关于悬链线问题，除了变分法，有什么巧妙解法吗？

悬链线问题，自伽利略提出猜想以来，历经卡瓦列里、惠更斯、伽利略、约翰·伯努利、雅各布·伯努利、托里拆利、范·鲁门、约翰·赫德里奇、克里斯蒂安·惠更斯、伊萨克·牛顿等众多数学家的智慧碰撞与探索，最终由雅各布·伯努利于1690年通过变分法解决。变分法确实是求解悬链线最根本、最普适的方法，它能从本质上揭示为何悬链线是满足力学平衡的曲线。

然而，说到“巧妙解法”，这往往指的是那些不直接诉诸于高等数学工具，而是通过物理直觉、几何构造或者转化到更熟悉的问题上，从而获得简洁高效的解答。虽然变分法是终极答案，但某些“巧妙”的方法，更像是对这个问题的不同侧面和内在联系的深刻洞察。

这里我们来聊聊除了变分法之外，一些富有启发性和巧妙性的求解思路：

1. 物理直觉与力的平衡（以微小段分析）

这是最直观也最接近我们日常对“挂着”这个概念的理解的方法。想象一根质量均匀、柔软且不可伸长的绳索，两端固定在同一高度，在重力作用下自然下垂。我们知道，绳索的每一小段都处于受力平衡状态。

核心思想： 将绳索看作无数微小段的集合，每一段都受到自身的重力和相邻段的拉力。由于绳索是柔软的，它只能承受拉力，不能承受弯曲。在平衡状态下，绳索的形状必然使得作用在每一小段上的合力沿着绳索的切线方向。

具体做法（简化版）：

选取绳索上一段微元dS。
分析作用在微元上的力：
重力： 假设绳索单位长度质量为 $ ho$，则微元重力为 $dF_g = ho g dS$。这个力是竖直向下的。
拉力： 绳索两端的拉力是不同的，且方向沿着绳索的切线。设在微元两端的拉力分别为 $T$ 和 $T + dT$。
力的分解与平衡：
在水平方向上，绳索的形状必须是“对称”的，这意味着水平方向的拉力分量在绳索的某一点（最低点）必须是零（或者说，绳索的最低点没有水平拉力分量），并且在其他地方，左右两侧的水平拉力分量相互抵消，否则绳索会整体向一边移动。
在竖直方向上，微元 $dS$ 受到的向下的重力 $dF_g$ 必须被它上下两端拉力的竖直分量所平衡。

现在我们来看，如果绳索的形状是某个函数 $y = y(x)$。那么微元 $dS$ 的长度可以用 $dx$ 和 $dy$ 表示：$dS = sqrt{1 + (y')^2} dx$。

切线的斜率： $y' = frac{dy}{dx}$。
拉力的方向： 沿着绳索的切线。
力的平衡条件： 如果我们考虑绳索的最低点为坐标原点 $(0, 0)$，并且最高点对称地分布在 $x = pm a$ 处。在最低点，绳索是水平的，拉力方向是水平的。
考虑绳索从最低点 $(0, 0)$ 到任意一点 $(x, y)$ 的一段。
在点 $(x, y)$ 处的拉力 $T(x)$ 沿着切线方向。
我们可以分析在点 $(x, y)$ 处的“局部”平衡。假设拉力 $T$ 在最低点是水平的，大小为 $T_0$。那么在任意一点 $(x, y)$，绳索的切线与水平方向的夹角为 $ heta$，其中 $ an heta = y'(x)$。
作用在微元 $dS$ 上的总的拉力是 $T(x)$。这个拉力可以分解为水平分量 $T(x) cos heta$ 和竖直分量 $T(x) sin heta$。
绳索从最低点 $(0,0)$ 到点 $(x,y)$ 的这段绳索，受到它上方段（如果存在）的向下的拉力，以及它下方段（或者说，下方段对它的作用）的向上的拉力。
更直接地说，在点 $(x,y)$，绳索承受的拉力 $T(x)$，其水平分量 $T(x) cos heta$ 要等于绳索从最低点到该点的总重力与水平方向的“作用力”，而竖直分量 $T(x) sin heta$ 则要平衡该段绳索的重力 $w cdot s$，其中 $w$ 是单位长度的重力，$s$ 是从最低点到点 $(x,y)$ 的绳索长度。

这是一个有点循环论证的思路，因为我们不知道 $T(x)$ 是什么。但是我们可以换个角度：

一个更巧妙的物理直觉方法：

想象一根绳索，如果它能承受弯曲力（比如一根铁丝），并且我们同样将它固定在两点。它会形成一个特定的形状。但是，悬链线是由一根柔软且质量均匀的绳索形成的。

考虑将悬链线问题转化为一个更容易理解的几何或物理场景。

关键洞察： 考虑一个拱形的结构，比如桥梁。一个理想的拱形结构，在均匀分布的荷载（如自身重量）下，其内力主要是压力，而不会产生拉力。而悬链线在重力作用下形成，是受拉的曲线。

现在我们来点“魔法”—— 将重力“旋转”一下。

想象一个相同的、质量均匀的抛物线形状的轨道，让一个小球在里面滚动。如果重力方向是沿着轨道（即抛物线的轴线），那么这个小球在轨道上会呈现出某种运动状态。但这还是有点复杂。

一个更经典的巧妙转化思路：用圆弧来逼近或理解。

虽然悬链线不是圆弧，但很多初期的尝试和直觉会往圆弧上靠。一个重要的桥梁是“弹性直尺”的变体。

另一个思路：与旋转抛物面体的关系。

一个著名的类比是，如果我们将悬链线（的轮廓）绕其对称轴旋转，会形成一个旋转曲面。这个旋转曲面满足某些特殊的性质。

但是，我们想要的是不涉及变分法就能“得到”悬链线方程的巧妙方法。

2. 连接到指数函数（通过其他熟悉的曲线）

悬链线方程 $y = a cosh(x/a)$ 是一个关于双曲余弦函数的表达式。双曲函数与指数函数密切相关：$cosh x = frac{e^x + e^{x}}{2}$。那么，是否有办法不直接推导这个复杂的 $cosh$ 函数，而是通过一些“简单”的数学对象得到它？

想法： 我们可以尝试将问题转化为求解一个更简单的微分方程，或者通过一些参数化的方式来描述。

一个著名的巧妙思路（源自雅各布·伯努利对变分法的另一条路径的探索，以及与概率论的联系）：

思想： 悬链线问题实际上是所有通过给定两点且长度固定的光滑曲线中，重力势能最低的曲线。这是变分法的出发点。但是，是否有一些非变分法，但同样能触及到这个最低势能的性质的几何或物理构造？

一个非常精妙的连接：

Consider the brachistochrone problem (最速降线问题)

最速降线问题是说，在一个垂直平面上，连接两点 A 和 B 的曲线，使得一个小球在重力作用下，从 A 滑到 B 所用的时间最短。令人惊讶的是，这个最速降线（非自由落体情况下）的形状也是一个倒置的悬链线段（或者说，是一个与悬链线方程形式非常相似的曲线，但经过变换）。

最速降线问题由约翰·伯努利提出，并被他的哥哥雅各布·伯努利、牛顿、莱布尼茨等人解决。它同样可以通过变分法解决，但也有一些基于几何直觉和物理原理的“巧妙”的非变分法解释。

最速降线方程的形式是：

$y = A(1 cos heta)$
$x = B( heta sin heta)$

其中 $A, B$ 是常数。这是一个参数方程。

巧妙点： 虽然不是直接解悬链线，但最速降线和悬链线在形式上和求解思路上有深刻的联系。它们都与“最优化”概念有关（最短时间 vs 最低势能），都涉及到了圆（摆线是旋轮线的一种）和双曲函数（悬链线）。

这种联系的深刻性在于：

1. 费马原理的类比： 光在不同介质中传播时，走的是费马原理（光程最短）。最速降线问题可以类比为光线在模拟重力场的介质中传播，而这个介质的“折射率”随着深度变化。
2. 概率论的联系（更抽象）： 某些情况下，概率分布的某些性质（如中心极限定理下的误差曲线）会与 $cosh$ 函数有关。但这已经是比较高级的推导了。

一个更“直观”的巧妙连接：

想象一个具有非均匀介质的平面。在这个介质中，光速（或者说传播速度）随着深度 $y$ 变化，与 $frac{1}{sqrt{y}}$ 成正比（这是斯涅尔定律的某种反向应用）。那么，在这样的介质中，走光程最短的路径，其方程就是悬链线。

具体来说：

假设光在介质中传播的速度 $v$ 满足 $v = c/sqrt{y}$ (其中 $c$ 是常数，这个关系非常巧妙地导出悬链线)。那么，根据费马原理，光程积分 $int frac{ds}{v}$ 应该最小。

$ds = sqrt{dx^2 + dy^2} = sqrt{1 + (y')^2} dx$

光程 $L = int frac{sqrt{1 + (y')^2}}{c/sqrt{y}} dx = frac{1}{c} int sqrt{frac{y(1 + (y')^2)}{1}} dx$

要使 $L$ 最小，我们需要最小化积分 $int sqrt{y(1 + (y')^2)} dx$。

令 $F(y, y') = sqrt{y(1 + (y')^2)}$。这是一个不含 $x$ 的拉格朗日量。此时，欧拉拉格朗日方程简化为 克莱罗方程 (Clairaut's equation) 的一种形式：

$F y' frac{partial F}{partial y'} = ext{constant}$

$frac{partial F}{partial y'} = sqrt{y} cdot frac{1}{2sqrt{1 + (y')^2}} cdot 2y' = frac{sqrt{y} y'}{sqrt{1 + (y')^2}}$

代入克莱罗方程：

$sqrt{y(1 + (y')^2)} y' frac{sqrt{y} y'}{sqrt{1 + (y')^2}} = C$

$frac{sqrt{y}(1 + (y')^2) sqrt{y}(y')^2}{sqrt{1 + (y')^2}} = C$

$frac{sqrt{y} + sqrt{y}(y')^2 sqrt{y}(y')^2}{sqrt{1 + (y')^2}} = C$

$frac{sqrt{y}}{sqrt{1 + (y')^2}} = C$

平方两边：

$frac{y}{1 + (y')^2} = C^2$

$y = C^2 (1 + (y')^2)$

$y = C^2 + C^2 (y')^2$

$y C^2 = C^2 (y')^2$

$(y')^2 = frac{y C^2}{C^2}$

$y' = pm frac{sqrt{y C^2}}{C}$

令 $u^2 = y C^2$，则 $2u du = dy$，所以 $dy = 2u du$。
$y' = frac{dy}{dx} = frac{dy}{du} frac{du}{dx} = 2u frac{du}{dx}$

代回方程：

$2u frac{du}{dx} = pm frac{u}{C}$

假设 $u eq 0$，则 $2 frac{du}{dx} = pm frac{1}{C}$

$du = pm frac{1}{2C} dx$

积分两边：

$u = pm frac{1}{2C} x + D$

代回 $u = sqrt{y C^2}$:

$sqrt{y C^2} = pm frac{1}{2C} x + D$

平方两边：

$y C^2 = (pm frac{1}{2C} x + D)^2$

$y = C^2 + (frac{1}{2C} x + D)^2$

为了使形状正确，我们选择对称的形状，最低点在 $x=0$。 并且要回到我们熟悉的悬链线形式 $y = a cosh(x/a)$，需要一些变量替换和常数调整。

如果我们重新设置常数，令 $C^2 = a^2$，则 $(y')^2 = frac{y}{a^2} 1$。

直接解 $y' = frac{sqrt{ya^2}}{a}$：

$frac{dy}{sqrt{ya^2}} = frac{dx}{a}$

积分：

$2sqrt{ya^2} = frac{x}{a} + K$

$sqrt{ya^2} = frac{x}{2a} + frac{K}{2}$

$y a^2 = (frac{x}{2a} + frac{K}{2})^2$

$y = a^2 + (frac{x}{2a} + frac{K}{2})^2$

这看起来像抛物线。问题出在哪里？

关键在这里： 我上面推导的是如果光速与 $sqrt{y}$ 成正比，那么光程最短的曲线是悬链线。这个推导本身是成立的，并且它提供了一个不依赖于变分法直接建立微分方程的思路。

问题在于，如何从这个微分方程 $y' = frac{sqrt{y C^2}}{C}$ 导出 $y = a cosh(x/a)$。

我们做个变量替换：令 $y C^2 = z^2$，则 $y = z^2 + C^2$，$frac{dy}{dx} = 2z frac{dz}{dx}$。
$2z frac{dz}{dx} = frac{z}{C}$
$2 frac{dz}{dx} = frac{1}{C}$ （假设 $z eq 0$）
$frac{dz}{dx} = frac{1}{2C}$
$z = frac{x}{2C} + D$
$sqrt{y C^2} = frac{x}{2C} + D$
$y C^2 = (frac{x}{2C} + D)^2$
$y = C^2 + (frac{x}{2C} + D)^2$

为了得到 $cosh$ 函数，我们需要的是这个微分方程的解：
$frac{d^2y}{dx^2} = frac{1}{a^2} y$ （这是 $y = e^{x/a}$ 或 $y = e^{x/a}$ 的形式）
而我们得到的是：$(y')^2 = frac{y C^2}{C^2}$。对这个方程两边关于 $x$ 求导：
$2y' y'' = frac{y'}{C^2}$
如果 $y' eq 0$，则 $2 y'' = frac{1}{C^2}$
$y'' = frac{1}{2C^2}$

这是一个常数加速度的情况，其解是 $y = frac{1}{4C^2} x^2 + Ax + B$，这是抛物线。

问题根源在于，我引用了“光速与 $sqrt{y}$ 成正比”这个条件，这个条件导出的微分方程是 $y = C^2(1+(y')^2)$，它的解确实是悬链线。我上面在处理积分和常数时出现了混乱。

让我们回到这个方程：$frac{sqrt{y}}{sqrt{1 + (y')^2}} = C$
平方得到 $y = C^2(1 + (y')^2)$。

这个微分方程是悬链线的一个本质特征的体现，但直接积分它得到 $y=a cosh(x/a)$ 是需要技巧的。

一个更简洁的利用物理直觉的方法是：

想象在最低点拉力是水平的 $T_0$。在任意点 $(x, y)$，绳索受到的拉力 $T$ 沿着切线方向。
绳索从最低点到点 $(x, y)$ 的长度为 $s(x) = int_0^x sqrt{1 + (y')^2} dx$。
这段绳索承受的重力是 $W = ho g s(x)$。
在点 $(x, y)$，拉力 $T$ 的竖直分量 $T sin heta$ 必须等于这段绳索的重力 $W$。
$T sin heta = ho g s(x)$。
拉力 $T$ 的水平分量 $T cos heta$ 在整个绳索的对称轴上是 $T_0$。
$T cos heta = T_0$。

将两式相除：
$ an heta = frac{T sin heta}{T cos heta} = frac{ ho g s(x)}{T_0}$

我们知道 $ an heta = y'(x) = frac{dy}{dx}$。
所以 $frac{dy}{dx} = frac{ ho g}{T_0} s(x)$。

这是一个积分微分方程。令 $k = frac{ ho g}{T_0}$ 为一个常数。
$frac{dy}{dx} = k s(x)$

同时，我们知道 $ds = sqrt{dx^2 + dy^2}$，所以 $s(x) = int_0^x sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2} dx$。
代入：
$frac{dy}{dx} = k int_0^x sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2} dx$

对两边关于 $x$ 求导：
$frac{d^2y}{dx^2} = k sqrt{1 + (frac{dy}{dx})^2}$

令 $p = frac{dy}{dx}$。则 $frac{dp}{dx} = k sqrt{1 + p^2}$。
这是一个可分离变量的微分方程：
$frac{dp}{sqrt{1 + p^2}} = k dx$

积分两边：
$int frac{dp}{sqrt{1 + p^2}} = int k dx$

左边的积分是一个标准积分：$ ext{arsinh}(p)$ 或 $ln(p + sqrt{1+p^2})$。
$ ext{arsinh}(p) = kx + C_1$
$p = sinh(kx + C_1)$

$frac{dy}{dx} = sinh(kx + C_1)$

再次积分：
$y = int sinh(kx + C_1) dx$
$y = frac{1}{k} cosh(kx + C_1) + C_2$

这是一个悬链线方程的形式。我们还需要根据边界条件来确定常数 $k, C_1, C_2$。

例如，如果我们设定最低点在 $(0, a)$ 处，那么 $y'(0) = 0$。
$sinh(k cdot 0 + C_1) = sinh(C_1) = 0 implies C_1 = 0$。
所以 $frac{dy}{dx} = sinh(kx)$。

最低点的高度是 $y(0) = a$。
$y = frac{1}{k} cosh(kx) + C_2$
$y(0) = frac{1}{k} cosh(0) + C_2 = frac{1}{k} + C_2 = a$
$C_2 = a frac{1}{k}$

所以 $y = frac{1}{k} cosh(kx) + a frac{1}{k} = frac{1}{k} (cosh(kx) 1) + a$。

为了让方程回到标准形式 $y = a cosh(x/a)$，我们需要做变量替换。
令 $k = 1/a$。
那么 $y = a cosh(x/a) a + C_2$。
最低点在 $(0, a)$ 意味着 $y(0) = a cosh(0) a + C_2 = a a + C_2 = C_2$。
所以 $C_2 = a$。

最终形式是 $y = a cosh(x/a)$。这里的 $a$ 是一个常数，它与绳索的单位长度重力 $ ho g$ 和最低点的水平拉力 $T_0$ 有关，具体是 $a = T_0 / ( ho g)$。

这个利用力学平衡推导微分方程，再求解的方法，可以说是一个非常巧妙且不直接涉及变分原理（泛函求导）的“物理解法”。它更多地依赖于对绳索受力平衡的深刻理解和微积分的运算能力。

3. 几何构造的巧妙视角（虽然不直接给出方程）

有没有纯粹从几何上直观理解悬链线形状的方法？

一个非常漂亮的类比：考虑一个水池边缘的水滴形状。

在液体表面张力的作用下，微小的液滴边缘形成的曲线，在忽略重力的情况下，会趋向于最小表面积。当重力成为主导因素时，例如一个较大的液滴接触到平面时，其自由表面的形状就接近悬链线。

这个类比的巧妙之处： 它将问题从“受重力下垂的绳索”转换到了“表面张力与重力平衡的液体表面”。液体表面总是试图最小化其表面积，这与变分法的思想（最小化势能）有相通之处。虽然这个直觉不直接提供方程，但它解释了为什么会有这种“自然”的形状。

另一个角度：与抛物线的比较。

悬链线和抛物线在某些情况下非常相似。例如，当绳索非常紧，或者说其曲率很小时，悬链线会非常接近一个抛物线。实际上，当绳索很短，两端距离很近时，其形状可以近似为抛物线。这个近似本身就是一个巧妙的理解方式。

如果我们将悬链线的方程 $y = a cosh(x/a)$ 进行泰勒展开：
$cosh u = 1 + frac{u^2}{2!} + frac{u^4}{4!} + dots$
$y = a (1 + frac{(x/a)^2}{2} + frac{(x/a)^4}{24} + dots)$
$y = a + frac{x^2}{2a} + frac{x^4}{24a^3} + dots$

最低点在 $(0, a)$。将最低点移到 $(0, 0)$，令 $Y = y a$:
$Y = frac{x^2}{2a} + frac{x^4}{24a^3} + dots$

前半部分 $Y approx frac{x^2}{2a}$ 正是抛物线的方程。这说明在最低点附近，悬链线具有抛物线的形状。

总结一下“巧妙解法”的特点：

1. 物理直觉的转化： 将抽象的数学问题转化为具体可感的物理过程，例如通过力学平衡分析，或者类比其他物理现象（如光传播）。
2. 与已知问题的联系： 将悬链线问题与最速降线问题等数学上相关但求解路径不同的问题联系起来，利用它们之间的共性来理解。
3. 简化或近似： 在特定条件下（如绳索非常紧密），将复杂的悬链线近似为更简单的抛物线，从而获得直观的理解。
4. 几何构造的类比： 通过液体表面、拱形结构等几何实体来启发对悬链线形状的理解。

尽管变分法是求解悬链线问题的最严谨和普适的方法，但这些“巧妙”的解法，它们的美妙之处在于，它们展示了数学与物理、几何之间深刻而意想不到的联系，并且能以更直观、更有启发性的方式帮助我们理解这个古老而优美的数学曲线。它们更像是对问题“为什么是这样”的洞察，而不是直接“如何算出结果”。

见丁同仁、李承治著《常微分方程教程》的第128页，有一个微元法的方法。