如何把梯度传递过Argmax?
在神经网络中，我们经常需要进行一些离散的选择，比如分类任务中的最终输出层。这时，`argmax` 操作就派上了用场，它能帮我们找到概率最高的那个类别的索引。然而，`argmax` 本身是一个不可导的操作，这意味着我们无法直接将梯度从损失函数传递回模型的参数。这就像是“卡住了”，我们无法通过反向传播来优化模型。
那么，我们如何绕过这个“死胡同”，让梯度能够“穿过”`argmax`，从而实现对模型的训练呢？这背后涉及一些巧妙的技巧，我来为大家详细道来。
问题的根源：为什么argmax不能直接传递梯度？
让我们先回到数学的本质。导数（或者说梯度）描述的是一个函数输出相对于其输入的微小变化率。换句话说，它告诉我们，当我们稍微改变输入时，输出会如何变化。
`argmax` 函数的功能是找到一个向量中最大值的索引。例如，输入是 `[0.1, 0.8, 0.2]`，`argmax` 的输出就是 `1`（索引从0开始）。
问题来了，如果我们稍微改变输入，比如变成 `[0.1, 0.81, 0.2]`，`argmax` 的输出仍然是 `1`。再比如，变成 `[0.1, 0.79, 0.2]`，输出还是 `1`。再比如，变成 `[0.9, 0.8, 0.2]`，输出就变成了 `0`。
你会发现，`argmax` 的输出值（也就是索引）在输入值发生微小变化时，可能保持不变，也可能突然发生跳跃式的改变。这种“不连续”、“不平滑”的特性，正是导致它不可导的原因。在数学上，它在大多数点上导数为零，但在某些“边界点”上，导数是无限大或者不存在的。
如何“糊弄”梯度：代理函数（Surrogate Functions）
既然 `argmax` 本身不行，我们就得找个“替代品”，一个在行为上尽可能模仿 `argmax`，但又是可导的函数。这就像是在一场足球比赛中，你不能直接用身体撞倒对方球员（犯规），但你可以用一个巧妙的假动作来晃过他。这些替代品，我们就称之为“代理函数”。
最经典、也最常用的代理函数就是 Softmax + GumbelSoftmax 技巧。
1. Softmax：迈出第一步
Softmax 函数是 `argmax` 的一个“软化”版本。它不会直接输出一个唯一的索引，而是将输入值转换成一个概率分布。输出是所有类别的概率，并且所有概率的总和为1。
举个例子，如果输入是 `[0.1, 0.8, 0.2]`，Softmax 的输出可能是 `[0.25, 0.55, 0.20]`（这些数字只是示意，实际值需要计算）。
优点： Softmax 是一个可导的函数。它的梯度可以很平滑地传递。
缺点： Softmax 输出的是一个概率分布，而不是一个确定的选择。在很多情况下，我们仍然需要一个明确的、离散的选择。
2. GumbelSoftmax：让“软”变“硬”
GumbelSoftmax 技巧正是为了解决 Softmax 的“不够硬”的问题，同时又能保持可导性。它在 Softmax 的基础上，引入了随机性，并巧妙地控制这个随机性，使得最终的输出尽可能地接近 `argmax` 的结果，但又能让梯度顺利通过。
GumbelSoftmax 的核心思想是：
a. 引入 Gumbel 噪声： 对于每个输入值 `z_i`（通常是神经网络的输出，例如 logits），我们先给它加上一个 Gumbel 噪声。Gumbel 噪声是一种特殊的随机变量，它的累积分布函数 (CDF) 是 `exp(exp(x))`，而且它有一个很强的性质，就是 `z_i + Gumbel(0, 1)` 的 Softmax 结果，与原始 `z_i` 的 Softmax 结果有着特殊的统计关系。
具体来说，我们为每个输入 `z_i` 生成一个 Gumbel 噪声 `g_i`，然后计算 `y_i = z_i + g_i`。
b. Softmax 加上噪声： 对 `y_i` 应用 Softmax 函数，得到一个“加了噪声的 Softmax”输出：
`p_i = exp(y_i / au) / sum_j exp(y_j / au)`
这里的 ` au`（tau）是一个温度参数（temperature parameter）。
c. “硬化”操作（Sampling）：
推理阶段（Inference/Evaluation）： 在模型评估或推理时，我们希望得到一个确定的离散选择，这时我们直接对 Softmax 的输出 `p_i` 进行 `argmax` 操作。
训练阶段（Training）： 这是关键！为了让梯度能够传递，我们不能直接 `argmax`。GumbelSoftmax 使用了一个技巧叫做 “重参数化技巧”（Reparameterization Trick）。它允许我们将随机性从计算图中“分离”出来。
我们不是直接取 `p_i`，而是通过一个被称为 “直通估计器”（StraightThrough Estimator） 的方式来“模拟” `argmax` 的行为。简单来说，就是在前向传播时，我们根据 `p_i` 的概率进行采样，得到一个 onehot 向量（例如 `[0, 1, 0]`）。然后，在反向传播时，我们 “忽略” 这个采样过程，直接将 `argmax` 的梯度“传递”给 Softmax 的输入 `y_i`。
更具体一点，GumbelSoftmax 的训练过程是这样的：
在前向传播时，计算 `p_i = exp((z_i + g_i) / au)`。
根据 `p_i` 采样得到一个 onehot 向量 `s`（例如，如果 `p_i` 是 `[0.2, 0.6, 0.2]`，我们以 0.6 的概率采样到 `[0, 1, 0]`）。
关键： 在反向传播时，我们不计算 `s` 对 `z_i` 的梯度（因为采样过程是不可导的），而是直接将 Softmax 输出 `p_i` 的梯度“复制”给 `z_i`。就好比，我们假装 `s` 的梯度直接来自于 `z_i` 的 Softmax 输出。
温度参数 ` au` 的作用
温度参数 ` au` 在 GumbelSoftmax 中扮演着至关重要的角色：
当 ` au` 很大时： Softmax 函数的输出会非常“平滑”，所有类别的概率都接近均匀分布。这使得采样结果非常随机，模型很难学到确定的模式。
当 ` au` 很小时： Softmax 函数的输出会变得非常“尖锐”，接近于 `argmax` 的行为。最有可能的那个类别的概率会非常高，其他类别的概率会非常低。
训练策略： 通常的做法是，在训练的早期使用一个较大的 ` au`，鼓励模型进行探索。然后，随着训练的进行，逐渐减小 ` au`，让模型逐渐收敛到更“硬”的、接近 `argmax` 的输出。这种“退火”策略（annealing）有助于稳定训练过程。
GumbelSoftmax 的数学表达
为了更精确，我们来看看 GumbelSoftmax 的一个常见实现（也称为 Concrete Distribution）：
1. 为每个 `z_i`（logits）计算 `u_i = exp((z_i max(z)) / au)`。这一步是为了数值稳定性。
2. 生成 `g_i ~ Gumbel(0, 1)` 独立的随机变量。
3. 计算 `v_i = u_i exp(g_i / au)`。
4. 计算 `p_i = v_i / sum_j v_j`。
在前向传播中，我们从 `p` 分布中采样一个 onehot 向量 `y`。
在反向传播中，梯度通过 Softmax 传递到 `z_i`。
其他“绕过”argmax 的方法
虽然 GumbelSoftmax 是目前最流行和有效的方法之一，但也有其他一些思路：
Relaxation： 寻找一个连续的、可微的函数来近似 `argmax`。Softmax 本身就是一种 relaxation，而 GumbelSoftmax 进一步加强了这种“硬化”的程度。
Reinforcement Learning (RL) 方法： 将离散选择视为一个“动作”，然后使用强化学习的策略梯度方法来优化。这种方法通常更复杂，需要更多的超参数调优。
Score Function Estimator (REINFORCE)： 也是一种强化学习的方法，通过计算“得分函数”来估计梯度。
总结一下，我们是如何把梯度传递过 Argmax 的：
核心在于使用一个 代理函数（Surrogate Function） 来替代不可导的 `argmax`。最常用的代理函数是 GumbelSoftmax。
1. Softmax 提供了一个可导的概率分布，这是基础。
2. Gumbel 噪声 和 温度参数 ` au` 结合，使得 Softmax 的输出在训练时能够更接近 `argmax` 的行为。
3. 重参数化技巧（特别是 StraightThrough Estimator） 是关键，它允许我们在训练时，尽管前向传播是随机采样（onehot），但在反向传播时，我们能够“借用” Softmax 的梯度，让梯度顺利流回模型参数。
通过这些精巧的设计，我们就能在反向传播中“欺骗”神经网络，让它以为梯度可以直接通过 `argmax`，从而有效地优化模型，即使我们的决策过程是离散的。
希望这个详细的解释能帮助大家理解这个看似棘手的问题！
那么，我们如何绕过这个“死胡同”，让梯度能够“穿过”`argmax`，从而实现对模型的训练呢？这背后涉及一些巧妙的技巧，我来为大家详细道来。
问题的根源：为什么argmax不能直接传递梯度？
让我们先回到数学的本质。导数（或者说梯度）描述的是一个函数输出相对于其输入的微小变化率。换句话说，它告诉我们，当我们稍微改变输入时，输出会如何变化。
`argmax` 函数的功能是找到一个向量中最大值的索引。例如，输入是 `[0.1, 0.8, 0.2]`，`argmax` 的输出就是 `1`（索引从0开始）。
问题来了，如果我们稍微改变输入，比如变成 `[0.1, 0.81, 0.2]`，`argmax` 的输出仍然是 `1`。再比如，变成 `[0.1, 0.79, 0.2]`，输出还是 `1`。再比如，变成 `[0.9, 0.8, 0.2]`，输出就变成了 `0`。
你会发现，`argmax` 的输出值（也就是索引）在输入值发生微小变化时，可能保持不变，也可能突然发生跳跃式的改变。这种“不连续”、“不平滑”的特性，正是导致它不可导的原因。在数学上，它在大多数点上导数为零，但在某些“边界点”上，导数是无限大或者不存在的。
如何“糊弄”梯度：代理函数（Surrogate Functions）
既然 `argmax` 本身不行，我们就得找个“替代品”，一个在行为上尽可能模仿 `argmax`，但又是可导的函数。这就像是在一场足球比赛中，你不能直接用身体撞倒对方球员（犯规），但你可以用一个巧妙的假动作来晃过他。这些替代品，我们就称之为“代理函数”。
最经典、也最常用的代理函数就是 Softmax + GumbelSoftmax 技巧。
1. Softmax：迈出第一步
Softmax 函数是 `argmax` 的一个“软化”版本。它不会直接输出一个唯一的索引，而是将输入值转换成一个概率分布。输出是所有类别的概率，并且所有概率的总和为1。
举个例子，如果输入是 `[0.1, 0.8, 0.2]`，Softmax 的输出可能是 `[0.25, 0.55, 0.20]`（这些数字只是示意，实际值需要计算）。
优点： Softmax 是一个可导的函数。它的梯度可以很平滑地传递。
缺点： Softmax 输出的是一个概率分布，而不是一个确定的选择。在很多情况下，我们仍然需要一个明确的、离散的选择。
2. GumbelSoftmax：让“软”变“硬”
GumbelSoftmax 技巧正是为了解决 Softmax 的“不够硬”的问题，同时又能保持可导性。它在 Softmax 的基础上，引入了随机性，并巧妙地控制这个随机性，使得最终的输出尽可能地接近 `argmax` 的结果，但又能让梯度顺利通过。
GumbelSoftmax 的核心思想是：
a. 引入 Gumbel 噪声： 对于每个输入值 `z_i`（通常是神经网络的输出，例如 logits），我们先给它加上一个 Gumbel 噪声。Gumbel 噪声是一种特殊的随机变量，它的累积分布函数 (CDF) 是 `exp(exp(x))`，而且它有一个很强的性质，就是 `z_i + Gumbel(0, 1)` 的 Softmax 结果，与原始 `z_i` 的 Softmax 结果有着特殊的统计关系。
具体来说，我们为每个输入 `z_i` 生成一个 Gumbel 噪声 `g_i`，然后计算 `y_i = z_i + g_i`。
b. Softmax 加上噪声： 对 `y_i` 应用 Softmax 函数，得到一个“加了噪声的 Softmax”输出：
`p_i = exp(y_i / au) / sum_j exp(y_j / au)`
这里的 ` au`（tau）是一个温度参数（temperature parameter）。
c. “硬化”操作（Sampling）：
推理阶段（Inference/Evaluation）： 在模型评估或推理时，我们希望得到一个确定的离散选择，这时我们直接对 Softmax 的输出 `p_i` 进行 `argmax` 操作。
训练阶段（Training）： 这是关键！为了让梯度能够传递，我们不能直接 `argmax`。GumbelSoftmax 使用了一个技巧叫做 “重参数化技巧”（Reparameterization Trick）。它允许我们将随机性从计算图中“分离”出来。
我们不是直接取 `p_i`，而是通过一个被称为 “直通估计器”（StraightThrough Estimator） 的方式来“模拟” `argmax` 的行为。简单来说，就是在前向传播时，我们根据 `p_i` 的概率进行采样，得到一个 onehot 向量（例如 `[0, 1, 0]`）。然后，在反向传播时，我们 “忽略” 这个采样过程，直接将 `argmax` 的梯度“传递”给 Softmax 的输入 `y_i`。
更具体一点，GumbelSoftmax 的训练过程是这样的：
在前向传播时，计算 `p_i = exp((z_i + g_i) / au)`。
根据 `p_i` 采样得到一个 onehot 向量 `s`（例如，如果 `p_i` 是 `[0.2, 0.6, 0.2]`，我们以 0.6 的概率采样到 `[0, 1, 0]`）。
关键： 在反向传播时，我们不计算 `s` 对 `z_i` 的梯度（因为采样过程是不可导的），而是直接将 Softmax 输出 `p_i` 的梯度“复制”给 `z_i`。就好比，我们假装 `s` 的梯度直接来自于 `z_i` 的 Softmax 输出。
温度参数 ` au` 的作用
温度参数 ` au` 在 GumbelSoftmax 中扮演着至关重要的角色：
当 ` au` 很大时： Softmax 函数的输出会非常“平滑”，所有类别的概率都接近均匀分布。这使得采样结果非常随机，模型很难学到确定的模式。
当 ` au` 很小时： Softmax 函数的输出会变得非常“尖锐”，接近于 `argmax` 的行为。最有可能的那个类别的概率会非常高，其他类别的概率会非常低。
训练策略： 通常的做法是，在训练的早期使用一个较大的 ` au`，鼓励模型进行探索。然后，随着训练的进行，逐渐减小 ` au`，让模型逐渐收敛到更“硬”的、接近 `argmax` 的输出。这种“退火”策略（annealing）有助于稳定训练过程。
GumbelSoftmax 的数学表达
为了更精确，我们来看看 GumbelSoftmax 的一个常见实现（也称为 Concrete Distribution）：
1. 为每个 `z_i`（logits）计算 `u_i = exp((z_i max(z)) / au)`。这一步是为了数值稳定性。
2. 生成 `g_i ~ Gumbel(0, 1)` 独立的随机变量。
3. 计算 `v_i = u_i exp(g_i / au)`。
4. 计算 `p_i = v_i / sum_j v_j`。
在前向传播中，我们从 `p` 分布中采样一个 onehot 向量 `y`。
在反向传播中，梯度通过 Softmax 传递到 `z_i`。
其他“绕过”argmax 的方法
虽然 GumbelSoftmax 是目前最流行和有效的方法之一，但也有其他一些思路：
Relaxation： 寻找一个连续的、可微的函数来近似 `argmax`。Softmax 本身就是一种 relaxation，而 GumbelSoftmax 进一步加强了这种“硬化”的程度。
Reinforcement Learning (RL) 方法： 将离散选择视为一个“动作”，然后使用强化学习的策略梯度方法来优化。这种方法通常更复杂，需要更多的超参数调优。
Score Function Estimator (REINFORCE)： 也是一种强化学习的方法，通过计算“得分函数”来估计梯度。
总结一下，我们是如何把梯度传递过 Argmax 的：
核心在于使用一个 代理函数（Surrogate Function） 来替代不可导的 `argmax`。最常用的代理函数是 GumbelSoftmax。
1. Softmax 提供了一个可导的概率分布，这是基础。
2. Gumbel 噪声 和 温度参数 ` au` 结合，使得 Softmax 的输出在训练时能够更接近 `argmax` 的行为。
3. 重参数化技巧（特别是 StraightThrough Estimator） 是关键，它允许我们在训练时，尽管前向传播是随机采样（onehot），但在反向传播时，我们能够“借用” Softmax 的梯度，让梯度顺利流回模型参数。
通过这些精巧的设计，我们就能在反向传播中“欺骗”神经网络，让它以为梯度可以直接通过 `argmax`，从而有效地优化模型，即使我们的决策过程是离散的。
希望这个详细的解释能帮助大家理解这个看似棘手的问题！
网友意见
soft argmax，实际上就是softmax的结果乘上坐标[0 1 2 3 ... n]。
参考文献：
Numerical Coordinate Regression with Convolutional Neural Networks
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在神经网络中，我们经常需要进行一些离散的选择，比如分类任务中的最终输出层。这时，`argmax` 操作就派上了用场，它能帮我们找到概率最高的那个类别的索引。然而，`argmax` 本身是一个不可导的操作，这意味着我们无法直接将梯度从损失函数传递回模型的参数。这就像是“卡住了”，我们无法通过反向传播来............. -
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