为什么梯度下降能找到最小值？
为什么梯度下降能找到最小值？
梯度下降，这个在机器学习和优化领域几乎无处不在的算法，它的核心思想是沿着函数“下坡最快”的方向迭代更新参数，从而逼近函数的最小值。但它究竟是如何做到的呢？要弄明白这一点，咱们得从几个关键点入手，一层一层地剥开它背后的逻辑。
1. 函数的“地形”与梯度：我们身处何方？
想象一下，你站在一座连绵起伏的山坡上，想要走到山谷的最低点。这时，你最直观的做法是什么？当然是看看脚下哪个方向是下坡最陡的，然后朝着那个方向迈出一步。梯度下降做的就是类似的事情，只不过它是在一个抽象的“函数空间”里进行的。
函数可以看作地形： 在机器学习中，我们优化的目标通常是一个损失函数（loss function）或者成本函数（cost function）。这个函数的值，可以想象成我们当前模型表现好坏的度量。函数有许多输入变量，这些变量就是模型的参数（比如神经网络中的权重和偏置）。你可以把这些参数构成的空间看作是三维甚至更高维度的地形。参数取不同的值，模型表现就不同，就像你在地形上走到不同位置一样。我们要找的就是这个“地形”上的最低点，也就是损失函数最小的那个参数组合。
梯度是方向指示器： 那么，如何知道哪个方向是“下坡最快”呢？这时候，数学上的“梯度”就派上用场了。梯度是一个向量，它指向函数值增长最快的方向。在我们的比喻中，梯度就是指示你爬坡最陡峭的方向。既然梯度指向“上坡最快”，那么它的反方向（负梯度）自然就指向“下坡最快”的方向了。
2. 梯度下降的行动：一步步地“走”向最低点
明白了梯度是什么，我们就可以开始讲梯度下降的“行动”了。
初始化： 首先，我们需要一个起点。就像你站在山上的某个位置一样，梯度下降算法也需要对模型的参数进行一个初始的猜测值。这个值可以随机给定，也可以根据一些经验来设定。
计算梯度： 在当前位置（即当前的参数值），我们计算损失函数关于每一个参数的偏导数。这些偏导数组成的向量就是梯度。它告诉我们，如果微小地改变某个参数，损失函数会以多快的速度增加，以及增加的方向。
更新参数： 既然我们知道了“下坡最快”的方向（负梯度），我们就可以沿着这个方向迈出一小步。这一步的大小，由一个叫做“学习率”（learning rate，通常用希腊字母 $alpha$ 表示）的超参数控制。学习率就像你走路的步子大小，太大了容易错过最低点，太小了则会走得很慢。参数的更新公式是这样的：
$ ext{新参数} = ext{旧参数} alpha imes ext{梯度} $
这个公式的意思是，我们在当前参数的基础上，减去一个与梯度成比例的值。因为梯度指向增长最快的方向，减去它就相当于沿着下降最快的方向移动。
迭代重复： 我们不是一次性走到最低点，而是不断重复计算梯度、更新参数的过程。每走一步，我们都会到达一个新的参数组合（新的位置），然后再次计算这个新位置的梯度，再沿着负梯度方向迈出下一步。
3. 为什么“能”找到最小值？
现在我们知道怎么走了，但为什么这个过程能保证我们最终走到最低点呢？这里有几个关键的解释：
局部与全局： 对于一些“平滑”且没有太多“坑洼”的函数（比如我们常用的凸函数），梯度下降理论上是可以收敛到全局最小值的。就像在碗底，你无论从哪个方向走，最终都会滑到碗的最底部。
局部最小值： 大多数情况下，我们优化的函数并不是完美的凸函数，可能存在一些局部最小值（local minima）。这时候，梯度下降就像你在山坡上走，可能会走到一个小山谷里，而不是最大的山谷。但即使这样，它找到的也是一个局部最优解。在很多实际应用中，找到一个好的局部最优解已经足够满足需求了。
收敛的条件：
学习率的控制： 合适的学习率是关键。如果学习率太小，下降速度会非常慢，可能需要很多很多步才能接近最小值。如果学习率太大，可能在最小值附近“弹来弹去”，甚至完全不收敛，越走越远。
梯度趋于零： 当我们接近一个最小值（无论是局部还是全局）时，函数的斜率会越来越平缓，也就是说梯度会越来越接近于零。当梯度为零时，参数更新公式就变成：新参数 = 旧参数 $alpha imes 0$ = 旧参数。这意味着参数不再变化，算法就“停下来”了，因为它认为已经到达了一个平坦的地方，很可能就是最小值。
“坡度”引导： 即使函数有很多起伏，只要我们每一步都朝着当前位置“下坡最快”的方向走，并且步子迈得足够小，我们就会逐渐“滚”向更低的地方。想象一下你在一个有很多小坑的山坡上，你可能会先掉进一个浅坑，但如果学习率足够小，你可能只是在坑边徘徊，然后继续寻找更深的坑。
实际中的“近似”： 在实际应用中，我们很少能精确地找到一个梯度完全为零的点。更多的是，当梯度非常小，或者参数更新的幅度非常小，变化非常微弱时，我们就认为算法已经收敛了。我们会设定一个“停止准则”（stopping criterion），比如迭代次数达到上限，或者损失函数的变化小于一个很小的阈值，然后停止算法。
4. 总结：一步步的“智慧”
所以，梯度下降之所以能找到最小值（或者局部最小值），是因为它利用了函数在每个点的局部信息——梯度，来决定每一步的移动方向和大小。通过不断地向“最陡峭的下坡方向”迈进，并且通过学习率来控制步幅，它就像一个谨慎的登山者，一步步地探索函数空间，最终停留在“地势最低”的地方。虽然它不保证一定能找到全局最小值（这取决于函数的形状和初始点），但它是一种非常有效且普遍适用的优化方法，在现代机器学习中扮演着至关重要的角色。
梯度下降，这个在机器学习和优化领域几乎无处不在的算法，它的核心思想是沿着函数“下坡最快”的方向迭代更新参数，从而逼近函数的最小值。但它究竟是如何做到的呢？要弄明白这一点，咱们得从几个关键点入手，一层一层地剥开它背后的逻辑。
1. 函数的“地形”与梯度：我们身处何方？
想象一下，你站在一座连绵起伏的山坡上，想要走到山谷的最低点。这时，你最直观的做法是什么？当然是看看脚下哪个方向是下坡最陡的，然后朝着那个方向迈出一步。梯度下降做的就是类似的事情，只不过它是在一个抽象的“函数空间”里进行的。
函数可以看作地形： 在机器学习中，我们优化的目标通常是一个损失函数（loss function）或者成本函数（cost function）。这个函数的值，可以想象成我们当前模型表现好坏的度量。函数有许多输入变量，这些变量就是模型的参数（比如神经网络中的权重和偏置）。你可以把这些参数构成的空间看作是三维甚至更高维度的地形。参数取不同的值，模型表现就不同，就像你在地形上走到不同位置一样。我们要找的就是这个“地形”上的最低点，也就是损失函数最小的那个参数组合。
梯度是方向指示器： 那么，如何知道哪个方向是“下坡最快”呢？这时候，数学上的“梯度”就派上用场了。梯度是一个向量，它指向函数值增长最快的方向。在我们的比喻中，梯度就是指示你爬坡最陡峭的方向。既然梯度指向“上坡最快”，那么它的反方向（负梯度）自然就指向“下坡最快”的方向了。
2. 梯度下降的行动：一步步地“走”向最低点
明白了梯度是什么，我们就可以开始讲梯度下降的“行动”了。
初始化： 首先，我们需要一个起点。就像你站在山上的某个位置一样，梯度下降算法也需要对模型的参数进行一个初始的猜测值。这个值可以随机给定，也可以根据一些经验来设定。
计算梯度： 在当前位置（即当前的参数值），我们计算损失函数关于每一个参数的偏导数。这些偏导数组成的向量就是梯度。它告诉我们，如果微小地改变某个参数，损失函数会以多快的速度增加，以及增加的方向。
更新参数： 既然我们知道了“下坡最快”的方向（负梯度），我们就可以沿着这个方向迈出一小步。这一步的大小，由一个叫做“学习率”（learning rate，通常用希腊字母 $alpha$ 表示）的超参数控制。学习率就像你走路的步子大小，太大了容易错过最低点，太小了则会走得很慢。参数的更新公式是这样的：
$ ext{新参数} = ext{旧参数} alpha imes ext{梯度} $
这个公式的意思是，我们在当前参数的基础上，减去一个与梯度成比例的值。因为梯度指向增长最快的方向，减去它就相当于沿着下降最快的方向移动。
迭代重复： 我们不是一次性走到最低点，而是不断重复计算梯度、更新参数的过程。每走一步，我们都会到达一个新的参数组合（新的位置），然后再次计算这个新位置的梯度，再沿着负梯度方向迈出下一步。
3. 为什么“能”找到最小值？
现在我们知道怎么走了，但为什么这个过程能保证我们最终走到最低点呢？这里有几个关键的解释：
局部与全局： 对于一些“平滑”且没有太多“坑洼”的函数（比如我们常用的凸函数），梯度下降理论上是可以收敛到全局最小值的。就像在碗底，你无论从哪个方向走，最终都会滑到碗的最底部。
局部最小值： 大多数情况下，我们优化的函数并不是完美的凸函数，可能存在一些局部最小值（local minima）。这时候，梯度下降就像你在山坡上走，可能会走到一个小山谷里，而不是最大的山谷。但即使这样，它找到的也是一个局部最优解。在很多实际应用中，找到一个好的局部最优解已经足够满足需求了。
收敛的条件：
学习率的控制： 合适的学习率是关键。如果学习率太小，下降速度会非常慢，可能需要很多很多步才能接近最小值。如果学习率太大，可能在最小值附近“弹来弹去”，甚至完全不收敛，越走越远。
梯度趋于零： 当我们接近一个最小值（无论是局部还是全局）时，函数的斜率会越来越平缓，也就是说梯度会越来越接近于零。当梯度为零时，参数更新公式就变成：新参数 = 旧参数 $alpha imes 0$ = 旧参数。这意味着参数不再变化，算法就“停下来”了，因为它认为已经到达了一个平坦的地方，很可能就是最小值。
“坡度”引导： 即使函数有很多起伏，只要我们每一步都朝着当前位置“下坡最快”的方向走，并且步子迈得足够小，我们就会逐渐“滚”向更低的地方。想象一下你在一个有很多小坑的山坡上，你可能会先掉进一个浅坑，但如果学习率足够小，你可能只是在坑边徘徊，然后继续寻找更深的坑。
实际中的“近似”： 在实际应用中，我们很少能精确地找到一个梯度完全为零的点。更多的是，当梯度非常小，或者参数更新的幅度非常小，变化非常微弱时，我们就认为算法已经收敛了。我们会设定一个“停止准则”（stopping criterion），比如迭代次数达到上限，或者损失函数的变化小于一个很小的阈值，然后停止算法。
4. 总结：一步步的“智慧”
所以，梯度下降之所以能找到最小值（或者局部最小值），是因为它利用了函数在每个点的局部信息——梯度，来决定每一步的移动方向和大小。通过不断地向“最陡峭的下坡方向”迈进，并且通过学习率来控制步幅，它就像一个谨慎的登山者，一步步地探索函数空间，最终停留在“地势最低”的地方。虽然它不保证一定能找到全局最小值（这取决于函数的形状和初始点），但它是一种非常有效且普遍适用的优化方法，在现代机器学习中扮演着至关重要的角色。
网友意见
所以你需要将优化问题转化为凸优化问题
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