可以是凸（convex）函数也可以是凹（concave）函数（如下图所示）。但要想该点成为local minima的话，所有的20,000个方向都必须是凸的，在神经网络构成的巨大的参数空间中，这个概率是十分小的。
更详细的解释可以参看：
这是Deep Learning Theory里很基本也很核心的一个问题。
在这个问题上，初学者容易被入门教学误导，非此研究方向的业内人士也容易有过时的认知。
首先问题描述不够准确。
更准确的说法是——
（1）正因为梯度下降法容易收敛到局部最优，所以大家几乎从来不用梯度下降做非凸优化，包括训练神经网络。
（2）正因为随机梯度下降法容易逃离鞍点和泛化不好的minima（主要是sharp minima），所以随机梯度下降（SGD）和它的变种（比如Momentun、Adam）才是训练神经网络最流行的方法。
鞍点（saddle points）和泛化不好的最优点（bad/sharp minima）在深度学习里的确是广泛存在的。但这是神经网络复杂的loss landscape带来的问题，而不是优化器带来的问题。反而，优化器是来解决问题的。
正因为saddle points和bad minima太多了，所以你才太需要随机优化了。
有很多问题在深度学习理论里有和传统机器学习和最优化理论完全不一样的解答。很多传统观点在深度学习里都是值得怀疑的。很少有教材会强调这件事或者指出它们的不同。于是就有一个很尴尬的现象。很多深度学习入门的教材和课程里面混合了大量传统机器学习的观点和最优化理论的观点。大量的博客和科普文章更是剪不断、理还乱。
(另一个常见误解是模型大小对泛化的影响：https://www.zhihu.com/question/434846017/answer/1651711327)
这也不奇怪。因为深度学习理论的进展主要藏在最近几年的论文里，可能还要很长时间才能进入英文教材，还需要更长的时间才能进入中文教材。
归纳一下：
优化理论里大家更在乎的是到critical points的收敛性，梯度逐渐收敛到0即可。至于是找到minima还是saddle points，超纲了。
机器学习里大家在乎是找到的是global minima，还是local minima。local minima意味着training loss还比较高，还没优化到位。但是global minima还是local minima在深度学习里不重要，因为所有的minima对应的loss都差不多小[1]。
深度学习里，大家很在乎saddle points附近的动力学（影响优化），大家非常在乎flat minima还是sharp minima（影响泛化）。因为saddle points附近的优化会非常慢，而minima flatness对深度学习泛化界的影响非常大。
(Note: 鞍点逃逸问题一般指的是逃离 -first-order stationary points，其实是鞍点附近、梯度很小的区域，而不是梯度严格等于0的点。)
所以深度学习动力学有两个非常值得研究的核心问题：
一，怎么快速逃离鞍点；
二，怎么逃离sharp minima找到flat minima。
其理论价值是，我们可以更好地理解深度神经网络的训练过程。其实践价值是，我们可以更有依据地调参或者设计新的随机优化器。
很幸运的是，SGD为代表的随机优化器在这两个问题里都有相当好的性质。
直觉上的理解其实很简单——在随机梯度噪音扰动下，优化器可以加速逃离鞍点，也可以加速逃离sharp minima。
一般的意义上的回答就到这里就结束了。但这个回答只是定性的，还不够好，因为我们不能量化地预测SGD的行为。
就像我们都知道苹果会掉在地上，但我们还需要牛顿力学来准确语言苹果是如何掉在地上的。现在的深度学习理论的完善程度差不多相当于牛顿前的运动学，主要靠经验和定性的结论。俗称“炼丹“，便是如此。
如果想更深（shu）入（xue）地理解这个问题，我正好可以介绍一下这个方向的最新进展。正好是我们组的一个系列工作的其中一篇SGD Diffusion Theory[2]：分析了为什么SGD倾向于逃离sharp minima找到flat minima。（ICLR2021新鲜出炉，评分前6%： https://openreview.net/forum?id=wXgk_iCiYGo）
（我们组特长其实是弱监督学习。去年ICML2020全组（只计一作、尾作）正好10篇，其中一半左右都是弱监督学习的文章。深度学习理论是最近些年组里少部分人做的新方向，还不算很强。目前全组中的conference大多是是ICML和NeurIPS，估计以后ICLR文章也会稍稍变多一些。）
我们先来看一个一维示意图（高维空间也不难想象）。假如一个粒子初始时刻在能阱a1里，那么：Q1.它需要多长时间才能越过鞍点b进入势阱a2？Q2.经过足够长的时间，这个粒子落入陷阱a1和a2的概率分别有多大？
抽象一下，深度学习的训练过程其实就对应着这么个经典的Kramers Escape问题。这个问题的原型最早出现在1940年的一篇经典论文[3]。
统计物理学家Kramers提出了这么一个布朗运动粒子（服从朗之万动力学Langevin Dynamics）的逃逸问题。经过一些统计物理学里的经典近似手段，得到了热噪音下（即各向同性的高斯噪音）的平均逃逸时间公式：
很容易发现，在最简单的热噪音的情况，我们已经能看到随机动力学是偏好flat minima的，这种偏好是多项式级的。
这里的（一维情况下的二阶导数或者高维情况下的Hessian的行列式）就是minima sharpness的一种度量。
在化学里面，类似的方法还可以计算化学反应的速率和反应式左右比例。
在深度学习里，“类似”的方法则可以计算出SGD逃离minima的速率和SGD对flat minima的偏好。
虽说是“类似”的方法，但是深度学习动力学比热力学复杂太多了。因为随机梯度噪音是一种各向异性的、位置依赖的复杂噪音。
中间的数学细节可以参考[2]。大概的流程是，从SGD算法得到对应的Generalized Langevin Dynamics，再得到对应Fokker-Planck Equation。从Fokker-Planck Equation可以解出粒子的概率密度。再借助Smoluchowski Equation可以解出粒子的概率密度从一个势阱流向另一个势陷的概率流大小。
可以直观的理解为，一堆概率云最开始在一个势阱内，渐渐地通过鞍点流向了另一个势阱，并逐渐达到平衡。达到平衡的特征时间就是平均逃逸时间 ，最终概率云的分布则反映了找到不同的解的概率。
热力学版的Kramers Escape问题其实也是走这个数学流程。只是布朗运动的Langevin Dynamics只含有非常简单的热噪音。而[2]这个工作最大的贡献就是，解决了随机梯度噪音版的Kramers Escape问题。可以说，深度学习动力学是一种自然界不存在的动力学问题。其对应的Kramers Escape问题其实就是一种物理学家没有见过的物理问题。
（这套数学工具，CS背景的同学基本上都不熟。但是有统计物理背景的同学可太熟了。解决问题的关键可能是先准确定义这个问题，再找一个懂统计物理的来解这个方程，就能大功告成。所以AI研究还是很需要diversity的。我也在和统计物理PhD合作中。。）
回到正题。[2]最后得到的深度学习版的Kramers Escape问题的平均逃逸时间表达式是：
（简单起见，这里只写一维空间的情况。高维空间类似。）
其中 是batch size, 是学习率。这里可以看到，平均逃逸时间对minima sharpness的依赖是指数级的。
而且，很幸运，SGD逃逸对minima sharpness、batch size和学习率的指数关系都在[2]的实验中被验证:
另外，SGLD（随机梯度朗之万动力学）是一种常用的做Bayesian inference的方法，它的行为更接近于热力学，因为梯度噪音主要是人为加的高斯噪音。这不奇怪，因为Bayesian inference就是从玻尔兹曼分布中推断参数。[2]的实验也验证了，SGLD对minima sharpness的依赖是多项式级的。这也说明了为什么Bayesian inference的方法都不是好的深度学习训练方法。
最后文章的结论很清晰，随机梯度噪音的性质优对深度学习来说很优越：
（1）热力学对于flat minima的偏好是多项式级的，而SGD对flat minima的偏好是指数级的。这就是为什么随机优化对深度学习如此重要。
（2）这个batch size和学习率的比值 也是指数级的重要的。这个也解释为什么large batch training时需要保持在一个稳定的值[4]。另外，这个比值还可以影响深度学习的泛化[5]。
（3）深度学习的参数空间虽然很高维，但是学习动力学主要是发生在一个低维空间的。参数几乎不会沿着在Hessian的本征值接近0的那些方向学习。这一点也和FAIR的一个经验发现[6]相符。
参考文献：
[1] Kawaguchi, K. (2016). Deep learning without poor local minima.Advances in neural information processing systems,29, 586-594.
[2] Xie, Z., Sato, I., & Sugiyama, M. (2020). A Diffusion Theory For Deep Learning Dynamics: Stochastic Gradient Descent Exponentially Favors Flat Minima. In International Conference on Learning Representations.
[3] Kramers, H. A. (1940). Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions. Physica,7(4), 284-304.
[4] Krizhevsky, A. (2014). One weird trick for parallelizing convolutional neural networks. arXiv preprint arXiv:1404.5997.
[5] He, F., Liu, T., & Tao, D. (2019). Control batch size and learning rate to generalize well: Theoretical and empirical evidence. In Advances in Neural Information Processing Systems(pp. 1143-1152).
[6] Gur-Ari, G., Roberts, D. A., & Dyer, E. (2018). Gradient descent happens in a tiny subspace.arXiv preprint arXiv:1812.04754.
关于鞍点逃逸的研究是另外一个很重要的课题。我们组的工作还没有经过peer review，这里就不详细介绍了。以后有空再写。
大概的结论是，随机梯度噪音在鞍点逃逸的过程里依然扮演了一个指数级重要的角色。
比较特别的发现是，Adam对flat minima的偏好比SGD要弱很多（所以泛化差），但在鞍点逃逸的表现上要比SGD快很多（所以收敛快）。
所以Adaptive Learning Rate是毒也是药。
关于Adam和SGD各自的优势，可以参考我的另一篇回答：
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