怎么用一句话证明 det(M1 M2)＝det(M1)det(M2)？
这句等式 $det(M_1 M_2) = det(M_1) det(M_2)$，可以这样理解：行列式，本质上就是衡量一个线性变换在空间中“拉伸”或“压缩”体积的倍数；而两个线性变换接连作用，其总体效应就是它们各自“拉伸”或“压缩”体积的倍数相乘。
咱们一点点掰开了说。
首先，得明白“行列式”到底是个啥。它不是一个随便弄出来的数字，而是跟一个方阵（咱们这里讨论的是方阵）所代表的那个“线性变换”紧密联系在一起的。你想啊，一个矩阵 $M$，可以把它看作一个指令，告诉你怎么把空间里的点（也就是向量）给“动”一下，比如旋转、缩放、剪切等等。
那么，$det(M)$ 这个数，它告诉你的就是，经过 $M$ 这个变换后，空间里的“体积”会变成原来的多少倍。如果 $det(M) = 2$，那就意味着 $M$ 把所有东西都拉伸了两倍；如果 $det(M) = 0.5$，就是压缩了一半；如果 $det(M) = 1$，可能就是把空间“翻转”了，体积还是原来的大小，但是方向反了。
现在来看 $M_1$ 和 $M_2$ 两个矩阵。它们分别代表了两个线性变换，咱们可以称它们为“变换1”和“变换2”。
$det(M_1)$ 就告诉我们，经过“变换1”之后，空间体积会变成原来的 $det(M_1)$ 倍。
$det(M_2)$ 就告诉我们，经过“变换2”之后，空间体积会变成原来的 $det(M_2)$ 倍。
那么，$M_1 M_2$ 这个矩阵，它代表的其实是“变换2”先作用，然后再接着作用“变换1”。（注意矩阵乘法的顺序，虽然这里是为了说明性质，但理解清楚哪个先哪个后很重要，就像你先穿袜子再穿鞋）。
所以，当我们考虑 $M_1 M_2$ 这个复合变换时，我们可以这样想：
1. 先让“变换2”作用在空间上，此时空间体积因为“变换2”变成了原来的 $det(M_2)$ 倍。
2. 然后，再让“变换1”作用在这个已经被“变换2”改变了的“新空间”上。这个“新空间”的体积相对于原始空间是 $det(M_2)$ 倍。当“变换1”作用到它上面时，它会以 自身体积 的 $det(M_1)$ 倍来缩放。
你想，如果原来有个小方块，体积是 1。
“变换2”把它变成了体积为 $det(M_2)$ 的一个“块”。
然后“变换1”再作用到这个“块”上，把这个“块”的体积又拉伸（或压缩）了 $det(M_1)$ 倍。
那么，最终这个小方块的体积，相对于最开始的体积，就应该是 $det(M_2) imes det(M_1)$ 倍。
所以，$det(M_1 M_2)$ 这个数，就是描述了“变换1”和“变换2”连续作用后，总体上对空间体积的缩放比例，而这个比例，恰好就是它们各自缩放比例的乘积。
这个性质非常强大，它把矩阵乘法的“组合”效应，转化成了行列式（一个关于“体积缩放”的数）的“乘法”效应，让处理和计算变得更加直观和容易。
咱们一点点掰开了说。
首先，得明白“行列式”到底是个啥。它不是一个随便弄出来的数字，而是跟一个方阵（咱们这里讨论的是方阵）所代表的那个“线性变换”紧密联系在一起的。你想啊，一个矩阵 $M$，可以把它看作一个指令，告诉你怎么把空间里的点（也就是向量）给“动”一下，比如旋转、缩放、剪切等等。
那么，$det(M)$ 这个数，它告诉你的就是，经过 $M$ 这个变换后，空间里的“体积”会变成原来的多少倍。如果 $det(M) = 2$，那就意味着 $M$ 把所有东西都拉伸了两倍；如果 $det(M) = 0.5$，就是压缩了一半；如果 $det(M) = 1$，可能就是把空间“翻转”了，体积还是原来的大小，但是方向反了。
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$det(M_1)$ 就告诉我们，经过“变换1”之后，空间体积会变成原来的 $det(M_1)$ 倍。
$det(M_2)$ 就告诉我们，经过“变换2”之后，空间体积会变成原来的 $det(M_2)$ 倍。
那么，$M_1 M_2$ 这个矩阵，它代表的其实是“变换2”先作用，然后再接着作用“变换1”。（注意矩阵乘法的顺序，虽然这里是为了说明性质，但理解清楚哪个先哪个后很重要，就像你先穿袜子再穿鞋）。
所以，当我们考虑 $M_1 M_2$ 这个复合变换时，我们可以这样想：
1. 先让“变换2”作用在空间上，此时空间体积因为“变换2”变成了原来的 $det(M_2)$ 倍。
2. 然后，再让“变换1”作用在这个已经被“变换2”改变了的“新空间”上。这个“新空间”的体积相对于原始空间是 $det(M_2)$ 倍。当“变换1”作用到它上面时，它会以 自身体积 的 $det(M_1)$ 倍来缩放。
你想，如果原来有个小方块，体积是 1。
“变换2”把它变成了体积为 $det(M_2)$ 的一个“块”。
然后“变换1”再作用到这个“块”上，把这个“块”的体积又拉伸（或压缩）了 $det(M_1)$ 倍。
那么，最终这个小方块的体积，相对于最开始的体积，就应该是 $det(M_2) imes det(M_1)$ 倍。
所以，$det(M_1 M_2)$ 这个数，就是描述了“变换1”和“变换2”连续作用后，总体上对空间体积的缩放比例，而这个比例，恰好就是它们各自缩放比例的乘积。
这个性质非常强大，它把矩阵乘法的“组合”效应，转化成了行列式（一个关于“体积缩放”的数）的“乘法”效应，让处理和计算变得更加直观和容易。
网友意见
就是行列式的几何意义：线性变换的体积伸缩比。
考虑以n个n维向量x_i为边的平行多面体（n=2就是平行四边形），把x_i全部映射到Mx_i后，多面体的体积变成原来的det M倍。再来个方阵M’映射一次就再扩大det M’倍。所以总共扩大的倍数就是两个行列式之积。
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